相似三角形基本模型01 A字型-2024-2025学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

相似三角形基本模型01 A字型 【基本模型】 (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. 图1　 (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. 图2 【例题精讲】 例1．（基本模型）如图，在中，，，点D在延长线上，，点E是的中点，点F在上，，则 ． 例2．（构造A字模型）如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（    ） A． B． C． D． 例3．（构造反A字模型）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，若，则 ． 例4．（动点问题）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 例5．（最值问题）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 例6．（培优综合1）如图，在中，，，，点、点分别为边上两点，将边沿翻折，使得点落在边上的点处，再将边沿翻折，使得点落在的延长线上的点处，则的面积为 ． 例7．（培优综合2）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：和直线l2：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和点B． （1）求ABC的面积； （2）已知点N为点C关于原点O的对称点，点M是直线AC上一动点，连接BM、BN，MN．求BMN周长的最小值； （3）如图2，P为射线AO上一动点，过P作PH⊥AC于H，连接PC，是否存在△PCH为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【专项训练】 1．如图，点E是菱形的边上一点，于点F，若，，则的值为 ． 2．如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 3．如图，在中，，，是的中点，过点作交的延长线于点，则线段的长度为 ． 4．如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ． 5．如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ． 6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE折叠得到△FCE，CF与BD交于点P，则DP的长为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，． （1）求的长度． （2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围． （3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形基本模型01 A字型 【基本模型】 (1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝. 图1　 (2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝. 图2 【例题精讲】 例1．（基本模型）如图，在中，，，点D在延长线上，，点E是的中点，点F在上，，则 ． 【答案】/ 【分析】已知，再证可得． 本题考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ，． 点E是的中点， ． 在中，，， 由勾股定理得，, ， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 例2．（构造A字模型）如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，过点作交于点，证明出，得到是的中位线，根据已知条件及全等三角形的判定即可求出结果． 【详解】如解图，过点作交于点， ∴ ∴ ， ∴ ∴ 是的中位线， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 故答案选：C． 例3．（构造反A字模型）如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，过点F作于点G，根据矩形的性质可得，证得，可得，即，证明，可得，求得，从而可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G， 四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴，， ∴． 例4．（动点问题）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键． 例5．（最值问题）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ， ，，， 则的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 例6．（培优综合1）如图，在中，，，，点、点分别为边上两点，将边沿翻折，使得点落在边上的点处，再将边沿翻折，使得点落在的延长线上的点处，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，求得，得到，过作于，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：将边沿翻折，使得点落在边上的点处， ，，， ，，， ， ， ，， 将边沿翻折，使得点落在的延长线上的点处， ，， ，， 是等腰直角三角形， ，， 过作于， ， ，，，， 的面积的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质等知识点，利用面积法求得的长，然后再利用勾股定理和等腰三角形的性质求得和的长是解答问题的关键． 例7．（培优综合2）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：和直线l2：的图象交于y轴上的点C，且分别交x轴于点A和点B． （1）求ABC的面积； （2）已知点N为点C关于原点O的对称点，点M是直线AC上一动点，连接BM、BN，MN．求BMN周长的最小值； （3）如图2，P为射线AO上一动点，过P作PH⊥AC于H，连接PC，是否存在△PCH为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），，；（3）存在，，或， 【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，然后根据AB和OC的长，即可求出答案； （2）作点B的对称点B′，连接B′N与AC相交于点M′，则此时B′N=BM′+M′N存在最小值，然后求出B′N的长，即可得到周长的最小值，再求出点M的坐标即可； （3）由题意，可分两种情况进行分析：当点P在线段AO上时，当点P在线段AO的延长线上时，根据相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出PH的长，然后求出AP，即可得到点P的坐标． 【详解】解：（1）直线和直线的图象交于轴上的点， ，点的坐标， ， 在直线和直线中， 令，则，， 点的坐标，点， ， 的面积为：； （2）如图，作点的对称点，连接与相交于点， ∵OC=，OA=3，OB=1， ∴AC==，BC==2， ， ， ， 点在上，连接， 则此时存在最小值， 点，点的坐标， 点的坐标， 点， ， 的最小值为， ， 周长的最小值为：， 点的坐标，点， 直线为：， ，解得：， 点的坐标，； （3）当点在线段上时， ，， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ，点为，； 当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为，； 综上所述，存在为等腰三角形，点的坐标为，或，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，周长的最小值，坐标与图形以及动点问题的分析，解题的关键熟练掌握所学知识，利用数形结合的思想，分类讨论的思想解题． 【专项训练】 1．如图，点E是菱形的边上一点，于点F，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，由菱形性质得，结合列关于的比例，求出，即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得． ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 2．如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 作交CE于点M，易得，根据“ASA”证得，再证明，即可解得． 【详解】解：如图，作交CE于点M， 易得． 是由BC绕点B顺时针旋转得到的， ，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ， ，，， ， ， ，即， ． ， ， ． 3．如图，在中，，，是的中点，过点作交的延长线于点，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形中位线的判定与性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，则，根据勾股定理求出，根据线段的和差求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ，， ， ∴H是的中点， ，， ， ∴， ∴， ∴F是的中点， 是的中位线， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 4．如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ． 【答案】 【分析】作交于G，根据平行线的性质和等边对等角得到，得到，，然后证明出，得到，然后求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作交于G， ，， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ，点F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 5．如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ． 【答案】5 【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值 【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG， 设，则, 当点A、F、G三点共线时，的最值小， ∵，且， ∴四边形CEFG是平行四边形； ∴，， 又∵点A、F、G三点共线， ∴， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵， ∴四边形AECF是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 又∵，，则， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得， ，所以 ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴，即最小值是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定． 6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AB的中点，连接CE，将△BCE沿CE折叠得到△FCE，CF与BD交于点P，则DP的长为 ． 【答案】 【分析】由勾股定理可求出BD、EC的长，连接BF交CE于点G，作FH⊥BC于点H，PQ⊥BC于点Q，根据相似三角形的性质求出BG的长，再根据面积等式列方程求出FH的长，再根据相似三角形的性质求出BQ与CQ的比，进而求出DP的长． 【详解】解：如图，连接BF交CE于点G，作FH⊥BC于点H，PQ⊥BC于点Q， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC=2，∠ABC=∠BCD=90°， ∵BC=3， ∴； ∵AE=BE=AB=×2=1， ∴； 由折叠得，CE垂直平分BF， ∴∠BGC=∠EBC=90°， ∵∠GCB=∠BCE， ∴△BGC∽△EBC， ∴， ∴， ∴，； 由BC•FH=BF•CG得，×3FH=××， 解得，FH=； ∵∠CHF=90°，FC=BC=3， ∴； ∵PQ∥FH， ∴△CPQ∽△CFH， ∴， ∴， ∴CQ=PQ， ∵∠BQP=∠BCD=90°， ∴PQ∥DC， ∴△BPQ∽△BDC， ∴， ∴， ∴BQ=PQ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确． 7．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，． （1）求的长度． （2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围． （3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标． 【答案】（1）10；（2）①时，；②t>10时， ；（3）当时，，；当t>10时，，． 【分析】（1）由勾股定理解得AO的长，即可求得AC的长； （2）分两种情况讨论：当时或当t>10时，根据三角形面积公式解题即可； （3）分两种情况讨论，当时，作作，交DG于N，交BC于M，由等腰三角形三线合一的性质，解得，进而证明，根据相似三角形对应边成比例的性质，设DN=m，解得AD=，OD=，当时根据勾股定理解得BH、DH的长，在中，由勾股定理得，即可解得m的值，从而解得AD的长，即可求得t的值，最后由，结合面积比等于相似比的平方，即可解得点G的坐标；当t>10时，方法同上． 【详解】（1）在中 （2）由于D在x轴上，故以CD为底边，高h=OB=6 ①当时，CD=AC-AD=10-t，； ②当t>10时，CD=AD-AC=t-10, ； （3）如图：当时，作，交DG于N，交BC于M， ． 又 设DN=m，则AD= OD=， 当时 BH=，同理 在中， 即 解得 (舍去)或， ，，， ， 当t>10时，如图： 作，交DG于N，交BC于M， ． 又 设DN=m，则AD= OD=， 当时 BH=，同理 在中， 即 解得 或(舍去)， ，，， ， 综上所述，当时，，；当t>10时，，． 【点睛】本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$