第三章 不等式（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第三章 不等式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第一章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 4．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知均为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知关于的不等式的解集为，则的值 . 13．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 14．已知，.若，，有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 16．(本小题满分15分)已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 17．(本小题满分15分)（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值. 18．(本小题满分17分)已知. (1)解关于的不等式； (2)若不等式的解集为，求实数的值. 19．(本小题满分17分)某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 不等式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 分数____________ 考试范围：第一章 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】因为且，可得，所以， 对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由，所以，所以B不正确； 对于C中，由， 因为，所以，可得， 所以，所以C不正确； 对于D中，由，所以，所以D不正确. 故选：A. 2．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 3．已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 4．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分，两种情况，结合判别式法即可得解. 【详解】因为，不等式恒成立， 所以当时，若不等式恒成立，若无意义； 当时，即或，则， 解得 综上：实数的取值范围是， 故选：D. 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合充分条件、必要条件的概念，利用基本不等式及特例法判断即可. 【详解】若，则，当且仅当时等号成立， 当时，满足，但是， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 7．已知，使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，当时，由，得，B不是； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 8．若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知均为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则的最大值为8 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用重要不等式判断A，利用基本不等式判断B，利用‘1’的代换判断C，利用换元法结合二次函数性质判断D即可. 【详解】对于A，因为，当且仅当时取等， 所以，故A正确， 对于B，因为，当且仅当时取等， 而，所以，解得， 则的最小值为8，故B错误， 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，故C正确， 对于D，因为，所以， 因为， ， 令，所以新函数为， 由题意得若取得最小值，则取得最大值， 由二次函数性质得，当时，取得最大值， 且其最大值为， 所以最小值为，故D错误. 故选：AC 10．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】先解出方程的根，然后由题意可得，，然后根据，的值以及基本不等式，一元二次不等式的解法对各个选项逐个化简即可判断求解． 【详解】不等式的解集为， 根据根与系数的关系，可得且，. 可化为，解得，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，方程的解为，且， 不等式的解集为，A错误； ，而，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，D错误. 故选：BC. 11．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断B；由，不等式同乘以得，同乘以得，，即可判断C；由，根据有理数的加法即可判断D． 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，若，则，若，则，故B正确； 对于C，若，同乘以得，同乘以得，，即，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知关于的不等式的解集为，则的值 . 【答案】3 【分析】对原不等式等价变形，分是否等于2进行讨论，根据一元二次不等式、方程之间的关系即可求解. 【详解】， 当时，原不等式等价于，故不符合题意， 当时，根据一元二次不等式解集可得，解得， 而当时，原不等式等价于或，故符合题意； 综上所述，的值为3. 故答案为：3. 13．已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列式求解即得. 【详解】令，显然二次函数的图象开口向上， 而的两根一个比2大另一个比2小，则， 即，解得， 所以实数m的范围是. 故答案为： 14．已知，.若，，有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分析命题，为真时的取值范围，由题意可得命题，为一真一假，由此分类讨论，求出实数的取值范围即可得到答案. 【详解】对于，解得：， 当时，则， 若，，有且只有一个为真命题，则真假，或假真； 当真假时，即或，无解； 当假真时，或，解得：或， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】(1)采用方案二；理由见解析 (2)24 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 16．(本小题满分15分)已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由韦达定理可得； （2）把（1）的结论代入求解． 【详解】（1）由不等式的解为或， 可知且的两根为2和3， 由韦达定理得，，所以，； （2）由（1）可得：可变为， 因为，所以，整理得， 解得或，所以不等式的解是或． 17．(本小题满分15分)（1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）易知，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解； （2）依题意，利用基本不等式中“1”的妙用计算可得答案. 【详解】（1）由可得， 所以， 当且仅当即时取等号； 所以函数的最大值为. （2）根据题意，且， 则 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 18．(本小题满分17分)已知. (1)解关于的不等式； (2)若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简为，求出的两根，得到不等式解集； （2）得到的两根为，由韦达定理得到方程，求出的值. 【详解】（1），即， 其中，的两根为， 故的解集为 （2），即的解集为， 故的两根为， 则，， 解得. 19．(本小题满分17分)某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$