清单02 整式及其加减（19个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版2024）

清单02 整式及其加减（19个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单03】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单04】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单05】同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【考点题型一】用代数式表示式 【典例1】用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元 元（用含a、y的代数式表示）． 【变式1-3】一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是 ． 【考点题型二】用代数式的概念及意义 【典例2】下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】代数式的正确含义是（    ） A．5乘y减5 B．y的5倍减去5 C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5 【变式2-3】学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示 ；当，，则 元． 【考点题型三】求代数式的值 【典例3】若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 【变式3-1】若，则代数式的值为 ． 【变式3-2】若，则 ． 【变式3-3】若a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，则的值是 ． 【变式3-4】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】单项式的判断 【典例4】下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式4-1】下列各式中，次数为4的单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】代数式，，，，，中，单项式的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型五】单项式的项和次数 【典例5】单项式的系数、次数分别是（　　） A．0、3 B．、2 C．0、2 D．、3 【变式5-1】（1）的系数是 ，次数是 ； （2）的系数是 ，次数是 ． 【变式5-2】单项式的次数是 ． 【变式5-3】单项式的次数是 ． 【考点题型六】多项式的判断 【典例6】下列式子：，其中是多项式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】代数式，，，，中，多项式的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列式子：中，多项式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】在下列式子中： 、、2、、、，多项式有 个 【考点题型七】多项式的项、项数或次数 【典例7】已知关于x的多项式为二次三项式． (1)求、的值； (2)当时，求这个二次三项式的值． 【变式7-1】多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【变式7-2】多项式是 次 项式，常数项是 ． 【变式7-3】多项式的各项分别是（　　） A． B． C． D． 【考点题型八】多项式系数、指数中字母求值 【典例8】如果是三次三项式，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式8-1】式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【变式8-2】如果是关于x，y的五次三项式，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．不存在 【变式8-3】已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】升幂排列和降幂排列 【典例9】将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】把多项式按字母的降幂排列： ． 【变式9-2】把多项式按字母的升幂排列是 ． 【变式9-3】把多项式按字母x降幂排列为 【考点题型十】去括号和添括号 【典例10】把去括号，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型十一】同类项和合并同类项 【典例11】下列各组的两项中是同类项的是（    ） A． 与 B． 与 C．与 D． 与 【变式11-1】关于x、y的单项式与是同类项，那么a、b的值分别为（    ） A．2、2 B．2、4 C．4、4 D．4、2 【变式11-1】若与的和为单项式，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】若与的和是单项式，则m+n的值为 ． 【考点题型十二】整式的加减运算 【典例12】先去括号，再合并同类项： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5) 【变式12-1】化简： (1) (2) 【变式12-2】化简： (1) (2) 【变式12-3】化简： (1)； (2)． 【考点题型十三】整式的加减中的化简求值 【典例13】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式13-1】先化简，再求值：，其中 【变式13-2】先化简，再求值：，已知，． 【变式13-3】先化简，再求值：，其中，． 【考点题型十四】整式加减的应用 【典例14】某学校为了准备中考体育考试，在某体育用品专卖店购买200根跳绳与若干个排球．已知该体育用品专卖店每根跳绳的定价为120元，每个排球的定价为60元，并有以下两种批发套餐： 套餐一：买一根跳绳，赠送一个排球； 套餐二：跳绳与排球都打八折出售． (1)若该学校购买200根跳绳与200个排球，请通过计算比较哪种套餐更省钱； (2)若该学校购买200根跳绳与a个排球（），请用含a的式子表示出两种套餐所需要的费用；当时，通过计算比较出两种套餐中最省钱的套餐； (3)在（2）的条件下，该学校计划购买200根跳绳与400个排球，该体育用品专卖店允许将套餐组合购买，请你设计最省钱的购买方案，并说明理由 【变式14-1】图1是长为a，宽为1（a为常数，且）的小长方形纸片．将5张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分恰好分割为长方形①和②．如图2所示，长方形①水平方向的长度为x（x可以变化，且）． (1)长方形②水平方向的长度为 ； (2)把长方形①和②的周长分别记为、，试通过计算说明的结果与x的取值无关； （提示：用含a，x的代数式表示、） (3)把长方形①和②的面积分别记为、，若的值总保持不变，求a的值． 【变式14-2】某商场销售一种扩音器和翻页笔，扩音器每台定价300元，翻页笔每支定价50元．十一期间商场开展促销活动，可以同时向客户提供两种优惠方案．方案一：买一台扩音器送一支翻页笔．方案二：扩音器和翻页笔都按定价的付款．现某客户到商场购买扩音器20台，翻页笔x支（x超过20）， (1)若该客户按方案一购买，求客户需付款（用含x的式子表示） (2)若该客户按方案二购买，求客户需付款（用含x的式子表示） (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出所需的钱数． 【变式14-3】小红和小兰为同一窗户设计装饰物（阴影部分，装饰物完全避光）．小红设计的装饰物如图1所示，装饰物是由三个半圆组成（半径相同），小兰设计的装饰物如图2所示（装饰物由三个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同）． (1)当，时，求图1中窗户能射进阳光的部分的面积；（取3） (2)请你通过计算说明，图1和图2哪个窗户能射进阳光的部分的面积更大？大多少？（用含，的代数式表示，保留） 【考点题型十五】整式加减中的无关型问题 【典例15】已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【变式15-1】已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求的值． 【变式15-2】已知多项式与多项式． (1)当，时，计算的值； (2)如果A与的差中不含和y，求的值 【变式15-3】已知，． (1)先化简，且当时，求的值； (2)若的值与无关，求的值． 【考点题型十六】日历中的规律 【典例16】图1，图2是某月的日历． (1)如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字． ①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为________（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为________（用含x的式子表示）； ②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由； (2)若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由． 【变式16-1】在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果，那么的值为（   ） A．22 B．25 C．29 D．30 【变式16-2】在日历上，某些数据满足一定的规律，如图是2024年1月份的日历，任选其中所含4个数字的方框部分，设方框右上角的数字为m，则下列说法正确的是（    ） A．方框左上角的数字为 B．方框左下角的数字为 C．方框右下角的数字为 D．方框中4个数字相加，和是 【变式16-3】在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【考点题型十七】数字中的规律 【典例17】按一定规律排列的单项式：第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 【变式17-1】探索规律：观察下面的一列单项式：，，，，，…，根据其中的规律得出的第10个单项式为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 【变式17-3】观察下列单项式：，，，，，…，根据这个规律，第10个式子应为 ． 【考点题型十八】图形中的规律 【典例18】如图是一组有规律的图案．第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，…，按此规律，第个图案中六边形的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】如图，下列图案是由长度相同的火柴按一定规律拼搭而成的，其中，第①个图案需要9根火柴，第②个图案需要18根火柴，第③个图案需要30根火柴，…，按此规律，第⑧个图案需要的火柴数量为（    ）    A．108 B．135 C．150 D．165 【变式18-2】在《综合与实践：平面图形的镶嵌》课堂上，某学习小组模仿蜜蜂蜂巢设计出下列图案，其中第1个图案由7个正六边形镶嵌而成，第2个图案由12个正六边形镶嵌而成，第3个图案由17个正六边形镶嵌而成，，按此规律，第6个图案中正六边形个数是（    ） A．26 B．27 C．32 D．37 【变式18-3】下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个，第②个图形中一共有8个，第③个图形中一共有14个，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的个数为（　　） A．54 B．61 C．71 D．77 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 整式及其加减（19个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 【清单02】单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 【清单03】多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 【清单04】整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 【清单05】同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 　　c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 【考点题型一】用代数式表示式 【典例1】用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，主要要明确题中给出的文字语言包含的运算关系，根据题意的先求倍数，然后求差，最后求平方列出代数式，即可解题． 【详解】解：a的3倍是， a的3倍与b的差是， a的3倍与b的差的平方是， 故选：D． 【变式1-1】用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，要注意长方形窗框的横条有3条，观察图形求出长方形窗框的竖条长度是解答本题的关键．根据长方形窗框的横条长度求出长方形窗框的竖条长度，再根据长方形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵长方形窗框的横条长度为， ∴长方形窗框的竖条长度为， ∴长方形窗框的面积为：， 故选∶C． 【变式1-2】小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元 元（用含a、y的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，分别求出苹果和香蕉的费用，求和即可． 【详解】解：根据题意可得一共应付元， 故答案为：． 【变式1-3】一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，百位上的数字乘100，10位上的数字乘10，个位上数字乘1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是三位数． 【详解】解：∵个位，十位，百位上的数字分别是8，b，a， ∴这个三位数为：． 故答案为：． 【考点题型二】用代数式的概念及意义 【典例2】下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．据此解答即可． 【详解】解：①，②，④ ⑤，⑥a  ⑦， ⑧是代数式， 含“=”不是代数式． 故选C． 【变式2-1】下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A、数字与数字相乘不能用点或省略乘号，应该写成，不符合题意； B、符合代数式书写格式，符合题意； C、应改写成，不符合题意； D、应改写成，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】代数式的正确含义是（    ） A．5乘y减5 B．y的5倍减去5 C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5 【答案】C 【分析】本题考查了代数式表示的意义，根据代数式的表示意义，即可求解，掌握代数式的表示是解题的关键． 【详解】解：根据题意，表示的意义是y与5的差的5倍， 只有C符合题意， 故选：C ． 【变式2-3】学校买来个足球，每个元，又买来个篮球，每个元．表示 ；当，，则 元． 【答案】 买个足球和个篮球一共的价钱 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，求代数式的值，根据单价数量总价，确定，分别表示的意义，再根据加法的意义，得出这个代数式表示的含义，把的值代入代数式，求出结果即可，熟练掌握知识点额应用是解题的关键． 【详解】表示买个足球的价钱； 表示买个篮球的价钱； 故答案为：买个足球和个篮球一共的价钱， 当，时， ， ， ， 故答案为：． 【考点题型三】求代数式的值 【典例3】若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据题意可得出，将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， ∴， 故选：B． 【变式3-1】若，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查代数式求值，注意求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 把代入计算即可． 【详解】解：当时， 【变式3-2】若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查代数式求值，将变形为，然后再整体代入计算即可 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6 【变式3-3】若a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，则的值是 ． 【答案】−2 【分析】本题考查有理数的混合运算、相反数、倒数，根据a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数，可以得到，，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】∵a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最大的负整数， ∴，，， ∴ ， 故答案为：−2． 【变式3-4】已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【考点题型四】单项式的判断 【典例4】下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中，，，，是单项式．共有个． 故选：C． 【变式4-1】下列各式中，次数为4的单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式以及单项式的次数．根据“单项式中所有字母的指数之和是单项式的次数”，即可求解． 【详解】解：A、的次数为3，故本选项不符合题意； B、的次数为4，故本选项符合题意； C、的次数为2，故本选项符合题意； D、不是单项式，故本选项符合题意； 故选：B 【变式4-2】代数式，，，，，中，单项式的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义，直接根据单项式的定义作答即可 【详解】在代数式，，，，，中， 单项式有，，共三个， 故选：A 【考点题型五】单项式的项和次数 【典例5】单项式的系数、次数分别是（　　） A．0、3 B．、2 C．0、2 D．、3 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的相关概念，掌握单项式的次数与系数的定义是解题关键． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此即可解答． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是：，3． 故选：D． 【变式5-1】（1）的系数是 ，次数是 ； （2）的系数是 ，次数是 ． 【答案】 1 3 4 【分析】本题考查了单项式的次数和系数，单项式中的数字因数叫作它的系数．单项式中所有字母的指数的和叫作它的次数．据此这个分析作答（1）（2）即可． 【详解】解：（1）的系数是1，次数是3； 故答案为：1，3． （2）的系数是，次数是4． 故答案为：，4． 【变式5-2】单项式的次数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了单项式的知识，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式次数的概念求解即可． 【详解】解：单项式的次数是， 故答案为：4． 【变式5-3】单项式的次数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式次数的意义．根据单项式次数的意义即可得到答案． 【详解】解：单项式的次数是, 故答案为：5． 【考点题型六】多项式的判断 【典例6】下列式子：，其中是多项式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式即几个单项式的和，根据定义判断即可． 【详解】根据题意，是多项式的是，共2个， 故选A． 【变式6-1】代数式，，，，中，多项式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的定义：几个单项式的和求解即可，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】根据多项式的定义可知：，是多项式，共个， 故选：． 【变式6-2】下列式子：中，多项式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据多项式的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，是多项式，符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式．解题的关键在于熟练掌握：几个单项式的和（或差）叫做多项式． 【变式6-3】在下列式子中： 、、2、、、，多项式有 个 【答案】3 【分析】此题主要考查了多项式．熟练掌握多项式定义是解题关键． 根据几个单项式的和叫做多项式进行分析判断即可． 【详解】解：、、2、、、中， 多项式有、、，共3个． 故答案为：3． 【考点题型七】多项式的项、项数或次数 【典例7】已知关于x的多项式为二次三项式． (1)求、的值； (2)当时，求这个二次三项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式的项与次数、以及求值，熟练掌握多项式的概念是解题关键． （1）根据多项式的项与次数即可得； （2）将代入多项式计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的多项式为二次三项式， ， 解得． （2）解：由（1）可知，这个多项式为， 则当时，， 答：这个二次三项式的值为． 【变式7-1】多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【答案】 六 五 【分析】本题考查多项式的次数，项数和系数．熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据多项式的次数：最高项的次数，项数：单项式的个数，系数：单项式中的数字因式，进行作答即可． 【详解】解：根据题意可得多项式一共有五项，其中：、、的次数均是，的次数是，是常数项， ∴多项式最高次项六，最高次项的系数是， 故答案为：六，五，． 【变式7-2】多项式是 次 项式，常数项是 ． 【答案】 四 四 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的相关定义． 根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数进行分析即可． 【详解】解：多项式的次数为四次四项式，常数项为， 故答案为：四、四、． 【变式7-3】多项式的各项分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的概念，掌握组成多项式的每个单项式叫做多项式的项成为解题的关键． 根据多项式项的项的定义求解． 【详解】解：多项式的各项分别是：． 故选D． 【考点题型八】多项式系数、指数中字母求值 【典例8】如果是三次三项式，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数与项数，几次几项式；根据题意，且，即可求得m的值． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得：，且， 故； 故选：C． 【变式8-1】式子是关于x的一次式，则a、b的值可能为（    ） A．0，1 B．1，2 C．0，3 D．1，1 【答案】B 【分析】本题考查了一次式的定义，解题的关键是掌握含未知数的项的最高次数为1的整式是一次式． 根据题意得出，求出a和b的值，再结合给出的选项即可得出答案 【详解】解：∵多项式是关于x的一次式， ∴， ∴， ∴a、b的值可能为1，2； 故选：B． 【变式8-2】如果是关于x，y的五次三项式，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的问题．根据多项式的定义以及性质即可求出m的值．b次a项式：一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 【详解】∵是关于x，y的五次三项式， ∴， ∴或，且 ∴． 故选：A． 【变式8-3】已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项和次数．根据题意可知三次项和一次项的系数为，据此求出与的值，再代入进行解题即可． 【详解】解：的多项式不含三次项和一次项， ，， 解得，． 则． 故选：B． 【考点题型九】升幂排列和降幂排列 【典例9】将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据升幂的定义结合题意对多项式进行排序，即可求解，本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是：明确是关于哪个字母，按升幂还是降幂排列． 【详解】解：由题意得将多项式按的升幂排列的结果是：， 故选：D． 【变式9-1】把多项式按字母的降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，按字母x的指数由高到低排列．根据多项式中的指数从大到小，对多项式的项进行排列即可． 【详解】解：由题意知，按字母x的降幂排列为， 故答案为：． 【变式9-2】把多项式按字母的升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将多项式按每个字母升幂（降幂）排列． 根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可． 【详解】把多项式按字母的升幂排列是 故答案为：． 【变式9-3】把多项式按字母x降幂排列为 【答案】 【分析】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式按字母x降幂排列为， 故答案为：． 【考点题型十】去括号和添括号 【典例10】把去括号，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号，解题的关键是掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式10-1】下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是去括号的法则，解题的关键是熟练掌握去括号法则， 根据去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号．依据此方法先去大括号，再去中括号，最后去小括号解答即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 去括号正确的是D． 故选：D． 【变式10-2】下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号，熟练掌握去括号法则是银题的关键． 根据去括号法则逐项计算判定即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【考点题型十一】同类项和合并同类项 【典例11】下列各组的两项中是同类项的是（    ） A． 与 B． 与 C．与 D． 与 【答案】C 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合各选项进行判断即可．本题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同． 【详解】解：A、所含相同字母的指数不同，不是同类项，故本选项不符合； B、所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合； C、符合同类项的定义，故本选项符合； D、所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合； 故选：C． 【变式11-1】关于x、y的单项式与是同类项，那么a、b的值分别为（    ） A．2、2 B．2、4 C．4、4 D．4、2 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的概念，相同字母的指数相同，进行求解即可． 【详解】解： 与是同类项， ， 故选：D． 【变式11-1】若与的和为单项式，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：与的和为单项式， ， 解得 则的值分别为5，5. 故答案为：A． 【变式11-2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项．由同类项的概念及合并同类项逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，故本选项符合题意， B、，故本选项不符合题意， C、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意， D、不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意， 故选：A． 【变式11-3】若与的和是单项式，则m+n的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了同类项和合并同类项．与的和是单项式，则与是同类项，据此得到，求出,即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 【考点题型十二】整式的加减运算 【典例12】先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】此题主要考查了去括号法则以及合并同类项，正确去括号是解题关键． （1）直接利用去括号法则去掉括号，进而合并同类项得出答案； （2）直接利用去括号法则去掉括号，进而合并同类项得出答案； （3）直接利用去括号法则去掉括号，进而合并同类项得出答案； （4）直接利用去括号法则去掉括号，进而合并同类项得出答案； （5）直接利用去括号法则去掉括号，进而合并同类项得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式12-1】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式加减的运算法则，即可求解， （2）根据整式加减的运算法则，即可求解， 本题考查了整式的加减， 【详解】（1）解： ， （2）解： ． 【变式12-2】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式12-3】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，熟记去括号，合并同类项是解本题的关键． （1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案； （2）通过去括号，合并同类项，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型十三】整式的加减中的化简求值 【典例13】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项，得出，再把代入计算，即可作答． （2）先去括号再合并同类项，得出，再把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， 把代入， 得． （2）解： 把代入， 得． 【变式13-1】先化简，再求值：，其中 【答案】；3 【分析】本题主要考查整式的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项，有理数计算，是解题关键．先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 【变式13-2】先化简，再求值：，已知，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．整式的混合运算，先去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值．解题的关键是去括号、合并同类项，正确代入计算． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式13-3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，然后把所给字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时，原式 【考点题型十四】整式加减的应用 【典例14】某学校为了准备中考体育考试，在某体育用品专卖店购买200根跳绳与若干个排球．已知该体育用品专卖店每根跳绳的定价为120元，每个排球的定价为60元，并有以下两种批发套餐： 套餐一：买一根跳绳，赠送一个排球； 套餐二：跳绳与排球都打八折出售． (1)若该学校购买200根跳绳与200个排球，请通过计算比较哪种套餐更省钱； (2)若该学校购买200根跳绳与a个排球（），请用含a的式子表示出两种套餐所需要的费用；当时，通过计算比较出两种套餐中最省钱的套餐； (3)在（2）的条件下，该学校计划购买200根跳绳与400个排球，该体育用品专卖店允许将套餐组合购买，请你设计最省钱的购买方案，并说明理由 【答案】(1)套餐一更省钱 (2)套餐一：；套餐二：，按套餐一购买最省钱 (3)先套餐一购买200根跳绳，同时赠送200个排球，再按套餐二购买200个排球．理由见解析 【分析】本题主要考查列代数式以及求值，正确列出每种方案的代数式， （1）根据题意分别求得两种方案所花费的费用，求解即可； （2）根据题意分别求得两种方案所花费的费用，再将数值代入即可求得答案； （3）根据第二问可知优先使用第一种套餐，剩余的排球使用第二种套餐最省钱，据此求解即可． 【详解】（1）解：套餐一：（元）． 套餐二：（元）． ∵． ∴套餐一更省钱． （2）当时， 套餐一：． 套餐二：． 当时， 套餐一：． 套餐二：． ∵． ∴按套餐一购买最省钱． （3）最佳购买方案是：先套餐一购买200根跳绳，同时赠送200个排球，再按套餐二购买200个排球． 理由如下： （元） ∵． ∴该种方案最省钱． 【变式14-1】图1是长为a，宽为1（a为常数，且）的小长方形纸片．将5张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，未被覆盖的部分恰好分割为长方形①和②．如图2所示，长方形①水平方向的长度为x（x可以变化，且）． (1)长方形②水平方向的长度为 ； (2)把长方形①和②的周长分别记为、，试通过计算说明的结果与x的取值无关； （提示：用含a，x的代数式表示、） (3)把长方形①和②的面积分别记为、，若的值总保持不变，求a的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】（1）设长方形②水平方向的长度为y，根据大长方形的长相等可得，用a和x表示出y即可； （2）用含a，x的代数式表示，然后计算的结果作出判断即可； （3）用含a，x的代数式表示，然后计算的结果作出判断即可； 【详解】（1）设长方形②水平方向的长度为y， 则， 解得， 即长方形②水平方向的长度为． 故答案为：； （2）由题意可知：， 则， 即的结果与x的取值无关； （3）， 则， ∵的值总保持不变， ∴， 解得， 即a的值为3． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式14-2】某商场销售一种扩音器和翻页笔，扩音器每台定价300元，翻页笔每支定价50元．十一期间商场开展促销活动，可以同时向客户提供两种优惠方案．方案一：买一台扩音器送一支翻页笔．方案二：扩音器和翻页笔都按定价的付款．现某客户到商场购买扩音器20台，翻页笔x支（x超过20）， (1)若该客户按方案一购买，求客户需付款（用含x的式子表示） (2)若该客户按方案二购买，求客户需付款（用含x的式子表示） (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算出所需的钱数． 【答案】(1)元； (2)元； (3)先按方案一购买20台扩音器，送20只翻页笔需6000元，差10只翻页笔按方案二购买需450元，共需6450元． 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （3）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：按方案一购买需付款 元； （2）解：按方案二购买需付款元； （3）解：当时，方案一需元； 方案二需元； ， 所以按方案一购买合算； 先按方案一购买20台扩音器，送20只翻页笔需元，差10只翻页笔按方案二购买需元，共需元． 【点睛】此题考查列代数式，求代数式的值，理解两种方案的优惠方案，得出运算的方法是解决问题的关键． 【变式14-3】小红和小兰为同一窗户设计装饰物（阴影部分，装饰物完全避光）．小红设计的装饰物如图1所示，装饰物是由三个半圆组成（半径相同），小兰设计的装饰物如图2所示（装饰物由三个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同）． (1)当，时，求图1中窗户能射进阳光的部分的面积；（取3） (2)请你通过计算说明，图1和图2哪个窗户能射进阳光的部分的面积更大？大多少？（用含，的代数式表示，保留） 【答案】(1)5.5 (2)图2中窗户能射进阳光的部分的面积更大，大 【分析】（1）图1中窗户能射进阳光的部分的面积为3个半圆的面积，表示为：，再将代入即可求解； （2）图2中窗户能射进阳光的部分的面积为4个半圆的面积，表示为：，再用作差法进行比较计算即可得出答案． 【详解】（1）解：图1中窗户能射进阳光的部分的面积为： ， 当，时，代入可得： ， 所以图1中窗户能射进阳光的部分的面积为：5.5； （2）解：由（1）得：图1中窗户能射进阳光的部分的面积为：， 图2中窗户能射进阳光的部分的面积为：， ， ， ， 图2中窗户能射进阳光的部分的面积更大，大． 【点睛】本题考查了列代数式进行计算，根据题意，准确列出代数式是解题的关键． 【考点题型十五】整式加减中的无关型问题 【典例15】已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的加减，属于基础的代数计算题，难度不大．解题的关键是熟知整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则即可求解； （2）把化为，根据值与x的取值无关得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴． 【变式15-1】已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含x项和项，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据整式的减法运算法则求解即可． （2）令x项和项的系数为零列出方程求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）可知 ∵的结果不含x项和项， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，数量掌握运算法则是解题关键． 【变式15-2】已知多项式与多项式． (1)当，时，计算的值； (2)如果A与的差中不含和y，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确解答的前提． （1）把，代入和，再计算的值； （2）求出，再令含有、的项的系数为0即可． 【详解】（1）解：把，代入和，得 和， ； （2）解： ， 与的差中不含和的项， ，且， ，， ． 【变式15-3】已知，． (1)先化简，且当时，求的值； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)，的值为； (2)． 【分析】（）先求出，再将代入求值即可； （）由题意可知，然后求解即可； 本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则，并能准确计算是解题的关键． 【详解】（1） ， 当时， 原式； （2）∵， ∵的值与无关， ∴， ∴． 【考点题型十六】日历中的规律 【典例16】图1，图2是某月的日历． (1)如图1，小明用带阴影的长方形围住9个数字． ①若设长方形围住的左上角的第一个数为x，则长方形围住的右下角的第9个数为________（用含x的式子表示）；此时这9个数的和为________（用含x的式子表示）； ②若设长方形围住的正中间的数为a，请你试猜想围住的9个数之和与其正中间的数有什么关系，并说明理由； (2)若围住的数字由长方形中9个数字变成如图2所示的带阴影的数字，试判断是否还满足②中的结论，并说明理由． 【答案】(1)①；；②围住的9个数之和是其正中间的数的9倍，理由见解析 (2)满足，理由见解析 【分析】（1）①根据右边的数字总比左边的数字大1，下面的数字比上面的数字大7进行表示即可，将9个数字相加合并同类项即可解答；②根据正中间的数为a，分别表示出其余8个数，再求和，即可求解； （2）设中间一行的中间数为m， 分别表示出其余数字，进行求和即可解答． 【详解】（1）①设长方形围住的左上角的第一个数为x， 则第一行的三个数字分别表示为：，第二行的三个数字分别表示为：，第三行的三个数字分别表示为：， 九个数的和为：， 故答案为：；；       ②围住的9个数之和是其正中间的数的9倍； 理由：因为长方形围住的正中间的数为a，则上面一行数为，中间一行数为，下面一行数为，围住的9个数之和为，所以围住的9个数之和是其正中间的数的9倍； （2）满足； 理由：设中间一行的中间数为m，则上面一行数为，中间一行数为，下面一行数为，则阴影的9个数之和是． 【点睛】本题主要考查了列代数式，难度不大，弄清日历横行相邻数相差1，竖列相邻两数相差7，发现这个规律是解题的关键． 【变式16-1】在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果，那么的值为（   ） A．22 B．25 C．29 D．30 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，列代数式．根据日历上的数据排列可以得到，而，利用这些关系即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， ∴， ∴． 故选：C． 【变式16-2】在日历上，某些数据满足一定的规律，如图是2024年1月份的日历，任选其中所含4个数字的方框部分，设方框右上角的数字为m，则下列说法正确的是（    ） A．方框左上角的数字为 B．方框左下角的数字为 C．方框右下角的数字为 D．方框中4个数字相加，和是 【答案】D 【分析】此题考查了列代数式和整式的加减运算，弄清日历结构是解答本题的关键．根据右上角的数字为a，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，由此可作判断． 【详解】解：A、左上角的数字为，故不正确； B、左下角的数字为，故不正确； C、右下角的数字为，故不正确； D、方框中4个位置的数相加，正确． 故选：D． 【变式16-3】在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 【考点题型十七】数字中的规律 【典例17】按一定规律排列的单项式：第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3开始算起的奇数，即3，5，7，9，…… 单项式中a的指数是从0开始算起的偶数，即0，2，4，6，…… b的指数不变， ∴第个单项式是： ∴第8个单项式是： 故选：A． 【变式17-1】探索规律：观察下面的一列单项式：，，，，，…，根据其中的规律得出的第10个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题中给出的式子可得出第n项的系数可以表示为，指数表示为n，从而得到第n项表示为，将10代入求解即可． 【详解】解：观察式子：，，，，，…， 得出第n项的系数可以表示为，指数表示为n，即第n项表示为， 第10个单项式是， 故选：A． 【变式17-2】按一定规律排列的单项式：，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵， ∴系数的规律为，指数的规律为n， ∴第n个单项式为：， 当时，单项式为， 故答案为：． 【变式17-3】观察下列单项式：，，，，，…，根据这个规律，第10个式子应为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化，所以按这个规律即可写出第10个式子，需要注意观察数字的变化规律． 【详解】解：系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化， 第10个式子应为， 故答案为：． 【考点题型十八】图形中的规律 【典例18】如图是一组有规律的图案．第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，第个图案中有个六边形，…，按此规律，第个图案中六边形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，用代数式表示图形的规律，能正确找到图形的规律是解答本题的关键． 分别找出每个图形中六边形的个数，得到规律，即可得解． 【详解】解：第个图案中有个六边形； 第个图案中有个六边形； 第个图案中有个六边形； ， 所以第个图案中有个六边形； 所以第个图案中六边形的个数为：， 故选：C． 【变式18-1】如图，下列图案是由长度相同的火柴按一定规律拼搭而成的，其中，第①个图案需要9根火柴，第②个图案需要18根火柴，第③个图案需要30根火柴，…，按此规律，第⑧个图案需要的火柴数量为（    ）    A．108 B．135 C．150 D．165 【答案】A 【分析】通过观察时，需要火柴的根数为：；时，需要火柴的根数为：；时，需要火柴的根数为：，按规律求解即可． 【详解】解：时，需要火柴的根数为：， 时，需要火柴的根数为：， 时，需要火柴的根数为：， …… 依此类推，当时，需要火柴的根数为：， 故选：A． 【点睛】本题是一道规律探究题，仔细观察，根据所给图形找出图形的变化规律是解答本题的关键． 【变式18-2】在《综合与实践：平面图形的镶嵌》课堂上，某学习小组模仿蜜蜂蜂巢设计出下列图案，其中第1个图案由7个正六边形镶嵌而成，第2个图案由12个正六边形镶嵌而成，第3个图案由17个正六边形镶嵌而成，，按此规律，第6个图案中正六边形个数是（    ） A．26 B．27 C．32 D．37 【答案】C 【分析】本题考查图形变化规律，根据前几个图案中正六边形的个数归纳总结第n个图案中正六边形个数为，即可求解． 【详解】解：由题意得，第1个图案由7个正六边形镶嵌而成，即， 第2个图案由12个正六边形镶嵌而成，即， 第3个图案由17个正六边形镶嵌而成，即， ⋯， 第n个图案中正六边形个数为， ∴第6个图案中正六边形个数是， 故选：C． 【变式18-3】下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个，第②个图形中一共有8个，第③个图形中一共有14个，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的个数为（　　） A．54 B．61 C．71 D．77 【答案】C 【详解】分析：根据图形的特点，从中找出规律，得出第n个图形中的个数为，然后将nn=9代入即可得出答案． 详解：第①个图形中的个数为第②个图形中的个数为第③个图形中的个数为则第n个图形中的个数为，当n=9时，，故选C． 点睛：本题主要考查的是规律的发现与整理，属于中等难度题型．根据已知条件得出一般性的规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$