清单02 整式的乘除（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单02整式的乘除（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【清单02】幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【清单03】积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【清单04】幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【清单05】科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【清单06】单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【清单07】单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【清单08】多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【清单09】平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 【清单10】完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 【清单11】单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【清单12】多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【清单13】因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【清单14】公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【清单15】提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【清单16】公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【清单17】十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) 【考点题型一】同底数幂的乘法运算 【典例1】计算（　　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若，，则的值为（     ） A．28 B．14 C．11 D．18 【变式1-2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，则 ． 【变式1-4】已知，，则 ． 【变式1-5】已知，则 ． 【变式1-6】若，则的值为 ． 【考点题型二】幂的乘方与积的乘方 【典例2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D．3 【变式2-2】 ． 【考点题型三】同底数幂的除法运算 【典例3-1】计算的结果是（    ） A．m B．m2 C．m3 D．m5 【典例3-2】已 知， 求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【考点题型四】科学计数法-表示较小的数 【典例4】在百度中搜索习大大新年讲话“幸福都是奋斗出来的”，一共搜到1050000个相关信息，对于1050000这个数，用科学记数法表示，下列表示正确的是（） A． B． C． D． 【变式4-1】某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 【变式4-2】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 【变式4-3】火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【考点题型五】整式的乘法 【典例5】计算：． 【变式5-1】38．计算 (1) (2) 【变式5-2】计算： (1)； (2)． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【考点题型六】整式的乘法的实际应用 【典例6】有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． (1)①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【变式6-1】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 【变式6-2】乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 【变式6-3】随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【考点题型七】平方差及几何意义 【典例7】下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知，且，则 ． 【变式7-4】如果，那么 ． 【典例8】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【变式8-1】[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 【变式8-2】如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 【变式8-3】探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． (1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (2)已知，，求的值； (3)计算的值． 【考点题型八】完全平方及几何意义 【典例9-1】是完全平方式，则m的值是（  ） A．6 B． C． D． 【典例9-2】已知，，则的值是（   ） A．9 B．16 C．17 D．19 【变式9-1】若，，求的值是（    ） A．8 B． C． D．12 【变式9-2】已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 【典例10】如图①是长为a，宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图②所示的大正方形，中间是一个小正方形(阴影部分)．    (1)请你用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积： 方法一：__________________；方法二：__________________． (2)根据（1）中小正方形面积的两种不同的表示方法，下列等式中：①；②，能够验证成立的是________(填序号)． (3)应用(2)中验证成立的等式，解决问题：已知，，求的值． 【变式10-1】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值； 【变式10-2】阅读理解并解答： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考： 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以的最大值是． 尝试应用： （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； 拓展提高： （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【变式10-3】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)直接写出图2中阴影部分的正方形的边长______； (2)观察图2，请写出下列三个代数式之间的等量关系______； (3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，试求的值； (4)如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【考点题型九】整式的混合运算 【典例11】化简： (1)； (2)． 【变式11-1】计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式11-2】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式11-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型十】整式的化简求值 【典例12】化简求值，其中， 【变式12-1】先化简，再求值： ，其中． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中 【变式12-3】先化简，再求值：，其中． 【考点题型十一】公因式 【典例13】将多项式进行因式分解，公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】三个多项式：，，的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】与的公因式是 ． 【变式13-3】多项式与的公因式是 ． 【考点题型十二】因式分解 【典例14】分解因式： (1) (2)． 【变式14-1】因式分解： (1) (2) 【变式14-2】分解因式： (1)； (2)； (3) 【变式14-3】分解因式： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式14-4】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02整式的乘除（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【清单02】幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【清单03】积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【清单04】幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【清单05】科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【清单06】单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【清单07】单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【清单08】多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【清单09】平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 【清单10】完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 【清单11】单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 【清单12】多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【清单13】因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【清单14】公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【清单15】提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【清单16】公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【清单17】十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) 【考点题型一】同底数幂的乘法运算 【典例1】计算（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，把看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-1】若，，则的值为（     ） A．28 B．14 C．11 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，熟记同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则化简计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式1-2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握运算法则是解答本题关键．根据幂的乘方运算法则求解． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1-3】已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，将变形为：，从而得出，再求出x的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：4． 【变式1-4】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 【变式1-5】已知，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式1-6】若，则的值为 ． 【答案】108 【分析】本题考查同底数幂的逆运算，根据同底数幂的逆运算进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：108． 【考点题型二】幂的乘方与积的乘方 【典例2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是积的乘方运算，直接利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式2-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解题的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用同底数幂相乘化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式2-2】 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【考点题型三】同底数幂的除法运算 【典例3-1】计算的结果是（    ） A．m B．m2 C．m3 D．m5 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此解答即可. 【详解】解：， 故选：A 【典例3-2】已 知， 求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的除法运算，利用幂的乘方的逆用，同底数幂的除法运算法则，以及整体思想，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 【考点题型四】科学计数法-表示较小的数 【典例4】在百度中搜索习大大新年讲话“幸福都是奋斗出来的”，一共搜到1050000个相关信息，对于1050000这个数，用科学记数法表示，下列表示正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，是正数；当原数的绝对值＜1时，是负数． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【变式4-1】某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 【答案】C 【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7 ∴n=-7 故选：C 【变式4-2】地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积是太阳体积的倍数约是(　　) A．7.1×10-6 B．7.1×10-7 C．1.4×106 D．1.4×107 【答案】B 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7． 故选：B 【点睛】本题考查整式的除法． 【变式4-3】火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【答案】8 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键． 【考点题型五】整式的乘法 【典例5】计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键．先进行积的乘方，幂的乘方运算，同底数幂乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式5-1】38．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了整式的乘法运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （1）首先计算积的乘方、幂的乘方，然后计算同底数幂乘法，求出算式的值是多少即可； （2）首先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】题目主要考查整式的乘法运算及积的乘方运算，整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）先计算多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，然后合并同类项即可； （2）先计算单项式乘以单项式及积的乘方运算，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握各自的运算法则是解本题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）直接利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可； （3）直接利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ； 【考点题型六】整式的乘法的实际应用 【典例6】有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． (1)①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． (2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)①，；② (2)①，② 正确，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题，整式加减中的无关型问题；掌握相关运算法则，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）①根据长方形的面积等于长乘以宽，列出代数式；②两个代数式作差判断大小即可； （2）①根据正方形的边长等于周长除以4，列出代数式即可；②用，进行判断即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：，； ， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ② 正确 . 理由如下： ∵ ∴ ∵与的差是4 ∴ 与的差与m无关，小方的发现正确． 【变式6-1】利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】(1) (2)17 (3)54 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题．利用数形结合的思想是解题的关键． （1）将图②中正方形的面积用两种方法表示出来，即得出答案； （2）由多项式乘多项式的运算法则将展开，整理得，即得出答案； （3）结合（1）得出，由多项式乘多项式的运算法则将展开，两者结合即得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 故答案为：． （2）解：， ∴需要用到C型纸片17张． 故答案为：17； （3）解：， 故， ， ， ， ． 【变式6-2】乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)图见详解， (3)5 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法； （1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （3）将化为，由（2）可得，即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为， 方法二：图2的面积可表示为： ， ， 故答案：； ②方法一：图3的面积可表示为， 方法二：图3的面积可表示为： ， ； 故答案：； （2）解：如图， ； 故答案：； （3）解： 由（2）可得：， ， ， ∴． ∴当时， ． 【变式6-3】随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【答案】(1) (2)完成硬化共需要28000元． 【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． （1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）由图得，阴影面积为： ； （2）当时， 阴影面积为：（平方米），（元， 答：完成种植园共需要28000元． 【考点题型七】平方差及几何意义 【典例7】下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据完全平方公式和平方差公式进行分析判断，即可作答． 【详解】A、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； B、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； C、原式，故原式不能用平方差公式进行计算，此选项不符合题意； D、原式，原式能用平方差公式进行计算，此选项符合题意； 故选：D． 【变式7-1】如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，利用正方形的面积公式即可得出结论，本题验证了平方差公式的几何意义． 【详解】第一个图中阴影部分的面积为，第二个图中阴影部分的面积为，由两个图中的阴影部分面积相等得到恒等式， 故选：A． 【变式7-2】的计算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运算法则． 【详解】解：， 故选：B． 【变式7-3】已知，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，将分解为，再整体代入求出答案． 【详解】∵，， ∴， 解得． 故答案为：4． 【变式7-4】如果，那么 ． 【答案】2005 【分析】该题主要考查了平方差公式和整式代入求值，解题的关键是将变形． 将变形为，代入计算即可； 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【典例8】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【答案】(1)；； (2)①，② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①先变形，再求解即可； （3）利用平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 拼成图2是长为，宽为的长方形，因此阴影部分的面积为， 所揭示的乘法公式为：， 故答案为： ，，； （2）①由， 得． ② ． 【变式8-1】[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 【答案】探究： [应用]（1）4 （2） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． [探究]根据阴影部分的面积相等，得到； [应用]（1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：[探究]：由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为， 图（2）中的阴影部分面积为， 通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等， 可以得到乘法公式， 故答案为：；． [应用] （1） ． （2） ． 【变式8-2】如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形，设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为． (1)请直接用含和的代数式表示________，________；写出利用图形的面积关系所得到的公式___________（用式子表达）； (2)应用公式计算：； (3)应用公式计算：． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握平方差公式． （1）结合对应图形面积公式即可得解； （2）逆用平方差公式即可求解； （3）运用平方差公式，将转变为即可求解． 【详解】（1）解：依题得：，， ， 利用图形的面积关系所得到的公式为． 故答案为：；；． （2）解：由（1）得：， 原式， ， ， ． （3）解：根据（1）中所得关系式可得， 原式， ， ， ． 【变式8-3】探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形． (1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (2)已知，，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题时关键． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）利用（1）中的公式计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 因此可以得到乘法公式； 故答案为：． （2），， ， ； （3） ． 【考点题型八】完全平方及几何意义 【典例9-1】是完全平方式，则m的值是（  ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴是完全平方式， ∴， ∴， 故选：D． 【典例9-2】已知，，则的值是（   ） A．9 B．16 C．17 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：． 利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 【变式9-1】若，，求的值是（    ） A．8 B． C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，由完全平方公式得，代值计算，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 解得：， 故选：D． 【变式9-2】已知，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了完全平方公式，本题关键是把变形为．先变形为，把看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【典例10】如图①是长为a，宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图②所示的大正方形，中间是一个小正方形(阴影部分)．    (1)请你用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积： 方法一：__________________；方法二：__________________． (2)根据（1）中小正方形面积的两种不同的表示方法，下列等式中：①；②，能够验证成立的是________(填序号)． (3)应用(2)中验证成立的等式，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)② (3) 【分析】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形． （1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为，四个小长方形的面积为，中间阴影部分的面积为；方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为，所以其面积为； （2）由（1）中表示的两种方法相等即可求解； （3）根据（2）的关系式代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：． 方法二：； （2）由（1）得， ∴． 能够验证成立的是②； （3）由（2）得， ∵，， ∴， ∴ ∴． 【变式10-1】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； (2)观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值； 【答案】(1) ， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和； （2）根据两种方法所表示的面积相等可解答； （3）①利用完全平方公式的变形求解即可； ②设，，则，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：方法：大正方形的面积为； 方法：大正方形的面积为， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知； 故答案为：； （3）， ， ， 又， ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 【变式10-2】阅读理解并解答： 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考： 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以当时，的值最大，最大值是． 所以的最大值是． 尝试应用： （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值； （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由； 拓展提高： （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当时，有最小值．此时，两段铁丝的长度分别为， 【分析】本题主要考查了完全平方公式、求代数式的值和配方法的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式和配方法的应用． （1）利用配方法把代数式写成一个非正数或非负数与一个正数的和，然后判断有无最大值或最小值即可； （2）通过求与的差，利用配方法判断它们的差的正负，从而判断，的大小； （3）设截的两段铁丝的长，求出它们做成的正方形的面积和，利用配方法判断面积和有无最大值或最小值． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， 即． 则的最大值为， 此时； （2）． 理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即 则 （3）有最小值． 设面积之和为，其中一段铁丝长，则另一段铁丝长． 由题意，得， ∴ ； ∵， ∴， 即当时，有最小值． 此时，两段铁丝的长度分别为，. 【变式10-3】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)直接写出图2中阴影部分的正方形的边长______； (2)观察图2，请写出下列三个代数式之间的等量关系______； (3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，试求的值； (4)如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)． 【分析】（1）利用线段关系得出正方形的边长，从而求出周长， （2）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式， （3）根据（2）的结论：即可解答； （4）用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题． 本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质，利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解． 【详解】（1）解：阴影部分的正方形边长为， 故答案为：； （2）解：大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积， 故可表示为：， 大正方形边长为， 故面积也可以表达为：， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可知：， 已知，， ∴， ∴； 故的值为； （4）解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，解得， 由题意：， ∴． 【考点题型九】整式的混合运算 【典例11】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式． （1）先用平方差公式，单项式乘多项式计算中括号里的运算，合同后在计算整式的除法； （2）先用完全平方公式，多项式乘多项式进行计算，再合并同类项． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式11-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查单项式乘多项式，多项式除单项式的运算，合并同类项，完全平方公式，平方差公式及单项式的乘法，本题主要考查熟练运用公式及运算规则是解题的关键． （1）先将用完全平方公式展开，再去括号，最后合并同类项即可． （2）先去括号，再注意到可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可． （3）先根据单项式乘多项式的法则计算并整理，再根据多项式除单项式的法则计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式11-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)405． 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算积的乘方，再算除法，即可解答； （2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （3）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答； （4）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【变式11-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握整式除法、完全平方公式、平方差公式以及整式的运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可； （3）利用平方差公式及单项式乘多项式运算法则去掉括号，再合并即可； （4）利用完全平方公式及多项式乘多项式运算法则去掉括号，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【考点题型十】整式的化简求值 【典例12】化简求值，其中， 【答案】， 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 【变式12-1】先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及平方差公式，完全平方公式及多项式除以单项式的运算，先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后再进行多项式除以单项式的运算即可化简，再代求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，根据多项式乘多项式，平方差公式展开后合并同类项，再代入求值即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 【变式12-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先利用单项式乘多项式计算法则，平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项，最后代值求解即可得到答案． 【详解】解：原式= = 当时，原式=． 【考点题型十一】公因式 【典例13】将多项式进行因式分解，公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键． 根据公因式的定义：多项式中，各项都含有一个公共的因式 ，因式叫做这个多项式各项的公因式进行解答即可． 【详解】解：多项式， 公因式是． 故选：A． 【变式13-1】三个多项式：，，的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴最大公因式是． 故选D． 【点睛】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键． 【变式13-2】与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式； 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数6，相同因式的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：∵和的最大公约数是6， ∴与的公因式是， 故答案为：． 【变式13-3】多项式与的公因式是 ． 【答案】 【分析】把每个多项式先因式分解，然后选出公有的因式即可． 【详解】解：， ， 多项式与的公因式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，公因式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． 【考点题型十二】因式分解 【典例14】分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解成为解题的关键 （1）先提取公因式3，然后再运用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，然后运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式14-1】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解， （1）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式14-2】分解因式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解和公式法因式分解的综合问题，对于（1），先提出公因式，再根据平方差公式分解； 对于（2），先提出3，再根据完全平方公式分解即可； 对于（3），先提出公因式，再根据平方差公式分解，最后根据完全平方公式分解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【变式14-3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）用提公因式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【变式14-4】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先利用提公因式法进行分解，再运用完全平方公式进行分解即可解答； （2）利用平方差公式进行分解，即可解答． 【详解】（1）原式 （2）原式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$