青岛版九年级上学期期中必刷易错60题（20个考点专练）（期中专项训练）九年级数学上学期青岛版

2024-2025学年青岛版九年级上学期期中知识大串讲【期中押题】 必刷易错60题（20个考点专练） 目录 考点1：垂径定理的应用 2 考点2：圆周角定理 3 考点3：圆内接四边形的性质 4 考点4：直线与圆的位置关系 5 考点5：切线的判定与性质 6 考点6：切线长定理 7 考点7：三角形的内切圆与内心 8 考点8：正多边形和圆 9 考点9：弧长的计算 11 考点10：扇形面积的计算 12 考点11：几何变换综合题 13 考点12：相似多边形的性质 15 考点13：相似三角形的判定与性质 16 考点14：相似三角形的应用 17 考点15：位似变换 18 考点16：特殊角的三角函数值 19 考点17：解直角三角形 19 考点18：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 20 考点19：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 22 考点20：解直角三角形的应用-方向角问题 23 考点1：垂径定理的应用 1．（2023秋•香洲区校级期中）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•浙江期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为　　 A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 3．（2022秋•青田县期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 考点2：圆周角定理 4．（2023秋•志丹县期中）如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．（2021秋•常州期中）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于　　 A．8 B．12 C．16 D．18 6．（2022秋•海淀区校级期中）如图，点、、在上，，连接并延长，交于点，连接，．若，则的大小为　　． 考点3：圆内接四边形的性质 7．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•西城区校级期中）如图，点，，，在上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•东湖区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 考点4：直线与圆的位置关系 10．（2023秋•江阴市期中）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数为　　 A．2个 B．1个 C．0个 D．无法判断 11．（2022秋•西山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当　　时，与坐标轴相切． 12．（2023秋•五华区校级期中）如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，若，求线段． 考点5：切线的判定与性质 13．（2023秋•盐都区期中）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么　　秒钟后与直线相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 14．（2021秋•齐河县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心的坐标为，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为　　 A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 15．（2023秋•苏州期中）如图，直线经过上的一点，是△的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 考点6：切线长定理 16．（2023秋•源汇区校级期中）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 17．（2023秋•滨城区期中）如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 　　． 18．（2018秋•台江区校级期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 　　． 考点7：三角形的内切圆与内心 19．（2023秋•南宫市期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•五莲县期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2022秋•高新区期中）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 　　步． 考点8：正多边形和圆 22．（2023秋•海门市期中）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是　　 A． B． C． D． 23．（2023秋•沙河口区期中）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点． （1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　　度； （2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （3）连接，则和有什么特殊位置关系？请说明理由． （4）求切线长的值． 24．（2022秋•武昌区校级期中）如图，正方形内接于，是的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：． 考点9：弧长的计算 25．（2023秋•商丘期中）如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若时，弧的长为　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•江干区校级期中）如图，以为圆心，半径为4的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为圆上一动点，于． （1）的长度为 　　； （2）当点在圆的运动过程中，线段的长度的最小值为 　　． 27．（2023秋•兰陵县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点、、、为圆心，按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 　　． 考点10：扇形面积的计算 28．（2023秋•梁园区校级期中）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是　　 A． B． C． D． 29．（2021秋•北碚区校级期中）如图，在矩形中，，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作半圆与相交于点，则图中阴影部分的面积是 　　． 30．（2023秋•湖州期中）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数； （3）若，求图中阴影部分的面积． 考点11：几何变换综合题 31．（2021秋•成都期中）如图，在中，，以为边在外作等腰，满足，，是边的中点，连结，作射线交折线段于点，若，，则的长为 　　． 32．（2021秋•松山区期中）如图1，点为正方形的中心． （1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连接，，，请依题意补全图1； （2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系； （3）如图2，点是中点，是等腰直角三角形，是的中点，，，，绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值． 33．（2023秋•开封期中）如图①，在中，，，点，分别在，上，且． 问题发现： （1）将图①中的绕点逆时针旋转到图②的位置时，连接，，请判断和的关系，并说明理由； 拓展探究： （2）将图①中的绕点旋转，当点恰在边上时，如图③，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （3） 若，将图①中的绕点旋转，使得，请直接写出的长． 考点12：相似多边形的性质 34．（2023秋•莲池区校级期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为　　 A． B． C． D． 35．（2022秋•桥西区期中）如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边、应满足的条件是　　 A． B． C． D． 36．（2023秋•凌海市期中）如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度． 考点13：相似三角形的判定与性质 37．（2022秋•石景山区校级期中）如图，在平行四边形中，为的中点，延长至点，使，连接交于点，则等于　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•江干区校级期中）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，点在边上，连结分别与，交于，两点．设，若，则　　，　　．（结果用含的代数式表示） 39．（2022秋•徐汇区期中）如图，在四边形中，对角线与交于点，平分，且． （1）求证：； （2）． 考点14：相似三角形的应用 40．（2023秋•萧县期中）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 41．（2023秋•锦江区校级期中）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度，测量方法如下：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到瞭望塔的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中，，三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度约为，测得，，请你帮助他求出该瞭望塔的高度． 42．（2023秋•中原区校级期中）综合实践活动 在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼的高度，他们在教学楼前的处竖立一个长度为4米的直杆，测得等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛、直杆顶点和高楼顶点三点共线．此时测量人与直杆的距离米，眼睛高度米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼的高度． 考点15：位似变换 43．（2020秋•金台区校级期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在原点，边在轴上，在轴上，如果△与关于点位似，且△的面积等于面积的，则点的坐标为　　 A． B．或 C． D．或 44．（2023秋•武侯区校级期中）已知正方形的边长为4，点是该正方形边上一点，以为位似中心，作正方形正方形，相似比为，则点与点的最大距离为 　　；连接，若△的周长为，则△的面积为 　　． 45．（2021秋•秦安县校级期中）如图，是内任意一点，、、分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若，则与的位似比为　 　． 考点16：特殊角的三角函数值 46．（2023秋•天宁区校级期中）的值是　　 A． B． C．1 D． 47．（2023秋•鄞州区期中）计算：． 48．（2023秋•荣成市期中）计算： （1）； （2）． 考点17：解直角三角形 49．（2023秋•静安区校级期中）在中，，如果，，那么的长是　　 A． B． C． D． 50．（2023秋•岳阳楼区校级期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则　　． 51．（2023秋•岱岳区期中）已知：如图，在中，，． 求：（1）； （2）的余弦值． 考点18：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 52．（2023秋•桥西区校级期中）如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为　　． A．3 B．5 C．2 D．4 53．（2022秋•文登区期中）如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为　　 A．0.5米 B．0.6米 C．0.8米 D．米 54．（2023秋•沙坪坝区校级期中）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点，，，，，在同一平面内． （1）求的距离；（结果保留根号） （2）一辆货车沿斜坡从处行驶到处，货车的高为3米，，若米，求此时货车顶端到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据： 考点19：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 55．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，测得米，则树的高（单位：米）为　　 A． B． C． D． 56．（2023秋•零陵区期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．点，，在同一直线上，已知，两处相距460米，则飞船从到处的平均速度为多少米秒．（结果精确到1米；参考数据：，　　 A．336 B．335 C．334 D．333 57．（2023秋•邵阳期中）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度．如图，在点处测得楼顶的仰角为，他正对城楼前进29米到达处，再登上2米高的楼台处，并测得此时楼顶的仰角为． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在，之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗． 请你求出，之间的长度．（结果保留整数） （参考数据：，， 考点20：解直角三角形的应用-方向角问题 58．（2023秋•莱西市期中）周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动．已知小红家在小宇家的北偏西方向上，．两人到达劳动基地处后，发现小宇家在劳动基地的南偏西方向上，小红家在劳动基地的南偏西方向上．求小宇家到劳动基地的距离．（结果保留1位小数；参考数据：，，， 59．（2023秋•开州区校级期中）今年夏季我市持续高温引发多地山火．如图，某地山火火口宽10米，受风力等因素的影响，火源头正沿东北方向的蔓延，火源头正沿北偏东方向的蔓延，山火救援队在前方赶造一条阻燃带，已知，与间的距离为40米． （1）求阻燃带的长度（精确到个位）； （2）若救援队赶造阻燃带的速度为每小时12米，火源头的蔓延速度是每小时15米，火源头的蔓延速度是每小时20米，受热浪影响，火源头到来前10分钟无法工作．通过计算说明，救援队能否在最先到达阻燃带的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带？（参考数据：， 60．（2023春•北碚区期中）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为20海里． （1）求观测站，之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达处的同时，一艘补给船从点出发，以每小时20海里的速度前往处，请问补给船能否在83分钟之内到达处？（参考数据： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版九年级上学期期中知识大串讲【期中押题】 必刷易错60题（20个考点专练） 目录 考点1：垂径定理的应用 2 考点2：圆周角定理 4 考点3：圆内接四边形的性质 7 考点4：直线与圆的位置关系 9 考点5：切线的判定与性质 13 考点6：切线长定理 16 考点7：三角形的内切圆与内心 18 考点8：正多边形和圆 21 考点9：弧长的计算 24 考点10：扇形面积的计算 28 考点11：几何变换综合题 32 考点12：相似多边形的性质 39 考点13：相似三角形的判定与性质 41 考点14：相似三角形的应用 44 考点15：位似变换 47 考点16：特殊角的三角函数值 49 考点17：解直角三角形 50 考点18：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 53 考点19：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 56 考点20：解直角三角形的应用-方向角问题 58 考点1：垂径定理的应用 1．（2023秋•香洲区校级期中）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子半径为　　 A． B． C． D． 解：由题意得：，， ， 设该桨轮船的轮子半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即该桨轮船的轮子半径为， 故选：． 2．（2023秋•浙江期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为　　 A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 解：过点作半径于，如图， ， 在中，， ， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为． 故选：． 3．（2022秋•青田县期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 解：（1）如图，作于点，交圆于点， 则米，米， 设圆的半径为米， 在中，， ， 解得， 该圆的半径为5米； （2）如图，当米时，， 在中，， ， 米， （米， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 考点2：圆周角定理 4．（2023秋•志丹县期中）如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：如图，连接， 是劣弧的中点， 即弧弧， ， ， ， ， ， 即． 故选：． 5．（2021秋•常州期中）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于　　 A．8 B．12 C．16 D．18 解：连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为20， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于0，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：． 6．（2022秋•海淀区校级期中）如图，点、、在上，，连接并延长，交于点，连接，．若，则的大小为　40　． 解：， ， ， ， 是直径， ， ， 故答案为：40． 考点3：圆内接四边形的性质 7．（2023秋•嵊州市期中）如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，， ． 故选：． 8．（2023秋•西城区校级期中）如图，点，，，在上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 故选：． 9．（2023秋•东湖区校级期中）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． （1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为点． 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 考点4：直线与圆的位置关系 10．（2023秋•江阴市期中）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数为　　 A．2个 B．1个 C．0个 D．无法判断 解：， ， 直线与相交， 直线和有两个公共点， 故选：． 11．（2022秋•西山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当　2或6或10　时，与坐标轴相切． 解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，，时，，时，， ，，， ，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是2， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或6或10秒时，与坐标轴相切， 故答案为：2或6或10． 12．（2023秋•五华区校级期中）如图，是的直径，与交于，弦平分，，垂足为． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，若，求线段． 解：（1）直线与相切，理由如下： 连接． 平分， ， ， ， ， ， ，即， ，即， 是半径， 是的切线； （2）过作于， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ． 考点5：切线的判定与性质 13．（2023秋•盐都区期中）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么　　秒钟后与直线相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 解：①由题意可知与相切于点， ， 半径为， ， ，， ， ， 秒． ②当圆心在直线的右侧时，， 则需要运动的时间为7秒． 综上所述，与直线相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：． 14．（2021秋•齐河县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心的坐标为，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为　　 A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 解：设平移的距离为， 半径为2的的圆心在轴上，且与轴相切， 圆心的坐标为或， 或， 解得或， 平移的距离为1或5， 故选：． 15．（2023秋•苏州期中）如图，直线经过上的一点，是△的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 解：（1）证明：如图，连接， 为的直径． ， ，， ， 即， 为的切线； （2）如第（1）题图，连接、， ， ，， ． △△， ，即， ， 点为的中点， ， ， 为中点， ， 为的直径． ， ， ， ， ， ， ， ． 考点6：切线长定理 16．（2023秋•源汇区校级期中）如图，为外一点，、分别切于点、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为　　 A．8 B．12 C．16 D．20 解：、分别切于点、，切于点， ，，， ， 即的周长为16． 故选：． 17．（2023秋•滨城区期中）如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边分别交，于点，，若，则的面积为 　　． 解：设与正方形的边切于，与切于， 连接，， 则四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． 18．（2018秋•台江区校级期中）如图，四边形是的外切四边形，且，，则四边形的周长为 　44　． 解：四边形是的外切四边形， ， 四边形的周长， 故答案为：44． 考点7：三角形的内切圆与内心 19．（2023秋•南宫市期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：连接、，如图， 是的内心， 平分，平分， ，， ， 点是的外心， ． 故选：． 20．（2023秋•五莲县期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：是的内心， 平分， ，故①正确； 如图，连接，， 是的内心， ，， ， ， ，故②正确； ， ， ， 点为的中点， 一定在上， ，故③正确； 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，故④正确． 一定正确的①②③④，共4个． 故选：． 21．（2022秋•高新区期中）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 　6　步． 解：根据勾股定理得：斜边， 内切圆直径（步， 故答案为：6． 考点8：正多边形和圆 22．（2023秋•海门市期中）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是　　 A． B． C． D． 解：如图所示，作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，， 正六边形的边长是4， ，为等边三角形，， ， 点的坐标为： 故选：． 23．（2023秋•沙河口区期中）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点． （1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 　30　度； （2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （3）连接，则和有什么特殊位置关系？请说明理由． （4）求切线长的值． 解：（1）， 故答案为：30； （2）如图，连接，，由（1）得：劣弧所对应的圆心角， 劣弧的长， ， 劣弧的长度更长． （3）垂直．理由如下： 连接，，， ， 是的直径， ，即， 和相互垂直． （4）如图，是的切线， ， 由（1）知，， ， （或， ， 在△中，． ． 24．（2022秋•武昌区校级期中）如图，正方形内接于，是的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：． （1）证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． （2）证明：连接，过点作交的延长线于． 四边形是正方形， ，， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ， 即． 考点9：弧长的计算 25．（2023秋•商丘期中）如图，在中，，，斜边是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，连接与交于点，若时，弧的长为　　 A． B． C． D． 解：如图1，当时， ，， ， ， 弧的长． 故选：． 26．（2023秋•江干区校级期中）如图，以为圆心，半径为4的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为圆上一动点，于． （1）的长度为 　　； （2）当点在圆的运动过程中，线段的长度的最小值为 　　． 解：（1）如图，连接， ，， ， ， ， ， 的长度为； 故答案为：； （2）过作于，连接，如图所示： ， ， ， ， 在中， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值， 故答案为：． 27．（2023秋•兰陵县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点、、、为圆心，按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 　　． 解：点坐标为，且为点绕点顺时针旋转所得， 点坐标为， 又为点绕点顺时针旋转所得， 点坐标为， 又为点绕点顺时针旋转所得， 点坐标为， 又为点绕点顺时针旋转所得， 点坐标为， 由此可得出规律：为绕、、、四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、，每次增加1． ， 故为以点为圆心，半径为2022的顺时针旋转所得， 故点坐标为． 故答案为：． 考点10：扇形面积的计算 28．（2023秋•梁园区校级期中）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是　　 A． B． C． D． 解：该圆锥的底面圆周长为， 侧面展开图弧长， 侧面积为，， ， 解得：， ， ， 解得：， 这个扇形的圆心角的度数是， 故选：． 29．（2021秋•北碚区校级期中）如图，在矩形中，，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作半圆与相交于点，则图中阴影部分的面积是 　　． 解：连接，． 在中，，，， ， 是直径， ， ，， ， ， ， 故答案为：， 30．（2023秋•湖州期中）如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数； （3）若，求图中阴影部分的面积． （1）证明：， ， ； （2）解：连接，，作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 扇形的面积，的面积， 阴影的面积扇形的面积的面积． 考点11：几何变换综合题 31．（2021秋•成都期中）如图，在中，，以为边在外作等腰，满足，，是边的中点，连结，作射线交折线段于点，若，，则的长为 　或　． 解：分在和上两种情况： ①当在上，分别延长，，并交于点，如图， ，是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， 设， ，， ，， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，时，， 是原方程的解； ②当在上时，连接，如图， 设， ，是边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述：的长为：或． 故答案为：或． 32．（2021秋•松山区期中）如图1，点为正方形的中心． （1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连接，，，请依题意补全图1； （2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系； （3）如图2，点是中点，是等腰直角三角形，是的中点，，，，绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值． 解：（1）如图1所示： （2）如图2，延长交于点，交于点， 为正方形的中心 ，， 绕点逆时针旋转90角得到， ， ， 在和中， ， ． ， ， ， ． （3）的最大值为． 33．（2023秋•开封期中）如图①，在中，，，点，分别在，上，且． 问题发现： （1）将图①中的绕点逆时针旋转到图②的位置时，连接，，请判断和的关系，并说明理由； 拓展探究： （2）将图①中的绕点旋转，当点恰在边上时，如图③，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （3）若，将图①中的绕点旋转，使得，请直接写出的长． 解：（1），；理由如下： 如图1，延长交于点，设与相交于点， 由旋转得：． 在与中， ， ， ，， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，连接， 由旋转得：． 在与中， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ，， ， ； （3）在中，，， ， 若，则需要分两种情况： ①线段在线段的右侧，如图3，设与交于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②线段在线段的左侧，如图4，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ； 综上，若时，的长为或． 考点12：相似多边形的性质 34．（2023秋•莲池区校级期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为　　 A． B． C． D． 解：设， 四边形是矩形， ，， 由折叠得：，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 矩形与原矩形相似， ， ， 解得：或， 经检验：或都是原方程的根， ， ， ， 故选：． 35．（2022秋•桥西区期中）如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边、应满足的条件是　　 A． B． C． D． 解：由题意得： 对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为， 小长方形与原长方形相似， ， ， ， ， 故选：． 36．（2023秋•凌海市期中）如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度． 解：边框的内外边缘所成的矩形相似， ， 解得， 答：纵向木质边框的宽度为． 考点13：相似三角形的判定与性质 37．（2022秋•石景山区校级期中）如图，在平行四边形中，为的中点，延长至点，使，连接交于点，则等于　　 A． B． C． D． 解：四边形是平行四边形， ，， 为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 38．（2023秋•江干区校级期中）如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，点在边上，连结分别与，交于，两点．设，若，则　　，　　．（结果用含的代数式表示） 解：由题意，设， 又， ． ． ， ， ， ， 又， ， ． 连接，， 由翻折可得，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ，， ， 平分， ， ， ． ． ，，， ， ， 设， 则，， ， ， ． 即：， 解得或（舍去）． ． ． 故答案为：；． 39．（2022秋•徐汇区期中）如图，在四边形中，对角线与交于点，平分，且． （1）求证：； （2）． 证明：（1）， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）由（1）中相似可得，， ， ， ，， ， ， ． 考点14：相似三角形的应用 40．（2023秋•萧县期中）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 解：如图：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得： ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， 蜡烛火焰的高度是， 故选：． 41．（2023秋•锦江区校级期中）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度，测量方法如下：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到瞭望塔的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中，，三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度约为，测得，，请你帮助他求出该瞭望塔的高度． 解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， 该瞭望塔的高度为． 42．（2023秋•中原区校级期中）综合实践活动 在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼的高度，他们在教学楼前的处竖立一个长度为4米的直杆，测得等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛、直杆顶点和高楼顶点三点共线．此时测量人与直杆的距离米，眼睛高度米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼的高度． 解：如图： 过点作于点，交于点，则四边形，四边形都是矩形． 米，米，米， 米， （米， ， ， ， ， ， （米． 答：这栋教学楼的高度是17.5米． 考点15：位似变换 43．（2020秋•金台区校级期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在原点，边在轴上，在轴上，如果△与关于点位似，且△的面积等于面积的，则点的坐标为　　 A． B．或 C． D．或 解：△与关于位似且， △与的相似比为， ， 点的坐标为，，，，即或， 故选：． 44．（2023秋•武侯区校级期中）已知正方形的边长为4，点是该正方形边上一点，以为位似中心，作正方形正方形，相似比为，则点与点的最大距离为 　　；连接，若△的周长为，则△的面积为 　　． 解：如图，当位似中心与点重合时，点最远，此时与点的距离也是最大的． 正方形的边长为4，点是该正方形边上一点，以为位似中心，作正方形正方形，相似比为， 正方形的边长为2． ． 故答案为：． 正方形的边长为4，点是该正方形边上一点，以为位似中心，作正方形正方形，相似比为， 正方形的边长为2． ． 设，则， △的周长为， ． ． ． ． △的面积为． 故答案为：． 45．（2021秋•秦安县校级期中）如图，是内任意一点，、、分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若，则与的位似比为　　． 解：是内任意一点，、、分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为． ， ， 则与的位似比为：． 故答案为：． 考点16：特殊角的三角函数值 46．（2023秋•天宁区校级期中）的值是　　 A． B． C．1 D． 解：的值是， 故选：． 47．（2023秋•鄞州区期中）计算：． 解： ． 48．（2023秋•荣成市期中）计算： （1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 考点17：解直角三角形 49．（2023秋•静安区校级期中）在中，，如果，，那么的长是　　 A． B． C． D． 解：如图： 在中，． 故选：． 50．（2023秋•岳阳楼区校级期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则　　． 解：过点作，交的延长线于点， ， 设，， ，互为半余角， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 51．（2023秋•岱岳区期中）已知：如图，在中，，． 求：（1）； （2）的余弦值． 解：（1）过点作，垂足为， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ； （2）在中，，， ， ， 的余弦值为． 考点18：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 52．（2023秋•桥西区校级期中）如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为　　． A．3 B．5 C．2 D．4 解：滑坡的坡度是， 在中，，， ， 故选：． 53．（2022秋•文登区期中）如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为　　 A．0.5米 B．0.6米 C．0.8米 D．米 解：在中，， ， 同理可得：， 米， ， 解得：， 故选：． 54．（2023秋•沙坪坝区校级期中）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点，，，，，在同一平面内． （1）求的距离；（结果保留根号） （2）一辆货车沿斜坡从处行驶到处，货车的高为3米，，若米，求此时货车顶端到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据： 解：（1）过点作，交的延长线于点， 在中，米，， （米， （米， 在中，， （米， 米， 的距离为米； （2）延长交于点， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 在中，米， （米， （米， 米， 米， 在中，， 米， （米， 此时货车顶端到水平线的距离约为5.4米． 考点19：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 55．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，测得米，则树的高（单位：米）为　　 A． B． C． D． 解：由题意得： ，， 在中，米， （米， 故选：． 56．（2023秋•零陵区期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．点，，在同一直线上，已知，两处相距460米，则飞船从到处的平均速度为多少米秒．（结果精确到1米；参考数据：，　　 A．336 B．335 C．334 D．333 解：由题意得：， 在中，米，， （米， （米， 米， 米， 在中，， 米， 米， 飞船从到处的平均速度（米秒）， 故选：． 57．（2023秋•邵阳期中）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度．如图，在点处测得楼顶的仰角为，他正对城楼前进29米到达处，再登上2米高的楼台处，并测得此时楼顶的仰角为． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在，之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗． 请你求出，之间的长度．（结果保留整数） （参考数据：，， 解：（1）如图：过点作，垂足为，交于点， 由题意得：米，，， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 城门大楼的高度约为18米； （2）在中，，米， （米， ，之间的长度约为49米． 考点20：解直角三角形的应用-方向角问题 58．（2023秋•莱西市期中）周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动．已知小红家在小宇家的北偏西方向上，．两人到达劳动基地处后，发现小宇家在劳动基地的南偏西方向上，小红家在劳动基地的南偏西方向上．求小宇家到劳动基地的距离．（结果保留1位小数；参考数据：，，， 解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ， 在中，， ， 小宇家到劳动基地的距离约为． 59．（2023秋•开州区校级期中）今年夏季我市持续高温引发多地山火．如图，某地山火火口宽10米，受风力等因素的影响，火源头正沿东北方向的蔓延，火源头正沿北偏东方向的蔓延，山火救援队在前方赶造一条阻燃带，已知，与间的距离为40米． （1）求阻燃带的长度（精确到个位）； （2）若救援队赶造阻燃带的速度为每小时12米，火源头的蔓延速度是每小时15米，火源头的蔓延速度是每小时20米，受热浪影响，火源头到来前10分钟无法工作．通过计算说明，救援队能否在最先到达阻燃带的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带？（参考数据：， 解：（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，， ， 米， 在中，（米， 在中，（米， 米， （米， 阻燃带的长度约为39米； （2）救援队能在最先到达阻燃带的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带， 理由：在中，米，， （米， 火源头的蔓延时间（分， 在中，米，， （米， 火源头的蔓延时间（分， 救援队赶造阻燃带的速度为每小时12米， 救援队赶造阻燃带的时间（分， ， 救援队能在最先到达阻燃带的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带． 60．（2023春•北碚区期中）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为20海里． （1）求观测站，之间的距离（结果保留根号）； （2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达处的同时，一艘补给船从点出发，以每小时20海里的速度前往处，请问补给船能否在83分钟之内到达处？（参考数据： 解：（1）过点作于点， ， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， 海里， 观测站，之间的距离为海里； （2）补给船能在83分钟之内到达处， 理由：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， 在中，， 海里， 在中，， 海里， 补给船从到处的航行时间（分钟）分钟， 补给船能在83分钟之内到达处 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$