精品解析：湖南省邵阳市海谊中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题

海谊中学高二年级期中考试数学试卷 满分：100分； 考试时间：90分钟； 一、单选题（4分x10 =40分） 1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A B. C. D. 2. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. (-1，0)，3 B. (1，0)，3 C. D. 3. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. －2 B. 2 C. 3 D. 2或－2 5. 设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，的夹角为60°，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ） A 420只 B. 520只 C. 只 D. 只 9. 已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（ ） A. 数列一定是等比数列 B. 数列一定是等差数列 C. 数列一定是等差数列 D. 数列可能是常数数列 10. 已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（4分x 5= 20分） 11. 已知，，且，则_________ 12. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为且，则______． 13. 已知647 和 895的等差中项为，则________________. 14. 已知和的等比中项为B，则B = ________________. 15. 数列和都是等差数列，且，，则的前100项和为：________. 三、解答题（10分x 4= 40分） 16. 已知两圆，． （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列． （1）求数列通项公式； （2）设，数列前项和为，求． 19. 已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海谊中学高二年级期中考试数学试卷 满分：100分； 考试时间：90分钟； 一、单选题（4分x10 =40分） 1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 故选：D 2. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. (-1，0)，3 B. (1，0)，3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可. 【详解】根据圆的标准方程可得， 的圆心坐标为，半径为， 故选：D. 3. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆的方程，由圆心到直线距离等于半径，得到答案. 【详解】设圆的方程为， 故， 故圆的方程为. 故选：D 4. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. －2 B. 2 C. 3 D. 2或－2 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，即可求出公比. 【详解】设数列的公比为，因为为等比数列， 所以，所以， 所以，解得． 故选：B． 5. 设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据的方程为，则渐近线为；若渐近线方程为，则双曲线方程为（）即可得答案. 【详解】解：若的方程为，则，，渐近线方程为， 即为，充分性成立； 若渐近线方程为，则双曲线方程为（）， “的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 6. 已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和方程求解. 【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为， 所以解得，所以此抛物线的方程为. 故选：B. 7. 已知向量，的夹角为60°，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积公式可得，再根据，即可求出结果． 【详解】∵向量，的夹角为60°，且，，∴， ∴. 故选：D． 8. 已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ） A. 420只 B. 520只 C. 只 D. 只 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列，结合等比数列通项公式计算． 【详解】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，…… 按照这个规律每天蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列 则第天的蜜蜂数 第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数 故选：B． 9. 已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（ ） A. 数列一定是等比数列 B. 数列一定是等差数列 C. 数列一定是等差数列 D. 数列可能是常数数列 【答案】B 【解析】 【分析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差数列，来进行判定；选项B，数列，可以取，即可判断；选项C，可设，表示出再进行判断；选项D，可采用换元，令，求得的关系即可判断. 【详解】数列是等差数列，设公差为， 选项A，数列是等差数列，那么为常数， 又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确； 选项B，当时，数列不存在，故该选项错误； 选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数）， 此时，，则为常数， 故数列一定是等差数列，所以该选项正确； 选项D，，则， 当时，，此时数列可能是常数数列， 故该选项正确. 故选：B. 10. 已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量概念求解即可. 【详解】因为空间向量，， 所以 则在上的投影向量坐标是： 故选：B 二、填空题（4分x 5= 20分） 11. 已知，，且，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列方程求. 【详解】因为，，， 所以，解得：. 故答案为：. 12. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以，解得，所以. 故答案为：. 13. 已知647 和 895的等差中项为，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差中项的定义运算可得. 【详解】因为647 和 895的等差中项为A， 则，所以. 故答案为：. 14. 已知和的等比中项为B，则B = ________________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的定义结合二倍角的正弦公式可得. 【详解】由和的等比中项为B， 则， 故. 故答案为：. 15. 数列和都是等差数列，且，，则的前100项和为：________. 【答案】11000 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】因为数列和都是等差数列， 则与均为常数， 故为常数， 所以数列是等差数列， 又因为，，，则， 所以数列的前100项和为 ， 故答案为：11000. 三、解答题（10分x 4= 40分） 16. 已知两圆，． （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】（1） （2）两圆的公共弦所在直线的方程为，两圆的公共弦的长为 【解析】 【分析】（1）两圆相外切，则两圆圆心距为两圆半径之和，据此可得答案； （2）将两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，后可得弦长所在直线与圆圆心距离，后可得弦长. 【小问1详解】 因为圆的标准方程为， 所以两圆的圆心分别为，，半径分别为，. 当两圆外切时，圆心距半径之和，则，结合， 解得； 【小问2详解】 当时，圆的一般方程为 两圆一般方程相减得：， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 圆圆心到的距离为 故两圆公共弦的长为． 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长； （2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法 平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， ，则，解得，故； [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法 如图，连结．因为底面，且底面，所以． 又因为，，所以平面． 又平面，所以． 从而． 因为，所以． 所以，于是． 所以．所以． [方法三]：几何法+三角形面积法 如图，联结交于点N． 由[方法二]知． 在矩形中，有，所以，即． 令，因为M为的中点，则，，． 由，得，解得，所以． （2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法 设平面的法向量为，则，， 由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ， 所以，， 因此，二面角的正弦值为. [方法二]：构造长方体法+等体积法 如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作垂线，垂足记为G． 联结，由三垂线定理可知， 故为二面角的平面角． 易证四边形是边长为的正方形，联结，． ， 由等积法解得． 在中，，由勾股定理求得． 所以，，即二面角的正弦值为． 【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得. （2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证. 18. 已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差， （2）由错位相减法即可求和. 【小问1详解】 设数列的公差为，则 解得 ∴． 【小问2详解】 依题意，知数列的通项公式为． 由（1）知， ∴， ，① ①×3得，② ①-②得 ， ∴． 19. 已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据的关系求椭圆方程； (2)利用韦达定理结合的坐标表示，即可求定点. 【小问1详解】 由已知得：，，又， 解得：，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 证明：当直线的斜率不存在时，不满足的条件． 当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立，消去整理得：， ，得① 设，，则，② 由，得，又，， 所以③ 由②③得， 化简得，解得（舍），满足① 此时的方程为，故直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$