期中真题必刷压轴60题（9个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

期中真题必刷压轴60题（9个考点专练） 一．一元二次方程的应用（共4小题） 1．（2023秋•海州区校级期中）已知：的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么的周长是多少？ 2．（2023秋•绥棱县校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低元． （1）填表：（不需化简） 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元 80 　　 40 销售量（件 200 　　 　　 （2）如果批发商希望通过销售这批恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 3．（2023秋•平川区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4．（2023秋•青白江区校级期中）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形的周长是，求面积． 二．二次函数综合题（共46小题） 5．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，抛物线为常数）交轴于点，与轴的一个交点在2和3之间，顶点为． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②若点、点，、点在该函数图象上，则； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有　　 A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③ 6．（2023秋•济宁校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线，2，3，4，的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为　　． 7．（2023秋•文峰区校级期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值． 8．（2023秋•江汉区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，在的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图（1），已知点为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； （3）和分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大4个单位长度，分别过，作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为． ①如图（2），当时，请直接写出的值； ②请直接写出关于的函数关系式． 9．（2023秋•青山区期中）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图1，点为直线下方抛物线上一点，于点，求的最大值； （3）如图2，、是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 10．（2023秋•金乡县期中）如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值； （3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2023秋•博山区校级期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 12．（2023秋•右玉县期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点． （1）求二次函数解析式； （2）连接，，，试判断的形状，并说明理由； （3）点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标； （4）在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2023秋•鼓楼区校级期中）抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值； （3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线（异于直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 14．（2023秋•集美区校级期中）综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为 ，正方形的面积为，探究与的关系． 初步感知 （1）如图1，当点由点运动到点时， ①当时，　　； ②关于的函数解析式为 　　． （2）当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等． ①　　； ②当时，求正方形的面积． 15．（2023秋•江夏区校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线的解析式； （2）如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； （3）点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 16．（2023秋•龙沙区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．点是直线下方抛物线上的一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）连接、，是否存在点，使得线段把的面积分成两部分，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 17．（2023秋•东莞市校级期中）已知二次函数，图象记为． （1）如图，时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象，记为．设上的一点的坐标为． ①当满足 　　时，随的增大而增大； ②当时，过点作轴垂线，分别交、于点、．若将的面积分成两部分，求点坐标； （3）若点，，，在二次函数图象上，直接写出的取值范围． 18．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移2个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得，，，为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 19．（2023秋•西湖区校级期中）已知抛物线过点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，，点在线段上（与点，不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点，不重合），使得，求的取值范围． 20．（2023秋•阳新县期中）如图，抛物线过，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，且位于第一象限，当的面积为3时，求出点的坐标； （3）过作于，连接，点是抛物线上一点，当时，请直接写出此时点的坐标． 21．（2023秋•姑苏区校级期中）如图1，已知抛物线的顶点的纵坐标是4，与轴交于、两点，经过点的直线经过点，点为直线上的一个动点． （1）　　；　　； （2）连接，当线段与直线的夹角为时，求点的坐标； （3）如图2，连接，线段上是否存在点，连接，当时，线段被轴截得线段比为的两部分？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2023秋•双流区校级期中）如图1，经过原点的抛物线、为常数，与轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值． 23．（2023秋•南岗区校级期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线下方的抛物线上一点，其横坐标为，连接，，设的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在对称轴左侧时，过点作轴于点，与交于点，点为上一点，点为延长线上一点，连接，，，，若，，，求的长． 24．（2023秋•中阳县期中）综合与探究 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为，的面积为． ①求的面积的最大值． ②在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 25．（2023秋•滨海新区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （Ⅰ）求该抛物线的解析式及点的坐标； （Ⅱ）直线与该抛物线交于点、两点，求线段的长度； （Ⅲ）直线与该抛物线的交点为，（点在点的左侧），点关于轴的对称点为点，点的坐标为．若四边形的面积为，求点到的距离的值． 26．（2023秋•福州期中）已知二次函数图象的顶点在原点，且点在此二次函数的图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，直线与二次函数的图象交于、两点（点在直线下方），若，求的值； （3）如图2，直线与二次函数的图象交于、两点，过点的直线交二次函数的图象于点，求证：直线过定点． 27．（2023秋•天门校级期中）已知抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点坐标． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点在第二象限的抛物线上，且，求点的坐标． （3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，、在新抛物线上且在的左侧，过、的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点，过作轴交于，交抛物线于，求证：是中点． 28．（2023秋•思明区校级期中）已知抛物线的顶点为，与轴交于，两点在左边）． （1）若该抛物线的顶点坐标为，求其解析式； （2）如图（1），已知抛物线的顶点在直线上滑动，且与直线交于另一点，若的面积为，求抛物线顶点的坐标； （3）如图（2），在（1）的条件下，，为轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于，两点，求与满足的数量关系． 29．（2023秋•高新区校级期中）已知抛物线交轴于，两点在右边），，交轴于点，，连接； （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线上的一点，作于点，且，求点坐标； （3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交轴于点，过作直线，，当时，求恒过的定点坐标． 30．（2023秋•凉州区校级期中）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）写出点的坐标并求直线的表达式； （3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标． 31．（2023秋•赣州期中）二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的阶变换． （1）已知：二次函数，它的顶点关于原点的对称点为　　，这个抛物线的2阶变换的表达式为　　． （2）若二次函数的6阶变换的关系式为． ①二次函数的函数表达式为　　． ②若二次函数的顶点为点，与轴相交的两个交点中左侧交点为点，在抛物线上是否存在点，使点与直线的距离最短，若存在，求出此时点的坐标． （3）抛物线的顶点为点，与轴交于点，该抛物线的阶变换的顶点为点．若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值． 32．（2023秋•大武口区校级期中）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2023秋•铁岭县期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求这个抛物线的函数表达式． （2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2023秋•武昌区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）如图1，． ①直接写出、、三点的坐标． ②若抛物线上有一点，，求点的坐标． （2）如图2，过点作一直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，求证：是一个定值． 35．（2023秋•恩施市校级期中）如图1，抛物线交轴于点、，（点在点的左侧），交轴于点，其对称轴为直线，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为直线上一动点，连接、，当时，求点的坐标； （3）为抛物线上一动点，过点作直线轴（如图2所示），交抛物线于点，求点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值． 36．（2023春•中山市期中）已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． （1）求此二次函数解析式； （2）连接、、，求证：是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2023秋•梁山县期中）已知抛物线经过、、三点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2023秋•花溪区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，二次函数的图象经过、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图象探索：当时的取值范围． 39．（2023秋•回民区期中）如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为、，抛物线经过点，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若点是所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点作平行于轴交于点．设点的横坐标为，的长度为，求与之间的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求取大值时，点的坐标． 40．（2023秋•惠城区校级期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标和四边形面积的最大值； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 41．（2023秋•荔湾区校级期中）已知抛物线，过点． （1）求，之间的关系； （2）若，抛物线在的最大值为，求的值； （3）将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线顶点记为点，若，求的取值范围． 42．（2023秋•丰泽区校级期中）阅读下面材料，回答问题 材料一：若三个非零实数，，满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数，，构成“和谐三数组”； 材料二：一元二次方程两根，有如下关系：，． （1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由． （2）若直线与轴交于点，，与抛物线交于，，，两点． ①求证：，，三点的横坐标，，构成“和谐三组数”； ②若，，求点，与原点的距离的取值范围． 43．（2023秋•西青区校级期中）如图，关于的二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且过点． （1）求的值及该二次函数图象的对称轴； （2）连接，，，求的面积； （3）在上方抛物线上有一动点，请直接写出的面积取到最大值时，点的坐标． 44．（2023秋•莎车县期中）已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 45．（2023秋•宣恩县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与交于点，． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的一点（点在上方），作平行于轴交于点，当点在何位置时，四边形的面积最大？求出最大面积； （3）若点在抛物线上，点在其对称轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点的坐标． 46．（2023秋•齐齐哈尔期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，，点是直线下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）试探究：过点作的平行线1，交线段于点，在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 47．（2023秋•金安区校级期中）定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“”函数． （1）写出的“”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“”函数与正比例函数的图象只有两个交点，求的值； （3）如图，二次函数与互为“”函数，、分别是“”函数与图象的顶点，是“”函数与轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点的坐标． 48．（2023秋•宁阳县期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积； （3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（2023秋•连山区校级期中）如图，抛物线与轴分别交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点，作垂直轴于点，连接，且，，将沿轴向右平移个单位，当点落在抛物线上时，求的值； （3）在（2）的条件下，当点第一次落在抛物线上记为点，点是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（2023秋•钟祥市期中）如图，在矩形中，，，点为边上一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系． （1）求的长及经过，，三点抛物线的解析式； （2）一动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当为何值时，； （3）若点在（1）中抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 三．圆周角定理（共1小题） 51．（2023秋•海曙区校级期中）如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于，过作，交于，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的度数； （3）若，，求的长． 四．三角形的外接圆与外心（共1小题） 52．（2023秋•江阴市校级期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论：①是外心； ②是的外心；③；④设，则；⑤若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是　　 A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 五．切线的判定与性质（共3小题） 53．（2023秋•海门市期中）如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点 （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 54．（2023秋•苏州期中）如图，直线经过上的一点，是△的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 55．（2023秋•廉江市校级期中）如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． （1）求证：与相切； （2）若，．求的半径和的长度． 六．正多边形和圆（共1小题） 56．（2023秋•东台市期中）如图，在边长为的正八边形中，已知，，，分别是边，，，上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为　　 A． B． C． D． 七．扇形面积的计算（共1小题） 57．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形，有，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 八．旋转的性质（共2小题） 58．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点，在直线的异侧，直线于点．直线于点，连接，． （1）延长交于点（如图． ①求证：； ②求证：； （2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由． 59．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）当，时，求的大小； （3）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，，之间关系的等式，并加以证明． 九．作图-旋转变换（共1小题） 60．（2023秋•蒙阴县期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线对称的△；（要求与，与，与相对应） （2）作出绕点顺时针方向旋转后得到的△； （3）在（2）的条件下直接写出点旋转到所经过的路径的长．（结果保留 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（9个考点专练） 一．一元二次方程的应用（共4小题） 1．（2023秋•海州区校级期中）已知：的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么的周长是多少？ 【分析】（1）让根的判别式为0即可求得，进而求得方程的根即为菱形的边长； （2）求得的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长． 【解答】解：（1）四边形是菱形， ， △，即， 整理得：， 解得， 当时，原方程为， 解得：， 故当时，四边形是菱形，菱形的边长是0.5； （2）把代入原方程得，， 把代入原方程得，解得，， ． 【点评】综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键． 2．（2023秋•绥棱县校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低元． （1）填表：（不需化简） 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元 80 　70　 40 销售量（件 200 　　 　　 （2）如果批发商希望通过销售这批恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【分析】（1）根据题意直接用含的代数式表示即可； （2）利用“获利9000元”，即销售额进价利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍． 【解答】解：（1） 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元 80 40 销售量（件 200 （2）根据题意，得 整理得， 即， 解得 当时， 答：第二个月的单价应是70元． 【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润售价进价． 3．（2023秋•平川区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】设每千克水果应涨价元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可． 【解答】解：设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额每千克盈利日销售量． 4．（2023秋•青白江区校级期中）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形的周长是，求面积． 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【解答】（1）解：当，，时 勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得 △ 即△ 勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即 ，即 ， ． 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题． 二．二次函数综合题（共46小题） 5．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，抛物线为常数）交轴于点，与轴的一个交点在2和3之间，顶点为． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②若点、点，、点在该函数图象上，则； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有　　 A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③ 【分析】①把代入中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确； ②根据二次函数的性质进行判断； ③根据平移的公式求出平移后的解析式便可； ④因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，求出便是其他三边和的最小值． 【解答】解：①把代入中，得， △， 此方程两个相等的实数根，则抛物线与直线有且只有一个交点，故①结论正确； ②抛物线的对称轴为， 点关于的对称点为， ， 当时，随增大而增大， 又，点、点，、点在该函数图象上， ，故②结论错误； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：，即，故③结论正确； ④当时，抛物线的解析式为：， ，，，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图， 则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定， 此时，四边形周长最小，为：，故④结论正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：． 【点评】本题是二次函数的应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．（2023秋•济宁校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线，2，3，4，的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为　55，　． 【分析】根据，的坐标求直线的解析式为，根据横坐标的变化规律可知，的横坐标为55，代入直线的解析式中，可求纵坐标． 【解答】解：设直线的解析式为，， ，， ， 解得， 直线的解析式为， 对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，， 观察发现：每个数都是前两个数的和， 抛物线的顶点坐标的横坐标为55， 抛物线的顶点坐标为． 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力． 7．（2023秋•文峰区校级期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值． 【分析】（1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； （2）分、、，分别求解即可； （3）分两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：，则点坐标为，顶点的坐标为， ； （2）①当时，点纵坐标与中点的纵坐标相同， 故此时点坐标为； ②当时， 可得：点的坐标为或； ③当时， 可得：过该中点与垂直的直线方程为：， 当时，，即点的坐标为； 故：点的坐标为或或或； （3）图象翻折后的点对应点的坐标为， ①在如图所示的位置时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时直线和抛物线的交点有3个，； ②当直线与轴上方的部分沿轴向下翻折后的图象相切时， 此时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：，△，解得：． 即：或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，难点在于（3），关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大． 8．（2023秋•江汉区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，在的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图（1），已知点为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； （3）和分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大4个单位长度，分别过，作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为． ①如图（2），当时，请直接写出的值； ②请直接写出关于的函数关系式． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设交轴于，可证得，得出，可得，运用待定系数法可得直线解析式为，联立方程组即可求得点的坐标； （3）①当时，，，，，即可求得答案； ②由题意得：，，由，可得，，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图象，即可求得答案． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）点为第二象限抛物线上一点，设交轴于，如图 在中，令得； 解得或， ，， ，， ， ， ， ， 又， ，即， ， ， ， ， 由，得直线解析式为， 联立，解得（舍去）或， ，； （3）①当时，，，，， ； ②根据，可得抛物线的顶点为， 当时，， 由题意得：，， ， 当时，， 解得：，， 当时，如图2， ，此时抛物线在矩形内只有一个点，不合题意； 当时，如图3， ； 当时，如图4， ； 当时，如图5， ； 当时，如图6， ； 综上所述，关于的函数关系式为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的性质等知识．利用了数形结合与方程思想．属于中考数学压轴题． 9．（2023秋•青山区期中）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图1，点为直线下方抛物线上一点，于点，求的最大值； （3）如图2，、是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【分析】（1）令和，解方程可求解； （2）过点作轴于，交于点，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，则，再证得，可得，得出，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）设点，，，，直线，直线，直线，将点、的坐标代入可得：，，联立直线与抛物线的解析式可得出，，同理：，，进而可得：，，根据直线与直线的交点始终在直线上，可得，，即直线，故直线恒过定点． 【解答】（1）解：对于，令，则， ，， 点，点， 令，则， 点； （2）解：过点作轴于，交于点，如图 设直线的解析式为， 将点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 当时，最大为； （3）证明：如图2，设点，，，， 直线，直线，直线， 将点代入直线的解析式得：， 将点代入直线的解析式得：， 联立直线与抛物线的解析式得：， 整理得：， 则，， 同理：，， ，， ，， ， ， 联立直线与直线的解析式得：， 解得：， 直线与直线的交点始终在直线上， ， 化简得：， ， 直线， 不论为何值，均有时，， 即：直线恒过定点． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的极值，相似三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 10．（2023秋•金乡县期中）如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值； （3）若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，作点关于轴的对称点，连接，，，即的最小值为，利用两点间距离公式即可求得答案； （3）分三种情况：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可． 【解答】解：（1）抛物线经过，两点， ， 解得：， 该抛物线的表达式为； （2）， 顶点， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， 作点关于轴的对称点，连接，，如图， 则， ，即的最小值为， ， 的最小值为； （3）对称轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 由（2）得：，， 点是抛物线上一动点， 设， 抛物线的对称轴为直线， 设， 当、为对角线时，、的中点重合， ， 解得：， ； 当、为对角线时，、的中点重合， ， 解得：， ； 当、为对角线时，、的中点重合， ， 解得：， ； 综上所述，对称轴上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键． 11．（2023秋•博山区校级期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【分析】（1）根据题意，设抛物线的解析式为，待定系数法求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求； （3）分三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图象和性质，建立不等式求得的取值范围即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）作点关于轴的对称点，连接交于点，则点即为所求； 把代入，得： ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， 令，得， 点的坐标为； （3）， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，得： ， 解得：， ， 当时， 由，得： ， ， 解得：， ； 由，得： ， ， ； 当时，都成立； 当时，得： ， 解得：， 都成立； 综上所述，的取值范围为． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 12．（2023秋•右玉县期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点． （1）求二次函数解析式； （2）连接，，，试判断的形状，并说明理由； （3）点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标； （4）在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）二次函数表达式为：，则，解得：，即可求解； （2）由，故为直角三角形； （3），即可求解； （4）分、、三种情况分别求解即可． 【解答】解：（1）二次函数表达式为：， 则，解得：， 函数的表达式为：； （2）由（1）知，点， ，，， ， 故为直角三角形； （3）过点作轴交于点， 将点、的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 设点，则点， ， 当时，最大值为，此时点，； （4），， ①当时，如图， 为等腰直角三角形，， 点； ②当时， 同理可得：点，； ③当时， 同理可得：点； 故点的坐标为：或，或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 13．（2023秋•鼓楼区校级期中）抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值； （3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线（异于直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【分析】（1）分别令、为0，解方程即可求得点、、的坐标； （2）分两种情况：①若△△ 时，可得，由平行线的判定可得，即轴，点与的纵坐标相同，建立方程求解即可．②若△△ 时，过 作轴于点．可证得△，，即，解方程即可求得答案； （3）由题意知抛物线，联立方程求解即可得．根据中点坐标公式可得．设，，可得直线的解析式为．将点的坐标代入可得．同理，直线的解析式为；直线的解析式为．联立方程组求解可得，．代入，整理得，比较系数可得，，故点在定直线上． 【解答】解：（1）当时，， 解得：，， 当时，， ，，． （2）是直线与抛物线的交点， ． ①如图，若△△时． 则， ． ， ． 解得：（舍去）或． ②如图，若△△时． 过 作轴于点． ， ，， ， 又， △， ， ，， ，． ，， ， ， 解得：（舍去）或， 综上，符合题意的的值为2或； （3）点在一条定直线上． 由题意知抛物线， 直线的解析式为， ． 是的中点， ． 设，，直线的解析式为． 则， 解得：， 直线的解析式为． 直线经过点， ． 同理，直线的解析式为；直线的解析式为． 联立，得， 直线与相交于点， ． 解得：， ， ，． 设点在直线上，则， 整理得，， 比较系数，得， ，． 当，时，无论，为何值时，等式恒成立． 点在定直线上． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题． 14．（2023秋•集美区校级期中）综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为 ，正方形的面积为，探究与的关系． 初步感知 （1）如图1，当点由点运动到点时， ①当时，　3　； ②关于的函数解析式为 　　． （2）当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． 延伸探究 （3）若存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等． ①　　； ②当时，求正方形的面积． 【分析】（1）①当时，，运用勾股定理即可求得答案； ②由题意得，运用勾股定理可得； （2）观察图象可得当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得，，即，设，将代入，即可求得，再利用勾股定理即可求得线段的长； （3）①方法一：根据抛物线的对称性可得当时，点与关于直线对称，点与关于直线对称，可得答案；方法二：过点作于点，可证得，得出，可求得，，根据存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等，可得，再证得，可得，列出等式即可； ②方法一：由，，可得，与联立即可求得答案；方法二：证明，得出，建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）①当时，， 又，， ． 故答案为：3； ②当点由点运动到点时，， ，， ． 故答案为：； （2）由图2可得：当点运动到点处时，，当点运动到点处时，， 抛物线的顶点坐标为， ，， ， 设，将代入，得， 解得：， ， ， 在中，， 抛物线的解析式为； （3）①方法一：由（1）（2）可得，图象如图所示： 存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等， ， 点与关于直线对称，点与关于直线对称， ，， ，． 故答案为：4； 方法二：如图，则， ， ， ，即， ，， ，， 存在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：4； ②方法一：由①知：，， ， ， ， ． 方法二：，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 15．（2023秋•江夏区校级期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线的解析式； （2）如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； （3）点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标． 【分析】（1）先求解，，的坐标，再求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）记于轴的交点为，证明为等腰直角三角形，过作轴交于，为等腰直角三角形，则，设，则，再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交轴于，，则，求解直线的解析式为，可得，设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【解答】（1）解：当时，，则， 当时，， 解得，，则，， ， 抛物线对称轴为直线，而点和点关于直线对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 16．（2023秋•龙沙区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．点是直线下方抛物线上的一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）连接、，是否存在点，使得线段把的面积分成两部分，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，则，，利用等腰直角三角形性质可得，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案； （3）延长交轴于点，设，则，分两种情况：当时，当时，分别得出或3，建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）抛物线与直线交于点，， ， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； （2）设，设交于点，如图， 则，， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴，轴， ，， 、均为等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为，； （3）存在点，使得线段把的面积分成两部分． 如图，延长交轴于点，设，则， 当时， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， ， ， 即， 解得：或（舍去）， ，； 当时，同理可得， 即， 解得：或（舍去）， ，； 综上所述，存在点，使得线段把的面积分成两部分，点的坐标为，或，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键． 17．（2023秋•东莞市校级期中）已知二次函数，图象记为． （1）如图，时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象，记为．设上的一点的坐标为． ①当满足 　　时，随的增大而增大； ②当时，过点作轴垂线，分别交、于点、．若将的面积分成两部分，求点坐标； （3）若点，，，在二次函数图象上，直接写出的取值范围． 【分析】（1）把代入即可求得抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）①运用二次函数性质即可解答； ②根据题意可得的解析式为，可得，，，分两种情况：当时，，当时，，分别建立方程求解即可得出答案； （3）由，可得抛物线的顶点坐标为，当时，顶点为最高点，当时，顶点为最低点，列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）当时，． 该二次函数图象的顶点坐标为． （2）①的图象是将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象， 的图象开口向上，对称轴直线为，顶点坐标为， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 故答案为：． ②的解析式为， 设，，则， ， 由，得或， ，，如图， ，， 当时，， ，即， 解得：， ； 当时，， ，即， 解得：， ，； 综上所述，点坐标为或，； （3）， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 的取值范围为或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、通过解方程组求函数图象的交点坐标、一元二次方程的解法、定义新函数问题的求解等知识与方法，第（2）②问运用分类讨论思想是解题关键，本题综合性强，难度较大，属于压轴题． 18．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移2个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得，，，为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【分析】（1）先求出，，，再运用待定系数法求得抛物线的表达式为； （2）先求得，，，利用勾股定理可得，设，过点作轴于，再证得，可求得，，即，进而可得，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）由将该抛物线沿射线方向平移2个单位长度，可得相当于向左平移了个单位，向下平移了1个单位，则新抛物线的对称轴为直线，设点，，点，分三种情况：当是对角线，时，当是对角线，时，当是对角线，时，分别列方程组求解即可． 【解答】解：（1）直线经过，两点， ， ，，， 抛物线经过、两点， ， 解得：， 该抛物线的表达式为； （2）在中，令，得， 解得：， ，， ， ， ， 在中，， 设，过点作轴于，如图， 则，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为，； （3）， 原抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，， 将该抛物线沿射线方向平移2个单位长度，则相当于向左平移了个单位，向下平移了1个单位， 则新抛物线的对称轴为直线， 设点，，点，又，，，， ， 当是对角线时，由中点坐标公式和得： ， 解得：， 即点的坐标为，； 当是对角线时，由中点坐标公式和得： ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 即点的坐标为，； 当是对角线时，由中点坐标公式和得： ， 此方程组无解； 综上所述，点的坐标为，或，． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 19．（2023秋•西湖区校级期中）已知抛物线过点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，，点在线段上（与点，不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点，不重合），使得，求的取值范围． 【分析】（1）运用待定系数法将点、点坐标代入解析式可求解； （2）用待定系数法求得直线的解析式为，可证是等腰直角三角形，设，通过证明，相似三角形的性质得出，则，可证，由面积关系列出方程可求解； （3）通过证明，可得，由待定系数法可求的解析式，联立方程组可求点坐标，由勾股定理可求的长，由二次函数的性质可求解． 【解答】解：（1）抛物线过点和点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线与轴交于点， 当时，， ，则， ， 轴，， 点是的中点， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， 如图1，过点作交的延长线于， 则， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 设，则，， ， ， ， ， ， ，即， ， 即， ， ， 即， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 当面积是面积的3倍时， 即， ， 在中，， ， ， 解得：或（舍去）， ，； （3）， 又， ， ， ， 设交轴于点，过点作轴于点，如图2， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ，， ， ， 设，则， ， 整理得：， 点在线段上（与点，不重合）， ， ， 当时，取得的最大值为， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 20．（2023秋•阳新县期中）如图，抛物线过，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，且位于第一象限，当的面积为3时，求出点的坐标； （3）过作于，连接，点是抛物线上一点，当时，请直接写出此时点的坐标． 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）的面积，解得：，直线的倾斜角为，故直线、所在直线的值为：，则，故点，则直线的表达式为：，同理直线的表达式为：，即可求解； （3）分点在上方、点在下方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式并解得： ，， 故抛物线的表达式为：①； （2）过点作直线交轴于点，过点作于点，过点作直线， 在下方作直线距离直线的长度为， 的面积，解得：， 直线的倾斜角为，故直线、所在直线的值为：， 则，故点， 则直线的表达式为：②， 同理直线的表达式为：③， 联立②①并解得：或3， 联立③①并解得：（舍去； 综上，点的坐标为：或或，； （3），故， ①当点在上方时，如图2（左侧图）， 设抛物线对称轴交轴于点，连接， ，故， 则，而， 故，则， 直线表达式中的值为：3， 故直线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得： 直线的表达式为：④； 联立①④并解得：或4（舍去； ②当点在下方时，如图2（右侧图）， ，而， ，而， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得： 直线的表达式为：⑤， 联立⑤①并解得：或4（舍去． 综上，点的坐标为：或，． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏． 21．（2023秋•姑苏区校级期中）如图1，已知抛物线的顶点的纵坐标是4，与轴交于、两点，经过点的直线经过点，点为直线上的一个动点． （1）　　；　　； （2）连接，当线段与直线的夹角为时，求点的坐标； （3）如图2，连接，线段上是否存在点，连接，当时，线段被轴截得线段比为的两部分？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线的顶点纵坐标可得，即，再求得，利用待定系数法即可求得； （2）当时，利用直角三角形的性质可得点是的中点，即；当时，过点作于，推出，即，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案； （3）设，且，抛物线对称轴交直线于，交轴于点，在轴负半轴上取点，使，连接，过点作，交于，交轴于，由，可求得：，，，利用勾股定理建立方程求解即可得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，联立方程组求解可得，，由线段被轴截得线段比为的两部分，得出或，即或，解方程即可求得答案． 【解答】解：（1）， ， 解得：， ， 令，得， 解得：，， ， 把，代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 故答案为：；； （2）线段与直线的夹角为， 或， 当时，如图1， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ； 当时，如图1，过点作于， ， ， ， ， ， 点为直线上的一个动点， 设， ， 解得：（舍去），， ，； 综上所述，点的坐标为或，； （3）存在点，使得当时，线段被轴截得线段比为的两部分． 理由如下： ， 直线的解析式为， 点是线段上一点， 设，且， 如图2，设抛物线对称轴交直线于，交轴于点，在轴负半轴上取点，使， 连接，过点作，交于，交轴于， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， 在中，， ， ， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， ，，且， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得， 解得：， ，， 线段被轴截得线段比为的两部分， 或， 或， 即或， 或， 点的坐标为，或，． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，动点问题等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． 22．（2023秋•双流区校级期中）如图1，经过原点的抛物线、为常数，与轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值． 【分析】（1）先求出点的坐标，运用待定系数法可求得抛物线的解析式为； （2）存在点，使得．分两种情况：当点在直线的上方时，当点在直线的下方时，分别运用待定系数法求出直线的解析式，再联立方程组求解即可； （3）如图，过点作轴交直线于点，设，则，，，再由点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，可得：轴，，根据相似三角形性质和等高三角形面积比可表达，再利用二次函数的性质可得出结论． 【解答】解：（1）直线经过点， ， ， 把，分别代入， 得：， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）存在点，使得． ， 抛物线的顶点为， 如图1，当点在直线的上方时， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立，得：， 解得：（舍去），， 当时，， ； 当点在直线的下方时，如图1，过点作轴于点，过点作于点，交于点，连接交抛物线于点， 则，， 点是的中点，即，， 是线段的垂直平分线， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 解得：， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 与联立，得， 解得：（舍去），， 当时，， ，； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或，； （3）如图2，过点作轴交直线于点， 设，则的纵坐标为， 直线的解析式为， ，， ， ，点是点关于抛物线对称轴直线的对称点， 轴，， ， ， ， ， 当时，的最大值为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比． 23．（2023秋•南岗区校级期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为直线下方的抛物线上一点，其横坐标为，连接，，设的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在对称轴左侧时，过点作轴于点，与交于点，点为上一点，点为延长线上一点，连接，，，，若，，，求的长． 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点、的坐标，再运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）过点作轴于，交于，过点作于，由题意得表示横坐标，表示纵坐标），可得，，，，再由，即可求得答案； （3）过点、分别作轴、轴的平行线交于点，交轴于，设，，，可证得，推出是等腰直角三角形，再证得，得出，建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）由直线的解析式为， 令， 则， 即， 令， 则，， ， ，在上， ， 解得， ． （2）如图2，过点作轴于，交于，过点作于， 轴， ， ， 轴， 轴， 表示横坐标，表示纵坐标）， ，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ，， ， 即． （3）如图3，过点、分别作轴、轴的平行线交于点，交轴于， 设，，， 则，， ， ， 四边形是矩形， ，， 令， 解得，， ，， ，， 由（1）知， ， ， ， 为锐角， ， ， ， ， ， 且， ，， ， ， ， ． 又， ， ， ， ， 即． 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ，， 直线的解析式为， ， ， ， ， ，，，， ，， ，， ， 整理得：， 解得：或或， 点为直线下方的抛物线上一点，且在对称轴左侧， ， ， ，， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于压轴题． 24．（2023秋•中阳县期中）综合与探究 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为，的面积为． ①求的面积的最大值． ②在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，由题意得，运用二次函数的性质可求得答案； ②由于，不可能为直角，故分两种情况：当时，当时，分别求出点的坐标即可． 【解答】解：（1）抛物线经过，两点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为． （2）①， 抛物线的顶点为，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 由题意得，，其中， ，， ， ， 当时，取得最大值； ②存在，理由如下： ， ，不可能为直角； 当时，则， 轴， ， 解得：， ，； 当时，过点作轴于，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 解得：，， ， ， ， ，； 综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为，或，． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，直角三角形性质，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质等；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题关键． 25．（2023秋•滨海新区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （Ⅰ）求该抛物线的解析式及点的坐标； （Ⅱ）直线与该抛物线交于点、两点，求线段的长度； （Ⅲ）直线与该抛物线的交点为，（点在点的左侧），点关于轴的对称点为点，点的坐标为．若四边形的面积为，求点到的距离的值． 【分析】（Ⅰ）根据抛物线与轴交于，两点，可得抛物线的解析式； （Ⅱ）联立抛物线和一次函数解析式，解得、的坐标，根据两点距离公式求解即可； （Ⅲ）根据轴对称的性质得出，进而判定四边形是平行四边形，再根据四边形的面积为，求得，再根据点的坐标为，，得到，中，运用勾股定理可得，最后根据，即可得到． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式． 令，则， ； （Ⅱ）解： 解得，， 点的坐标为或，， 点的坐标为或，， ； （Ⅲ）抛物线的对称轴为直线，直线与该抛物线的交点为，， 点、关于直线对称， 设，则， 点关于轴的对称点为点， ， 点在直线上， 轴， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设直线与轴交于点， 四边形的面积为， ，即， ， 当时， 解得，， 点的坐标为，， ，，即， 中，， 四边形的面积为， ， ． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、轴对称的性质、全等三角形的判定以及平行四边形的判定与性质的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 26．（2023秋•福州期中）已知二次函数图象的顶点在原点，且点在此二次函数的图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，直线与二次函数的图象交于、两点（点在直线下方），若，求的值； （3）如图2，直线与二次函数的图象交于、两点，过点的直线交二次函数的图象于点，求证：直线过定点． 【分析】（1）利用待定系数法将点代入即可求得答案； （2）联立方程组整理得，利用根与系数关系可得：，，由，可得，作轴交于点，可得：，，利用三角形面积建立方程求解即可； （3）联立方程组可得，进而可得①，，同理可得：②，由①②得：③，设直线的解析式为，可得，即④，⑤，可推出，即直线的解析式为，即可证得结论． 【解答】（1）解：二次函数图象的顶点在原点， 设， 点在此二次函数的图象上， ， ， 二次函数的表达式为：； （2）解：与交于、两点， ， 即：， ，， ， ，（注， ，作轴交于点，如图1， ， ， ， ， ， 解得：或， 或． （3）证明：如图2， 与二次函数的图象交于、两点， ， ， ①，， 过点的直线交二次函数的图象于点， ， ， ②，， ①②得：③， 设直线的解析式为， 联立得：， 即， ④，⑤， 由②得：，代入④⑤，得：， 即⑥，， ⑦， ①⑥，得：，即⑧， ⑦代入⑧，得：， ， 直线的解析式为， 直线一定经过定点． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 27．（2023秋•天门校级期中）已知抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点坐标． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点在第二象限的抛物线上，且，求点的坐标． （3）如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，、在新抛物线上且在的左侧，过、的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点，过作轴交于，交抛物线于，求证：是中点． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）方法一：如图1（a），过点作轴交于点，作于点，过点作轴于点，利用待定系数法求得直线的解析式为，设，，则，，利用和，，可得出答案；方法二：如图1（b），过点作于点，过点作于点，连接交于点，利用和，求得，设，则，，，运用勾股定理建立方程求得，，再求出直线的解析式为，联立方程组求解即可； （3）将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，设，，利用待定系数法求得直线解析式为，直线解析式为，联立方程组求得，，再运用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，分别求出，，，，即可证得结论． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为，将点代入， 得：， 解得：， 抛物线解析式为． （2）方法一：在中，令，得：， 解得：，， ，， 如图1（a），过点作轴交于点，作于点，过点作轴于点， 则，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，， 轴， 点的纵坐标为， ， 解得：， ，， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得：（舍去）或， 当时，， 点的坐标为，． 方法二：过点作于点，过点作于点，连接交于点，如图1（b）， 在中，令，得：， 解得：，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，则，，， ，， ， ， 解得：， ， ，， 设直线的解析式为， ，，， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，得， 解得：，， 点的坐标为，． （3）将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线， 设，， 设直线解析式为， 由，得：， 直线与抛物线有唯一的公共点， △， ， 直线解析式为，即， 同理，设直线解析式为， ， 直线解析式为，即， 联立方程组，得：， 解得：， ，， 设直线解析式为， ，， ， 解得：， 直线解析式为， 轴， ，，，， ，， 是中点． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数性质的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，中点坐标公式，利用参数求出，，的解析式是本题的关键． 28．（2023秋•思明区校级期中）已知抛物线的顶点为，与轴交于，两点在左边）． （1）若该抛物线的顶点坐标为，求其解析式； （2）如图（1），已知抛物线的顶点在直线上滑动，且与直线交于另一点，若的面积为，求抛物线顶点的坐标； （3）如图（2），在（1）的条件下，，为轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于，两点，求与满足的数量关系． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设点、的坐标分别为，、，，则，将抛物线与直线解析式联立并整理得：，可得，设直线与轴的交点为，则，利用三角形面积可得，，，进而可得，通过联立方程组求解即可得出答案； （3）如图2，设，则，，运用待定系数法求得：直线的解析式为，联立方程组可求得，，同理可得：，，运用两点间距离公式可得，即可求得答案． 【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为，二次项系数， ， 该抛物线的解析式为； （2）设点、的坐标分别为，、，， 则，将抛物线与直线解析式联立得：， 整理得：， ，， ， ， ， 设直线与轴的交点为，则， ， ， ， ， ，， 将，代入， 得：， 联立方程组，得， 解得：，（舍去）， ， ，； （3）如图2，设， ，为轴上的两个关于原点对称的动点， ， ， 由（1）知：， 令，则， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 则：， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：（舍去），， ，， 同理可得：，， ， ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，三角形面积，一元二次方程解法，根与系数关系，两点间距离公式，解题关键是熟练运用一元二次方程根与系数关系等相关知识． 29．（2023秋•高新区校级期中）已知抛物线交轴于，两点在右边），，交轴于点，，连接； （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线上的一点，作于点，且，求点坐标； （3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交轴于点，过作直线，，当时，求恒过的定点坐标． 【分析】（1）用待定系数解答便可； （2）分两种情况：点的上方，点在的下方．过点作轴于点，过作轴于，与交于点，证明，设，用的代数式表示点的横纵坐标，再代入二次函数解析式，便可求得的值，进而得点的坐标； （3）过作轴于点，过点作轴于点，先求出点的坐标与新抛物线的解析式，设出、的坐标，得出两坐标的联系，表示出的解析式，再代入定点的坐标进行验证便可得解． 【解答】解：（1）抛物线过，， 可设抛物线的解析式为， 把代入，得， ， 抛物线的解析式是， 即； （2）当点在上方时，过点作轴于点，过作轴于，延长与交于点，如图1， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 把代入中得， ， ，或（舍去）， ，； 当点下方时，如图2，过点作轴于点，过作轴于，延长与交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 把代入中得， ， ，或（舍去）， ； 综上，点的坐标为或，； （3）， 抛物线的顶点为， 将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交轴于点， ， 由题意知，点是新抛物线的顶点， 新抛物线的解析式为， 设，，，， 过作轴于点，过点作轴于点，如图3， 则，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则， ， 直线的解析式为：， 当时， ， 恒过的定点． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，一次函数图象与性质，相似三角形的性质与判定，平移的性质等相关知识点．第三题难度极大，关键是构造相似三角形，找到、两点坐标的联系，运用直线的解析式确定定点坐标．第二题要分两种情况解决，容易漏掉第二种情况的解． 30．（2023秋•凉州区校级期中）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）写出点的坐标并求直线的表达式； （3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标． 【分析】（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解； （2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解； （3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）函数表达式为：， 将点坐标代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）、，则点， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：，解得：， 故直线的表达式为：； （3）设点、点， ①当是平行四边形的一条边时， 当点在的下方时， 点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到， 同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到， 即：，， 解得：，， 即点的坐标为、点的坐标为， 故当点在点上方时，， 同理可得点的坐标为、点的坐标为， ②当是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：，， 解得：，， 故点、的坐标分别为、； 综上，、的坐标分别为或，或或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形的性质等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏． 31．（2023秋•赣州期中）二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的阶变换． （1）已知：二次函数，它的顶点关于原点的对称点为　　，这个抛物线的2阶变换的表达式为　　． （2）若二次函数的6阶变换的关系式为． ①二次函数的函数表达式为　　． ②若二次函数的顶点为点，与轴相交的两个交点中左侧交点为点，在抛物线上是否存在点，使点与直线的距离最短，若存在，求出此时点的坐标． （3）抛物线的顶点为点，与轴交于点，该抛物线的阶变换的顶点为点．若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值． 【分析】（1）原二次函数的顶点为，则顶点关于原点的对称点为，即可求解； （2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：，则函数的顶点为：，即可求解；②，即可求解； （3）点、点，抛物线的阶变换的函数表达式为：，故点，即可求解． 【解答】解：（1）原二次函数的顶点为，则顶点关于原点的对称点为， 则这个抛物线的2阶变换的表达式：， 故答案为：，； （2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：，则函数的顶点为：， 则其表达式为：， 故答案为：； ②存在，理由： ，令，则或0， 故点，而点， 将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：， 故直线的函数表达式为：， ， 如图，过点作交于点，过点作轴的平行线交于点， 直线的倾斜角为，则， 设点，则点， ， ，故有最小值，此时， 故点，； （3）抛物线的顶点为点，与轴交于点， 则点、点， 抛物线的阶变换的函数表达式为：， 故点， 则，，， 当时，，解得：； 当时，同理可得：或2， 当时，共线，故舍去 故的值为：或或8． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 32．（2023秋•大武口区校级期中）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过点、，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，即可求解； （3）分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解． 【解答】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为、， 将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小， 函数顶点坐标为，点， 将、的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 当时，， 故点，， 则的最小值为； （3）①当点在轴上方时，如图2中， ，则， 过点作于点，设， 则， 由勾股定理得：， ，解得：， 则 则； ②当点在轴下方时， 则； 故点的坐标为，或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 33．（2023秋•铁岭县期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求这个抛物线的函数表达式． （2）点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，即可求解； （2），即可求解； （3）分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解． 【解答】解：（1）抛物线的表达式为：， 即，解得：， 故抛物线的表达式为：， （2）连接，设点， 则 ， ，故有最大值，当时，的最大值为； （3）存在，理由： 为等腰直角三角形，且为直角时，点的位置如图所示： ①当点在轴上方时，点的位置为、， 的情况△ 设点的坐标为，则， 过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的平行线交于点， ，，， ，， △△，， 即：，解得：（舍去负值）， 则点，； 的情况△ 同理可得：点，； ②当点在轴下方时，点的位置为、， 同理可得：点、的坐标分别为：，、，． 综上，点的坐标为：，或，或，或，． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 34．（2023秋•武昌区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）如图1，． ①直接写出、、三点的坐标． ②若抛物线上有一点，，求点的坐标． （2）如图2，过点作一直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，求证：是一个定值． 【分析】（1）①当时，，分别令，，即可得出出、、三点的坐标； ②过作交于点，作轴于点，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解交点即可得出的坐标； （2）由题意，可得，，设，，，，因为直线过点，可得其解析式为，与抛物线联立并消去，得：，所以，，作轴于点，作轴于点，证明，可得，同理，代入计算，即可得出是一个定值． 【解答】解：（1）①当时，， 当时，， 当时，， 解得：或， ，， ②如图1，过作交于点，作轴于点， ， ， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为 ， ， 直线的解析式为， 联立，解得（舍去），或， （2）， 当时，， 解得或， ，， 过点作一直线交抛物线于、两点， 设直线的解析式为，，，，， ，， 直线的解析式为， 联立， 消去，得：， ，， 如图2，作轴于点，作轴于点， 则， ，即 ， 同理，， ，为定值． 解法二：设直线的解析式为， ，即， 设直线的解析式为，同理可得， 由， ， 解得，， ，， 设直线的解析式为， ，即， 由， ， ， ，， ，， ，， ，即． 【点评】本题考查二次的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，韦达定理．解决（2）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 35．（2023秋•恩施市校级期中）如图1，抛物线交轴于点、，（点在点的左侧），交轴于点，其对称轴为直线，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为直线上一动点，连接、，当时，求点的坐标； （3）为抛物线上一动点，过点作直线轴（如图2所示），交抛物线于点，求点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值． 【分析】（1）先根据抛物线的对称轴可计算的值，令可得点的坐标，根据交点式设抛物线的函数表达式；，把代入可得的值，从而得结论； （2）设点坐标为，由勾股定理可表示出和，由条件可得到关于的方程可求得，可求得点坐标； （3）可分别设出、的坐标，可表示出，再根据函数的性质分情况可求得的最大值． 【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线， ，， 抛物线的函数表达式为：， 当时，， 解得：，， ，， 设抛物线的函数表达式；， 把代入得：，， 抛物线的函数表达式；； （2）设点坐标为，由（1）可得点坐标为， ，， ， ，解得， 点坐标为； （3）由题意可设， 轴， ， 令，可解得或， ①当时，， 显然， 当时，有最大值； ②当时，， 显然当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，； 综上可知：在点自点运动至点的过程中，线段长度的最大值为12.5． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得点的坐标是解题的关键，在（2）中用点的坐标分别表示出、是解题的关键，在（3）中用、的坐标分别表示出的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，难度适中． 36．（2023春•中山市期中）已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为． （1）求此二次函数解析式； （2）连接、、，求证：是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将、代入二次函数求得、的值即可确定二次函数的解析式； （2）分别求得线段、、的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （3）分以为底和以为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解． 【解答】解：（1）二次函数经过点、， 根据题意，得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由得，点坐标为， 定义抛物线．令，，解得或3， ，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； （3）存在． 对称轴为直线． ①若以为底边，则， 设点坐标为，根据勾股定理可得，， 因此， 即． 又点在抛物线上， ， 即， 解得，，应舍去， ， ， 即点坐标为，． ②若以为一腰， 点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点与点关于直线对称， 此时点坐标为． 符合条件的点坐标为，或． 【点评】此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性． 37．（2023秋•梁山县期中）已知抛物线经过、、三点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】方法一： （1）直接将、、三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可． （2）由图知：、点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接，那么与直线的交点即为符合条件的点． （3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 方法二： （1）略． （2）找出点的对称点点，根据，，三点共线求出与对称轴的交点． （3）用参数表示的点坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解． （4）先求出的直线方程，利用斜率垂直公式求出’斜率及其直线方程，并求出点坐标，进而求出’坐标，求出’直线方程后再与的直线方程联立，求出点坐标． 【解答】方法一： 解：（1）将、、代入抛物线中，得： ， 解得： 抛物线的解析式：． （2）连接，直线与直线的交点为； 点、关于直线对称， ， 设直线的解析式为，将，代入上式，得： ，解得： 直线的函数关系式； 当时，，即的坐标． （3）抛物线的对称轴为：，设，已知、，则： ，，； ①若，则，得： ，得：； ②若，则，得： ，得：； ③若，则，得： ，得：，； 当时，、、三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为，，，，． 方法二： （1）、、， ，即． （2）连接， 为对称轴， ， ，，三点共线时，周长最小，把代入，得． （3）设，，， 为等腰三角形， ，，， ，， ，， ，，， 经检验，时，、、三点共线，故舍去， 综上可知，符合条件的点有4个，，，，． 追加第（4）问：若抛物线顶点为，点为直线上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． （4）作点关于直线的对称点交于， 作，垂足为， ，， ， ， ， ，， ，，， 为的中点， ，， ， ，， ，， ，． 【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 38．（2023秋•花溪区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，二次函数的图象经过、两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图象探索：当时的取值范围． 【分析】（1）根据正方形的性质得出点、的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答； （2）令求出二次函数图象与轴的交点坐标，再根据，二次函数图象在轴的上方写出的取值范围即可． 【解答】解：（1）正方形的边长为2， 点、的坐标分别为，， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）令，则， 整理得，， 解得，， 二次函数与轴的交点坐标为、， 当时，的取值范围是． 【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点、的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单． 39．（2023秋•回民区期中）如图，的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，、两点的坐标分别为、，抛物线经过点，且顶点在直线上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若是由沿轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若点是所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点作平行于轴交于点．设点的横坐标为，的长度为，求与之间的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求取大值时，点的坐标． 【分析】（1）已知抛物线上、点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出的长，将、的坐标向右平移个单位，即可得出、的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可； （3）根据、的坐标，易求得直线的解析式；那么线段的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可将代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为的表达式，由此可求出、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出取最大值时，点的坐标． 【解答】解：（1）的顶点在直线上， 可设所求抛物线对应的函数关系式为， 点在此抛物线上， ， ， 所求函数关系式为：； （2）在中，，， ． 四边形是菱形， ， 、两点的坐标分别为、， 、两点的坐标分别是、； 当时，， 当时，， 点和点在所求抛物线上； （3）设直线对应的函数关系式为， 则， 解得：； ． 轴，点的横坐标为， 点的横坐标也为，且； 则，， ， ， 当时，，此时． 此时点的坐标为，． 【点评】此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键． 40．（2023秋•惠城区校级期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标和四边形面积的最大值； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）首先根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出点的坐标是，点的坐标是；然后根据抛物线经过、两点，求出、的值是多少，即可求出抛物线的解析式； （2）首先过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，然后设点的坐标是，则点的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点的坐标和面积的最大值以及四边形面积最大各是多少即可； （3）在抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标是多少即可． 【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 点的坐标是，点的坐标是， 抛物线经过、两点， 解得 ． （2）如图1， 过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点， 点是直线上方抛物线上的一动点， 设点的坐标是， 则点的坐标是， ， ， 当时，即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是3； 此时，四边形的面积最大，最大面积为：； （3）在抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形． ①如图2， 由（2），可得点的横坐标是2， 点在直线上， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 所在的直线的斜率是：； 的对称轴是直线， 设点的坐标是，点的坐标是， 则 解得或， ， 点的坐标是， 则的解析式为，， 的解析式为 当时，， 则； ②如图3， 由（2），可得点的横坐标是2， 点在直线上， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 所在的直线的斜率是：； 的对称轴是直线， 设点的坐标是，点的坐标是， 则 解得或， ， 点的坐标是． 的解析式为：，， 的解析式为：， 当时，， 则； ③如图4， 由（2），可得点的横坐标是2， 点在直线上， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 的对称轴是直线， 设点的坐标是，点的坐标是， 则 解得， 点的坐标是， 的解析式为：，， 的解析式为：， 当时，， 则； 综上，可得在抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 点的坐标是、、． 【点评】此题考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力，待定系数法函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，三角形的面积的求法，要熟练掌握，灵活运用． 41．（2023秋•荔湾区校级期中）已知抛物线，过点． （1）求，之间的关系； （2）若，抛物线在的最大值为，求的值； （3）将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线顶点记为点，若，求的取值范围． 【分析】（1）把点代入抛物线中可得结论； （2）分两种情况：①；②，分别根据增减性和已知条件列方程可解答； （3）先将抛物线的解析式化为顶点式，并根据平移的规律得到新的解析式：，确定的坐标和所在直线：，分和两种情况，可得结论． 【解答】解：（1）把点代入抛物线中，得： ， ， ； （2）当时，， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 分两种情况： ①当时，， 故抛物线在中最大值为， ， ； ②当时，， 故抛物线在中最大值为， ， ， 综上，的值是或； （3）由（1）知：， ， 抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线为：， 顶点的坐标为， 顶点在直线上， 若为任意正实数时，，即点到直线的最小距离为， 分两种情况： ①如图，当时，设直线交轴于，交轴于，过点作于， 则，， ，， ， ， ， ； ②当时，同理得：； 综上，的取值范围是或． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形性质等，熟练掌握二次函数的增减性和平移的原则是解题的关键． 42．（2023秋•丰泽区校级期中）阅读下面材料，回答问题 材料一：若三个非零实数，，满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数，，构成“和谐三数组”； 材料二：一元二次方程两根，有如下关系：，． （1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由． （2）若直线与轴交于点，，与抛物线交于，，，两点． ①求证：，，三点的横坐标，，构成“和谐三组数”； ②若，，求点，与原点的距离的取值范围． 【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可； （2）①由直线解析式可求得，联立直线和抛物线解析式消去，利用一元二次方程根与系数的关系可求得，，再利用和谐三数组的定义证明即可； ②由条件可得到，可得，由可求得的取值范围，令，利用两点间距离公式可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得的取值范围，从而可求得的取值范围． 【解答】解：（1）不能，理由如下： 、2、3的倒数分别为1、、， ，，． 实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2）①、、均不为0， ，，都不为0， 直线与轴交于点，， ，解得， 联立直线与抛物线解析式，消去可得，即， 直线与抛物线交与，，，两点， 、是方程的两根， ，， ， ，，构成“和谐三组数”； ②， ， ， ， ，且，整理可得， 解得， ，． ， ， 当时，随的增大而减小，当时，有最大临界值，当时，有最小临界值， 当时，随的增大而增大，当时，有最小临界值，当时，有最大临界值， 且， 到原点的距离为非负数， 且． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）①中用、、分别表示出，，是解题的关键，在（2）②中把表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大． 43．（2023秋•西青区校级期中）如图，关于的二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且过点． （1）求的值及该二次函数图象的对称轴； （2）连接，，，求的面积； （3）在上方抛物线上有一动点，请直接写出的面积取到最大值时，点的坐标． 【分析】（1）直接把点代入二次函数中得的值，从而可得结论； （2）根据三角形的面积差可得结论； （3）如图2，过点作轴，交于点，利用待定系数法可得直线的解析式，设点的坐标为，则，表示的长，根据三角形的面积公式并配方成顶点式可得结论． 【解答】解：（1）把点代入二次函数中得：， ， ， 对称轴是：直线； （2）如图1，连接， 当时，， ，， ， ，， 的面积； （3）如图2，过点作轴，交于点， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为：， 设点的坐标为，则， 点是在上方抛物线上有一动点， ，， ， ， 当时，的面积有最大值，此时点的坐标为，． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，轴对称，三角形的面积，二次函数的性质，方程思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中连接利用面积和与差是解题的关键，在（3）中求得的长，用配方法配方成顶点式是解题的关键． 44．（2023秋•莎车县期中）已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． 【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式． （2）可根据抛物线的解析式先求出和的坐标，由于三角形的面积无法直接求出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过作轴，三角形的面积可通过梯形的面积减去三角形的面积减去三角形的面积求得． 【解答】解： （1）依题意：， 解得 抛物线的解析式为 （2）令，得，，， ． 由，得 作轴于点， 可得． 【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 45．（2023秋•宣恩县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与交于点，． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作平行于轴，交抛物线于点，点为抛物线上的一点（点在上方），作平行于轴交于点，当点在何位置时，四边形的面积最大？求出最大面积； （3）若点在抛物线上，点在其对称轴上，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点的坐标． 【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求出直线解析式，设出点坐标，建立函数关系式，根据二次函数表达式求出极值； （3）先判断出，求出点的横坐标，从而求出点的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为， 抛物线与轴交于点， ， ， ，即二次函数的表达式是； （2）当时，， ，， ，， 设直线的解析式为， ，， 由点、的坐标得，直线的解析式为； 设， ， ， ， ， 当时， 即点，时，； （3）如图，过作垂直于对称轴，垂足为， ，， （两角的两边相互平行，这两角相等）． 又，， ， ， 点的横坐标为或， 当时，点纵坐标为8， 当时，点纵坐标为8， 点的坐标为或． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值的确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值． 46．（2023秋•齐齐哈尔期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，，点是直线下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）试探究：过点作的平行线1，交线段于点，在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将，代入即可得到答案； （2）过点作轴交直线于点，则的坐标是，利用待定系数法求的解析式，表示的坐标，用的代数式表示的长度，根据三角形面积公式即可得到答案； （3）分两种情况：①如图2，四边形是菱形，②如图3，四边形是菱形，根据两点的距离公式和菱形的边长相等列方程可解答． 【解答】解：（1）将，代入得：， 解得：， ； （2）如图1，过点作轴交直线于点， ，， 设直线的解析式为：， ， ， 的解析式为：， 点的横坐标为， 的坐标是，则的坐标是， ， 点是直线下方抛物线上的一个动点， ， ； （3）分两种情况： ①如图2，四边形是菱形， 设，则， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，； ②如图3，四边形是菱形， 设，则， 四边形是菱形， ， ， （舍或， ； 综上所述，点的坐标为，或． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的性质，菱形的性质和判定，两点的距离公式等综合知识，解题的关键是设相关点的坐标，表示线段长度列方程． 47．（2023秋•金安区校级期中）定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“”函数． （1）写出的“”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“”函数与正比例函数的图象只有两个交点，求的值； （3）如图，二次函数与互为“”函数，、分别是“”函数与图象的顶点，是“”函数与轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点的坐标． 【分析】（1）利用“”函数的定义，求出，，的值，即可求出表达式； （2）将与二次函数联立，得出关于的一元二次方程，根据交点个数确定△的取值即可求出的值； （3）先由“”函数的中心对称性确定点的坐标，根据直角位置分情况讨论，然后利用勾股定理求出的坐标． 【解答】解：（1）设 “”函数的表达式为． 则，，． ，，． ． （2）根据题意得： ，即． 判别式． ，即． 判别式． △△． 设△△△． 若△，则“”函数与有四个交点； 若△，则“”函数与有两个交点； 若△，则“”函数与有没有交点； △，即，解得；． 故或3． （3）由题意得“ “函数关于原点成中心对称； 点的坐标为． 是直角三角形，下面分情况讨论： 若， 则， 即， 解得． ， ． 的坐标为． 若， 则． 即， 解得：． 的坐标为． 若， 则在的负半轴，故舍去． 或． 【点评】本题主要考查二次函数与直角三角形的综合应用，只有熟记二次函数的图形的性质，中心对称的特点以及勾股定理，才能快速解出此类问题． 48．（2023秋•宁阳县期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积； （3）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据，确定点和的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可； （2）如图1，过作轴于，交于，利用待定系数法求直线的解析式，设，则，表示的长，根据的面积是，列方程可得的值，因为在对称轴的右侧，所以不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论； （3）分两种情况：在轴的上方和下方，根据确定的坐标，并正确画图． 【解答】解：（1），， ，， 把，代入抛物线中得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）如图1，过作轴于，交于， 当时，， ， 设的解析式为：， 则，解得：， 的解析式为：， 设，则， ， 的面积是， ， ， 解得：或3， 点在直线右侧的抛物线上， ， 的面积； （3）分两种情况： ①如图2，在轴的上方时，四边形是平行四边形， ，，且在轴上， 的纵坐标为， 当时，即， 解得：或， ，或，； ②如图3，点在轴的下方时，四边形是平行四边形，此时与重合， ； 综上，点的坐标为：，或，或． 【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题． 49．（2023秋•连山区校级期中）如图，抛物线与轴分别交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点，作垂直轴于点，连接，且，，将沿轴向右平移个单位，当点落在抛物线上时，求的值； （3）在（2）的条件下，当点第一次落在抛物线上记为点，点是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）由题意可求得点坐标，设平移后的点的对应点为，则点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得点的坐标，则可求得平移的单位，可求得的值； （3）由（2）可求得点坐标，连接交对称轴于点，过作轴于点，当为平行四边形的边时，过作对称轴的垂线，垂足为，则可证得，可求得，即可求得到对称轴的距离，则可求得点的横坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标；当为对角线时，由、的坐标可求得线段的中点坐标，设，由点的横坐标则可求得点的横坐标，代入抛物线解析式可求得点的坐标． 【解答】解： （1）抛物线与轴分别交于，两点， ，解得， 抛物线解析式为； （2），且， ，且， ， 设平移后的点的对应点为，则点的纵坐标为8， 代入抛物线解析式可得，解得或， 点的坐标为或， ， 当点落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位， 的值为7或9； （3）， 抛物线对称轴为， 可设， 由（2）可知点坐标为， ①当为平行四边形的边时，连接交对称轴于点，过作轴于点，过作对称轴的垂线，垂足为，如图， 则， 在和中 ， ， 设，则， ，解得或， 当或时，代入抛物线解析式可求得， 点坐标为或； ②当为对角线时， ，， 线段的中点坐标为，则线段的中点坐标为， 设，且， ，解得，把代入抛物线解析式可求得， ； 综上可知点的坐标为或或． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后点的对应点的坐标是解题的关键，在（3）中确定出点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 50．（2023秋•钟祥市期中）如图，在矩形中，，，点为边上一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系． （1）求的长及经过，，三点抛物线的解析式； （2）一动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当为何值时，； （3）若点在（1）中抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由折叠的性质可求得、，在中，由勾股定理可求得，设，在中，由勾股定理可求得的值，可求得点坐标，结合、两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）用表示出、的长，可证明，可得到，可求得的值； （3）可设出点坐标，分三种情况①为对角线，②为对角线，③为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得点的坐标． 【解答】解：（1），， 在中，， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ，， ，， 设过、、三点的抛物线为， ，解得， 抛物线解析式为； （2）， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）抛物线的对称轴为直线， 设， 又由题意可知，， 设， ①当为对角线，即四边形是平行四边形时， 则线段的中点横坐标为，线段中点横坐标为， ，互相平分， ，解得， 又点在抛物线上， ， ； ②当为对角线，即四边形是平行四边形时， 则线段的中点横坐标为，线段中点横坐标为， ，互相平分， ，解得， 又点在抛物线上， ， ； ③当为对角线，即四边形是平行四边形时， 则为抛物线的顶点，即． 综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或或． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 三．圆周角定理（共1小题） 51．（2023秋•海曙区校级期中）如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于，过作，交于，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的度数； （3）若，，求的长． 【分析】（1）易证，，从而可知，即； （2）延长交于点，易证，由于，所以，所以； （3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 即， （2）解：延长交于点， 是的外角， ， ， ， ， ； （3）解：是中点 ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 四．三角形的外接圆与外心（共1小题） 52．（2023秋•江阴市校级期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论：①是外心； ②是的外心；③；④设，则；⑤若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是　　 A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【分析】本题命题思路是以等边外心为背景，进而得到，，，四点共圆，从而对角互补，利用旋转，可以转化四边形为一个规则的等边三角形，最后利用轴对称性可解决周长最小值的问题． 【解答】解：连接，； 为 的外心； ； 正方形； ； ； 是的 外心；故①正确． 对于②，连接，， ， 不是 的外心；故②错误． 对于③，连接， ， ，，，三点共圆； ， ， 即；故③正确． 对于④， ， ，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，， ， ， 即， ， ， ，，三点共线； 由旋转的性质可得，， 是等边三角形； ， 过点作的垂线，垂足为， ， ； 在中， ， ； ；， ， ； 故④正确． 对于⑤， 如图所示；作和关于和的对称线段， ，；， 当，，，四点共线时， 周长最小： 即，， 连接， ，连接， 是等腰三角形； ，； ； ， ； 三角形是以为顶角的等腰三角形； 过点作的垂线，垂足为， ， ； 在中； ； 即 故⑤错误；综上所述，①③④正确； 故选：． 【点评】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如等腰三角形三边之比为 ． 五．切线的判定与性质（共3小题） 53．（2023秋•海门市期中）如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点 （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 【分析】（1）连接，由是圆的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线； （2）根据是的切线，则，即可求得，再由为的切线，得，根据三角函数的定义求得，由勾股定理得，即可得出； （3）根据题意可证得，由是圆的直径，得，设，则可表示出，，由圆内接四边形的性质得出的值，可得出是等边三角形．进而证出四边形为菱形． 【解答】（1）解：直线为的切线 证明：如图1，连接，是圆的直径， ， 又， ， ，即 点在上，直线为的切线． （2）解：是的切线， ， 为的切线， 在中，， ，解得 （3）（方法一）证明：如图2，依题意得：， 是圆的直径 设，则， 四边形内接于， 即，解得 、是的切线，， ，是等边三角形． 又 是等边三角形． ，四边形为菱形 （方法二）证明：如图3，依题意得：，， ，，， ， 为切线 四边形为平行四边形 、为切线 四边形为菱形 【点评】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大． 54．（2023秋•苏州期中）如图，直线经过上的一点，是△的外接圆，是的直径，于点，点是的中点，．取的中点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，根据圆周角定理及其推论推出即可； （2）连接、，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证△△，再根据“相似三角形的对应边的比相等“求出的长，由“点为的中点”、“ 为中点”推出，在△中由勾股定理求出，最后在△中由勾股定理即可求出的长． 【解答】解：（1）证明：如图，连接， 为的直径． ， ，， ， 即， 为的切线； （2）如第（1）题图，连接、， ， ，， ． △△， ，即， ， 点为的中点， ， ， 为中点， ， 为的直径． ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题是几何综合题，主要考查与圆有关的性质及切线的判定，涉及圆周角定理，圆周角、弦、弧的关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．构造辅助线，灵活运用相似三角形的判定与性质及勾股定理是解答本题的关键． 55．（2023秋•廉江市校级期中）如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于． （1）求证：与相切； （2）若，．求的半径和的长度． 【分析】（1）连接，要证明切线，只需证明，根据，只需得到，根据圆周角定理即可证明； （2）设的半径为，则，，，在中根据勾股定理可计算出；作于，根据垂径定理得，再利用面积法计算出，然后根据勾股定理计算出，再利用垂径定理得出． 【解答】（1）证明：连接； ， ， ； 又， ， 是的切线． （2）解：设的半径为，则，，， 在中，， ，解得， 作于，如图，， 则， ， ， 在中，， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解． 六．正多边形和圆（共1小题） 56．（2023秋•东台市期中）如图，在边长为的正八边形中，已知，，，分别是边，，，上的动点，且满足，则四边形面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】易得四边形为正方形，得到四边形的面积为，进而得到当最大时，四边形的面积最大，即即为正八边形的对角线时，四边形的面积最大，即可得解． 【解答】解：连接Ⅰ，， 正八边形，， ，， 四边形为正方形， 四边形的面积为， 当最大时，四边形的面积最大， 即为正八边形的对角线时，四边形的面积最大， 如图，连接，交于点，连接，交于点， 则为等腰直角三角形，为正八边形的中心， ，垂直平分， ， 设， 则， ， 在 中，， 即， 解得： （负值不合题意，舍去）， ， 四边形的最大面积为， 故选：． 【点评】本题考查正多边形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．本题的难度较大，熟练掌握相关性质，求出正八边形的边长是解题的关键． 七．扇形面积的计算（共1小题） 57．（2023秋•大丰区期中）如图，四边形，有，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接，，，交于点．线段扫过的面积． 【解答】解：如图，连接，，，交于点． 由题意，， ，都是等边三角形， ，， ，， ， 由题意，线段扫过的面积． 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出，都是等边三角形． 八．旋转的性质（共2小题） 58．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点，在直线的异侧，直线于点．直线于点，连接，． （1）延长交于点（如图． ①求证：； ②求证：； （2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由． 【分析】（1）①根据平行线的性质证得再根据，即可得到； ②由，得到则，而在中，，即可得到； （2）证明方法与②相同； （3）四边形是矩形，只要证明三个角是直角即可； 【解答】（1）证明：①如图 直线于点，直线于点， ， ， ， 又为边中点， ， 又， ， ②， ， 在中，， ． （2）解：成立，如图3． 证明：延长与的延长线相交于点， 直线于点，直线于点， ， ， 又为中点， ， 又， 在和中， ， ， ， ， 则中， ． （3）解：如图4，四边形是矩形， 理由：，，， ，， ， 四边形是矩形． ，，， ． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 59．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）当，时，求的大小； （3）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，，之间关系的等式，并加以证明． 【分析】（1）由于，故有． （2）由等腰直角三角形的性质知，，根据已知条件，可求得，的值，再由勾股定理求得的值． （3）由于也是等腰直角三角形，故有． 【解答】解：（1）由题意知，， ，，，， ，， 是等腰直角三角形，是直角三角形． （2）当，时，有，，， ． （3）存在， 由于是等腰直角三角形， ， ， ， 故有． 【点评】本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解． 九．作图-旋转变换（共1小题） 60．（2023秋•蒙阴县期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线对称的△；（要求与，与，与相对应） （2）作出绕点顺时针方向旋转后得到的△； （3）在（2）的条件下直接写出点旋转到所经过的路径的长．（结果保留 【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点、绕点顺时针旋转后的、的位置，然后顺次连接即可； （3）利用勾股定理列式求出的长，再根据弧长公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△如图所示； （2）△如图所示； （3）根据勾股定理，， 所以，点旋转到所经过的路径的长． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$