江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

第 1页，共 6页 金溪一中 2024-2025 学年度上学期九年级第一次月考数学试卷 命题人：饶和平 审题人：李盼刚 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项) 1. 下列是关于�的一元二次方程的是( ) A. �2 − 1� = 2023 B. �(� + 6) = 0 C. � 2� − 5 = 0 D. 4� − �3 = 2 2.在▱ ����中，对角线��，��相交于点�，只需添加一个条件，即可证明 ▱ ����是矩形，这个条件可以是( ) A. �� = �� B. �� = �� C. �� ⊥ �� D. ∠��� = 60° 3.如图，菱形����的对角线交于原点�，若点�的坐标为(4, �)， 点�的坐标为(�, 2)，则�+ �的值为( ) A. 2 B. −2 C. 6 D. −6 4.如图，在矩形����中，�是对角线��，��的交点，�� ⊥ ��于点�， 若��：�� = 1：2，�� = 2��，则��的长为( ) A. 1�� B. 2�� C. 3�� D. 2�� 5.如图，菱形����的对角线��、��相交于点�，过点�作�� ⊥ ��于点�，连接��，若�� = 3， �� = 2，则菱形����的面积为( ) A. 12 B. 18 C. 6 D. 2 （第 3题图） （第 4题图） （第 5题图） 6. 已知一元二次方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)和它的两个实数根为�1，�2，下列说法： ①若�，�异号，则方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)一定有实数根； ②若�2 > 5��，则方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)一定有两异实根； ③若� = � + �，则方程��2 + �� + � = 0(� ≠ 0)一定有两实数根； ④若� = 1，� = 2，� =− 3，由根与系数的关系可得�1 + �2 =− 2，�1�2 = 3 其中正确的结论是( ) A.①③ B.①②③ C.②③④ D.②③ 第 2页，共 6页 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 7. 若关于�的一元二次方程 2�2 − 3� + � = 0 的一个根是 1，则�的值是______． 8.学校课外生物小组的试验园地是长 35米、宽 20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横 两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为 600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为�米，则 可列方程为 ． 9.已知一元二次方程�2 − 5� + � = 0 的一个根为�1 = 1，则另一个根�2的值为______． 10.若�、�是方程�2 + 2� − 2023 = 0 的两个实数根，则�2 + 3� + �的值为___________. 11.如图,点 B、C分别在两条直线 y=2x 和 y=kx 上,点 A、D是 x轴上两点,已知四边形 ABCD 是正方 形,则 k 值为 ． 12.如图，点�在正方形����的对角线��上，∠��� = 30°，若点�在正方形���� 的边上，且�� = ��，则∠���的度数为___________. （第 11题图） （第 12题图） 三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13.解下列方程： (1)�2 − 8� + 12 = 0 (2)�2 − 10� + 25 = 0 14. 已知关于�的一元二次方程�2 + (2� + 3)� + �2 = 0 的两个实数根是�1，�2. 若 1 �1 + 1�2 =− 1，求�的值. 第 3页，共 6页 15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形 AOCD沿直线 AE折叠（点 E在边 DC上），折叠后端点 D恰好落在边 OC上的点 F处．若点 D的坐标为（10，8），求点 E的坐标． 16.如图，已知正方形����和等边三角形���.请你只用无刻度的直尺．．．．．．作图： (1)在图 1中作∠�的角平分线； (2)在图 2中作∠���的角平分线． 17. 如图，四边形����，����均为正方形，其中正方形 ����的面积为 36��2，若图中阴影部分的面积为 10��2， 求正方形����的面积。 第 4页，共 6页 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18.如图，在矩形����中，�� = 8，�� = 4，将矩形沿对角线��折叠，点�落在�′处． (1)求证：�� = �� (2)求��的长度． 19.已知关于�的方程�2 − 14� + 2� − 1 = 0 有两个实数根�1，�2． (1)若�1，�2是矩形的两条对角线的长，求�的值； (2)当� = 492时，�1、�2是菱形����的两条对角线的长，求菱形����的周长． 20. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个 40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销 售单价为 60元时，每星期卖出 100个.如果调整销售单价，每涨价 1元，每星期少卖出 2个，现 网店决定提价销售，设销售单价为�元，每星期销售量为�个． (1)请直接写出�(个)与�(元)之间的函数关系式； (2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是 2400元？ 第 5页，共 6页 五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21. 已知关于�的方程(�2 − 4� + 5)�2 − 4� + � = 0． (1)圆圆说：该方程一定为一元二次方程。圆圆的结论正确吗？请说明理由． (2)当� = 2 时； ①若该方程有实数解，求�的取值范围； ②若该方程的两个实数解分别为�1和�2，满足(�1 − 2)2 + (�2 − 2)2 + �2 = 23，求�的值． 22.定义：我们把关于�的一元二次方程��2 + �� + � = 0与��2 + �� + � = 0(�� ≠ 0, � ≠ �)称为一 对“友好方程”.如 2�2 − 7� + 3 = 0 的“友好方程”是 3�2 − 7� + 2 = 0． (1)写出一元二次方程�2 + 3� − 10 = 0 的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程�2 + 3� − 10 = 0 的两根为�1 = 2，�2 =− 5，它的“友好方程”的两根 �3 =______、�4 =______.根据以上结论，猜想��2 + �� + � = 0 的两根�1、�2与其“友好方 程”��2 + �� + � = 0的两根�3、�4之间存在的一种特殊关系为_________； (3)已知关于�的方程 2021�2 + �� − 1 = 0 的两根是�1 =− 1，�2 = 1 2021 .请利用(2)中的结论，求 出关于�的方程(� − 1)2 − �� + � = 2021的两根． 第 6页，共 6页 六、（本大题共 12 分） 23.如图，已知一次函数� = 33 � + 6的图象分别交�轴、�轴于�、�两点，点�从点�出发沿着�� 方向以每秒 3个单位长度的速度向点�匀速运动，同时点�从点�出发沿��方向以每秒 2个单位 长度向点�匀速运动，过点�作�� ⊥ �轴，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时 间为�秒，连接��、��． (1)点�的坐标为____，点�的坐标为_____，�� =____； (2)四边形����能成为菱形吗？如果能，求出相应的�值；若不能，则说明理由. (3)若点�(0,2)，点�在�轴上，直线��上是否存在点�，使以�、�、�、�为顶点的四边形是平行 四边形?若存在，请求出�点的坐标;若不存在，请说明理由．