高二上期中考前必刷卷01（范围：第1章～第2章 基础卷）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

高二上期中考前必刷卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆与直线相切，则（   ） A．2 B． C． D． 4．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 5．已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D．    8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（    ） A． B． C． D． 10．若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 11．已知四面体满足，，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．点为直线上的动点，到距离的最小值为 D．二面角平面角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 13．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为 ． 14．已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 (1)证明：平面; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值 17．（15分） 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 18．（17分） 利用空间向量知识完成本题． (1)如图1，在长方体中．线段上是否存在点，使得平行于平面? (2)如图2，在平行六面体中，求证直线垂直于平面． (3)如图3，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (I)求点B到直线的距离； (II)求直线到平面的距离． 19． （17分） 在直线l上任取不同的两点A，B，称为直线l的方向向量与直线l的方向向量垂直的非零向量称为l的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线是函数的图象，直线是函数的图象. （1）求直线和直线所夹成的锐角的余弦值； （2）已知直线平分直线与直线所夹成的锐角，求直线的一个方向向量的坐标； （3）已知点，A是与y轴的交点，是的法向量.求在上的投影向量的坐标(求出一个即可)，并求点P到直线的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二上期中考前必刷卷01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 2．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围. 【详解】 ，而， 故直线的取值范围为， 故选：A. 3．已知圆与直线相切，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用点到直线的距离公式，结合圆的切线性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 依题意，. 故选：D 4．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 5．已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 6．已知直线，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案. 【详解】若直线与平行， 则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 7．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详解】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以，       设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 8．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】先将变形为，再根据其几何意义数形结合转化为直线上动点到直线同侧两定点的距离之和，然后利用对称转化为异侧两点之间距离最短可求最小值. 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解. 【详解】， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确. 故选：BD. 10．若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】BD 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果. 【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点； 当平行时可得，此时不合题意，因此； 联立，即，解得交点坐标为， 因此不在上，即可得，可得； 所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可. 故选：BD 11．已知四面体满足，，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．点为直线上的动点，到距离的最小值为 D．二面角平面角的余弦值为 【答案】BCD 【知识点】异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】将四面体放入长方体中，根据四面体的棱长求解长方体的长宽高，即可建立空间直角坐标系，结合选项利用向量法求解. 【详解】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为， 则， 所以解得， 建立如图所示的空间直角坐标系，则, 故故， 所以直线与所成的角为，A错误， 由于，故， 直线与所成的角为，B正确， 对于C，点为直线上的动点，当位于的中点时，此时到距离的最小， 且最小值为长方体的高，即为，C正确， 对于D，取中点，连接,由于，， 所以,故为所求角， , 故，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 又由圆的一般方程，可得， 即，即或， 所以实数的范围为，例如符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 13．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】1 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据题意可得，根据数量积的运算律结合向量投影的定义运算求解. 【详解】因为与的夹角为，，，则， 则， 所以在方向上的投影为． 故答案为：1. 14．已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据题意结合数量积的运算分析可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，即圆与圆有公共点，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 则，其中为坐标原点， 可得，则， 可知点的轨迹为以圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知三角形ABC的顶点坐标为． (1)求过点C且与边AB平行的直线； (2)求AB边上的高所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由直线的斜率公式可得，再由点斜式方程代入计算，即可求解. （2）由题意可得AB边上的高所在的直线斜率，再由点斜式方程代入计算，即可求解. 【详解】（1）因为，由直线的点斜式方程可得， 化简可得. （2）由（1）可知，，则AB边上的高所在的直线斜率为， 由直线的点斜式方程可得， 化简可得. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 (1)证明：平面; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量,再通过空间角的向量求解即可. 【详解】（1）分别为的中点 为正方形 平面平面 平面. （2）由题知平面 建立如图所示的空间直角坚标系， ，则, ,,, 设平面的一个法向量为 则,令则, 设直线与平面所或的角为, ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（15分） 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 【详解】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 18．（17分） 利用空间向量知识完成本题． (1)如图1，在长方体中．线段上是否存在点，使得平行于平面? (2)如图2，在平行六面体中，求证直线垂直于平面． (3)如图3，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (I)求点B到直线的距离； (II)求直线到平面的距离． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)(I)，(II) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取线段上中点，建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解线面关系即可. （2）设，，，以它们为基底表示出、、，结合已知并应用向量数量积的运算律求证垂直，即可证结论. （3）建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解距离即可. 【详解】（1） 以射线分别为轴，建立空间直角坐标系. 由已知条件， 线段上取中点， 设平面的法向量为， 由，， 得，则 因，, 不在平面内, 线段上中点，使得平行于平面. （2） 设，，，则为空间的一个基底且，，. 因为， 所以，. 在平面上，取、为基向量， 则. 所以是平面的法向量． 所以直线垂直于平面． （3） (I)以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，，，， ∴，，，，，， 取，， ， 则点B到直线的距离为； (II)∵， ∴，而平面，平面， ∴平面， ∴点到平面的距离即为直线到平面的距离， 设平面的法向量为，则， ∴，∴，取，则，， ∴，又， ∴点到平面的距离为. 19．（17分） 在直线l上任取不同的两点A，B，称为直线l的方向向量与直线l的方向向量垂直的非零向量称为l的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线是函数的图象，直线是函数的图象. （1）求直线和直线所夹成的锐角的余弦值； （2）已知直线平分直线与直线所夹成的锐角，求直线的一个方向向量的坐标； （3）已知点，A是与y轴的交点，是的法向量.求在上的投影向量的坐标(求出一个即可)，并求点P到直线的距离. 【答案】（1）；（2）；（3）， 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、求点到直线的距离、根据直线的法向量求直线方程、求直线的方向向量 【分析】（1）求得和相交点的坐标，以及和与y轴相交点的坐标，再根据直线方向向量的定义，向量的余弦公式求解，并判断夹角是否为锐角即可. （2）平分直线与直线所夹成的锐角，所以和所夹的锐角等于和所夹的锐角，根据直线的夹角公式求出，写出一个方向向量的坐标即可. （3）求点P到直线的距离，写出过A点垂直于的直线方程（方向向量为），并根据这两点联合解出点P在该直线上的投影，则 的投影向量得出. 【详解】    （1）设和相交点的坐标为M，和y轴相交点的坐标为A，和y轴相交点的坐标为B，则，， 由直线和的方程式联立，解得. 则、分别为直线和的方向向量. 由向量的余弦公式. 由，而，所以向量形成的角为锐角. 所以直线和直线所夹成的锐角的余弦值为. （2）直线平分直线与直线所夹成的锐角，所以直线和直线所夹成的锐角与直线和直线所夹成的锐角相等，根据直线的夹角公式，则 ， ， ， . 又∵，∴. ∴直线的一个方向向量的坐标为. （3）∵，为，则点P到的距离为. 过A点做直线AN交x轴于N，则为直线AN的方向向量. 又∵的法向量垂直于，则. 因为，则 ∵，则为. 设点P在上的投影坐标为，则①， 易知点Q到的距离为②， 由①②解得Q为或 由和点，可知，点P在的左边，点P在上的投影坐标Q为. ∴在上的其中一个投影向量为. 学科网（北京）股份有限公司 $$