专题02 高二上期中真题精选（压轴46题8类考点专练）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 高二上期中真题精选（压轴46题8类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 空间向量数量积最值（或范围）问题（共5小题） · 空间向量模最值（或范围）问题（共4小题） · 线面角，二面角的最值（或范围）问题（共6小题） · 线面角，二面角的探索性问题（共8小题） · 直线与直线的位置关系（共4小题） · 圆中的最值问题（共5小题） · 直线与圆的位置关系（共8小题） · 圆与圆的位置关系（共6小题） 一、空间向量数量积最值（或范围）问题（共5小题） 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 4．（23-24高二上·重庆·期中）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 5．（23-24高二上·广东东莞·期中）平行六面体中，，，，则 ；若动点在直线上运动，则的最小值为 . 二、空间向量模最值（或范围）问题（共4小题） 1．（23-24高二上·北京·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．5 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·）如图，正方体的棱长为2，是的中点，点，分别在直线，上，则线段的最小值为 ．    4．（22-23高二上·天津河东·期中）如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为 .    三、线面角，二面角的最值（或范围）问题（共6小题） 1．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，分别为的中点，将沿折起，使点到点的位置，. (1)证明：平面平面； (2)若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 3．（23-24高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，平面为内的动点(含边界). (1)求平面与平面夹角的正弦值; (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 4．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 5．（22-23高二上·山西太原·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且. (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 6．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点. (1)若为线段的中点，求证：//平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围. 四、线面角，二面角的探索性问题（共8小题） 1．（23-24高二上·北京海淀·期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.    (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高三上·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．    (1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； (2)求点到平面的距离； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 5．（23-24高二上·北京·期中）在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 7．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． (1)若是线段的中点，求证：平面； (2)若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． 8．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. (1)求直线和平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 五、直线与直线的位置关系（共4小题） 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（多选）（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 3．（22-23高二上·四川遂宁·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 4．（22-23高二上·四川成都·期中）关于直线​，有下列说法: ①对任意​，直线​不过定点； ②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点； ③当​时，点​到直线​的距离最小值为​； ④对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线. 其中正确的是 . 六、圆中的最值问题（共5小题） 1．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（    ） A．12 B． C． D．6 2．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高三上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（       ）. A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东·期中）在中，，，则面积的最大值为 . 5．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 七、直线与圆的位置关系（共8小题） 1．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆心为的圆满足下列条件：圆心位于轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为． (1)求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形，是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 3．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知动点与两个定点的距离的比为. (1)求动点的轨迹； (2)过点作直线，交曲线于两点，不在轴上． ①过点作与直线垂直的直线，交曲线于两点，记四边形的面积为，求的取值范围： ②已知，设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 4．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 5．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 6．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知圆. (1)证明：圆恒过两个定点. (2)当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率. 7．（23-24高二上·福建福州·期中）已知圆. (1)若圆与直线相切于点，求直线的方程； (2)已知，圆与轴相交于（点在点的左侧），过点任作一条不与坐标轴垂直的直线，该直线与圆相交于两点，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由. 8．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，圆经过点，，且与轴的正半轴相切于点，为坐标原点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点在圆上，过点的直线交圆于、两点，求证：． 8、 圆与圆的位置关系（共6小题） 1．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 2．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 3．（23-24高二上·河北保定·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切. (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆M与圆有公共点，求a的范围； (3)若点在的“欧拉线”上，求的最小值. 4．（23-24高二上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的最小值，并求出此时直线的方程. 5．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，点，. (1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围； (2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围. 6．（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆C：，． (1)证明：圆C过定点． (2)当时，过作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程； (3)当时，若直线l：与圆C交于M，N两点，且，其中O为坐标原点，求k的取值范围． $$专题02 高二上期中真题精选（压轴46题8类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 空间向量数量积最值（或范围）问题（共5小题） · 空间向量模最值（或范围）问题（共4小题） · 线面角，二面角的最值（或范围）问题（共6小题） · 线面角，二面角的探索性问题（共8小题） · 直线与直线的位置关系（共4小题） · 圆中的最值问题（共5小题） · 直线与圆的位置关系（共8小题） · 圆与圆的位置关系（共6小题） 一、空间向量数量积最值（或范围）问题（共5小题） 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、向量与几何最值、求空间向量的数量积 【分析】由空间向量的数量积运算计算可得，即可得的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可． 【详解】取的中点,, 则， 所以． 所以在以为球心，为半径的球面上，如图 可知在上的投影数量最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 故选：B． 2．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据三棱锥体积得到点到平面的距离为2，设点在平面的投影为点，求出，建立平面直角坐标系，求出的最小值为，从而求出答案. 【详解】， 设点到平面的距离为，则， 解得， 设点在平面的投影为点， 则，， 则 ， 如图所示，取的中点为原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为. 故选：C 4．（23-24高二上·重庆·期中）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为, 设外接球球心为，则， 则 , 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为， 故选：B. 5．（23-24高二上·广东东莞·期中）平行六面体中，，，，则 ；若动点在直线上运动，则的最小值为 . 【答案】 / 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的数乘运算、求空间向量的数量积 【分析】以为基底表示出，即可求得，设，根据空间向量的线性运算和数量积的运算规律可得，可求得其最小值. 【详解】根据题意可得， 所以 ， 即可得； 设，则， ； 所以 ， 由二次函数性质可知当时，取到最小值为. 故答案为：； 二、空间向量模最值（或范围）问题（共4小题） 1．（23-24高二上·北京·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】利用向量模的坐标公式求出，即可得到答案. 【详解】， 故，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】    依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 3．（23-24高二上·河北·）如图，正方体的棱长为2，是的中点，点，分别在直线，上，则线段的最小值为 ．    【答案】 【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量模长的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，得出的表达式，根据二次函数的最值求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，． 设，，则， 故． 当时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 4．（22-23高二上·天津河东·期中）如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为 .    【答案】/ 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式、配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，.，M，N分别是棱，，的中点， 所以    ， 因为点P是平面内的动点 所以设， 设平面的法向量为， ，， 所以有， 因为平面， 所以，即 于是， 当时，线段长度有最小值， 故答案为：      【点睛】关键点睛：本题的关键是利用平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式. 三、线面角，二面角的最值（或范围）问题（共6小题） 1．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法、证明线面平行、求平面的法向量 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证平面，平面，再由面面平行的判定定理可证得结果； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求线面角，通过换元法转化为二次函数求最值. 【详解】（1）因为，，所以四边形为平行四边形，故, 又平面，平面,所以平面； 连接交于N，连接，因为四边形是正方形，故N为中点， M是的中点，在中，有，平面，平面, 所以平面，且平面，平面,, 所以平面平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，设，， 则，又M是的中点， 故,，因为， 所以，解得，设，因点P为线段上一点， 则，即， 故，所以， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 即，设直线与平面所成角为， 则     当时， 设，，所以， 当时，所以， 当时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 【点睛】解决本题第二问关键是求出直线的方向向量和平面的法向量，运用向量法求出线面角正弦值的表达式，通过换元法转化为二次函数求最值. 2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，分别为的中点，将沿折起，使点到点的位置，. (1)证明：平面平面； (2)若为线段上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）先连接与交于点，连接，证明平面可得，再根据题意利用勾股定理证明，从而可得平面平面. （2）根据题意建立空间支教坐标系，由平面平面，可得，进而求平面的一个法向量，设，可得的坐标，从而设与平面所成角为，进行利用向量法讨论与平面所成角的正弦值即可得到答案. 【详解】（1）证明：连接与交于点，连接， 则， 又分别为的中点，所以， 则， 因为，平面，平面, 所以平面， 又平面，所以， 在菱形中，， 则在中，由余弦定理得 =， 因为，所以， 则， 又，平面，平面 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）以为原点，以所在直线分别为轴， 过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则. 由（1）可知，平面平面，易知， 所以， . 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则. 设， 则， 设与平面所成角为， 显然当时，，不满足题意， 所以，所以， 所以， 当，即时，取得最大值为. 3．（23-24高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，平面为内的动点(含边界). (1)求平面与平面夹角的正弦值; (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，运用面面夹角的坐标公式计算即可; （2）设出点的坐标，由平面面，可以表示出的坐标，结合线面角公式计算可得，利用换元法求解即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意知，，又，则， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 则， 设平面与平面夹角为，则， 则， 即平面与平面夹角的正弦值为. （2）如（1）建系及图可知，平面的法向量为， 平面的法向量为， 设，则， 因为平面面，所以， 解得，所以， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 又为内的动点(含边界)所以，解得， 所以， 令，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 两边同乘以3可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【点睛】思路点睛：求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的两个平面的夹角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 4．（22-23高二上·山东潍坊·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角. (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）首先证明，然后证明平面，可得，即可证明； （2）首先证明平面，然后以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案. 【详解】（1）连接，由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，； 又为中点，， 因为二面角为直二面角， 即平面平面，平面平面平面 平面，又平面； 又平面平面. （2）， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面 平面， 则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设，则， ； 由（1）知：平面平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，则； ， 令，则； ， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 5．（22-23高二上·山西太原·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点分别为的中点，且. (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面的法向量与，由此可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）设，从而分别求得平面与平面的法向量与及，从而由题意条件求得，进而可求得平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为平面，所以， 故建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，故， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. . （2）设，则，故， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，故， 易得平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得， 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，则，故，即. 所以平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为. 6．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点. (1)若为线段的中点，求证：//平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、利用函数单调性求最值或值域、证明线面垂直 【分析】（1）取中点为，可得，然后利用线面平行的判定定理即得； （2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得DC⊥平面PAD， 可以取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AD＝2，（），利用空间向量方法求得平面与平面夹角的余弦值关于的函数，研究单调性，从而得到取值范围. 【详解】（1）取中点为，连接, 在中，∵为的中点，为中点， ∴, 在正方形中，∵为的中点， ∴, ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）在正三角形中，为的中点， ∴， 当时， ∵平面，平面， ∴AM⊥平面， 又∵平面PCD， ∴AM⊥DC， ∵在正方形ABCD中，AD⊥DC， 又平面，平面， ∴DC⊥平面PAD， 又∵平面PAD， ∴直线PO⊥直线CD， 显然PO⊥AD,AD⊥CD, ∴可以取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（为BC的中点）， 设AD＝2，则，，，（），，，， ，，，， 设平面的法向量为， ，令，则， 设平面PBC的法向量为， ，令，则， ∴ （）. 当时，； 当时，， 此时，所以， ； 综上 ∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值的取值范围是. 四、线面角，二面角的探索性问题（共8小题） 1．（23-24高二上·北京海淀·期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.    (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解； （2）设，表示出，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解. 【详解】（1）因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，， 所以是正三角形，四边形为菱形， 可得，， 而平面平面，平面平面， 平面，， 平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， ， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， ， 所以二面角的余弦值为. （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设，因为，，所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 2．（23-24高三上·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量、线面平行的性质、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （3）则以D为原点，建立空间直角坐标系，先求出点坐标，直线DP的方向向量与平面ABE的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】（1）因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. （2）因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. （3）由于，，，平面，， 则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 于是，，设平面ABE的法向量为， 则，，令，得， 假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 设，， ， 解得：. 所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上．    (1)若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； (2)求点到平面的距离； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)为靠近点的四等分点，理由见解析 (2) (3) 【知识点】空间中的点（线）共面问题、求点面距离、已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）当为靠近点的四等分点时，结合已知条件可得∥，而∥，则∥，从而可得结论； （2）取中点，连接，，由面面垂直可得平面，再由结合菱形的性质可得，则得平面，然后求出，再利用等体积法可求得点到平面的距离； （3）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）当为靠近点的四等分点时，四点共面， 理由如下： 因为，所以， 所以∥， 因为四边形是菱形，所以∥， 所以∥，所以四点共面；    （2）取中点，连接，． 因为为等边三角形，， 所以，，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，∥，所以． 因为，平面，平面，， 所以平面，又平面，所以． 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得；    （3）由（2）知，，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， 所以，，． 设，则，． 得，则． 又平面，则取平面的法向量． 设与平面所成的角为，则 ， 化简整理得，解得． 则，． 设平面的法向量，则, 令，则取平面的法向量， 又平面的法向量． 故平面与平面夹角的余弦值为．    4．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在； 【知识点】已知线面角求其他量、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求二面夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离； （3）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解, 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则 为的中点， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）， 所以点到平面的距离为. （3）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 5．（23-24高二上·北京·期中）在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）为中点，连接、，由中位线、等腰直角三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质可证结论. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由法向量的夹角公式即可得解. （3）假设存在N使面面PAB且，，由（2）易得，进而求面的法向量，由面面垂直易得求参数，即可确定存在性. 【详解】（1）若为中点，连接、，又M为AB的中点. ∴，由，则， 又△为等腰直角三角形，，易知：， 由，则面， ∵面， ∴. （2）由（1）可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， ∴，则，，， 若为面的一个法向量，则，令，即， 若为面的一个法向量，则，令，即， ∴， 由图可知二面角为锐角，则二面角的余弦值为. （3）若存在N使得平面平面，且，， 由（2）知：，，则，， 若是面的一个法向量，则，令，则， ∴，可得. ∴存在N使得平面平面，此时. 6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 7．（23-24高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． (1)若是线段的中点，求证：平面； (2)若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）连接，根据已知得出.进而根据面面垂直以及线面垂直的性质定理得出.然后根据菱形的性质得出.进而即可根据线面垂直的判定定理，得出证明； （2）连接，先根据已知推得面.以为原点，建立直角坐标系．设，得出各点的坐标，根据向量共线得出点坐标，求出平面以及平面的法向量.根据已知列出方程，结合图象，即可得出的值. 【详解】（1）连接， 因为为正三角形且是的中点，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为四边形是菱形， 所以. 又，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面． （2） 连接， 因为四边形是菱形， 所以，. 又，所以为等边三角形. 又是的中点，所以. 平面平面，平面平面，平面， 所以，面. 以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴、所在直线为轴，如图建立直角坐标系． 设，则，，， 所以，，，. 又，所以. 设面法向量为， 因为，， 所以，即， 取，得. 设，则，， 由得，， 即，即， 则，则，. 设为面法向量，则 ，所以有，即， 取可得，. 由已知可得，解得或5． 因为二面角为锐二面角，所以由图可知，． 8．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且. (1)求直线和平面所成角的正弦值； (2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】线面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）首先求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线和平面所成角的正弦值. （2）设，利用二面角的大小列方程，求得，进而求得. 【详解】（1）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形，∴是直角三角形，，，， ∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，， ∵，为的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形 ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （2）在棱上存在点，使二面角的大小为. 设 由（1）知，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵二面角的大小为， ∴， 即， 整理得，，解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，. 五、直线与直线的位置关系（共4小题） 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】 先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案. 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 2．（多选）（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 3．（22-23高二上·四川遂宁·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【知识点】直线过定点问题 【分析】 根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】 根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 4．（22-23高二上·四川成都·期中）关于直线​，有下列说法: ①对任意​，直线​不过定点； ②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点； ③当​时，点​到直线​的距离最小值为​； ④对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线. 其中正确的是 . 【答案】①③ 【知识点】直线过定点问题、求平面轨迹方程、基本不等式求和的最小值、求点到直线的距离 【分析】 ①变形为，可得到直线不过定点； ②可举出反例； ③利用点到直线距离公式和基本不等式进行求解； ④联立两直线方程，求出交点坐标，结合，得到交点轨迹方程. 【详解】 ①对任意，随着的变化，也随之变化，故直线不过定点，①正确； 平面内取点，则，即，无解，故②错误； 点到直线的距离，令， 则， 因此， 当且仅当，即时，等号成立，③正确； 联立直线与，得到， 故交点坐标为， 又因为， 所以交点坐标满足方程， 但当时，，不合题意，所以交点取不到， 所以交点轨迹为一直线的一部分，④错误. 故答案为：①③. 六、圆中的最值问题（共5小题） 1．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（    ） A．12 B． C． D．6 【答案】D 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值. 【详解】因为，，所以， 又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为， 所以圆上点到直线的最大距离为， 所以的面积的最大值为， 故选：D. 2．（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径、求平面两点间的距离 【分析】首先化简题给条件，得到其为以为圆心半径为2的圆的右半部分，再利用数形结合即可求得的最大值，最小值. 【详解】由，可得， 此方程表示的曲线为以为圆心半径为2的圆的右半部分， 则表示点与此半圆上点的距离， 其最大值为，最小值为， 又，，， 则最大值为，最小值为. 故选：B 3．（23-24高三上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】先求出点的轨迹方程为，设，整理可得，从而将所求转化为点到点和点的距离之和的一半，再结合图象进行求解即可. 【详解】设， 由， 得，化简整理得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， 设，则， 故， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    【点睛】关键点点睛：设，得出，将问题转化为点到点和点的距离之和的一半是解决本题的关键. 4．（23-24高二下·广东·期中）在中，，，则面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、轨迹问题——圆 【分析】取中点，以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，结合，求出点的轨迹方程，再结合三角形的面积公式，即可求解． 【详解】取中点，以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，如图所示：   因为，故， 设，， 则，化简整理得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去，． 则，故当时，面积取最大值为． 故答案为：． 5．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外. (1)求圆的圆心坐标； (2)若点在圆上，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径 【分析】（1）设出圆的标准方程：，然后利用题中相关点及几何条件从而求解； （2）先求圆外点到圆心的距离，则可知：. 【详解】（1）设圆的标准方程为：， 由题意得：，得：， 即：圆的圆心坐标：. （2）由题意得:， 所以：， 所以：最大值为：：，最小值为：. 七、直线与圆的位置关系（共8小题） 1．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知点A为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、平面解析综合 【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得. 【详解】∵，∴. 设P点坐标为，由题意，则， ∴P点轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，记为圆， 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则， 当A，P，M三点共线（位于两侧）时，等号成立. 又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离， 由到直线距离，则. 故. 如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数为，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 2．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆心为的圆满足下列条件：圆心位于轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为． (1)求圆的标准方程； (2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形，是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】由向量线性运算结果求参数、由圆心（或半径）求圆的方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设圆的方程为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率不存在时，根据、、三点共线推出不合乎题意，在斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据求出的值，再结合进行验证，即可得出结论. 【详解】（1）解：设圆的方程为，由题意知，解得， 所以，圆的标准方程为． （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则、、三点共线，不满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立，消去可得， 则，可得，解得或， 由韦达定理可得，则， 在平行四边形中，， 假设，则，且，则， 所以，，解得，但，假设不成立． 所以，不存在满足题设条件的直线． 3．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知动点与两个定点的距离的比为. (1)求动点的轨迹； (2)过点作直线，交曲线于两点，不在轴上． ①过点作与直线垂直的直线，交曲线于两点，记四边形的面积为，求的取值范围： ②已知，设直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是，直线方程；理由见解析 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）设为所求轨迹上的任意一点，结合，列出方程，即可求解； （2）①设直线的方程为，求得圆心到直线的距离，得到，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； ②联立方程组，求得，再由直线和方程，联立可得，代入求得的值，即可求解. 【详解】（1）设为所求轨迹上的任意一点， 则，可得，整理得， 所以曲线的方程. （2）①设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以， （i）若，则直线为轴，此时，则， （i i）若，则直线为，， 所以， 令，由于，则，， 于是， 由于，所以，因此，即时， 取得最大值，最大值为7， 同时，由二次函数的性质可知， 所以，即面积的取值范围为， 综上所述： ②设， 联立方程组，整理得， 易得，所以， 直线方程为，直线方程为， 联立可得， 可知， 代入上式得，解得 所以点在定直线上. . 4．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）设出点坐标，根据距离公式以及得到的等量关系即为轨迹方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，斜率不存在时直接计算即可，斜率存在时联立直线与轨迹方程，利用坐标法结合不等式完成计算. 【详解】（1）设，因为， 所以，所以， 化简得：， 所以的轨迹方程为：； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，代入的轨迹方程可得， 不妨令，所以， 所以； 当直线斜率存在时，设，， 联立，可得， 所以， 又， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以； 综上可知，的取值范围为. 5．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到直线距离等于半径得到方程，求出，得到圆的方程； （2）设出直线，联立圆的方程，得到两根之和，两根之积，由得到，根据得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去）， 所以圆的方程为． （2）设，，直线， 联立得，， ，解得， 所以，， ， 因为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线． 6．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知圆. (1)证明：圆恒过两个定点. (2)当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆过定点问题 【分析】（1）圆的方程可化为，令，解得即可证明结论成立； （2）由题意设出直线方程，然后直线与圆联立方程组，消掉以后得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系化简求值即可，注意一元二次方程有两个解，则. 【详解】（1）证明：圆的方程可化为. 令得或， 故圆恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和. （2）解：当时，圆的方程可化为. 由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立消去得， 所以，解得. 因为，所以，解得，又，所以. 7．（23-24高二上·福建福州·期中）已知圆. (1)若圆与直线相切于点，求直线的方程； (2)已知，圆与轴相交于（点在点的左侧），过点任作一条不与坐标轴垂直的直线，该直线与圆相交于两点，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、点与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据已知求出的值，进而得出圆心、半径.设出直线方程，根据相切关系得出圆心到直线的距离与半径的关系，列出方程，求解即可得出答案； （2）先求出的坐标，设出的直线，代入的方程联立，根据韦达定理得出坐标之间的关系.化简，假设，列出方程，求解即可得出的值. 【详解】（1）由已知可得，点在圆上， 所以有，解得， 所以，圆的方程为， 化为标准方程为，圆心为，半径. 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆不相切； 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 即. 因为直线与圆相切，所以有圆心到直线的距离， 即， 整理可得，解得， 所以直线的方程为. （2）令，得，解得或， 所以，，. 假设存在实数， 由已知可设直线的方程为， 代入可得，. 设，， 从而. 因为 ， 又 . 因为，所以， 所以，所以. 所以，存在实数，使得. 【点睛】关键点点睛：假设存在实数，使得成立，即可转化为成立. 8．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图，圆经过点，，且与轴的正半轴相切于点，为坐标原点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点在圆上，过点的直线交圆于、两点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、由直线与圆的位置关系求参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）先求出圆心的横坐标，从而由题可知得出圆的半径，再用待定系数法即可求解； （2）先讨论直线的斜率是否存在的两种情况，当斜率存在时，设出直线的点斜式方程并与圆联立方程组，求出，的值，通过运算可求得，从而得证. 【详解】（1）因为圆经过点，，且与轴的正半轴相切， 所以圆心的横坐标，半径， 设圆的标准方程为，代入点， 解得（舍去）， 所以圆的标准方程为． （2）证明：由（1）可知，则圆的方程为． 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，， 由．得． 则，． 则， 而 所以，故． 当直线轴时，成立． 综上，． 8、 圆与圆的位置关系（共6小题） 1．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【知识点】圆过定点问题、圆内接三角形的面积、圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得P点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设方程，含参表示方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）由题知：直线方程为， 则由，得到，即， 点为线段的中点，， 即， ，即圆心； 到直线距离为， ， 又到直线的距离为，边上的高为. . （2）由上可知, 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，半径平方为， 所以，以线段为直径的圆的方程为， 即， 由，解得， 因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点.    2．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离、圆内接三角形的面积 【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明； （2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程； （3）由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：； 则，． 所以，为定值． （2）因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． （3）过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，② ①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为． 点到直线的距离， 所以， 所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 3．（23-24高二上·河北保定·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切. (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆M与圆有公共点，求a的范围； (3)若点在的“欧拉线”上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、由圆的位置关系确定参数或范围、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程； （2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围 （3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求出对称点即可得结果. 【详解】（1）因为，所以是等腰三角形， 由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上， 设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直， 由可得：的中点，即，所以， 故的方程为. （2）因为与圆相切，故， 圆的圆心坐标为，半径， 则要想圆与圆有公共点， 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值， 故，所以. （3）因为， 所以该式子是表示点到点、点的距离之和， 又， 所以上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值. 设点关于直线的对称点为， 则有解得，即. 所以，所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为. 4．（23-24高二上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的最小值，并求出此时直线的方程. 【答案】(1); (2)，. 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、相交圆的公共弦方程、切线长 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法建立方程组，求解即可; （2）通过分析只需满足最小，求出最小值，求出以为圆心，为半径的圆与圆相减得到直线方程. 【详解】（1）设圆心的坐标为，圆的半径为， 则圆的标准方程为， 又圆经过点和，所以，解得 所以圆的标准方程为. （2）根据切线的性质及圆的对称性可知， 则，要使最小，只需最小， 即最小，此时， 所以，， ， 过点且垂直于的方程为， 将其与的方程联立，解得， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 结合圆的方程，两式相减可得直线的方程为. 5．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，点，. (1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围； (2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）根据垂直关系可得以为直径的圆的方程为，即可根据两圆位置关系求解. （2）根据中点坐标公式得到，，再将两点的坐标代入圆方程，建立方程组，根据方程组有解转化为圆与圆的位置关系进行求解． 【详解】（1）的中点为，所以以为直径的圆的方程为， 由于圆上存在点满足， 则P在以为直径的圆上，故该圆与有交点即可， 所以,解得 （2）由题可知，圆，所以圆心， 直线， 因为为线段上的任意一点，所以设，，， 因为为的中点， 所以， 又因为，都在以点为圆心的圆上， 所以，即， 所以方程组有解，即为圆心为半径的圆与为圆心为半径的圆有公共点，两圆圆心距离为， 所以对恒成立， 因为时，，所以，解得， 又因为在圆外，所以恒成立，所以，，所以， 所以， 6．（23-24高二上·河北保定·期中）已知圆C：，． (1)证明：圆C过定点． (2)当时，过作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程； (3)当时，若直线l：与圆C交于M，N两点，且，其中O为坐标原点，求k的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、相交圆的公共弦方程、圆过定点问题 【分析】（1）化简圆的方程为，令，即可求解； （2）根据切线的性质，得到过作圆C的两条切线的切点，都在以为直径的圆上，求得以为直径的圆方程，结合圆与圆的公共弦方程的解法，即可求解； （3）将代入圆，利用根与系数的关系，得到，，根据以，结合数量积的运算公式，得出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由圆的方程， 可得，即， 令，可得，解得， 所以圆C过定点，且定点的坐标为. （2）解：当时，圆C的标准方程为， 可得,且， 根据切线的性质知，过作圆C的两条切线的切点，都在以为直径的圆上， 设PC中点为D，即为圆心，因为且，可得，且， 则以为直径的圆方程为，即， 又因为为圆和圆的公共弦，两圆方程相减得直线得方程为． （3）解：当时，圆C的标准方程为，即， 将代入，整理得， 则恒成立， 设，，则，， 所以 ， 整理得，解得，所以的取值范围是. $$