专题01 高二上期中真题精选（常考89题16 类考点专练）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 高二上期中真题精选（常考89题16类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 用基底表示向量（共3小题） · 空间向量共面（共3小题） · 空间中两个向量成锐角（钝角）（共4小题） · 借助向量证明平行（垂直）关系（共5小题） · 借助向量求点到直线距离（共5小题） · 异面直线所成角（共5小题） · 线面角问题（共5小题） · 二面角问题（共5小题） · 点到平面的距离问题（共5小题） · 直线的倾斜角和斜率（共5小题） · 求直线方程（共5小题） · 两条直线平行与垂直（共8小题） · 二元二次方程表示圆的条件（共5小题） · 直线与圆的位置关系（共10小题） · 圆与圆的位置关系（共10小题） · 直线（圆）与圆的综合问题（共6小题） 一、用基底表示向量（共3小题） 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，记，，，点P满足，则（    ） A． B． C． D． 二、空间向量共面（共3小题） 1．（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二上·湖北黄石·期中）已知向量，，，若，，互不共线，且，，共面，则为 . 3．（23-24高二下·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 三、空间中两个向量成锐角（钝角）（共4小题） 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高二下·江苏宿迁·期中）若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 3．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 4．（22-23高二上·福建三明·期中）已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是 . 四、借助向量证明平行（垂直）关系（共5小题） 1．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 2．（23-24高二上·广东江门·期中）长方体中，，.点为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 五、借助向量求点到直线距离（共5小题） 1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 六、异面直线所成角（共5小题） 1．（23-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，正三棱柱中，AB＝2，，，D为BC的中点．当时， ，此时，直线AD与直线所成的角的余弦值为 ．    3．（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 4．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 5．（23-24高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 七、线面角问题（共5小题） 1．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点. (1)证明：共面； (2)求直线与平面所成角的大小. 4．（23-24高二上·青海西宁·期中）如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 5．（23-24高二下·浙江·期中）如图，四棱锥，底面为正方形，平面平面，为的重心． (1)若点在线段上，且，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 八、二面角问题（共5小题） 1．（23-24高三上·河南·期中）如图，在三棱锥中，，,，，于点. (1)证明：平面； (2)若点满足，求二面角的余弦值． 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值． 3．（23-24高二下·广东湛江·期中）如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 4．（23-24高二下·广西贵港·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 5．（23-24高二下·河南安阳·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 九、点到平面的距离问题（共5小题） 1．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为 . 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为 . 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为 . 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 5．（23-24高二上·安徽·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，为的中点，为上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为 . 十、直线的倾斜角和斜率（共5小题） 1．（23-24高二上·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 5．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 十一、求直线方程（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 3．（23-24高二上·新疆·期中）已知的顶点坐标分别为，求边上的高所在的直线方程. 4．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，.求： (1)过点A且与平行的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程. 5．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知三个顶点的坐标：. (1)求过点A且与直线平行的直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 十二、两条直线平行与垂直（共8小题） 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二下·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 6．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，直线：．其中，均不为0． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 7．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程： (1)直线的倾斜角为； (2)直线与直线垂直. (3)直线与直线平行. 8．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线经过点. (1)若平行于直线，求的一般式方程； (2)若垂直于直线，求在y轴上的截距， 十三、二元二次方程表示圆的条件（共5小题） 1．（23-24高二上·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）方程表示圆，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高二上·山东·期中）若方程表示圆，则的取值范围为 ． 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）方程表示圆，则实数a的取值范围为 ． 十四、直线与圆的位置关系（共10小题） 1．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·湖南·期中）是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（多选）（23-24高二上·吉林长春·期中）下列直线中，与圆相切的有（     ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 8．（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 9．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 10．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 十五、圆与圆的位置关系（共10小题） 1．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 3．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 4．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 5．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 7．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 8．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 9．（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点． (1)求圆的一般方程； (2)求圆与圆的公共弦的长． 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． (1)求实数a的取值范围以及直线l的方程； (2)已知，若圆C上存在两个不同的点P，使，求实数a的取值范围． 十六、直线（圆）与圆的综合问题（共6小题） 1．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点. (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 4．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程； (2)若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (3)过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 6．（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆C：与圆的相交弦长为 (1)求圆C的半径R的值； (2)若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标. $$专题01 高二上期中真题精选（常考89题16类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 用基底表示向量（共3小题） · 空间向量共面（共3小题） · 空间中两个向量成锐角（钝角）（共4小题） · 借助向量证明平行（垂直）关系（共5小题） · 借助向量求点到直线距离（共5小题） · 异面直线所成角（共5小题） · 线面角问题（共5小题） · 二面角问题（共5小题） · 点到平面的距离问题（共5小题） · 直线的倾斜角和斜率（共5小题） · 求直线方程（共5小题） · 两条直线平行与垂直（共8小题） · 二元二次方程表示圆的条件（共5小题） · 直线与圆的位置关系（共10小题） · 圆与圆的位置关系（共10小题） · 直线（圆）与圆的综合问题（共6小题） 一、用基底表示向量（共3小题） 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 2．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，记，，，点P满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的线性运算求出结果． 【详解】三棱柱中，记，，， 如图所示：    故 ． 故选：D． 二、空间向量共面（共3小题） 1．（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共面求参数 【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北黄石·期中）已知向量，，，若，，互不共线，且，，共面，则为 . 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用空间向量基本定理即可解题. 【详解】令， 即，所以，，，经检验符合题意. 故答案为： 3．（23-24高二下·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】4 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、锥体体积的有关计算 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】，故，， 不妨令，则，又，故点共面， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据，转化为，再根据四点共面的向量表示，从而确定的位置，进而求得体积. 三、空间中两个向量成锐角（钝角）（共4小题） 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 2．（多选）（22-23高二下·江苏宿迁·期中）若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】 依题意可得且与不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可. 【详解】因为与的夹角为锐角， 所以，解得， 当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是， 经检验，选项C、D符合题意. 故选：CD 3．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出答案. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线， 因为，所以，解得， 当与共线时，，即，则，解得， 所以且. 故答案为：且. 4．（22-23高二上·福建三明·期中）已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据求出的值，再求出与的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标表示得到不等式求出参数的取值范围，再检验两向量共线的情况. 【详解】解：因为，，， 所以，解得， 所以， 所以，， 因为向量与所成角为钝角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 此时与共线同向， 综上可得. 故答案为： 四、借助向量证明平行（垂直）关系（共5小题） 1．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为， 则，，，，， 所以，， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 又，即， 又平面，所以平面.    （2）由（1）知， 所以，所以. 2．（23-24高二上·广东江门·期中）长方体中，，.点为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】 （1）根据长方体的性质，结合线面垂直的判定定理、正方形的性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行证明即可. 【详解】（1）因为是长方体， 所以平面，而平面， 所以， 又因为， 所以侧面是正方形，因此， 因为平面， 所以平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有， 因为， 所以有平面. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面垂直计算即可. 【详解】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 4．（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解； （2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明； （3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）由题可知，底面，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 即两点间的距离为. （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又平面平面， 所以平面. （3）由（2）知，，，， 所以，， 则，即， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 五、借助向量求点到直线距离（共5小题） 1．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 2．（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】根据给定条件，利用空间点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A 3．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果. 【详解】由题意得， 所以， 所以， 所以点A到直线BC的距离. 故选：D. 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为，在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法求点到直线的距离. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 取，，则，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：.    六、异面直线所成角（共5小题） 1．（23-24高一下·浙江温州·期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 2．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，正三棱柱中，AB＝2，，，D为BC的中点．当时， ，此时，直线AD与直线所成的角的余弦值为 ．    【答案】 ； . 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意，以点为原点，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算以及异面直线夹角公式，代入计算，即可求解. 【详解】    因为为正三棱柱，且为中点， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为AB＝2，， 则， 则，所以， 即， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为，又， 时，，解得， 此时，设直线AD与直线所成的角为， 则， 即直线AD与直线所成的角的余弦值为. 故答案为：； 3．（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、证明异面直线垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【详解】（1）如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2）由(1)知， 即 ， 故的长为； （3）， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 4．（23-24高二下·甘肃酒泉·期中）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）连接，即可说明，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，由线面角求出，再利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接，因为为菱形，对角线与相交于点，所以为的中点， 又是的中点， 则，且平面，平面， 所以平面. （2）因为为菱形，所以，又底面， 则两两互相垂直，以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形中，，所以， 在中， 因为底面，所以与底面，所成的角为， 所以， 则 又是的中点，则， 于是，， 设与的夹角为，则有， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 5．（23-24高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、已知线线角求其他量 【分析】（1）首先作出两平面的交线，再根据线面平行的判断定理，即可证明； （2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，代入向量所成角的余弦值公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接交于点，连接， 则平面和平面交线为，即 因为为直三棱柱，所以为平行四边形， 所以为中点，为中点，所以， 又平面平面， 所以平面，即平面. （2）直三棱柱中，，所以两两垂直. 以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，则， 所以 解得，所以线段长为. 七、线面角问题（共5小题） 1．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【详解】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． （2）由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面，分别为线段，中点. (1)证明：共面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、判定空间向量共面、空间向量数量积的应用、线面角的向量求法 【分析】（1）由题意利用平面向量的运算可得，由共面向量定理即可证明； （2）方法一：利用线面垂直的性质得，由(1)，可得，进而利用平面向量的夹角公式即可求解； 方法二：以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系，利用空间向量线面角的公式求解即可. 【详解】（1）由题意得：， 则由共面向量定理知，共面. （2）方法一：由平面，知为平面的法向量， 又平面，所以. 由（1）知：， ， 设直线与平面所成角为， 所以，直线与平面所成角大小为. 方法二：由题平面及为正方形， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系; 则，则， 由平面知为平面的法向量 设直线与平面所成角为， 则 所以，直线与平面所成角大小为. 4．（23-24高二上·青海西宁·期中）如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明； （2）利用向量法，线面角的求法求解. 【详解】（1）解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2）由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 5．（23-24高二下·浙江·期中）如图，四棱锥，底面为正方形，平面平面，为的重心． (1)若点在线段上，且，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，求得和平面的法向量，计算其数量积即可得证； （2）由（1）得：，，设直线与平面所成角为，代入线面角公式即可求解． 【详解】（1）平面平面，平面平面，平面，，平面， 以为坐标原点，垂直平面竖直向上为轴，以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，则， 由重心得，，即， 由得：，所以，， 设平面的一个法向量为，，令， ，又不在平面内， 平面； （2）由（1）得：，， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 八、二面角问题（共5小题） 1．（23-24高三上·河南·期中）如图，在三棱锥中，，,，，于点. (1)证明：平面； (2)若点满足，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由已知条件，证明CO⊥AB，CO⊥PO，根据线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用，得出点Q的坐标，求得两个平面所在的法向量即可求解． 【详解】（1）因为是公共边， 所以， 因为，所以，且， 设，则，所以， 解得，故， 在中，因为，所以， 又因为， 所以平面. （2）如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则， ，设， 则， 因为，所以，解得， 故， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 易知平面的一个法向量为， 因为， 所以二面角的余弦值为. 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先利用线面垂直，得到，再根据底面是菱形，得到，再根据线面垂直的判定定理判定线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角的余弦. 【详解】（1）因为平面，平面，所以； 又底面为菱形，所以； 又，平面，所以平面. （2）如图：    设，取的中点，连接，则，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又, 所以，，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，取. 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， 则. 3．（23-24高二下·广东湛江·期中）如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先证，再通过证明平面，得，即可证⊥平面； (2)由题意，建系，写出相关点的坐标，分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为，O为AB中点，所以，因为D为的中点，所以， 在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故， 又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面， 又平面,故，因为，平面，故⊥平面． （2） 如图，取的中点为，连接，则， 则平面ABC，因，故OB，OC，两两垂直， 故可以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，． 由（1）得，平面，则可作为平面的一个法向量． 因，，则，， 设平面的法向量为，则， 故可取． 则平面与平面夹角的余弦值为． 4．（23-24高二下·广西贵港·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）首先证明平面，再由勾股定理求出，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为底面是平行四边形，，所以，． 又，，所以，， 又，平面，所以平面． 设，则，由，得， 解得（负值已舍去），则，． 因为，所以，故， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 由图可知，是平面的一个法向量． 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 5．（23-24高二下·河南安阳·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若为棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由给定条件证得，再利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 在矩形中，为边的中点，， 则，，即有， 而平面，所以平面. （2）显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 九、点到平面的距离问题（共5小题） 1．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为 . 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量，利用距离公式即可求解. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由题意可得，解得， 所以顶点到平面的距离为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）在空间直角坐标系中，已知点，向量，平面，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】先得到向量的坐标，用点面距离的向量公式计算即可. 【详解】因为，且为平面的一个法向量， 则点到平面的距离为： ， 故答案为：. 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】求出平面的法向量后，再计算到平面的法向量的投影即可得. 【详解】由题意可得，， 设平面的法向量为， 则有，即， 可取，则、，即， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据，得到两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示， 正方体的体对角线就是外接球的直径，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离， 所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 5．（23-24高二上·安徽·期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，为的中点，为上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】先求出平面的法向量，然后再根据点到面的距离公式求出距离即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以点到平面的距离， 故答案为： 十、直线的倾斜角和斜率（共5小题） 1．（23-24高二上·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知两点求斜率 【分析】利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】由题意可知直线的斜率为. 故选：A 3．（23-24高二下·浙江·期中）若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线方程得到直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A 4．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 5．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 十一、求直线方程（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】求出的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式得出其方程并整理可得一般式方程. 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    3．（23-24高二上·新疆·期中）已知的顶点坐标分别为，求边上的高所在的直线方程. 【答案】 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】求出，可得边上的高所在直线的斜率，利用点斜式即可得出边上的高所在直线方程． 【详解】由题意，，可得边上的高所在直线的斜率为， 可得边上的高所在直线方程为：，化为：. 4．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，.求： (1)过点A且与平行的直线方程； (2)边垂直平分线方程； (3)过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式计算即可； （2）利用中点坐标公式、直线的垂直关系及点斜式计算即可； （3）利用二倍角公式及点斜式计算即可. 【详解】（1）易知：， 则过点A且与平行的直线方程为， 化简得. （2）易知的中点，， 所以边垂直平分线方程为， 化简得. （3）设直线倾斜角为，则，， 所求直线方程为， 化简得. 5．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知三个顶点的坐标：. (1)求过点A且与直线平行的直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）利用直线的平行关系及点斜式计算即可； （2）利用直线的垂直关系及点斜式计算即可. 【详解】（1）易知，所以过点A且与直线平行的直线的方程为； （2）易知，所以边上的高所在直线的方程为. 十二、两条直线平行与垂直（共8小题） 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出 的值 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3．（23-24高二下·浙江丽水·期中）已知直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】由直线的位置关系与充分、必要条件的概念求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)0 (2)或 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据直线平行的必要条件求a，然后验证即可； （2）根据直线垂直的充要条件求解可得. 【详解】（1）若，则有， 即，解得或， 当时，，，满足； 当时，，，此时重合，不满足. 综上，实数的值为0. （2）若，则， 即，解得或. 所以，实数的值为或. 6．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，直线：．其中，均不为0． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）由两线垂直的判定列方程，即可求值； （2）由两线平行的判定列方程，即可求值，注意或； 【详解】（1）由，则，得. （2）由，则，故，其中（或）． 7．（23-24高二上·广东湛江·期中）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程： (1)直线的倾斜角为； (2)直线与直线垂直. (3)直线与直线平行. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）由直线的倾斜角求出斜率，代入点斜式方程求解即可； （2）设与直线垂直的直线为，代点求出即得解； （3）设与直线平行的直线为，代点求出即得解. 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 由直线过点得直线方程为，即； （2）因为直线与直线垂直，所以设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为； （3）因为直线与直线平行，所以设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 8．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线经过点. (1)若平行于直线，求的一般式方程； (2)若垂直于直线，求在y轴上的截距， 【答案】(1) (2) 【知识点】直线截距式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】根据直线平行与垂直的充要条件和截距的定义计算即可. 【详解】（1）由题意可设， 因为直线经过点， 故，则； （2）由题意可设， 因为直线经过点， 故，则, 令，所以在y轴上的截距为. 十三、二元二次方程表示圆的条件（共5小题） 1．（23-24高二上·北京顺义·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解. 【详解】因为方程表示一个圆，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）方程表示圆，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据方程表示圆，应当满足求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得：. 故选：B. 3．（23-24高二上·上海·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一个二元二次方程表示圆的充要条件，写出关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】把方程配方得：，因为方程表示一个圆， 则，解得，则实数的取值范围是. 故答案为：． 4．（23-24高二上·山东·期中）若方程表示圆，则的取值范围为 ． 【答案】或. 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用圆的一般方程的判别式判断即可. 【详解】根据题意可得：，解得或. 故答案为：或. 5．（23-24高二上·上海浦东新·期中）方程表示圆，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】将圆的方程化为标准形式，从而可列不等式，求解即可. 【详解】将圆的方程化为， 所以，解得或. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 十四、直线与圆的位置关系（共10小题） 1．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离 【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆心到直线的距离为， 所以线段PQ长度的最小值为. 故选：B 3．（23-24高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 4．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 5．（23-24高二下·湖南·期中）是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求得圆心与半径，求得直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，进而可求动点到直线的最大距离. 【详解】由圆，可知圆心的坐标为，半径为， 由，可得，所以直线恒过定点． 故圆心到直线的最大距离为，圆上的动点到直线的最大距离为． 故选：D. 6．（多选）（23-24高二上·吉林长春·期中）下列直线中，与圆相切的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】先找出圆的圆心和半径，然后利用几何法逐项判断即可. 【详解】圆，即， 则其圆心为，半径为， 选项A：点到直线的距离，故直线与圆相交，故A错误； 选项B：点到直线的距离，故直线与圆相切，故B正确； 选项C：点到直线的距离，故直线与圆不相切，故C不正确； 选项D：点到直线的距离，故直线与圆相切，故D正确； 故选：BD. 7．（多选）（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【知识点】向量与几何最值、直线与圆的位置关系求距离的最值、数量积的运算律、直线过定点问题 【分析】将直线的方程化简为点斜式，判断出A项的正误；根据时被圆截得弦长最短，算出的最小值，从而判断出B项的正误； 利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出的最大值与的大小，从而判断出CD两项的正误． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 8．（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【答案】5或 【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出. 【详解】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 9．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、求平面轨迹方程、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）设，根据已知列式化简，即可得解； （2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程. 【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 所以M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 10．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】（1）利用圆的切线性质求出，进而求得圆的半径即得答案. （2）求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】（1）依题意，设圆的方程为， 由圆与轴相切于点，得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以．    十五、圆与圆的位置关系（共10小题） 1．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. 【详解】由，得， 化简得， 所以直线AB的方程为. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【知识点】判断圆与圆的位置关系、轨迹问题——圆 【分析】由题意得轨迹为圆：，再由圆心距和、比较，即能得到两圆位置关系. 【详解】设，因为，化简得到圆：，是以为圆心，2为半径的圆； 圆是以为圆心为半径的圆，则，，所以两圆相交. 故答案为：相交. 4．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求两圆的交点坐标 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 5．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 【答案】 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程、由圆的一般方程确定圆心和半径、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值. 【详解】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故答案为：. 6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程、求两圆的交点坐标 【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可求解， （2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求解，或者利用圆系方程，代入圆心坐标即可求解. 【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为， 即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴ 解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一： 联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 8．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)有，公共弦长为 【知识点】判断圆与圆的位置关系、轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数、两圆的公共弦长 【分析】（1）计算圆心到直线距离为，再根据弦长公式计算得到答案. （2）设，根据得到，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案. 【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得； （2），设，由得， 化简得：，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 圆心距，，两圆相交， 所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为. 9．（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点． (1)求圆的一般方程； (2)求圆与圆的公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求圆的一般方程、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长. 【详解】（1）设，由得，解得，则， ，所以圆的标准方程为，半径为， 所以圆的一般方程为. （2）圆即，圆心为，半径为， 两点的距离为，而，所以两圆相交， 由、， 两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 10．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． (1)求实数a的取值范围以及直线l的方程； (2)已知，若圆C上存在两个不同的点P，使，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】点与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）先由圆的方程写出圆心和半径；再由点M在圆内可求出实数a的取值范围；最后根据即可得出直线l的方程. （2）先设出点P的坐标，由得出点P的轨迹方程；再根据圆C上存在两个不同的点P可知两圆相交，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由圆可得，则圆心，半径. 因为直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为． 所以点在圆内，则，即，解得 故实数a的取值范围为. 因为弦AB的中点为，所以 由圆的性质可得，则，所以直线l的方程为：，即. （2）设点P坐标为 由，，可得，即. 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 因为圆C上存在两个不同的点P 所以两圆相交，则，解得 故实数a的取值范围为：. 十六、直线（圆）与圆的综合问题（共6小题） 1．（23-24高二上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与圆相切，圆心的坐标为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解； （2）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解. 【详解】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为， ∴圆C的半径， 则圆C的方程为； （2）联立，得， 由，解得， 设， 则， ∵，∴， 即， ∴，解得，符合题意， ∴． 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【知识点】求圆的一般方程、直线与圆的位置关系求距离的最值、直线过定点问题 【分析】 （1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1） 解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2） 解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点. (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值及弦长. 【详解】（1）直线的方程可化为， 联立，解得. 故直线恒过定点. （2）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为， 可知点在圆内，直线与圆相交， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，解得， 此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为. 4．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程； (2)若的坐标为，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (3)过点任作一条不与轴垂直的直线与圆相交于两点，在非正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的，且坐标为 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）根据点到直线的距离，结合待定系数法即可求解圆心， （2）根据四点共圆可得圆方程，进而可得公共弦的直线方程，或者利用向量垂直的坐标关系可得切线方程，进而可得直线方程， （3）根据斜率和为0，结合斜率公式以及韦达定理即可化简求解. 【详解】（1）设圆心的坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 所以圆的标准方程为； （2）法1：由条件可知四点共圆，且直径，记为圆， 则,半径， 所以圆的方程为， 因为圆的方程为， 两圆方程相减可得，所以直线的方程为； 法2：设，设直线上任意不同于点的点为， 根据,可得切线的方程为， 因为在直线上，所以， 同理， 从而直线的方程为，即； （3）设存在点满足条件，由题可设直线，， 由，得， ∵点在圆内部，∴恒成立，则， 因为，所以，即， 即是，整理得， 从而，化简有， 因为对任意的都要成立，所以， 由此可得假设成立，存在满足条件的，且坐标为．    5．（23-24高二上·重庆·期中）已知点，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】（1）设P点坐标为，根据题意结合两点间距离公式运算求解； （2）方法一：根据数量积的运算律分析可得，结合两点间距离公式可得，再根据点的轨迹结合圆的性质分析求解；方法二：分类讨论直线MN的斜率是否存在，设直线MN的方程为，，联立方程，根据向量的坐标运算结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）设P点坐标为， 由可得，化简得， 所以C的轨迹方程为. （2）因为表示圆心为，半径为2，的圆， 且，则点A的直线与C必相交， 法一：设MN的中点为， 因为，则点的轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆， 则 ， 又因为表示点到定点的距离的平方，即， 可知，所以； 法二：当直线MN的斜率不存在时，不妨取， 此时； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 联立方程，整理得， 设，则， 因为， 则 ， 因为，则，可得，所以； 综上所述：． 6．（23-24高二上·福建三明·期中）已知圆C：与圆的相交弦长为 (1)求圆C的半径R的值； (2)若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)或 (2)证明见解析，. 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数、直线过定点问题 【分析】（1）根据题意，联立两圆的方程，结合勾股定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）∵依题意可知两圆的相交弦与x轴垂直 联立方程组 得故有 化简得 故得或 故圆的半径为或 （2）由（1）及可知，则圆的方程为， 设，， 当直线的斜率存在，则可设直线的方程为， 代入圆方程可得：，则， 得， 且，， 所以 . 又∵直线，斜率之和为2，∴ 化简得 代入，得， ∴直线恒过定点. 当直线的斜率不存在时，，，， ∵直线，斜率之和为2， ∴，解得， 但，且，故不合题意，舍去. 综上，直线恒过定点. $$