专题03 旋转（考点串讲，3个常考点+18种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

专题03 旋转 九年级人教版数学上册期中考点大串讲 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 十八大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：旋转的性质 例1[2023福州期末]如图，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是(　A　) A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q A 考点透视 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B 的坐标 为(6，0)，将△ ABO 绕着点 B 顺时针旋转60°，得到△ DBC ，则点 C 的坐标是(　B　) A. (3 ，3) B. (3，3 ) C. (6，3) D. (3，6) B 【变式1-2】[2024佛山月考]如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， ∠ BAC ＝30°， AC ＝3，将△ ABC 绕点 C 按顺时针旋转135° 得到△ EDC ，连接 BE ，则图中阴影部分的面积 为 ⁠. 　 【变式1-3】[2023德阳]将一副直角三角板 DOE 与 AOC 叠放在一起， 如图①，∠ O ＝90°，∠ A ＝30°，∠ E ＝45°， OD ＞ OC . 在两三角板所在平面内，将三角板 DOE 绕点 O 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)到三角形 D1 OE1的位置，使 OD1∥ AC ，如图②. (1)求α的值； 解：(1)∵ OD1∥ AC ，∴∠ AOD1＝∠ A ＝30°. ∵将三角板 DOE 绕点 O 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)到 三角形 D1 OE1的位置，∴α＝∠ AOD1＝30°. [2023德阳]将一副直角三角板 DOE 与 AOC 叠放在一起，如图①，∠ O ＝90°，∠ A ＝30°，∠ E ＝45°， OD ＞ OC . 在两三角板所在平面内，将三角板 DOE 绕点 O 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)到三角形 D1 OE1的位置，使 OD1∥ AC ，如图②. (2)如图③，继续将三角板 DOE 绕点 O 顺时针旋转，使点 E 落在 AC 边上的点 E2处，点 D 落在点 D2处，设 E2 D2交 OD1于点 G ， OE1交 AC 于点 H ，若点 G 是 E2 D2的中 点，试判断四边形 OHE2 G 的形状，并说明理由. 解：(2)四边形 OHE2 G 是正方形，理由如下： 易得∠ E1 OD1＝∠ E2 OD2＝90°， OD2＝ OE2.∵点 G 是 E2 D2的中点，∴ OG ⊥ E2 G ，∠ OE2 G ＝∠ E2 OG ＝45°， ∴ E2 G ＝ OG ，∠ OGE2＝90°. ∵ OD1∥ AC ，∠ GOH ＝90°， ∴∠ AHO ＝180°－∠ GOH ＝90°. ∴四边形 OHE2 G 是矩形. 又∵ E2 G ＝ OG ，∴四边形 OHE2 G 是正方形. 考点 二：中心对称和中心对称图形 例2[2024·宁波期末 新考向·知识情境化]如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　A　) A A B D D 【变式2-1】已知点 A ( a ，1)和点 B (3， b )关于点(5，0)成中心对称， 则 a ＋ b 的值为 ⁠. 6　 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，若△ ABC 与△ A1 B1 C1关于 点 D 中心对称，则对称中心点 D 的坐标是 ⁠. 考点三：关于原点对称的点的坐标的特征 例3已知在平面直角坐标系中，点 A ( m －3，1－ m ) 关于坐标原点对称的点位于第一象限，则 m 的取值范围是(　C　) A. m ＞1 B. m ＜1 C. 1＜ m ＜3 D. m ＜3 C 【变式3-1】[2023唐山模拟]在平面直角坐标系中，点 P (－5， m2＋3) 关于原点的对称点在(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 【变式3-2】[2023广元期末]如图，直角坐标系中，原点 O 是▱ ABCD 的对称中心，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限，边 BC 交 y 轴于点 E ， OE ＝ OA ＝2 ， AE ＝2 EB ，则点 D 的坐标为 ⁠. (－ ，－3 )　 题型一：利用旋转的性质求角度 例4[2023无锡]如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝55°，将△ ABC 逆时针旋转α(0°＜α＜55°)，得到△ ADE ， DE 交 AC 于点 F . 当α＝40°时，点 D 恰好落在 BC 上，此时∠ AFE 等于 (　B　) A. 80° B. 85° C. 90° D. 95° B 题型剖析 点拨：由旋转的性质知∠ BAD ＝∠ CAE ＝40°， AB ＝ AD ， ∠ C ＝∠ E . ∴∠ B ＝∠ ADB ＝70°. ∴∠ E ＝∠ C ＝180°－70°－55°＝55°. ∴∠ AFE ＝180°－55°－40°＝85°.故选B. 题型二：利用旋转的性质求线段长 例5[2023嘉兴模拟]如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，延长 BC 到 F 使 AE ＝ CF ，连接 DE ， DF . (1)能通过旋转△ DAE 得到△ DCF 吗？说明理由. 解：(1)能通过旋转△ DAE 得到△ DCF . 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD ＝ DC ，∠ A ＝∠ DCB ＝∠ ADC ＝90°. ∴∠ DCF ＝90°＝∠ A . 在△ DAE 和△ DCF 中， ∴△ DAE ≌△ DCF (SAS).∴∠ ADE ＝∠ CDF ， DE ＝ DF . ∴∠ EDF ＝∠ ADC ＝90°. ∴△ DCF 可以看作是由△ DAE 绕点 D 按逆时针方向旋转90°得到的. [2023嘉兴模拟]如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的一点，延长 BC 到 F 使 AE ＝ CF ，连接 DE ， DF . (2)连接 EF ，过点 D 作 DN 垂直于 EF ，与 EF 相交于点 M ，与 BC 相交于点 N ，若 BN ＝3， CN ＝2，求 AE 的长. 解：(2)如图，连接 EN . ∵ DE ＝ DF ， DN ⊥ EF ， ∴ EM ＝ FM . ∴ DN 垂直平分 EF . ∴ EN ＝ FN . 由题易知∠ B ＝90°， AB ＝ BC ＝5. 设 AE ＝ CF ＝ x ， 则 BE ＝5－ x ， EN ＝ FN ＝2＋ x . 在Rt△ BEN 中， BE2＋ BN2＝ EN2， ∴(5－ x )2＋32＝(2＋ x )2，解得 x ＝ . ∴ AE ＝ . 题型三：利用旋转证明线段相等 例6在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝α， D 是射线 BC 上一点，连接 AD ，把 AD 绕着点 A 逆时针旋转α，得到 AE . (1)如图①，当点 D 在 BC 的延长线上时，连接 CE ，求 证： BD ＝ CE ； 证明：(1)∵ AD 绕着点 A 逆时针旋转α得到 AE ， ∴ AD ＝ AE ，∠ DAE ＝α. ∵∠ BAC ＝α，∴∠ BAC ＝∠ DAE ， ∴∠ BAC ＋∠ CAD ＝∠ DAE ＋∠ CAD ， 即∠ BAD ＝∠ CAE . 在△ ABD 和△ ACE 中， ∴△ ABD ≌△ ACE (SAS).∴ BD ＝ CE . 在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝α， D 是射线 BC 上一点，连接AD ，把 AD 绕着点 A 逆时针旋转α，得到 AE . (2)如图②，当点 D 在 BC 边上时，若α＝60°，过点 E 作 EF ∥ CB ，分别交 AB ， AD ， AC 于点 F ， M ， N ，连接 CE . 求证： BD ＝ BF . 证明：(2)∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝60°， ∴△ ABC 为等边三角形.∴∠ B ＝60°. 同(1)可得△ ABD ≌△ ACE ， ∴ BD ＝ CE ，∠ ACE ＝∠ B ＝60°. ∴∠ ACE ＝∠ BAC . ∴ CE ∥ AB . ∵ EF ∥ BC ，∴四边形 BCEF 为平行四边形. ∴ CE ＝ BF . ∴ BD ＝ BF . 题型四：利用旋转的性质求图形面积 例7[2024咸阳期末]如图，点 O 为等边三角形 ABC 内一点， AO ＝8， BO ＝6， CO ＝10，将△ AOC 绕点 A 顺时针方向旋转60°，使 AC 与 AB 重合，点 O 旋转至点 O1处，连接 OO1，则△ BOO1的面积是 ⁠. 24　 点拨：由题意得 O1 B ＝ OC ＝10， AO1＝ AO ，∠ OAO1＝60°，∴△ OAO1是等边三角形.∴ OO1＝ AO ＝8. 在△ BOO1中， OB2＋ O1 O2＝62＋82＝100＝ O1 B2， ∴△ OBO1是直角三角形，且∠ O1 OB ＝90°. ∴△ BOO1的面积＝ OB · OO1＝ ×6×8＝24. 题型五：结合旋转的性质求坐标 例8[教材P63习题T11变式]如图，在直角坐标系中，线段 A1 B1 是将△ ABC 绕着点 P (3，2)逆时针旋转一定角度后得到的 △ A1 B1 C1的一部分，则点 C 的对应点 C1的坐标 是 ⁠. (－ 2，3) 题型六：旋转在证明图形全等中的应用 例9[教材P76复习题T5变式]如图，点 A 是线段 BC 上一点，△ ABD 和△ ACE 都是等边三角形. (1)如图①，连接 BE ， CD ，求证： BE ＝ CD ； (1)证明：∵△ ABD 和△ ACE 都是等边三角形， ∴ AB ＝ AD ， AE ＝ AC ，∠ BAD ＝∠ CAE ＝60°. ∴∠ BAD ＋∠ DAE ＝∠ CAE ＋∠ DAE ， 即∠ BAE ＝∠ DAC . 在△ BAE 和△ DAC 中， ∴△ BAE ≌△ DAC (SAS).∴ BE ＝ CD . (2)如图②，将△ ABD 绕点 A 顺时针旋转60°得到△ AMN ，点 M 与点 D 重合，点 N 落在边 AE 上，延长 DN 交 CE 于点 P ，连接 BN ， CN . 请写出当线段 AB ， AC 满足什么数量关系时，△ BDN ≌ △ CPN ？并给予证明. [教材P76复习题T5变式]如图，点 A 是线段 BC 上一点，△ ABD 和△ ACE 都是等边三角形. (2)解：当 AC ＝2 AB 时，△ BDN ≌△ CPN . 证明如下：易得∠ ABD ＝60°， AB ＝ BD ＝ DN ＝ AN ， ∴四边形 ABDN 是菱形. ∴∠ ABN ＝∠ DBN ＝ ∠ ABD ＝ ×60°＝30°， DP ∥ BC . ∵△ ACE 是等边三角形，∴∠ ACE ＝60°. ∵ AC ＝2 AB ， AC ＝ AE ，∴ AE ＝2 AB ＝2 AN . ∴ N 是 AE 的中点. ∴易得∠ PCN ＝∠ ACN ＝ ∠ ACE ＝ ×60°＝30°. ∵ DP ∥ BC ，∴∠ ABN ＝∠ DBN ＝∠ BND ＝∠ PCN ＝∠ PNC ＝∠ ACN ＝30°.∴ BN ＝ CN . 在△ BDN 与△ CPN 中， ∴△ BDN ≌△ CPN (ASA). 题型七：旋转在判断特殊图形中的应用 例10某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图①所示的位置放置，现将Rt△ AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②， AE 与 BC 交于点 M ， AC 与 EF 交于点 N ， BC 与 EF 交于点 P . (1)求证： AM ＝ AN ； (1)证明：由题意可得 AB ＝ AF ， ∠ BAM ＝∠ FAN ＝α，∠ B ＝∠ F ＝60° 在△ ABM 和△ AFN 中， ∴△ ABM ≌△ AFN (ASA).∴ AM ＝ AN . 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图①所示的位置放置，现将Rt△ AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②， AE 与 BC 交于点 M ， AC 与 EF 交于点 N ， BC 与 EF 交于点 P . (2)当旋转角α＝30°时，四 边形 ABPF 是什么样的 特殊四边形？并说明理由. (2)解：当α＝30°时，四边形 ABPF 是菱形. 理由：连接 AP . ∵α＝30°，∴∠ FAN ＝30°. 易知∠ BAC ＝90°，∴∠ FAB ＝120°. 又∵∠ B ＝60°，∴∠ B ＋∠ FAB ＝180°. ∴ AF ∥ BP . ∴∠ FPC ＝∠ F ＝60°. ∴∠ FPC ＝∠ B . ∴ AB ∥ FP . ∴四边形 ABPF 是平行四边形. 又∵ AB ＝ AF ，∴平行四边形 ABPF 是菱形. 题型八：手拉手模型 模型解读：“手拉手模型”就是两个顶角相等且有共同顶点的等腰三角形形成的图形，根据旋转角转换及等腰三角形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质判断角度及线段关系. 模型图： 例11已知△ ABC 与△ CDE 都是等边三角形，连接 AD ， BE . (1)如图①，当点 B ， C ， D 在同一条直线上时，则∠ BCE ＝ 度； 120　 已知△ ABC 与△ CDE 都是等边三角形，连接 AD ， BE . (2)将图①中的△ ECD 绕着点 C 逆时针旋转到如图②的位置， 求证： AD ＝ BE . 证明：∵△ ABC 与△ CDE 都是等边三角形， ∴ BC ＝ AC ， CE ＝ CD ，∠ ACB ＝∠ DCE ＝60°. ∴∠ ACB ＋∠ ACE ＝∠ DCE ＋∠ ACE ， 即∠ BCE ＝∠ ACD . 在△ BCE 与△ ACD 中， ∴△ BCE ≌△ ACD (SAS). ∴ AD ＝ BE . 题型九：半角模型 模型解读： 大角含半角，有相等的边，通过旋转使相等的边重合，拼出特殊角. 模型图： 　 例12(1)如图①，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别为 BC ， CD 上的点，∠ EAF ＝45°，求证： EF ＝ BE ＋ DF . 小聪把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转90°至△ ADG ，从而发现 EF ＝ BE ＋ DF ，请你利用图①证明上述结论. (1)证明：由题易得 F ， D ， G 三点共线，∠ BAD ＝90°. 由旋转的性质可知∠ DAG ＝∠ BAE ， AE ＝ AG ， BE ＝ DG ， ∴∠ FAG ＝∠ FAD ＋∠ GAD ＝∠ FAD ＋∠ BAE ＝ 90°－45°＝45°＝∠ EAF . 又∵ AF ＝ AF ， AE ＝ AG ， ∴△ AFG ≌△ AFE (SAS).∴ EF ＝ FG . ∵ FG ＝ DF ＋ DG ＝ DF ＋ BE ， ∴ EF ＝ BE ＋ DF . (2)如图②，若点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边 CB ， DC 的延长线上，∠ EAF ＝45°，则线段 EF ， DF ， BE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论. (2)解： DF ＝ EF ＋ BE . 证明如下：由题得 AB ＝ AD ， 把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转90°至△ ADG ， 如图②.易知点 C ， D ， G 在一条直线上. 由旋转的性质知 EB ＝ DG ， AE ＝ AG ，∠ EAB ＝∠ GAD . ∵∠ BAG ＋∠ GAD ＝90°， ∴∠ EAB ＋∠ BAG ＝90°＝∠ EAG . ∵∠ EAF ＝45°， ∴∠ FAG ＝∠ EAG －∠ EAF ＝90°－45°＝45°.∴∠ EAF ＝∠GAF . 又∵ AF ＝ AF ， AE ＝ AG ，∴△ EAF ≌△ GAF (SAS). ∴ EF ＝ FG . ∴ DF ＝ FG ＋ DG ＝ EF ＋ BE . 题型十：“爪形图” 模型解读：由一个顶点引出三条与已知、设问相关的线段的几何模型，满足：①含两条相等的线段；②相等线段的夹角固定. 模型图：如图， PA ＝ PB ，且 PA ， PB 的夹角固定. 例13如图，在四边形 ABCD 中， AD ＝4， CD ＝3，∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝∠ ADC ＝45°，则 BD 的长为 ⁠. 　 【变式13-1】如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝45°， AB ＝ ， BC ＝ 12，以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点作等腰直角三角形 ACD ，连接 BD ，求 BD 的长. 解：如图，将 AB 绕点 A 顺时针旋转90°得到 AE ，连接 BE ， CE ， 则 AE ＝ AB ＝ ，∠ BAE ＝90°，∴ BE ＝5. 由题意知 AD ＝ AC ，∠ DAC ＝90°， ∴∠ DAC ＋∠ EAD ＝∠ BAE ＋∠ EAD ， 即∠ EAC ＝∠ BAD . ∴△ BAD ≌△ EAC . ∴ CE ＝ BD . 易得∠ ABE ＝45°. 又∵∠ ABC ＝45°， ∴∠ CBE ＝90°. ∴ CE ＝ ＝13. ∴ BD ＝ CE ＝13. 题型十一：“丫形图” 模型解读：三角形或四边形内出现同点三线、且存在共端点等线段的情况，可以用旋转的方法，将不同的线段转化在同一个三角形中，再求线段的长及角的度数. 模型图： 例14[2023重庆永川区期末]如图，已知点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 PA ， PB ， PC . 若 PA ＝4， PB ＝2，∠ APB ＝135°，则 PC 的长为 ⁠. 2 　 点拨：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ BA ＝ BC ，∠ ABC ＝90°. 把△ BAP 绕点 B 顺时针旋转90°得到△ BCE ，连接 PE ， 则 BE ＝ BP ＝2， CE ＝ AP ＝4，∠ PBE ＝90°，∠ BEC ＝∠ APB ＝135°. ∴ PE ＝2 ，△ PBE 为等腰直角三角形. ∴∠ PEB ＝45°. 【变式14-1】如图，点 P 是等腰直角三角形 ABC 内一点，∠ ACB ＝ 90°， PA ＝2， PB ＝ ， PC ＝1，求∠ APC 的度数. 解：如图，把△ BPC 绕点 C 顺时针旋转90°得到 △AP'C，连接PP'，由旋转的性质知P'C＝ PC ＝1， ∠P'CP＝90°，AP'＝ PB ＝ ， ∴P'P＝ ，∠CPP'＝45°. ∴P'P＝AP'. 在△AP'P中，∵AP'2＋P'P2＝( )2＋( )2＝4＝ AP2， ∴△AP'P是等腰直角三角形，且∠AP'P＝90°. ∴∠APP'＝45°. ∴∠ APC ＝∠APP'＋∠CPP'＝45°＋45°＝90°. 题型十二平移作图 例15如图，已知△ ABC ，将△ ABC 沿着北偏东60°的方向平移1 cm，作出平移后的图形(不写作法，保留作图痕迹). 解：如图，△ A1 B1 C1即为所作. 题型十三：旋转作图 1.已知旋转角和旋转中心作图 例16[教材P63习题T9变式]如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝5， BC ＝4，将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转90°，若点 A ， B 的对应点分别是点 D ， E ，请直接画出旋转后的三 角形简图(不要求尺规作图)，并求点 A 与点 D 之间的距离. 解：如图，△ DEC 即为所作，连接 AD . ∵在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝5， BC ＝4， ∴ AC ＝ ＝3. ∵将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，点 A ， B 的对应点 分别是点 D ， E ， ∴ CD ＝ AC ＝3，∠ ACD ＝90°. ∴ AD ＝ ＝3 ， 即点 A 与点 D 之间的距离为3 . 2.已知作图方式在坐标系中作图 例17在如图所示的平面直角坐标系中，画出将△ ABC 绕原点 O 顺时针旋转90°后得到的△ A1 B1 C1. 解：如图，△ A1 B1 C1即为所求. 题型十四 轴对称作图 例18如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A (－3，4)， B (－4，1)， C (－1，1). (1)点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为 ⁠； (3，4)　 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A (－3，4)， B (－4，1)， C (－1，1). (2)请画出△ ABC 关于 x 轴对称的图形△ A1 B1 C1. 解：如图所示， △ A1 B1 C1即为所求. 题型十五 中心对称作图 1.已知对称中心作图 例19[教材P69习题T1变式]如图，画出四边形 ABCD 关于点 O 成 中心对称的图形，并用适当文字简述画法. 解：如图，连接 AO ， BO ， CO ， DO 并延长相同的长度，得到点A'，B'，C'，D'，顺次连接A'，B'，C'，D'，四边形A'B'C'D'就是所求的四边形. 点技巧：作一个图形关于某点成中心对称的图形，关键是要运用中心对称的性质，将已知图形的关键点与对称中心连接并延长至某点，使之到对称中心的距离与关键点到对称中心的距离相等. 2.在平面直角坐标系中作图 例20[2023西安期末]如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A (1，4)， B (4，2)， C (3，5). (1)请画出△ A1 B1 C1，使△ A1 B1 C1与△ ABC 关于点成中心对称，并写出点 A1， B1， C1的坐标. 解：(1)如图，△ A1 B1 C1即为所求， A1(－1，－4)， B1(－4，－2)， C1(－3，－5). [2023西安期末]如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点坐标分别 为 A (1，4)， B (4，2)， C (3，5). (2)求△ A1 B1 C1的面积. 解：(2)根据中心对称的性质可得 ＝ S△ ABC ＝3×3－ ×3×1－ ×2×1－ ×3×2＝9－ －1－3＝ . 题型十六：数形结合思想 例21[2023·泉州期末 新视角·新定义题]规定：在平面直角坐标系内，某直线 l1绕原点 O 顺时针旋转90°，得到的直线 l2被称为 l1的“旋转垂线”. (1)求直线 y ＝－ x ＋5的“旋转垂线”的解析式； (1)解：易得直线 y ＝－ x ＋5经过点(5，0)和(0，5)， 则点(5，0)绕点 O 顺时针旋转90°后的对应点为(0，－5)， 点(0，5)绕点 O 顺时针旋转90°后的对应点为(5，0). 设直线 y ＝－ x ＋5的“旋转垂线”的解析式为 y ＝ kx ＋ n ， 分别将点(0，－5)，(5，0)的坐标代入，得 解得 ∴直线 y ＝－ x ＋5的“旋转垂线”的解析式是 y ＝ x －5. (2)若直线 y ＝ k1 x ＋1( k1≠0)的“旋转垂线”为直线 y ＝ k2 x ＋ b ，求证： k1· k2＝－1. 【变式21-1】[2023·泉州期末 新视角·新定义题]规定：在平面直角坐标 系内，某直线 l1绕原点 O 顺时针旋转90°，得到的直线 l2被称为 l1的“旋转垂线”. (2)证明：易得直线 y ＝ k1 x ＋1( k1≠0)经过点 和(0，1)，则这两点绕原点 O 顺时针旋转90°，得到的对应点的坐标分别为 和(1，0). 把 和(1，0)的坐标分别代入 y ＝ k2 x ＋ b ，得 b ＝ ， k2＋ b ＝0，∴ k2＋ ＝0.∴ k1· k2＝－1. 题型十七：分类讨论思想 例22如图，在△ ABC 中，∠ B ＝45°，∠ C ＝60°，将△ ABC 绕点 A 旋转30°后得到△ AB1 C1，求∠ BAC1的度数. 解：∵∠ B ＝45°，∠ C ＝60°， ∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝75°. 当△ ABC 绕点 A 顺时针旋转30°时，如图①，由旋转的 性质得∠ B1 AC1＝∠ BAC ＝75°，∠ B1 AB ＝30°， ∴∠ BAC1＝75°－30°＝45°. 当△ ABC 绕点 A 逆时针旋转30°时，如图②， 由旋转的性质得∠ CAC1＝30°， ∴∠ BAC1＝75°＋30°＝105°. 综上所述，∠ BAC1的度数为45°或105°. 题型十八：转化思想 例23 如图，正方形 ECFD 各顶点在Rt△ ABC 的边上，观察图形，并回答下列问题. (1)请你说明由△ ADE 变换到△A'DF的过程； 解：(1)△ ADE 绕点 D 逆时针旋转90° 得到△ A ' DF . 如图，正方形 ECFD 各顶点在Rt△ ABC 的边上，观察图形，并回答下列问题. (2)若 AD ＝3，△ AED 与△ BDF 的面积和为9，求线段 BD 的长. 解：(2)∵四边形 ECFD 是正方形， ∴∠ EDF ＝90°.∴∠ ADE ＋∠ FDB ＝90°. 由(1)可知△ ADE ≌△A'DF， ∴∠ ADE ＝∠A'DF，A'D＝ AD ＝3. ∴∠A'DF＋∠ FDB ＝90°，即∠A'DB＝90°. 易知∠ AED ＝∠A'FD＝∠ DFB ＝90°， ∴∠ DFB ＋∠A'FD＝180°.∴A'， F ， B 三点共线.易得 S△ AED ＝ S△A'FD， ∴ S△A'DB＝ S△A'FD＋ S△ BDF ＝ S△ AED ＋ S△ BDF ＝9. ∴ A'D× BD ＝9.∵A'D＝3，∴ BD ＝6. 易错易混 易错点一：不能正确确定旋转中心 1.如图,在正方形 ABCD 中,E是边AD 上一点,△ABE 旋转后能与△DAF 重合.旋转中心是哪一点?△ABE 是通过怎样的旋转得到△DAF的? 正解:如图,由旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等”，可得旋转中心是线段AB 和AD的垂直平分线的交点，即点0.△ABE绕点0顺时针旋转90得到△DAF 易错点二：对中心对称图形识别不清 2.下列图形中是中心对称图形的是（ ） A.平行四边形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.正五边形 正解:平行四边形是中心对称图形，直角三角形、等边三角形和正五边形不是中心对称图形.故选 A. 易错点三：忽略分类讨论旋转方向而出错 3.如图,在△ABO中,AB⊥OB,∠A=30°，OB=1.把△ABO 绕点0旋转120°后,得到A1B1O,则点A1的坐标为 。 易错点四：错把坐标原点当成对称中心而出错 4.如图,将△ABC 绕点 C(-1,0)旋转 180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点 A'的坐标为( ） A.(-a,-b)B.(-a-2,-b)C.(-a-1,-b+1)D.(-a,-b-2) B 1.（2024春•西湖区校级期中）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是( ____ ) A.___ B.__ C.____ D.___ 【解析】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点， A 押题预测 使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 77 2.（2023秋•西山区校级期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为( ____ ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【解析】解：∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转120°得到的， ∴AB=AD，∠BAD=120°， ∴∠B=∠ADB， A ∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°， ∴∠B=∠ADB= ×(180°-120°)=30°， 故选：A． 78 3.（2023秋•陵城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点，若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于 ____ ． 【解析】解：作AH⊥A'C于H， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=2 ， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C， ∴CB=CB'，∠A'CB'=∠ACB=90°，∴∠B=∠CB'B=60°， 3 ∴∠BCB'=60°，∴∠ACH=∠BCB'=60°， ∵∠AHC=90°，∴∠CAH=30°， ∴AH=AC×cos30°=2 × =3， ∴点A到直线A'C的距离等于3， 故答案为：3． 79 4.（2024春•大东区期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． (1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1请画出△A1B1C1； (2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2； (3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 _________ ． (-3，0) 80 【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2C2即为所求； ___ (3)旋转中心Q的坐标为(-3，0)， 故答案为：(-3，0)． 81 5.（2023春•岳阳楼区校级期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上(直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°)，保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转． (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值； (2)当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 __________________________ (直接写出答案即可) 15s或24s或27s或33s 82 _______ 【解析】解：(1)如图2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°， _____ ∴∠DCE=30°， ∵AC平分∠DCE， ∴∠ACE= =15°， ∴t= =3， 答：此时t的值是3s； 83 _____ 理由是：由旋转得：∠ACE=5t, ∴∠DCA=30°-5t,∠ECB=45°-5t, ∴∠ECB-∠DCA=(45°-5t)-(30°-5t)=15°； (2)当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3，∠DCA与∠ECB的数量关系是：∠ECB-∠DCA=15°； 84 _(3)分四种情况： ①当AB∥DE时，如图4，∠ACE=45°+30°=75°， t=75÷5=15； ②当AB∥CE时，如图5，则∠BCE=∠B=90°， ______ ∴∠ACE=90°+45°=135°， t=135÷5=27； 85 ③当AB∥CD时，如图6，则∠DCB=∠B=90°，______ ∠ACE=30°+90°+45°=165°， t=165÷5=33； ④当AC∥DE时，如图7， ∴∠ACD=∠D=90°， ∴∠ACE=90°+30°=5t, t=24； 综上，t的值是15s或24s或27s或33s. 故答案为：15s或24s或27s或33s 86 $$