第11讲 等边三角形（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第11讲 等边三角形（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点2．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点3．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点4．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 题型强化 题型一．等边三角形的性质 1．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，已知是等边三角形，点、，、在同一直线上，且，，则　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•樊城区期末）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 　　． 3．（2024春•兰州期末）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为． （1）当动点、同时运动时，则　　，　 　． （2）当动点、同时运动时，分别用含有的式子表示；　 　，　 　． （3）当为何值时，是直角三角形？ 题型二．等边三角形的判定 4．（2024春•金水区校级期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是　　 A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 5．（2023秋•永吉县期末）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当　　秒时，是等边三角形． 6．（2024春•莲湖区期中）如图，，，，求证：是等边三角形． 题型三．等边三角形的判定与性质 7．（2024•望城区一模）已知：如图所示，边长为6的等边，以边所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为 　　． 8．（2024•松原模拟）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•洛南县校级期末）如图，是等边三角形，，，垂足分别为、，、相交于点，连接． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 题型四．含30度角的直角三角形 10．（2023秋•江门期末）如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•绥阳县期末）如图，在△中，，，，点，，分别在边，，上，连接，，，若，且△是等边三角形，则　　． 12．（2023秋•文峰区期末）如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，同时点从点出发以的速度向点运动，运动的时间为秒，解决以下问题： （1）当为何值时，为等边三角形； （2）当为何值时，为直角三角形． 分层练习 一、单选题 1．如图，已知中，，斜边长，那么（    ）    A．2 B． C．4+2 D． 2．如图，将等边三角形剪去一个角后，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，是斜边上的高，若，则边的长为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为(    ) A． B． C． D． 6．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（    ） A．5° B．10° C．15° D．45° 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（    ） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 8．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东30°的方向行驶30公里到达B地游玩，之后打算去距离A地正东30公里处的C地，则他们行驶的方向是（    ） A．南偏东60° B．南偏东30° C．南偏西60° D．南偏西30° 9．如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别为边AB、BC上的点，且，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 10．如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（　　） A．5cm B．4.5cm C．4cm D．3cm 二、填空题 11．如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是 cm． 12．为了打造城市“绿洲”，某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮需 元． 13．如图，在Rt△ABC中，，，△ACD为等边三角形，连接BD，则△BCD的面积为 ． 14．如图，在中，，，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是 ． 15．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，与交于点，连结若，则的长为 ． 16．如图，在中，，，，P是边上的动点，连接． （1）的最小值为 ； （2）当 度时，是等腰三角形． 17．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t= s时，△POQ是等腰三角形． 18．如图①，是一块光学直角棱镜，其截面为图②所示的，AB所在的面为不透光的磨砂面，，.现有一束单色光从CB边的点E处垂直射入，到达AB边的点D，恰有，经过反射后（即）从AC边的点F处射出.若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度AC为 cm. 三、解答题 19．（1）图①是折叠凳撑开时的侧面示意图，其中凳腿和的长度相等，O是和的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，求撑开时的凳腿间距； （2）在（1）题条件下，为了节省空间，凳子不用时可折叠起来摆放，图②是折叠后的侧面示意图，若折叠前凳面与凳腿的夹角为60度，求折叠后凳腿的高度．    20．周末，小丽和小红相约到C地参加青春励志报告会，C地在小丽家A的北偏东的方向，也在小红家的北偏西的方向上．千米，二人骑车同时从各自家出发，小丽的速度为每分钟千米，小红的速度为每分钟千米，那么二人能否同时到达C地？ 21．已知点C在线段BE上，且△ABC和△DCE都是等边三角形，连接BD、AE交AC、DC于点M、N点，求证： （1）△AEC≌△BDC； （2）△CMN是等边三角形． 22．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航了多少海里？      23．数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东的方向上． (1)求轮船在B处时与灯塔M的距离； (2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上． 24．在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答） （1）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题． 请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　 　三角形；∠ADB的度数为　 　． （2）在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数； （3）在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为　 　． 25．已知等边，点为上一点，连接． （1）若点是上一点，且，连接，与的交点为点，在图（1）中根据题意补全图形，求出的大小； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接交于点，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段和的数量关系，并证明．（记得充分利用（1）的解题思路和结论） 26．专注基本图形： 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，．并进一步证明方法如下：    ∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴，， ∴ 探究问题解决： (1)组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． (2)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．若，请说明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 等边三角形（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 知识点2．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 知识点3．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 知识点4．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 题型强化 题型一．等边三角形的性质 1．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，已知是等边三角形，点、，、在同一直线上，且，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由于是等边三角形，那么，而，那么，而是的外角，可得，同理有，等量代换有，解即可求． 【解答】解：如图所示， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理有， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用外角性质得出，． 2．（2023秋•樊城区期末）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 　3　． 【分析】由等边三角形的性质可得，根据是的高线，可得，再由题中条件，即可求得． 【解答】解：是等边三角形， ， 是的高线， 为的中点， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键． 3．（2024春•兰州期末）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为． （1）当动点、同时运动时，则　1　，　 　． （2）当动点、同时运动时，分别用含有的式子表示；　 　，　 　． （3）当为何值时，是直角三角形？ 【分析】（1）根据路程速度时间即可求得； （2）根据路程速度时间即可求得； （3）根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形，所以就可以表示出与的关系，要分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据，的表达式和的度数进行求解即可． 【解答】解：（1），， 故答案为1，2； （2） ，， 故答案为，； （3）根据题意，得 ， ． 在中， ，， ． 在中，．，， 若是直角三角形， 则只有或 ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即．解得． 答：当或时，是直角三角形． 【点评】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法． 题型二．等边三角形的判定 4．（2024春•金水区校级期末）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是　　 A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能 【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断． 【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形， 根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握． 5．（2023秋•永吉县期末）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当　3　秒时，是等边三角形． 【分析】有一个角是的等腰三角形是等边三角形，由此即可求解． 【解答】解：， 当时，是等边三角形， 动点以每秒1个单位长度的速度沿射线运动， （秒， 当秒时，是等边三角形． 故答案为：3． 【点评】本题考查等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法． 6．（2024春•莲湖区期中）如图，，，，求证：是等边三角形． 【分析】利用“两直线平行，同位角相等”得，于是，再根据等边三角形的判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得证． 【解答】证明：， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 【点评】本题主要考查平行线的性质、等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定定义是解题关键． 题型三．等边三角形的判定与性质 7．（2024•望城区一模）已知：如图所示，边长为6的等边，以边所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为 　，　． 【分析】根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：过作， ，等边三角形， ， 点的坐标为，， 故答案为：， 【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答． 8．（2024•松原模拟）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可知，是的垂直平分线，证明，进而证明是等边三角形，求出，利用三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，是的垂直平分线， ，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（2023秋•洛南县校级期末）如图，是等边三角形，，，垂足分别为、，、相交于点，连接． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 【分析】（1）证明，，即可解决问题． （2）证明，即可解决问题． 【解答】解：（1）是等边三角形，且，， ，，；而， ，是等边三角形． （2）由（1）知：、分别是的中线， ，， ， ， ， ，而， ． 【点评】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握正方形的判定及其性质． 题型四．含30度角的直角三角形 10．（2023秋•江门期末）如图，在中，已知，，，边的垂直平分线交于，交于，且，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得且，再利用外角的性质得，解直角三角形即可得的值． 【解答】解；边的垂直平分线交于，交于（已知） （线段垂直平分线的性质） 且（等腰三角形的性质） （外角性质） ． 故选：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识；得到是正确解答本题的关键． 11．（2023秋•绥阳县期末）如图，在△中，，，，点，，分别在边，，上，连接，，，若，且△是等边三角形，则　　． 【分析】作于，由等边三角形的性质，推出△△，，，由直角三角形的性质求出，，，即可得到，从而求出的长． 【解答】解：作于， △是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ，， △△， ，， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作于，证明△△，得到，由直角三角形的性质求出，的长，即可解决问题． 12．（2023秋•文峰区期末）如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，同时点从点出发以的速度向点运动，运动的时间为秒，解决以下问题： （1）当为何值时，为等边三角形； （2）当为何值时，为直角三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出的值； （2）分两种情况讨论：①当为直角时，②当为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出的值． 【解答】解：（1）根据题意可得，， ，， ， ，为等边三角形， ， ， ， 当为2时，为等边三角形； （2）①当为直角时，， ， ， ； ②当为直角时，， ， ， ． 当为或3时，为直角三角形． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，已知中，，斜边长，那么（    ）    A．2 B． C．4+2 D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：中，， ∴， ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 2．如图，将等边三角形剪去一个角后，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°,∴∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-120°=240°. 故选D 3．如图，在中，，，是斜边上的高，若，则边的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，根据含30度角的直角三角形的性质得到，同理可得，则． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边长的一半是解题的关键． 4．如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作直线l， ∵直线直线m， ∴直线直线， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，，，即点的纵坐标为1；点的纵坐标为，点的纵坐标为，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．解答此题的关键是通过认真分析，根据角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律． 【详解】解：三角形是等边三角形， ，， ． 在直角△中，，， ，即点的纵坐标为1， 同理，，， 即点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故选：B． 6．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（    ） A．5° B．10° C．15° D．45° 【答案】C 【分析】先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解． 【详解】∵的三个内角比为1：1：2， ∴∠A=180°=90°， ∴∠ABC=45°， 在Rt△ABD中，， ∴∠ABD=30°， ∴∠CBD=∠ABC -∠ABD =15°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（    ） A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 【答案】D 【分析】先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再求出AB即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º， ∴∠B=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理）， ∴AC=（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， 又∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=90º， ∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理）， ∴AD=（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， ∴AC=6， 又∴AC=， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 8．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东30°的方向行驶30公里到达B地游玩，之后打算去距离A地正东30公里处的C地，则他们行驶的方向是（    ） A．南偏东60° B．南偏东30° C．南偏西60° D．南偏西30° 【答案】B 【分析】先根据题意画出图形，得到△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，过B作BD⊥AC于D，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可． 【详解】如图所示，由题意可知，∠BAC=90°-30°=60°． ∵AB=AC=30，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°． 过B作BD⊥AC于D，∴∠ABD=30°，∴∠DBC=60°－30°=30°，∴他们行驶的方向是南偏东30°． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和方向角，解答此类题需要根据运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解． 9．如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别为边AB、BC上的点，且，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形ABCD中，，证明是等边三角形，可得，由SAS证明可判断①；由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角性质得到可判断②；在HD上截取HP=AH，连接AP,证明点A、H、C、D四点共圆，继而证明是等边三角形，再由AAS证明，最后由判断③；过点D作于点，作交的延长线于点，角平分线的性质求出，继而证明，从而证明平分，得到，再证明，最后根据相似三角形对应边成比例判断④． 【详解】解：①四边形ABCD是菱形， 是等边三角形， 与 故①正确； ② 故②正确； ③在HD上截取HP=AH，连接AP,如图， 点A、H、C、D四点共圆 是等边三角形 故③正确； ④过点D作于点，作交的延长线于点，如图 平分 故④正确， 即正确的有①②③④ 故选：D 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，作出正确的辅助线是解题关键． 10．如图，在边长为6cm的等边△ABC中，点D从A出发沿A→B的方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿B→C的方向以2cm/s的速度运动，D，E两点同时出发，当点E到达点C时，D，E两点停止运动，以DE为边作等边△DEF（D，E，F按逆时针顺序排列），点N为线段AB上一动点，点M为线段BC的中点，连MF，NF，当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为（　　） A．5cm B．4.5cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【分析】先确定点F的运动路径，后确定点M关于直线的对称点，过对称点向AB作垂线，这条垂线段就是线段和的最小值，后计算即可． 【详解】如图，过点E作EH⊥AB于H，连接FC． 由题可得：∠BEH＝30°，AD＝1×t＝t（cm），BE=2t，CE＝(6-2t)（cm）， ∴BH＝BE＝t（cm）， ∴DH＝AB-AD-BH=6-t-t=(6-2t)（cm）， ∴DH＝EC． ∵△DEF，△ABC是等边三角形， ∴DE＝EF，∠DEF＝∠DBE =60°． ∴∠HDE+∠DEB＝120°，∠DEB+∠FEC＝120°， ∴∠HDE＝∠CEF． 在△DHE和△ECF中， ， ∴△DHE≌△ECF（SAS）， ∴∠DHE＝∠ECF＝90°， ∴F点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段CF， 作点M关于CF的对称点K，连接FK，过点K作KJ⊥AB于J， ∵FM+FN＝FK+FN≥KJ， ∴当点N与J重合，且点F在KJ上时，FM+FN的值最小， ∵M是BC的中点， ∴MC=CK=3， ∴BK＝BC+CK＝6+3＝9（cm）， ∵∠KJB＝90°，∠B＝60°， ∴BJ＝BN=BK＝9×＝4.5（cm）， 当MF+NF取得最小值时，线段BN的长度为4.5cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，垂线段最短原理，三角形的全等，熟练确定动点的路径，把问题转化为线段和的最小值转化为垂线段最短原理是解题的关键． 二、填空题 11．如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是 cm． 【答案】2 【详解】试题分析：∵正六边形DEFGHI，∴DI∥BC，∵正三角形ABC，∴∠B=∠C=∠A=60°，∴△ADI是等边三角形， ∴AD=DI=AI．同理，BE=EF=BF，∵DE=EF，∴AD=DE=BE，∴DE=6÷3=2cm．故填2． 考点：等边三角形的性质． 12．为了打造城市“绿洲”，某市计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮需 元． 【答案】 【分析】作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果． 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格为元． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于做出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积． 13．如图，在Rt△ABC中，，，△ACD为等边三角形，连接BD，则△BCD的面积为 ． 【答案】1 【分析】过点作交于，根据题意，易得到，，在中，所对的边是斜边的一半，可得的长，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作交于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形含有角的各边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．如图，在中，，，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】2． 【分析】根据和都是直角且点，，三点共线，，，可以得出，则可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵和都是直角且点，，三点共线，， ∴ ∴ ∴，， ∵ ∴ 阴影部分的面积， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 15．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，与交于点，连结若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】根据垂直平分线性质结合等腰三角形性质得到且，再利用外角性质求出，最后根据含角的直角三角形特征求出结果即可． 【详解】解；边的垂直平分线交于，交于， ． 且， ， ， ． 故答案为：8 ． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形生物判定与性质，三角形外角性质，含角的直角三角形特征，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 16．如图，在中，，，，P是边上的动点，连接． （1）的最小值为 ； （2）当 度时，是等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】本题考查垂线段最短和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据垂线段最短得到当于点P时，最小，利用的直角边等于斜边的一半解题即可； （2）分，和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可． 【详解】解：（1）当于点P时，最小， ∵，， ∴， 故答案为：6； （2）当时，， 则； 当时，， 则； 当时，，则； 故答案为：或或． 17．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t= s时，△POQ是等腰三角形． 【答案】或10 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：①当点P在线段OC上时，且OP=OQ，②当点P在CO的延长线上时，且OQ=PO，分别列式计算即可． 【详解】解：由题意可分以下情况讨论： ①当点P在线段OC上时， 设ts后△POQ是等腰三角形，则有OP=OC-CP=OQ， ∵OC=10cm，cm， ∴， ∵， ∴，解得：； ②当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，则有， ∵∠AOB=60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴，解得：， 综上所述：当t为s或10s时，△POQ是等腰三角形； 故答案为或10． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，解决问题的关键是把几何问题转化为方程求解，注意分类讨论思想． 18．如图①，是一块光学直角棱镜，其截面为图②所示的，AB所在的面为不透光的磨砂面，，.现有一束单色光从CB边的点E处垂直射入，到达AB边的点D，恰有，经过反射后（即）从AC边的点F处射出.若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度AC为 cm. 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形三边的关系，等边三角形判定与性质，由，，得，又，得，而，得，证明是等边三角形，得，然后求得，由即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，， ，， ， ，，， ∴是等边三角形； ∴， ， ∴，， ∴， 故答案为16. 三、解答题 19．（1）图①是折叠凳撑开时的侧面示意图，其中凳腿和的长度相等，O是和的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，求撑开时的凳腿间距； （2）在（1）题条件下，为了节省空间，凳子不用时可折叠起来摆放，图②是折叠后的侧面示意图，若折叠前凳面与凳腿的夹角为60度，求折叠后凳腿的高度．    【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及等边三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理． （1）利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）根据全等三角形的性质可和等边三角形的判定证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）∵O是和的中点， ，， 在和中， ， ， ； （2）∵， ∴，， ∵和的长相等， ∴， ∵为， ∴是等边三角形，． ∴． 20．周末，小丽和小红相约到C地参加青春励志报告会，C地在小丽家A的北偏东的方向，也在小红家的北偏西的方向上．千米，二人骑车同时从各自家出发，小丽的速度为每分钟千米，小红的速度为每分钟千米，那么二人能否同时到达C地？ 【答案】二人能同时到达． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 求出，由含角的直角三角形的性质得千米，再由勾股定理得千米，然后求出小丽和小红到达地的时间，即可得出结论． 【详解】解：二人能同时到达地，理由如下： 由题意可知，，， ， （千米）， （千米）， 小丽的速度为每分钟千米，小红的速度为每分钟千米， 小丽到达地的时间为（分钟），小红到达地的时间为（分钟）， 小丽到达地的时间小红到达地的时间， 二人能同时到达地． 21．已知点C在线段BE上，且△ABC和△DCE都是等边三角形，连接BD、AE交AC、DC于点M、N点，求证： （1）△AEC≌△BDC； （2）△CMN是等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，通过即可判定； （2）通过证，得到，再由，即可判定． 【详解】证明：（1）∵与都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴，， 即， 在和中， ∴； （2）∵，∴， ∵，，∴， 在和中， ， ∴，∴， ∵，∴是等边三角形 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和判定方法． 22．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航了多少海里？      【答案】当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里． 【分析】本题考查的是含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先证明，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴ (海里)， ∴海里， 答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里． 23．数学与生活． 如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东的方向上． (1)求轮船在B处时与灯塔M的距离； (2)轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上． 【答案】(1)14海里 (2)14海里，南偏东 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及性质，方向角等知识． （1）由三角形外角定义求出，再由等角对等边得出． （2）证明是等边三角形，即可求出以及． 【详解】（1）解：据题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里； （2）∵，且， ∴是等边三角形， ∴，， 答：轮船在C点时与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东方向上， 故答案为：14海里，南偏东． 24．在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答） （1）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题． 请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是　 　三角形；∠ADB的度数为　 　． （2）在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数； （3）在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为　 　． 【答案】（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（2）∠ADB=30°；（3）7+或7﹣ 【分析】（1）①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形； ②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题． （2）当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）． （3）第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）①如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∵∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°， 在△ABD和△ABD′中， ∴△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B， ∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°， ∵BD=BD′，BD=BC， ∴BD′=BC， ∴△D′BC是等边三角形， ②∵△D′BC是等边三角形， ∴D′B=D′C，∠BD′C=60°， 在△AD′B和△AD′C中， ∴△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B=∠AD′C， ∴∠AD′B=∠BD′C=30°， ∴∠ADB=30°． （2）∵∠DBC＜∠ABC， ∴60°＜α≤120°， 如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠BAC=α， ∴∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣α﹣β， 同（1）①可证△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B ∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣α﹣β+90°﹣α=180°﹣（α+β）， ∵α+β=120°， ∴∠D′BC=60°， 由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B=∠AD′C， ∴∠AD′B=∠BD′C=30°， ∴∠ADB=30°． （3）第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1， 由（2）知，∠ADB=30°， 作AE⊥BD， 在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=2， ∴DE=， ∵△BCD'是等边三角形， ∴BD'=BC=7， ∴BD=BD'=7， ∴BE=BD﹣DE=7﹣； 第②情况：当0°＜α＜60°时， 如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′． 同理可得：∠ABC=（180°﹣α）=90°﹣α， ∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣α）， 同（1）①可证△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B， ∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]=180°﹣（α+β）， ∴D′B=D′C，∠BD′C=60°． 同（1）②可证△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B=∠AD′C， ∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°， ∴∠ADB=∠AD′B=150°， 在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=2， ∴DE=， ∴BE=BD+DE=7+， 故答案为7+或7﹣． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．已知等边，点为上一点，连接． （1）若点是上一点，且，连接，与的交点为点，在图（1）中根据题意补全图形，求出的大小； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接交于点，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段和的数量关系，并证明．（记得充分利用（1）的解题思路和结论） 【答案】（1）图见解析，60°；（2）图见解析，，理由见解析 【分析】（1）根据题意补充图形，通过证明得到，利用三角形外角的性质可得即可求解； （2）根据题意补全图形，通过证明得到，即可得证． 【详解】解：（1）补全图形 证明：在和中， ． 是的一个外角， ； （2）补全图形图2， ， 证明：根据（1）可知， 即． 再证明． 得到． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握上述性质定理是解题的关键． 26．专注基本图形： 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，．并进一步证明方法如下：    ∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴，， ∴ 探究问题解决： (1)组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由． (2)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．若，请说明． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可． （1）根据，，，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，即可； （2）根据等边三角形的性质，则，，根据三角形角的数量关系，则，根据全等三角形的判定和性质，推出，；根据全等三角形的判定和性质，，即可． 【详解】（1）解：成立，理由如下： ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$