1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（3）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（3） 3. 空间中直线、平面的垂直 复习引入 2 b 任意一条 平行 直二面角 垂线 思考1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系? 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直. 如图，设直线l1, l2的方向向量分别为 则 α l1 l2 探究一:空间中两条直线垂直的判定 如图， 设直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则 α l 探究二：空间中直线与平面垂直的判定 C A B 如图， 设平面α, β的法向量分别为 则 α β 探究三：空间中平面与平面垂直的判定 m 用向量表示空间中直线、平面垂直 ①线线垂直： ②线面垂直： ③面面垂直： l2 u1 u2 l1 l u n n1 n2 归纳总结 已知 是直线l的方向向量， 　　 　　　　是平面α的法向量. (1) 若l // α，求a, b的关系式; (2) 若l⊥α, 求a, b的值. 练习 课本P33 例１：如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°. 求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 例题 课本P32 P 例２：证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个 平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 证明： α l β 课本P32 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点， 　　　　　　为单位正交基底建立空间直角坐标系，求证: A1C⊥BC1. A D D1 A1 B1 C1 B C x y z 练习 课本P33 2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点，求证: 平面EAD1⊥平面EFD1. A C D B C1 D1 B1 A1 F E ∴ 平面EAD1⊥平面EFD1. 课本P33 随堂检测 1.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是______. 垂直 解析：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 2.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（　　） A.和AC垂直　　B.和AA1垂直 C.和MN垂直　　D.与AC，MN都不垂直 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在 的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系. 设正方体的棱长为2a，则D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a). ∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直.答案：AC x y z B C D A P E x y z 3.如图所示, 在四棱锥P- ABCD中, PA⊥底面ABCD, 垂足为A, AB⊥AD于A, AC⊥CD于C, ∠ABC=60°, PA= AB= BC, E是PC的中点. 求证: (1) AE⊥CD; (2) PD⊥平面ABE. 证明： B C D A P E x y z B C D A P E x y z 4.如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点.求证：平面BEF⊥平面ABC. 证明：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 5.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D中，E是AA1的中点. 求证:平面EBD⊥平面C1BD. B A A1 B1 C1 D1 C D E x y z 1.空间中两条直线垂直的判定 2.空间中直线与平面垂直的判定 3.空间中平面与平面垂直的判定 课堂小结 课外作业 1．空间中平行关系的向量表示 线线 平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(x1，y1，z1)，u2＝(x2，y2，z2)，则 l1∥l2⇒ ⇔ ⇔_________________ 线面 平行 设l的方向向量为u＝(x1，y1，z1)，α的法向量为n＝(x2，y2，z2)， .则 l∥α⇔ ⇔ ⇔ 面面 平行 设α，β的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则 α∥β⇔ ⇔ ⇔________________ 2.直线与平面垂直的定义、判定与性质 定义 判定 性质 文字 语言 直线l与平面α内的 直线都垂直. 如果一条直线与一个平面内的两条 都垂直，那么该直线与此平面垂直． 垂直于同一个平面的两条直线 . 图形 语言 符号 语言 3.平面与平面垂直的定义、判定与性质 定义 判定 性质 文字 语言 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直. 如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直． 图形 语言 符号 语言 《选择性必修第一册》 “复习巩固”5，8； “综合运用”11. $$