第三章第03讲 类比归纳专题：求平面直角坐标系中的图形面积(4类热点题型讲练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第03讲 类比归纳专题：求平面直角坐标系中的图形面积 (4类热点题型讲练) 目录 【类型一 与面积有关的点的位置不定产生多解】 1 【类型二 直接利用面积公式求图形的面积】 5 【类型三 利用补形法或分割法求图形的面积】 12 【类型四 与图形面积相关的点的存在性问题】 19 【类型一 与面积有关的点的位置不定产生多解】 例题：（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，，满足方程组，连接，，，若的面积等于，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 4．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 【类型二 直接利用面积公式求图形的面积】 例题：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．    (1)求，的值； (2)求的面积． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．    (1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 3．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中a、b满足．    (1)求a、b的值； (2)求的面积； (3)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等． 4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)求三角形的面积； (2)设点是轴上一点，若，试求点坐标； (3)若点在线段上，求用含的式子表示． 【类型三 利用补形法或分割法求图形的面积】 例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点，，，求三角形的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 5．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知，，，线段经过原点O． (1)求的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由． 【类型四 与图形面积相关的点的存在性问题】 例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知，，，连接交轴于点，，． (1)请直接写出点，的坐标，______，______； (2)如图2，、分别表示三角形、三角形的面积，点在轴上，使，点若存在，求点纵坐标、若不存在，说朋理由； (3)如图3，若是轴上方一点，当三角形的面积为20时，求出的值． 【变式训练】 1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示，，，点在轴上，且． (1)求点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形，点，，，连接，． (1)求三角形的面积； (2)请用含t的式子表示三角形的面积，并写出t的取值范围； (3)设与线段的延长线交于点D，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求t的值及点D的坐标． 3．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 4．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系：中，过点分别作轴，轴的垂线，分别交轴，轴于点，．点，在其所在的坐标轴上对应的数都是1．连接． (1)求三角形的面积． (2)是轴上一点，连接． ①若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求坐标． ②在①的条件下，若直线交轴正半轴于点，求三角形的面积和三角形的面积的比值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 类比归纳专题：求平面直角坐标系中的图形面积 (4类热点题型讲练) 目录 【类型一 与面积有关的点的位置不定产生多解】 1 【类型二 直接利用面积公式求图形的面积】 5 【类型三 利用补形法或分割法求图形的面积】 12 【类型四 与图形面积相关的点的存在性问题】 19 【类型一 与面积有关的点的位置不定产生多解】 例题：（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形．先求出、的长度，再利用三角形的面积列方程求出的值，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：点和点两点， ，， 直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12， ， 解得， 所以，点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，，满足方程组，连接，，，若的面积等于，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，根据题意可求得，然后分情况可得到和，据此即可求得答案． 【详解】 ，得 ． 化简，得 ． 可得 ． 同理可得，． 则． 如图①②时，可得 ． 解得 ． 如图③时，可得 ． 解得 ． 综上所述，或． 故选：D 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意可以求得的值，然后再对进行讨论，即可求得的值，解题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 【详解】由题意可得，“水平底”， 当时，， 则， 解得：， 故点的坐标为； 当时，， 故此种情况不符合题意； 当时，， 则， 解得：， 故选：． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点C在x轴上和y轴上两种情况求解． 【详解】解：若点C在x轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 若点C在y轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 综上所述，点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 4．（23-24七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点坐标是，先分别求出三角形和三角形的面积，再根据三角形和三角形的面积相等建立方程，解方程即可得答案． 【详解】解：如图，由题意，设点坐标是， ∵，， ， ∴，，三角形的边上的高为1， ∴三角形的面积为，三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴， 解得或， 则点坐标是或， 故答案为：或． 【类型二 直接利用面积公式求图形的面积】 例题：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．    (1)求，的值； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值； （2）根据，的值可以确定点、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，， ∴点，点， 又∵点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是：根据绝对值、算术平方根的非负性求出，的值． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，三角形的边在轴上，且，顶点的坐标为，顶点的坐标为．    (1)画出所有符合条件的三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)点或，图见解析； (2) 【分析】（1）根据题意设点，再根据数轴上两点之间的距离公式即可解答； （2）根据点的纵坐标为，即可解答． 【详解】（1）解：∵三角形的边在轴上 ∴设点， ∵，顶点的坐标为， ∴， ∴，， ∴点或， ∵顶点的坐标为， ∴如图所示：    （2）解：∵顶点的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线轴，垂足为C，交线段于点D，过点A作，垂足为E，连接． (1)求的面积； (2)点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）先证明轴， 再由点A和点B的坐标得到，，据此根据三角形面积计算公式求解即可； （2）先求出，，则，，设， 再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况，画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：轴，， 轴， 点A的坐标为，点B的坐标为 ，， ； （2）解：点坐标为， ，， ， ∴， 设，如图所示： 当点在轴上方时，则点P一定在点E上方， ∴ ， ， ， 点的坐标为； 当点在轴下方时， 过点作轴于N， ∴ ， ， 或（舍去）， 点的坐标为：； 点的坐标为：或． 3．（2023春·河北廊坊·七年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，已知，，，其中a、b满足．    (1)求a、b的值； (2)求的面积； (3)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）由（1）可知点A、B的坐标，从而可求出，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）设，则，根据三角形的面积公式可求出，结合题意可列出关于x的等式，解出x的值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∴． ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 当点P的坐标为时点B与点P重合， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，绝对值方程的应用等知识．掌握绝对值和平方的非负性，利用数形结合的思想是解题关键． 4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．    (1)求三角形的面积； (2)设点是轴上一点，若，试求点坐标； (3)若点在线段上，求用含的式子表示． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形的面积公式和坐标特点得出方程解答即可； （3）根据，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：设点是轴上一点，坐标为， ，， ， ， 即， 解得：或， 或； （3）解：如图，连接，   ， ，， ，， ， ，， ， 点在第三象限， ，， ， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 【类型三 利用补形法或分割法求图形的面积】 例题：（2023春·江西南昌·七年级校联考期中）如图，已知点，，，求三角形的面积． 【答案】18 【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案； 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案； 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案． 【详解】解：方法一：如图，作长方形， 则 ． 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F． ∴，，，，， ∴ ． 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E． ∴，，，，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是网格三角形的面积，坐标与图形，熟练的构建与网格三角形面积相关的长方形与梯形是解本题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键． 如图所示，作轴，作轴，由此可得的值，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 2．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 【答案】(1)20 (2)P点的坐标或． 【知识点】坐标与图形 【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． （1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： ∵，，，， ∴，，，，， 则 ； （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴P点的坐标或． 3．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 5．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知，，，线段经过原点O． (1)求的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由． 【答案】(1) (2)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积； （1）由，即可求解； （2）设，由三角形面积得，即可求解； 能根据点的坐标表示出三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：设， ， 解得：或， 的坐标为或． 算． 【类型四 与图形面积相关的点的存在性问题】 例题：（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，在坐标系中，已知，，，连接交轴于点，，． (1)请直接写出点，的坐标，______，______； (2)如图2，、分别表示三角形、三角形的面积，点在轴上，使，点若存在，求点纵坐标、若不存在，说朋理由； (3)如图3，若是轴上方一点，当三角形的面积为20时，求出的值． 【答案】(1)，； (2)存在，12或； (3)或． 【分析】（1）根据立方根的性质，算术平方根的性质可得a，b的值，即可求解； （2）设P点纵坐标为，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，结合，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在右侧时，当在左侧时，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； 故答案为：， （2）解：存在， 设P点纵坐标为． 当在上方时，， ， ，， ∴，解得：； 当在下方时，， ， ， ，， ∴，解得：． 综上：点纵坐标为12或． （3）解：当在右侧时，， 过左轴于，连接， ∴ ， ∵三角形的面积为20， ∴， ； 当在左侧时，， 过左轴于，连接， ， ∵三角形的面积为20， ∴， ； 综上所述，的值为12或． 【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图所示，，，点在轴上，且． (1)求点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）如图， 当点在点的右边时，， 当点在点的左边时，， 所以的坐标为或； （2）的面积， 答：的面积为； （3）设点到轴的距离为， 则， 解得， 当点在轴正半轴时，， 当点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或 【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形，点，，，连接，． (1)求三角形的面积； (2)请用含t的式子表示三角形的面积，并写出t的取值范围； (3)设与线段的延长线交于点D，当三角形的面积与三角形的面积相等时，求t的值及点D的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【知识点】坐标与图形、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由坐标可得，轴，轴，根据计算即可； （2）连接，分两种情况：当点B在左侧时，点B在右侧时，分别画出图形，根据面积关系求解即可； （3）先求出，结合（2）得到的关系建立方程，求出的值，再结合面积求出点D的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴ （2）连接，当点B在左侧时，如图所示， 当时，解得： 此情况t的取值范围是； 当点B在右侧时，如图所示， 此情况t的取值范围是； 综上可得：； （3）法一：如图，当与延长线相交时， ∵ ∴ ∴，，， ∴ ∴， 此时，点B位于的左侧 ∴ 解得：， ∴； 法二：设 当与延长线相交时，如图所示， ∵ ∴ 设，则 ∵，， ，则 此时，点B位于的左侧 ∴ 解得： 此时点B坐标是（，2）则= 解得：， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形的面积，与坐标轴平行的点的坐标特征，三角形的面积公式，根据坐标特征求出面积是解题的关键． 3．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足．现同时将点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出的坐标__________，的坐标__________； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或或 【知识点】坐标与图形、根据平行线的性质探究角的关系、利用算术平方根的非负性解题、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的性质，平移规律，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的性质，平移规律是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）过点P作，利用平行线的性质即可得三角的关系； （3）分点M在x轴上与M在y轴上两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由于，且， 所以， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ； 点，分别向上平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ； 而， ； （3）解：存在； ①当点M在x轴上时， 由平移知，，， ； 设点M坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点M在y轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点M的坐标为或或或． 4．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系：中，过点分别作轴，轴的垂线，分别交轴，轴于点，．点，在其所在的坐标轴上对应的数都是1．连接． (1)求三角形的面积． (2)是轴上一点，连接． ①若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求坐标． ②在①的条件下，若直线交轴正半轴于点，求三角形的面积和三角形的面积的比值． 【答案】(1)三角形的面积为 (2)①点的坐标为或；②三角形的面积和三角形的面积的比值为 【知识点】坐标与图形 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解答的关键是掌握图形的特点． （1）根据题意确定，，，再根据面积计算公式计算即可； （2）①根据三角形的面积为，结合三角形的面积等于三角形的面积的一半，确定，即可解答； ②设点的坐标为，根据直线交轴正半轴于点，确定点的坐标为，从而确定点的位置，根据三角形的面积=三角形的面积+三角形的面积解出，即可表示三角形的面积，再表示三角形的面积，即可解答． 【详解】（1）由题可知，，， ， 三角形的面积为； （2）①∵是轴上一点， ∴三角形的面积为， ∵三角形的面积等于三角形的面积的一半， 三角形的面积为， ∴， ∴， ∵，是轴上一点， ∴或， ∴点的坐标为或； ②设点的坐标为， ∵直线交轴正半轴于点， ∴点的坐标为，此时点的位置如图所示，    ∴，， ∴三角形的面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， ∵三角形的面积=三角形的面积+三角形的面积， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∴， ∴三角形的面积为， 三角形的面积为， ∴三角形的面积和三角形的面积的比值为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$