专题05 与绝对值有关的期中复习压轴题（3大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题05 与绝对值有关的期中复习压轴题 化简有理数的绝对值 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）有理数，，，中，负数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山西大同·期中）比较大小： ．（用“”、“”或者“”填写） 4．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期中）在数，，，，，，中，正数有 个 5．（23-24七年级上·广西桂林·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并将各数用“”号连接起来： ，，，，0， 6．（23-24七年级上·重庆渝北·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，，，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 绝对值非负性的应用 1.（23-24七年级上·陕西西安·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）若，则＝ ． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）若，则 ． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）当 时，的值最小． 5.（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 利用数轴化简含字母绝对值 1．（23-24七年级上·山西晋城·期中）如图，在数轴上，用点，，分别表示有理数，，．    (1)判断下列各数的大小： ； ； （填“”或“”）． (2)化简． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示． (1)用“”或“”填空：a______0，b______0； (2)化简． 3．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）若有理数在数轴上对应的点位置如图所示．    (1)用“”或“”号填空： 0； 0． (2)化简：． 4.（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 5.（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0； (2)化简． 分类讨论化简绝对值 1．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如果都是不为0的有理数，则代数式的值是 ． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知有理数理数、、在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空： __________，__________，__________0． (2)化简：． (3)若数轴上存在两点、，，则的值是多少？ 3．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 4．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 5.（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 几何意义化简绝对值 1.（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 3．（23-24七年级上·河南南阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______； ②若数轴上表示点的数满足，那么______． (2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______； ②是否存在的值，使得等式成立?并说明理由． (3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少?不需说明理由，请直接写出你的结果． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 5.（23-24七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 与绝对值有关的期中复习压轴题 化简有理数的绝对值 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）有理数，，，中，负数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】化简绝对值、正负数的意义 【分析】本题主要考查了负数的概念和绝对值的代数意义；准确化简绝对值并理解负数的概念及是解题关键．根据负数的定义，可知，，为负数，从而选出正确选项． 【详解】解：根据负数的定义， ，，为负数； 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简绝对值、求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值化简，多重符号化简，根据正数比负数大；同是负数，绝对值大的反而小，逐一判断即可． 【详解】解：，故A选项正确； ，故B选项错误； ，，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选：A． 3．（23-24七年级上·山西大同·期中）比较大小： ．（用“”、“”或者“”填写） 【答案】 【知识点】化简绝对值、化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题考查了化简绝对值、化简多重符号、有理数大小的比较，熟练掌握化简绝对值、化简多重符号是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期中）在数，，，，，，中，正数有 个 【答案】 【知识点】化简绝对值、正负数的意义 【分析】本题考查了正数的定义，根据大于的数是正数即可解答，理解正数的定义是解题的关键． 【详解】解：在数，，，，，，中，，是正数，共有个正数， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·广西桂林·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并将各数用“”号连接起来： ，，，，0， 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查数轴上的点表示有理数、利用数轴比较大小，先在数轴上表示有理数，再根据数轴上，右边的数总大于左边的数求解即可． 【详解】解：， ，， 在数轴上表示下列各数，如图所示： 由数轴得． 6．（23-24七年级上·重庆渝北·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，，，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、化简绝对值 【分析】本题考查的是有理数的分类，掌握整数与分数统称有理数，根据有理数的分类逐一把符合条件的数填入各集合内即可． 【详解】解：∵，， 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 绝对值非负性的应用 1.（23-24七年级上·陕西西安·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查绝对的意义和性质，绝对值的非负性，据此逐项判定 即可求解． 【详解】解：A、若，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，则或，正确，故此选项符合题意； D、若，不一定成立；原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·四川成都·期中）若，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握“绝对值的非负性质”． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，直接利用绝对值的非负性得出，的值，进而代入即可得出答案，正确得出，的值是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）当 时，的值最小． 【答案】6 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负数性质，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，掌握绝对值的性质是解答本题的关键． 根据绝对值的非负数性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴当，即时，的值最小． 故答案为：6． 5.（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【答案】1或2或3或4 【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可． 【详解】解：，，均为整数， ，均为非负整数， 又， ，，或，，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，，， ； ③当，时，此时或2， 或． 综上所述，的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 利用数轴化简含字母绝对值 1．（23-24七年级上·山西晋城·期中）如图，在数轴上，用点，，分别表示有理数，，．    (1)判断下列各数的大小： ； ； （填“”或“”）． (2)化简． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、化简绝对值、利用数轴比较有理数的大小 【分析】（1）根据数轴表示出当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大判断即可； （2）根据，化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示    根据数轴可得， ∴，， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 故答案为：． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示． (1)用“”或“”填空：a______0，b______0； (2)化简． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算、化简绝对值 【分析】本题主要考查了数轴上点的坐标特点，整式加减运算，化简绝对值，解题的关键是根据数轴上点的坐标特点，得出，． （1）根据数轴上点的特点，直接得出答案即可； （2）根据，，去掉绝对值，然后再根据整式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知：，； （2）解：根据数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 3．（23-24七年级上·河南驻马店·期中）若有理数在数轴上对应的点位置如图所示．    (1)用“”或“”号填空： 0； 0． (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的加减运算、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较、数轴、绝对值，掌握这三个知识点的综合应用是解题关键． （1）先根据数轴确定、、的符号，再根据有理数的加法法则确定符号； （2）根据绝对值的性质先化简，再合并同类项． 【详解】（1）解： ，， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：原式 ． 4.（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的有关概念、绝对值的性质． （1）由c为最小的正整数，确定出，再由，，，得出b到原点的距离大于a到原点的距离，从而确定出在数轴上的大概位置； （2）根据A，B，C三点在数轴上的位置得到，，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：A，，三点的大致位置，如图所示， （2）解：由数轴可得，，，， ∴，，， ∴ ． 5.（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0； (2)化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值的化简，熟练掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的加法运算，差的绝对值是大数减小数，负数的绝对值是它的相反数． （1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a、b、c的关系，根据有理数加 减运算，可得答案； （2）根据差的绝对值是大数减小数，负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，且， ，，， 故答案为：，，； （2）由（1）可知：，，， ． 分类讨论化简绝对值 1．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如果都是不为0的有理数，则代数式的值是 ． 【答案】或3 【知识点】化简绝对值 【分析】此题要分三种情况进行讨论：当都是正数；当中有一负一正；当都是负数；分别进行计算． 【详解】解：当都是正数， 当中有一负一正，， 或； 当都是负数，． 故代数式的值是或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题主要考查了绝对值，以及有理数的乘除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知有理数理数、、在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空： __________，__________，__________0． (2)化简：． (3)若数轴上存在两点、，，则的值是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3)的取值是或3 【知识点】化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号即可； （2）先判断出式子的符号，再化简绝对值即可； （3）分，，，，，和，，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：，， ∴，，； 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴原式 ； （3） ， ①当，时，则 ； ②当，时，则 ； ③当，时，则 ； ④当，时，则 ． 综上所述：的取值是或3． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)，，；0 【知识点】整式的加减运算、绝对值的意义、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）a为负数，负数的绝对值是它的相反数，根据绝对值的意义即可表示出的位置； （2）分别计算、、和与0的大小关系，再根据有理数混合运算法则进行计算即可； （3）数轴上的点，右边总比左边的大，据此确定各项的符号，再根据绝对值的意义化简计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：由图可得：， ∴、、、， ∴ 故答案为：； （3）解：∵， ，，； ∴ 故答案为：，，． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号，整式的加减，以及化简绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键． 4．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则______；当时，则______． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】绝对值的意义、有理数的除法运算 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，或，分析得出答案； （3）根据题意得出，，中有两个为正数，一个为负数，设，，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，则；当时，则 故答案为：； （2）解：当时，则，同号 ①当，时， ②当，时， （3）解：由，得，， 且 ，，中有两个为正数，一个为负数 不妨设，， 则原式 5.（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 几何意义化简绝对值 1.（23-24七年级上·重庆江北·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在相应位置，不写过程） (1)若，则______；若，则_______． (2)若，则能取到的最小值是_______，最大值是_______． (3)当到取最小值时，则的值为_______． (4)的最小值为_______． (5)若，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) (5)或 【分析】本题考查了数轴，绝对值，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据绝对值几何意义求出最小值即可； （4）将 变形为的形式再求最值即可； （5）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示x的点到表示和的距离相等，因此到和距离相等的点表示的数为， 故答案为：，； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示和两点的距离之和为，可得，因此x的最大值为，最小值为；故答案为：，； （3）表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3， 由（2）可知， ∴当取最小值时，， 故答案为：； （4） 根据绝对值几何意义，当时，有最小值，最小值为 故 的最小值为：； 故答案为:； （5）当 时， ，去绝对值为： ， 当 时，去绝对值为：9(不成立)， 当 时，去绝对值为：， ， 综上，或． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的其他应用、化简绝对值 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当接近时，取得最小值接近为； 当时，，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南南阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______； ②若数轴上表示点的数满足，那么______． (2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______； ②是否存在的值，使得等式成立?并说明理由． (3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少?不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】(1)①3； ②或3 (2)①7；②不存在，理由见解析 (3)当的值等于时，取得最小值，最小值是 【知识点】绝对值的意义、绝对值的其他应用、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）①根据材料提示，数轴上两点之间距离的计算方法即可求解；②根据两点之间距离的计算，绝对值的性质即可求解； （2）①根据材料提示，运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的性质进行计算即可；②根据两点之间距离的计算方法即可判定； （3）根据材料提示，运用两点之间距离的计算方法，绝对值的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ①和两点之间的距离为， ②∵， 或， 解得或， 故答案为：①3；②或3． （2）解：①∵， ∴，， ∴， 故答案为：． ②不存在x的值，使得等式成立． 理由如下：由数形结合思想得，当数轴上表示点x的数满足大于或等于，且小于或等于1时，的值最小，最小值为5， ∴不成立． ∴不存在x的值，使得等式成立． （3）解：根据题意可得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当x的值等于时，取得最小值，最小值是11． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3； (2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、绝对值的其他应用 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解； （3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值； ②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）∵点A表示数x，点B表示数1， ∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个； 故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动， ∴ ∵ ∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒）， 故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 5.（23-24七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四：点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$