专题04圆的有关计算（13大类型提分练+30道压轴题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题04圆的有关计算（13大类型提分练+30道压轴题） 类型一、正多边形的中心角 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，点O是正方形和正五边形的中心，连接、交于点P，则（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 类型二、正多边形的半径与边心距 4．（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，圆内接正六边形的周长为，则该正六边形的内切圆半径为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图摆放的两个正六边形的顶点，，，在图上．若，则该圆的半径为 ． 6．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为 ． 类型三、正多边形的面积 7．（22-23九年级上·江苏连云港·期中）周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（    ） A．8 B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　）    A． B． C． D． 类型四、弧长的计算 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当，时，则l的值为 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆画与、分别相交于点、，且， (1)求的长； (2)求的长． 类型五、扇形的面积 13．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，丁丁用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是 ． 15．（2023九年级上·江苏·专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 类型六、弓形的面积计算 16．（21-22九年级上·江苏淮安·期中）如图，的半径为2，是的内接三角形，，则图中阴影部分的面积 ． 17．（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的与相切于点． (1)求证：平分； (2)若，求图中阴影部分的面积． 类型七、阴影部分的面积问题 19．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，则图中阴影部分的面积为 ．    20．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图①，一个扇形纸片的圆心角为，半径为．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，再折叠扇形纸片，使点与点也恰好重合，折痕恰为，图中阴影部分为纸片的三层重叠部分，则阴影部分的面积为 ．    21．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为6，以为直径的半圆交对角线于点，则阴影部分的面积是 ． 类型八、线段所过的面积问题 22．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，线段的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段． (1)画出线段，若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，则点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)线段在旋转到线段的过程中，线段扫过的区域的面积为______． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 24．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形，有，，，以中点O为圆心作弧及弧，动点P从C点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点P运动到点D时，线段扫过的面积为（　　）    A． B． C． D． 类型九、圆锥的计算 25．（23-24九年级上·江苏南京·期中）一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 26．（21-22九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，，绕所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于 ． 27．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 类型十、圆锥的侧面展开的有关计算 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 ． 29．（23-24九年级上·江苏南通·期中）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 30．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角为 °． 类型十一、圆中阴影部分的面积问题 31．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 32．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 33．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中，，，以为直径的与边交于点D．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 类型十二、圆锥的侧面展开在网格中的计算问题 34．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C． (1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接； (2)在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为________；的半径为________（结果保留根号）； (3)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是________． 35．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上． (1)在图上标出的外接圆的圆心O； (2)的外接圆的半径是 ； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 36．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 类型十三、正多边形与圆综合问题 37．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 38．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”． 【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”． 【判断】 (1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”； 【操作】 (2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；    【探究】 (3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；      【归纳】 (4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______． 39．（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 一、单选题 1．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（　　）    A． B．2π C．π D． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，分别以A、B、C为圆心，2为半径画弧，3条弧与所围成的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，点是正方形和正五边形的中心，连接交于点，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知以点M为圆心，为半径作，与 x 轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接．给出4个说法：①；②；③当线段取得最大值时，点D的坐标为；④当点C在优弧上运动时，点D的运动路径长为．其中正确的是（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，为的直径，点A是的中点，交于E点，是的切线，与的延长线交于点F，，下列结论： ①； ②； ③； ④的长为． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，与正八边形相切于点A，E，若正八边形的边长为2，则的长为 ．    10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ． 11．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，圆锥的底面圆半径，则扇形半径＝ ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是的弦，N是的中点，，垂足为N，“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当，时，则l的值为 ． 13．（11-12九年级上·江苏·期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点．则图中阴影部分面积是 ． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）    15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以的长为半径作弧，两弧分别交于点，则图中阴影部分的面积为 ．    16．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，用一段不可伸缩的铁丝围成一个，，，若不改变的度数，将三角形弯折成一个以点为圆心的扇形，则折成的扇形半径长为 ． 17．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，正五边形内接于，点F在劣弧上，则的度数为 °．      18．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形和等边都内接于圆O，与别相交于点G，H．若，则的半径长为 ；的长为 ． 19．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则 °． 20．（21-22九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 22．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正六边形内接于，半径为4．    (1)求点到的距离； (2)求正六边形的面积． 23．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图1，四边形内接于为直径，过点C作于点E，连接AC． (1)求证：； (2)如图2，连结，若，，求与弧围成阴影部分的面积． 24．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）完成下列问题： (1)如图甲，扇形的半径为1，以为圆心的弧平分扇形的面积，求的长： (2)如图乙，在扇形中，以为圆心作弧（点在上，点在上），使弧平分扇形的面积．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 26．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放．其中，，． 【问题探究】 小明同学将三角板绕点按顺时针方向旋转．       (1)如图，当点落在边上时，延长交于点，求的长； (2)若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离； (3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图），求点所经过的路径长； (4)如图，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是 ． 27．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圆的直径在直线上，且厘米，点在三角形的左侧，厘米．若半圆沿方向以每秒2厘米的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，半圆与直线相切； (2)当时，试判断直线与半圆的位置关系并说明理由； (3)当时，求半圆与三角形重合部分的面积． 28．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）“景山风云少年”兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点、分别是、边上的动点．    (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、．点恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为，连接，试说明； (2)若，，如图②，且，将四边形沿翻折，点、的对应点分别为、．当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为 ； (3)如图，已知，，，，点为边的中点，点、在边、上运动，点在线段上运动，连接、、，求的周长最小值． 29．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图1，的半径为2厘米，点P、Q为⊙O外的两点，线段与的交点为A、B两点，厘米，，点C为弧上一点，连接，其中长度为m厘米，长度为n厘米．对于点C在弧上的不同位置，画图、测量，得到了线段m，n的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 m/厘米 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0 6.32 n/厘米 6.32 5.27 4.80 4.45 4.20 4. 04 4 厘米 10.32 9.67 9.60 9.65 9.80 10.04 10.32        (1)根据学习的数的经验．以为坐标，在图2所示的坐标系中描出对应的点，请用平滑的曲线连线： (2)①结合表中的数据以及所画的图象，猜想：当m和n满足条件 时，最小； ②此时，弧和弧有什么关系？请说明理由： (3)如图3，设地球的半径为R，有两只气象气球M、N，它们离地面的距离为，它们和地心O形成的夹角．气球M把信息发送到地面气象站A，地面气象站A再把处理后的信息发送给气球N．根据（2）中的猜想，传送的信息从气球M→气象站A→气球N的距离最短时，请确定气象站A的位置．（用直尺和圆规作图） (4)如图4，设地球的半径为R，有两只气象气球M、N，它们离地面的距离为2R，它们和地心O在一条直线上，在地面有两个移动气象站B、C．始终保持，假设点M、N、B、C在同一平面内，气球M把信息发送到地面气象站B，地面气象站B再把处理后的信息发送给地面气象站C，地面气象站C再把处理后的信息发送给气球N．根据（2）中的猜想，要传送的信息从气球M→气象站B→气象站C→气球N的最短距离为多少？（即弧的长，结果用R表示） ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04圆的有关计算（13大类型提分练+30道压轴题） 类型一、正多边形的中心角 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题． 【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于， 有，解得， 故答案为：12． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，点O是正方形和正五边形的中心，连接、交于点P，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提． 根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接是正方形和正五边形的外接圆， 正方形内接于， ， 又正五边形内接于， ， ， 故选：B． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 类型二、正多边形的半径与边心距 4．（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，圆内接正六边形的周长为，则该正六边形的内切圆半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件先求出正六边形的边长以及对应角度，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，    圆内接正六边形的周长为， 圆内接正六边形的边长为：. ， . ， ， 在中， ， . 正六边形的内切圆半径为：. 故选：A. 【点睛】本题考查了正多边形和圆，垂径定理，勾股定理，解题的关键在于正确掌握正六边形的性质. 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图摆放的两个正六边形的顶点，，，在图上．若，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得，再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，设圆的圆心为点，即点为正六边形边的中点，连接，过作于点， ∴， ∵正六边形的每个内角都为， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的半径为， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形内接于，其边长为2，则的内接正三角形的边长为 ． 【答案】 【分析】连接、、，作于M，先求出圆的半径，在中利用30度角的性质即可解决问题． 【详解】解；连接、、，作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是直径，， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 类型三、正多边形的面积 7．（22-23九年级上·江苏连云港·期中）周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可． 【详解】解：设正六边形的边长为a， 如图1所示：四边形是正方形， ∴， ∴． 如图2，过O作，G为垂足． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ． 故选D． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据正方形、正六边形的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行求解即可． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，正六边形中，的面积为4，则正六边形的面积是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求几何图形面积，“割补法”是解题关键． 【详解】如图所示：将三角形分割为，补到位置． ， 故选：C． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正n边形，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识．如图，圆心为，由圆的内接正八边形可知，，，作于，则，由勾股定理得，求得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，圆心为，    由圆的内接正八边形可知，，， 作于，则， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 类型四、弧长的计算 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长的计算、切线的性质．设圆心为点，连接，先根据切线的性质，得 ，再求出所对的圆心角，再根据弧长公式计算即可．解答本题的关键是求出优弧 AMB 的度数． 【详解】解：如图，设圆心为点，连接， ，分别与所在圆相切于点，， ，即， 在四边形中，， 所对的圆心角为， 则的长， 故选：A． 11．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当，时，则l的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，连接ON，由，，推出是等边三角形，得到，由等腰三角形的性质推出，而，得到、、共线， 求出，即可得到，进而代入公式，求得的值，即可求解． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ， 是中点， ， ， 、、共线， 是等边三角形，， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，以为直径的半圆画与、分别相交于点、，且， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)的长为； (2)． 【分析】（）连接，，由是的直径，则，由，，得到，再根据圆周角定理求出，最后通过弧长公式即可求解； （）由，则，在中，由勾股定理得，求出，然后根据线段和差即可求解； 本题考查了圆周角定理，弧长计算公式，等腰三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）连接，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）由（）得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 类型五、扇形的面积 13．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积求法，利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积． 【详解】解：设扇形的半径为r．则 ，解得， ∴扇形的面积， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，丁丁用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面周长为，那么这张扇形纸板的面积是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查扇形的面积与弧长的关系，熟练掌握二者的关系是解题关键． 【详解】解：∵扇形的半径为，圆锥形帽子的底面周长为， ∴ 故答案为：． 15．（2023九年级上·江苏·专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式． 类型六、弓形的面积计算 16．（21-22九年级上·江苏淮安·期中）如图，的半径为2，是的内接三角形，，则图中阴影部分的面积 ． 【答案】/ 【分析】连接OA，OB．得出OA2+OB2=AB2，则∠AOB=90°，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：连接OA，OB． △OAB中，OA=OB=2，AB=2， ∴OA2+OB2=22+22=8，AB2＝(2)2=8， ∴OA2+OB2=AB2， ∴∠AOB=90°， ∴S扇形OAB=，S△OAB=×2×2=2， ∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=π-2． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理的逆定理，求出∠AOB=90°，是解题的关键． 17．（22-23九年级上·江苏南通·期中）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据翻折的性质，可得到，进而求出，，再根据进行计算即可． 【详解】解：如图， 由翻折的性质可知，， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，翻折的性质以及解直角三角形是正确解答的前提． 18．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的与相切于点． (1)求证：平分； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，证明得，进而可证平分； （2）连接，由为直径得，然后由勾股定理求得的长，利用锐角三角函数的知识求出，然后由求得答案． 【详解】（1）证明：连接，则， ． 是的切线， ， ，即， ， 平分； （2）解：连接， 为直径， ， ， ． 在中，∵， ， ∴， ， ， ． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形以及扇形的面积，正确作出辅助线是解答本题的关键． 类型七、阴影部分的面积问题 19．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，过作于，根据旋转的性质得出扇形和扇形的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出和，再根据阴影部分的面积求出答案即可． 【详解】解：连接，过作于，则，如图， ∵将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点， ∴扇形和扇形的面积相等，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=． 20．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图①，一个扇形纸片的圆心角为，半径为．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，再折叠扇形纸片，使点与点也恰好重合，折痕恰为，图中阴影部分为纸片的三层重叠部分，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接，    在中，， ∴ ，， ， ∵一个扇形纸片的圆心角为， ∴， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，解直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握扇形面积公式． 21．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，正方形的边长为6，以为直径的半圆交对角线于点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、正方形的性质，解题的关键是根据题意和图形可知阴影部分的面积是的面积减去弓形的面积，再减去的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：正方形边长为6， ， ∵弓形和弓形的面积相等， 阴影部分的面积是： ， 故答案为：． 类型八、线段所过的面积问题 22．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，线段的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段． (1)画出线段，若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，则点B的坐标为______，点C的坐标为______． (2)线段在旋转到线段的过程中，线段扫过的区域的面积为______． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据旋转图形前后不发生任何变化，找出C的位置，从而得出C点的坐标；考查图形的旋转和直角坐标系的相关知识； （2）根据扇形的面积公式直接进行计算即可得到答案，考查扇形的面积公式． 【详解】（1）解：线段如下图所示， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 故答案为：；； （2）解：∵为直角三角形的斜边，且直角边长度分别为3和4， ∴， ∵线段扫过的区域为半径为5，圆心角为的扇形， ∴扫过的面积为：， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 24．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形，有，，，以中点O为圆心作弧及弧，动点P从C点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点P运动到点D时，线段扫过的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，过作于，证明，根据三角函数得出，求出，证明为等边三角形，求出，求出，得出． 【详解】解：连接，，过作于，    ∵点O是中点， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∵为直角三角形，点O是中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，扇形面积公式及解直角三角形，根据线段长度得到直角三角形， 结合特殊三角形的正弦值得到圆周角从而得到圆心角，结合扇形面积公式即可得到答案． 类型九、圆锥的计算 25．（23-24九年级上·江苏南京·期中）一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等圆锥的母线长是解题的关键，设该圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面积公式得到方程，然后解方程即可得到答案． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， 根据题意得 ， 解得， 即该圆锥的母线长是9． 故选：C． 26．（21-22九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，，绕所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据题意可得圆锥的底圆半径为，母线长为，然后用公式求解即可，熟记圆锥侧面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，圆锥的底圆半径，母线长， ∴圆锥侧面积为， 故答案为：． 27．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． （2）圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 类型十、圆锥的侧面展开的有关计算 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 ． 【答案】/180度 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．根据数量关系得，进而得，即可求解，熟练掌握圆周侧面展开图的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r． ∴底面周长为：，底面面积为：，侧面积为：， ， ， ， 故答案为：． 29．（23-24九年级上·江苏南通·期中）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是圆锥的计算，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 故答案为：6． 30．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角为 °． 【答案】120 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图的圆心角，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，列出等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：120． 类型十一、圆中阴影部分的面积问题 31．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，点O是边上一点，以点O为圆心、为半径的圆经过点A，与交于点D． (1)试说明与相切； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、勾股定理、扇形面积的计算等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据题意可得出，从而可判断出直线与的位置关系； （2）根据图中阴影部分的面积等于的面积-扇形的面积”即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又∵点A在上， ∴与相切； （2）解：∵的半径为2， ∴， 又∵， ∴， ∴． 32．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 33．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中，，，以为直径的与边交于点D．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，再根据切线的判定可证得结论； （2）连接，先根据圆周角定理得到，再利用直角梯形和扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由为： ∵在 中，，， ∴， ∴，则， ∵为的直径， ∴直线与相切； （2）解：连接，则，    ∵直径， ∴，， ∵， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、梯形和扇形面积公式，熟练掌握切线的性质和扇形面积公式是解答的关键． 类型十二、圆锥的侧面展开在网格中的计算问题 34．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点A、B、C． (1)借助网格画出所在圆的圆心M的位置，并连接； (2)在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为________；的半径为________（结果保留根号）； (3)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）连接，利用网格特点，作和的垂直平分线，根据垂径定理，它们的交点即为圆心M点； （2）利用（1）所画图形写出M点的坐标，然后利用勾股定理计算出的长得到圆的半径； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，据此求解即可． 【详解】（1）如图，点M为所作； （2）如图，圆心M的坐标为； ， 即的半径为； 故答案为：，； （3）该圆锥的底面圆半径为r， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的底面圆半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了垂径定理和勾股定理及其逆定理． 35．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上． (1)在图上标出的外接圆的圆心O； (2)的外接圆的半径是 ； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，以及圆锥的有关计算，关键是掌握三角形外心的定义． （1）作出线段中垂线，交点即为的外接圆的圆心； （2）由勾股定理求出的长，即可得到外接圆半径的长； （3）先求出的长，再根据弧长即是圆锥的底面周长求解即可． 【详解】（1）如图，线段中垂线的交点O是外接圆的圆心； （2）由勾股定理得：， ∴外接圆的半径是． 故答案为：． （3）连接， ∵，， ∴， ∴， ∴的长， ∴该圆锥底面半径． 36．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．    (1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________； (2)判断点与的位置关系； (3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【答案】(1)，； (2)圆内； (3)． 【分析】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理． （1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算长得到的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r即可． 【详解】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为， ， 即的半径为； 故答案为：，； （2）解：∵P，， ∴， ∵， ∴的长小于圆的半径， ∴点在内； （3）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得． 类型十三、正多边形与圆综合问题 37．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 【答案】(1)16 (2)①；② 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，根据正方形和圆的性质得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）①连接，，设，分别在、中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可； ②连接，，，先证明共线，然后求出，最后根据正方形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，   四边形是正方形， ， 解得：， 正方形的边长为4， 正方形的面积为16． （2）解：①连接，，   四边形是正方形，且其面积为16， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得（舍） ， ． ②连接，，，   ，且， ，， 又， ， 共线， ， ． 38．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”． 【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”． 【判断】 (1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”； 【操作】 (2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；    【探究】 (3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；      【归纳】 (4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______． 【答案】(1)不是；不是 (2)图形见详解， (3)， (4) 【分析】（1）根据定义判断正多边形的中心点到顶点的距离即可得到结论； （2）利用定义即可画出正方形的“伴侣形”， 连接、和，根据定义有为等边三角形，得，求得，结合弧长公式即可求得答案； （3）当，连接、、和，由题意得，则和为等边三角形，得，由和的度数，即可求得的长度，则有“远伴侣形”的周长；当时，“远伴侣形”的周长同理即可求得； （4）结合前面的求解过程先求一段弧长对应的角度，再求其弧长即可解得“远伴侣形”的周长． 【详解】（1）解：不是所有的正多边形都有“伴侣形”，当时，“伴侣形”为一个点，当时没有“伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离大于边长便没有“伴侣形”； 不是所有的正多边形都有“远伴侣形”，当时没有“远伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离小于边长便没有“伴侣形”； （2）如图，    设“伴侣形”的两个顶点为E、F，连接、和，如图，    由题意得，则为等边三角形，得， ∴，同理， ∴， 则， 故正方形的“伴侣形”的周长， （3）    连接、、和，如图， 由题意得，则和为等边三角形，得， ∵， ∴ 则， 故当时，其“远伴侣形”的周长为， 当时，“远伴侣形”的周长为， （4）． 【点睛】本题主要考查新定义下的正多边形中心点到顶点的距离、正多边形一边对应新定义下所围成的角度和弧长公式，解题的关键是要理解并画出“伴侣形”和“远伴侣形”，再结合角度和弧长公式． 39．（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)60 (2)①25；②；③的长为定值，定值为10． 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可； ③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为， 故答案为：25； ②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，    ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ③证明：如图所示，连接，，    由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 1．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质与等边对等角的等腰三角形的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求得，，再由等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（　　）    A． B．2π C．π D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，根据翻折的性质以及等边三角形的判定得出是等边三角形，进而求出扇形圆心角度数，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．掌握扇形面积的计算公式以及正三角形的判定和性质是正确解答的前提． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，分别以A、B、C为圆心，2为半径画弧，3条弧与所围成的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，求弧长．先求出，则，再根据得出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的周长， 故选：D． 4．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，点是正方形和正五边形的中心，连接交于点，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质．熟练掌握圆内接多边形，圆周角定理，三角形外角的性质是解题的关键． 如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆，由圆周角定理可得，，然后根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，则是正方形和正五边形的外接圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，以为圆心，为半径作，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，求出与重合，而关于原点成中心对称，利用正六边形的性质与勾股定理求出的坐标，利用关于原点成中心对称，从而可得答案． 【详解】解：如图，以为圆心，为半径作， 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°， 即把绕点O顺时针旋转i个45°， 旋转后的对应点依次记为， 周角， 绕点O顺时针旋转次回到原位置， 与重合，而关于原点成中心对称， 连接， 正六边形， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，正六边形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，求出与重合，而关于原点成中心对称是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则， 根据题意得：， 解得：， 侧面积为：， 底面积为： 所以圆锥的表面积为：， 故选：B． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知以点M为圆心，为半径作，与 x 轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接．给出4个说法：①；②；③当线段取得最大值时，点D的坐标为；④当点C在优弧上运动时，点D的运动路径长为．其中正确的是（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了周角角定理，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，作△ODA的外接圆⊙E，并从中确定D的运动轨迹是圆上的一条弧是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，，故①正确；由圆周角定理得，由平等线的性质可得，故②正确；由，可得当是直径时，有最大值，由等腰直角三角形的性质可求出点的坐标故③正确；先确定点的运动轨迹，可求点的运动路径为，故④错误，即可求解 【详解】解：∵点D是的中点，点O在的中点， ∴，故①正确； 如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴当取得最大值时，线段取得最大值，如图2，    ∵为直径， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴D的坐标为，故③正确； 如图3，作的外接圆，连接，    ∵， ∴， ∵当点C在上运动时， ∴点D在上运动， ∴点D的运动路径长，故④错误； 故选：A． 8．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）如图，为的直径，点A是的中点，交于E点，是的切线，与的延长线交于点F，，下列结论： ①； ②； ③； ④的长为． 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据点A是的中点，可得，可证得，故①正确；根据，可得，根据锐角三角函数可得，故②正确；连接，则，根据点A是的中点，可得，从而得到，故③正确；连接，根据圆周角定理可得，，再由弧长公式，可得故④错误；即可． 【详解】解：∵点A是的中点， ∴， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在中， ，故②正确； 如图，连接，则， ∵点A是的中点， ， ， ， ，故③正确； 连接， ， ， ， ，故④错误； 故选：C 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、三角函数、圆周角定理、圆心角、弧的关系、等边三角形的判定和性质等知识，难度适中． 二、填空题 9．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，与正八边形相切于点A，E，若正八边形的边长为2，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正八边形的性质，弧长公式的运用，连接，利用正八边形的性质计算出半径和圆心角即可． 【详解】解：连接，    ∵与正八边形相切于点A，E， ， ∵六边长的内角和为， ， ， ∴点A、O、D共线， ， ， ， 的长为， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与相切于点E，F．已知，则的长度为 ． 【答案】 【分析】如图，作，，与交于点，则，由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作，，与交于点， ∴， 由折叠的性质可知，扇形与扇形半径相同， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠的性质，四边形内角和，弧长等知识．熟练掌握折叠的性质，弧长公式是解题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，将一个扇形围成圆锥的侧面，已知扇形面积为，圆锥的底面圆半径，则扇形半径＝ ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，由圆锥侧面展开图是扇形，可以利用求扇形面积公式即可求解，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】由题意得：，其中， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是的弦，N是的中点，，垂足为N，“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当，时，则l的值为 ． 【答案】// 【分析】本题考查弧长的计算，垂径定理和勾股定理，连接，根据垂径定理，知，M，N，O共线，设圆的半径为r，根据勾股定理求出，计算求出答案． 【详解】解：连接，如图： ∵N是的中点，， ， ∴M，N，O共线， ， ， 设圆的半径为r，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 故答案为：． 13．（11-12九年级上·江苏·期中）如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点．则图中阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．通过观察可知阴影部分的面积正好等于长方形的面积，直接根据相关条件求长方形的面积即可． 【详解】解：连接， 正方形的边长为1，即， ，， ，， 图形是面积等于图形的面积， 长方形的面积． 故答案为： 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以的长为半径作弧，两弧分别交于点，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质、扇形的面积、解直角三角形等知识点，得出，再根据，代入数值进行计算即可得到答案，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，   ， 由题意得：，， 在矩形中，，， ，，， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 16．（22-23九年级下·江苏无锡·期中）如图，用一段不可伸缩的铁丝围成一个，，，若不改变的度数，将三角形弯折成一个以点为圆心的扇形，则折成的扇形半径长为 ． 【答案】 【分析】首先借助求得铁丝的总长度，再设折成的扇形半径为，根据将三角形弯折成扇形铁丝长度不变，求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴铁丝的总长为：， 设折成的扇形半径为， 根据题意可得，， 解得， ∴折成的扇形半径长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、利用三角函数解直角三角形、扇形的周长等知识，理解题意并综合运用相关知识是解题关键． 17．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，正五边形内接于，点F在劣弧上，则的度数为 °．      【答案】72 【分析】先求得正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：72． 【点睛】此题考查了正多边形与圆，涉及了正多边形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 18．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形和等边都内接于圆O，与别相交于点G，H．若，则的半径长为 ；的长为 ． 【答案】 【分析】连接正方形和等边都内接于，得证是的直径，，，，从而得，，得到，直线是线段的垂直平分线，从而得到，，得证，，从而得证，，，结合，确定，，根据计算即可． 【详解】如图，连接 ∵正方形和等边都内接于， ∴是的直径，，，， ∴，， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得，故半径为， ∴， ∴=． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的基本性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 19．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则 °． 【答案】24 【分析】如图所示，连接，先求出，进而求出，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形和正三角形都是的内接多边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（21-22九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件以及三角形内心的性质，将转化为定角，进而通过作的外接圆，利用圆内接四边形的性质找到当点P与点重合时，CP的值最小，最后通过求解即可． 【详解】解：， 点P是的内心， 分别是和的平分线， 易证（SAS） 点P在以AB为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示： 圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，则 ， 连接OC，交⊙O于点，当点P与点重合时，CP的值最小，分别过点O作于点M，交CB的延长线于点N，如图所示： 则四边形OMBN是正方形， 在中， 即CP的最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角形外接圆以及圆内接四边形的性质等知识，根据已知条件作出适当的辅助线以及借助圆的相关性质是解决本题的关键． 三、解答题 21．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，可得，从而可得结论； （2）作，，证明，，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：连接，正八边形， ∴，   ，， ， ∴． （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，，    ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正六边形内接于，半径为4．    (1)求点到的距离； (2)求正六边形的面积． 【答案】(1)圆心O到CD的距离； (2)正六边形的面积为； 【分析】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． （1）连接连接、，作于H，根据余弦的定义计算即可； （2）根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：连接、，作于H，    ∵半径， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴圆心O到CD的距离， （2）正六边形的面积． 23．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图1，四边形内接于为直径，过点C作于点E，连接AC． (1)求证：； (2)如图2，连结，若，，求与弧围成阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解本题的关键． （1）先判断出，然后用等角的余角相等即可证明结论； （2）求出和，再利用面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴与弧围成阴影部分的面积为：． 24．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． （2）∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴，而， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）完成下列问题： (1)如图甲，扇形的半径为1，以为圆心的弧平分扇形的面积，求的长： (2)如图乙，在扇形中，以为圆心作弧（点在上，点在上），使弧平分扇形的面积．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查扇形的面积公式，以及等腰直角三角形作图法， （1）设，，求得扇形的面积，根据题意列方程，解方程，即可解答； （2）根据（1）可得，故以为斜边作等腰直角三角形，等腰三角形的直角边即为的长， 将扇形面积比转化为半径的比是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则扇形的面积为， 可得方程， 解得（舍去）， 故的长为； （2）解：如图所示，即为所求： 26．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放．其中，，． 【问题探究】 小明同学将三角板绕点按顺时针方向旋转．       (1)如图，当点落在边上时，延长交于点，求的长； (2)若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离； (3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图），求点所经过的路径长； (4)如图，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据锐角三角函数求解，即可求出答案； （）当点在上方时，如图， 过点作于，根据锐角三角函数求出，，最后利用面积求解，即可求出答案；当点在下方时，如图，过点作于，同的方法即可求出答案； （）先求出，再判断点是以点为圆心，为半径的圆上，最后用弧长公式求解即可； （）过点作于，求出即可求出答案． 【详解】（1）由题意得，，在中，，， ∴； （2）当点在上方时，如图， 过点作于，    在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， 当点在下方时，如图，过点作于，    ∴， ∴， 综上可知：点到直线的距离为； （3）如图，连接，取的中点，    取的中点， 连接， 则， ∴， ∴， ∵点为的中点， 点为的中点， ∴， ∴点是以点为圆心，为半径的圆上，如图， ∴三角板由初始位置 (图), 旋转到点、、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧， ∴点所经过的路径长为； （4）如图，过点作于，    ∵点为的中点，， ∴， ∴， 由 () 知, 点是以点为圆心,为半径的圆上， ∴点到直线的距离的最大值是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，弧长公式，三角形的中位线定理，三角形的面积，画出图形及熟练掌握以上知识的应用是解题的关键. 27．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圆的直径在直线上，且厘米，点在三角形的左侧，厘米．若半圆沿方向以每秒2厘米的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，半圆与直线相切； (2)当时，试判断直线与半圆的位置关系并说明理由； (3)当时，求半圆与三角形重合部分的面积． 【答案】(1)或 (2)相切，见解析 (3) 【分析】（1）考虑点刚到点时和点刚到点时，两种情况，即可解答； （2）当时，点与点重合，利用含有角的直角三角形的边长关系，求得点到直线的距离即可解答； （3）画出图形，利用扇形面积加上等腰三角形的面积，即可解答； 【详解】（1）解：如图，当点刚到点时，， 如图，当点刚到点时，， 故答案为：或； （2）相切，理由如下： 解：当时，点与点重合， 如图，过点作的垂线段，交于点， ， ， ，， 当时，直线与半圆相切； （3）解：当时，点运动到的中点，点和点重合， 如图，过点作的垂线段，交于点，连接， ， ，， 扇形的面积为， 根据勾股定理，可得， ， ， 半圆与三角形重合部分的面积为． 【点睛】本题考查了相切的性质，扇形的面积公式，含有角的直角三角形三边关系，勾股定理，理解题意，能够正确的画出图形，分类讨论是解题的关键． 28．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）“景山风云少年”兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点、分别是、边上的动点．    (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、．点恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为，连接，试说明； (2)若，，如图②，且，将四边形沿翻折，点、的对应点分别为、．当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为 ； (3)如图，已知，，，，点为边的中点，点、在边、上运动，点在线段上运动，连接、、，求的周长最小值． 【答案】(1)①；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①设，则，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； ②取的中点，连接，则，根据题意可得，根据折叠的性质可得，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，，即可求解； （2）连接，交于，连接，，作点关于的对称点，证明，可得，证明是等边三角形，得出点在以为圆心，为半径的上运动，进而根据弧长公式，即可求解； （3）如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，过点作交的延长线于，设，则，；利用勾股定理根据二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）①解：四边形是正方形， ，， 是的中点， ， 设，则， ， ， ； ②证明：如图1，    取的中点，连接， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， 由折叠得， ， ， ； （2）解：如图2，    连接，交于，连接，，作点关于的对称点， ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ，又， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 点在以为圆心，为半径的上运动， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，过点作交的延长线于，设，则，，    ∵∠DCR=∠DCB=60°， ， ， ，，， ， 点在上运动，， ， 时，的值最小，最小值为， 即的周长最小值为 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，求弧长，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，动点问题的最短距离，轴对称，勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是掌握折叠的性质． 29．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：   ． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图1，的半径为2厘米，点P、Q为⊙O外的两点，线段与的交点为A、B两点，厘米，，点C为弧上一点，连接，其中长度为m厘米，长度为n厘米．对于点C在弧上的不同位置，画图、测量，得到了线段m，n的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 m/厘米 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0 6.32 n/厘米 6.32 5.27 4.80 4.45 4.20 4. 04 4 厘米 10.32 9.67 9.60 9.65 9.80 10.04 10.32        (1)根据学习的数的经验．以为坐标，在图2所示的坐标系中描出对应的点，请用平滑的曲线连线： (2)①结合表中的数据以及所画的图象，猜想：当m和n满足条件 时，最小； ②此时，弧和弧有什么关系？请说明理由： (3)如图3，设地球的半径为R，有两只气象气球M、N，它们离地面的距离为，它们和地心O形成的夹角．气球M把信息发送到地面气象站A，地面气象站A再把处理后的信息发送给气球N．根据（2）中的猜想，传送的信息从气球M→气象站A→气球N的距离最短时，请确定气象站A的位置．（用直尺和圆规作图） (4)如图4，设地球的半径为R，有两只气象气球M、N，它们离地面的距离为2R，它们和地心O在一条直线上，在地面有两个移动气象站B、C．始终保持，假设点M、N、B、C在同一平面内，气球M把信息发送到地面气象站B，地面气象站B再把处理后的信息发送给地面气象站C，地面气象站C再把处理后的信息发送给气球N．根据（2）中的猜想，要传送的信息从气球M→气象站B→气象站C→气球N的最短距离为多少？（即弧的长，结果用R表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据表格中的对应值，描点连线即可得到图象； （2）①根据表中的数据以及所画的图象，得到时，最小；②连接，证明，推出，由此得到； （3）根据（2）中的猜想，传送的信息从气球M→气象站A→气球N的距离最短时，作的平分线，与地球的交点即为点A； （4）由（2）得要传送的信息从气球M→气象站B→气象站C→气球N的距离最短，则，证得，得到，过点B作于点E，利用正弦及余弦公式求出的长度，根据勾股定理求出的长度，根据弧长公式求出的长度即可． 【详解】（1）   （2）①结合表中的数据以及所画的图像，可知，时，最小，此时，， 故答案为：； ②连接，    ∵，， ∴ ∴， ∴； （3）根据（2）中的猜想，传送的信息从气球M→气象站A→气球N的距离最短时，气象站A即为所求；    ∵平分， ∴， 又∵ ∴ ∴； （4）由（2）得要传送的信息从气球M→气象站B→气象站C→气球N的距离最短，则， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 过点B作于点E，    ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴要传送的信息从气球M→气象站B→气象站C→气球N的最短距离为． 【点睛】此题考查了画函数图象，函数的图象及性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，角平分线作图，综合掌握各知识点并熟练应用是解题的关键． ( 87 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$