专题03直线与圆的位置关系（16大类型提分练+30道压轴题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题03直线与圆的位置关系（16大类型提分练+30道压轴题） 类型一、直线与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆（    ） A．与x轴相切，与y轴相交 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相切，与y轴相离 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是 ． 类型二、有关切线的辨析问题 4．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）下列命题中正确的是（    ） A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等． 5．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）下列命题中，真命题是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的重心到三个顶点的距离相等 C．等弧所对的圆心角相等 D．经过圆上一点的直线是圆的切线 6．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型三、切线的判定条件 7．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 8．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D．过点C作，在上取一点E，使，连接．对于下列结论：①；②；③为的切线；④，其中一定正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 9．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 类型四、切线的性质 10．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图所示，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级下·江苏淮安·期中）如图，是的直径，点在直径上与，不重合），，且，连接，与交于点，在上取一点，使得与相切． (1)求证：； (2)若是的中点，，求的长． 类型五、直线运动与圆切线 13．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处．如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后与直线相切．    A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 14．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 15．（20-21九年级上·江苏徐州·期中）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 类型六、与切线有关的最值问题 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 17．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 类型七、切线的判定与性质的计算和证明 19．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，内接于，点D是弧的中点，过点D作分别交、延长线于P、Q，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求的长． 20．（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图：在中，，是的平分线，点O在上，经过B、D两点，交于点E． (1)试说明：是的切线； (2)若，求的半径． 21．（20-21九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，以为直径作交于点E，连接，.    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 类型八、切线长定理 22．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，、是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 23．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．19 B．17 C．22 D．20 24．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆切于点，交于点，若，，求的半径和边的长． 类型九、三角形的外接圆 25．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 26．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，中，，．能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径为（     ）    A． B． C． D． 27．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）（1）如图1，在锐角的外部找一点D，使得点D在的平分线上，且点D在锐角的外接圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若，，，则线段的长为 ，线段的长为 ．（如需画草图，请使用图2）    类型十、三角形的内切圆 28．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（    ） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）勾股容圆最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是 步． 30．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，P为的内心，经过点P的线段分别与相交于点D、点E．若，，则点P到的距离为 ．    类型十一、有关圆的作图问题 31．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作的平分线，交于点O；②以O为圆心，为半径作圆． (2)在你所作的图中，与的位置关系．（直接写出答案） 32．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点，，都在格点上． (1)画出的外接圆； (2)连接，在（1）中的上画出点，使得是直角三角形； (3)求半径的长． 类型十二、圆与几何综合问题 33．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 34．（22-23九年级上·江苏南京·期中）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E． 【特殊情形】 (1)如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：． 【一般情形】 (2)如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：． 【经验迁移】 (3)如图③， ， ， F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________． 类型十三、圆与动点综合问题 35．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； (2)取的中点M，运动过程中，当时，求t的值； (3)运动过程中，当以Q为圆心，为半径的圆，与矩形的边共有4个公共点时，请直接写出t的取值范围． 36．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过三点作圆，交于点，连接．设运动时间为，其中． (1)求的值； (2)当时，求出内切圆的半径； (3)求四边形的面积． 类型十四、圆与材料探究问题 37．（20-21九年级上·江苏南京·期中）【提出问题】 （1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短． 如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明． 【变式探究】 （2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短． 小明给出下列解答，请你补全小明的解答． 小明的解答 如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN． ∵　　，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON． 又　　，∴OP+PQ＞OM+MN． 又OP＝OM，∴PQ＞MN． 【拓展研究】 （3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是　　． 类型十五、圆与方程、函数综合问题 38．（21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程为常数且． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)若方程的两根为、且、都为整数，，求整数的值； (3)在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中，，，以为直径作，与轴交于C、D．点在平面内运动． ①若点在上，求的值； ②若为锐角三角形，直接写出的取值范围． 类型十六、圆的有关新定义压轴问题 39．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）我们知道到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心.在三角形内部到三边距离相等的点是三角形的内心.由此，我们可以引入如下新的概念： 定义1：到三角形两个顶点距离相等的点叫做这个三角形的准外心，如图①，，点P叫做的准外心，也可以称作边上的准外心. 定义2：到三角形的内角两边距离相等的点叫做这个三角形的准内心，如图②，，，且，则点Q叫做的准内心，也可以称作边和上的准内心. 应用： (1)）如图③，为等边三角形的高，准外心Р在高上，且，则________°. (2)如图④，在中，，， ①若点M是的准内心，且M在边上，求的长 ②若点N是的准外心，且是边和上的准内心，求的值. 40．（19-20九年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系xOy中的两个图形M与N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“和睦距离”，记作d（M，N）．若图形M，N有公共点，则d（M，N）＝0． （1）如图，A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，则d（C，⊙C）＝　 　，d（O，⊙C）＝　 　； （2）已知，如图，△ABC的一边AC在x轴上，B在y轴上，且AC＝8，AB＝7，BC＝5． ①D是△ABC内一点，若AC、BC分别切⊙D于E、F，且d（C，D）＝2d（D，AB），判断AB与⊙D的位置关系，并求出D点的坐标； ②若以r为半径，①中的D为圆心的⊙D，有d（B，⊙D）＞1，d（C，⊙D）＜2，直接写出r的取值范围　 　． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点与相交于点．若的半径为．点的坐标是．则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知是边长为3的等边三角形，的半径为是上一动点，分别切于点的另一条切线交于点，则周长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点D是边上一个动点，以点D为圆心r为半径作，直线与切于点E，若点E关于的对称点F恰好落在边上，则r的值是(   ) A． B．1 C． D． 6．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，是的切线，切点是点D，过点A的直线与交于点C，则下列结论错误的是（   ） A． B．如果平分，那么 C．如果，那么也是的切线 D．如果，那么 7．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程根的图形解法：如图，在⊙O中，为直径，⊙O的切线与的延长线交于点B，切点为A，连接，使，，则该方程的一个正根是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 8．（21-22九年级下·江苏淮安·期中）如图，四边形ABCD是正方形，以B为圆心，作半径长为2的半圆，交AB于点E．将半圆B绕点E逆时针旋转，记旋转角为30°，半圆B正好与边CD相切，则正方形的边长为（    ） A．3 B．2 C．2+ D．4 9．（22-23九年级上·江苏南通·期中）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，且，点P为的内心，点O为边中点，将绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则长的最小值为（  ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点是正方形的中心，与相切于点，连接，若，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为1，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ． 14．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切于点A，与x轴交于点B、C，连接并延长交于点D，交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为，则点B的坐标为 ． 15．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，，为矩形的对角线的交点，以为圆心，半径为1作，为上的一个动点，连接、，则面积的最大值为 ．    16．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，中，为边的中点，以上一点为圆心的和均相切，则的半径为 ． 17．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知直线与轴交于两点，的半径为1，为上一动点，切于点．线段长度的最小值是 ． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间 ． 19．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，半径为1的与直线l相切于点A，C为上的一点，于点B，则的最大值是 ． 20．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，：：：：，在内自由移动，若的半径为，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为 ． 三、解答题 21．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 22．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中， ①圆心的运动路径长是 ； ②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 23．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：    【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 24．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知：如图所示，在等边中，边长均为，点P、点Q分别从点A、点B出发同时向点C以的速度移动，到点C时停止． (1)几秒后，的面积等于？ (2)设运动的时间为秒，以Q为圆心，为半径画圆，当与线段有唯一公共点时，求的取值范围． 25．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作．    (1)当点坐标为时，则与直线的位置关系为________； (2)当与三边共有三个公共点时，则点的横坐标应满足的条件为________； (3)如图②，当点在第二象限时，且与轴交于、两点（在的左边），以为对称轴，将下方的翻折到的上方，作的直径交于点． ①如图③，当翻折后的弧经过圆心时，则点的坐标为________； ②当翻折后的弧把直径分成两段时，求点的坐标． 26．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）【新知】 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交x轴于点、，则为方程两个实数根． (1)【探究】由勾股定理得，，，，在中，，所以．化简得：，同理可得：______．所以m、n为方程的两个实数根． (2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M、N． (3)已知点、，以为直径作．请运用以上知识判断与x轴的位置关系，并说明理由． (4)【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程______． 27．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，已知、、．动点从点出发，以每秒3个单位的速度，沿的边、、做匀速运动；动直线从位置出发，以每秒1个单位的速度向轴负方向做匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为秒，当点运动到时，它们都停止运动． (1)若为线段的中点，以为圆心，为半径的圆与直线相切时，求的值； (2)若是以为圆心，1为半径的圆， ①当在线段上运动时，直线与相交时，求的取值范围； ②在整个运动过程中，若动点以每秒个单位的速度运动，使与直线有且只有两次机会相切，直接写出满足的条件． 28．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接．以点为圆心，为半径作．    (1)请判断直线与的位置关系，并予以证明； (2)如图2，点为劣弧上一动点（与点，点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 29．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图1，平行四边形中，．点为射线上一点，以为直径作交于两点．设的半径为． (1)如图2，当与相切时，______． (2)如图3，当点与点重合时， ①求线段长度； ②求阴影部分的面积； (3)当与平行四边形边所在直线相切时，求的值； 30．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03直线与圆的位置关系（16大类型提分练+30道压轴题） 类型一、直线与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系 中，以点 为圆心，4为半径的圆（    ） A．与x轴相切，与y轴相交 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相切，与y轴相离 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离．由已知点 可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系． 【详解】解：点 到x轴为4，等于半径4， 点 到y轴的距离为2，小于半径4， 故该圆与x轴相切，与y轴相交， 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，若 的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵ 的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3， ∴ 与该直线相交， ∴这条直线可能是 ， 故答案为： ． 类型二、有关切线的辨析问题 4．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）下列命题中正确的是（    ） A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等． 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本知识，圆的切线的定义，确定圆的条件，三角形的外心等，根据相关定义或性质逐项判断即可． 【详解】解：半圆是弧，故A选项命题不正确； B，经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的一条切线，故B选项命题不正确； C，平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故C选项命题不正确； D，三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故D选项命题正确； 故选D． 5．（21-22九年级上·江苏泰州·期中）下列命题中，真命题是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的重心到三个顶点的距离相等 C．等弧所对的圆心角相等 D．经过圆上一点的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】利用确定圆的条件、三角形的重心的定义、圆周角定理及切线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的外心到三顶点的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、等弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意； D、经过圆上的一点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的重心的定义、圆周角定理及切线的判定等知识，难度不大． 6．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据圆的相关概念和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，说法正确，不符合题意； ②过半径的末端，且与半径垂直的直线是圆的切线，原说法错误，符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，原说法错误，符合题意； ④圆内接四边形有无数个，原说法错误，符合题意； 综上，②③④说法不正确． 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理，切线的定义，等角对等弦，圆内接四边形．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 类型三、切线的判定条件 7．（2021·广东揭阳·一模）如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，下列说法不正确的是（    ） A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线 C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若 ，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若 ，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D．过点C作 ，在 上取一点E，使 ，连接 ．对于下列结论：① ；② ；③ 为 的切线；④ ，其中一定正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，圆的切线的判定，圆的性质，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】∵ ，以 为直径的 交 于点D． ∴ ， ， ∴ ， 故①正确； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵ ， ， ∴ ， ∴ 是三角形的中线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 为 的切线， 故③正确； 无法判断 ， 故④错误， 故选B． 9．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）以正方形 的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若 的周长为12，则正方形 的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 根据切线长定理可得 ，然后根据 的周长可求出正方形的边长． 【详解】解：在正方形 中， ， ， ∵ 与半圆 相切于点 ，以正方形 的边为直径作半圆O， ∴ 与半圆 相切， ， ∵ 的周长为12， ， ， ∵ ， 正方形 的边长为4． 故答案为：4． 类型四、切线的性质 10．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径，若 ，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理，根据切线的性质和切线长的性质定理，得出 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即可求解． 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 ， 是 的切线， 是 的直径， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 故选B． 11．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图所示，是 的弦， 是 的切线， 为切点， 经过圆心，若 ，则 的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线性质，直角三角形的两锐角互余，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．连接 ，根据切线的性质，即可求得 的度数． 【详解】如图，连接 ． ∵ 是 的切线， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选B． 12．（23-24九年级下·江苏淮安·期中）如图， 是 的直径，点 在直径 上 与 ， 不重合）， ，且 ，连接 ，与 交于点 ，在 上取一点 ，使得 与 相切． (1)求证： ； (2)若 是 的中点， ，求 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接 ，根据垂直定义可得 ，从而可得 ，然后利用等腰三角形的性质可得 ，由切线的性质得 ，继而得到 ，即可解答； （2）连接 ，根据已知可得 ， ，从而在 中，利用勾股定理求出 ，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得 ，从而可证 ，进而利用相似三角形的性质可求出 的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接 ， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． （2）解：解：连接 ， ， ， 是 的中点， ， ， 在 中， ， ， 是 的直径， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 的长为 ． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 类型五、直线运动与圆切线 13．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线 相交于点O， ，半径为 的 的圆心在直线 上，且位于点O左侧的距离 处．如果 以 的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后 与直线 相切．    A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和含 角的直角三角形的性质．根据题意 与 相切分： 在直线 左侧时， 在直线 右侧时，求出 运动的路程，即可根据速度求得时间． 【详解】解：①由题意可知 与 相切于点E， ∴ ， ∵ 半径为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 秒． ②当圆心P在直线 的右侧时， ， 则需要运动的时间为 秒． 综上所述， 与直线 相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 14．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线 相切于点M、N，且圆心分别为点 、 ；根据一次函数的性质，求得 ， ；根据特殊角度三角函数的性质，得 ，结合平移的性质，推导得 ；同理，推导得 ；根据直线与圆位置关系的性质，得符合题意要求的点P坐标，即可得到答案． 【详解】根据题意，⊙P沿x轴向左移动，分别与直线 相切于点M、N，且圆心分别为点 、 ，如下图： ∴ ，且将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点 和 之间 直线 与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点 ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ，即 ∴符合题意要求的点P坐标为： ， ， ， ， ， ， ∴当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7 故选：C． 【点睛】本题考查了平移、一次函数、圆、三角函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握平移、直线与圆位置关系、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解． 15．（20-21九年级上·江苏徐州·期中）如图，直线 、 相交于点 ，半径为1cm的⊙ 的圆心在直线 上，且与点 的距离为8cm，如果⊙ 以2cm/s的速度，由 向 的方向运动，那么 秒后⊙ 与直线 相切. 【答案】3或5 【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间． 【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E， ∴PE=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PE=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间= =3（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F， ∴PF=1cm， ∵∠AOC=∠DOB=30°， ∴OP=2PF=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间= =5（秒）． 故答案为3或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质. 类型六、与切线有关的最值问题 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在 中， ， ， ， 的半径为1，点P是 边上的动点，过点即P作 的一条切线 （点Q为切点），则切线长 的最小值是（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】连接 根据切线得到 ，结合垂线段最短找到P点即可得到答案． 【详解】解：连接 ，过 作 ，此时 即为最小的 ，半径不变当 最小时 也最小， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 由勾股定理可得， ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的一条切线， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，圆外一点到圆的最短距离，切线的性质，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是关键． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知，如图， 中， ，半径为1的 与三角形的边 都相切，点P为 上一动点，点Q为 边上一动点，则 的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】设 与 相切于点D，与 相切于点E，连接 ，过点O，作 垂足为 交 于 此时垂线段 最短， 最小值为 求出 当 与B重合时， 的延长线与 交于点 最大值 ． 本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关键是确定 的最小值与最大值的位置． 【详解】解： 中， ， 设 与 相切于点D，与 相切于点E，连接 ，过点O，作 垂足 ，交 于 连接 ，延长 与 相交于点F，过F作 于点G，如图1， 此时垂线段 最短， 最小值为 ，则四边形 为矩形， 平分 ． 设 则 由勾股定理得， 解得： 即 如图2，当 与B重合时，连接 ，延长 与 交于点 此时 为最大值， ， ∴ 的最大值与最小值的和为： ， 故答案为： ． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图．在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ， ， ，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则 的面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识，连接 ，过点P作 轴于H，可得 ，则∠ ，设 交 于C，过点C作圆的切线，可知此时 的面积最小，即可求解． 【详解】解：连接 ，过点P作 轴于H，    ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， 设 交 于C，过点C作圆的切线，则切线 ， ∴此时 的面积最小， ∵半径为1， ∴ ， ∴ 的面积最小值为 ， 故选：B． 类型七、切线的判定与性质的计算和证明 19．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图， 内接于 ，点D是弧 的中点，过点D作 分别交 、 延长线于P、Q，连接 ． (1)求证： 是 的切线： (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，弧与弦之间的关系等等： （1）如图所示，连接 ，由垂径定理的推论可得 ，即可证明 ，由此即可证明结论； （2）如图所示，连接 ，由平行线的性质得到 ，进一步证明 ，即可证明 ，得到 ，再证明 ，即可得到 ，则 ． 【详解】（1）证明：如图所示，连接 ， ∵点D是弧 的中点， ， ， ， 是半径， 是 的切线； （2）解：如图所示，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 20．（22-23九年级下·江苏淮安·期中）如图：在 中， ， 是 的平分线，点O在 上， 经过B、D两点，交 于点E． (1)试说明： 是 的切线； (2)若 ，求 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)⊙O的半径为 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）由角平分线的定义和等边对等角证明 ，进而证明 ，得到 ，据此可证明结论； （2）先利用勾股定理得到 ，再证明 ，得到 ，解得 ，则 的半径为 ． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， ∵ 经过B，D两点， ∴ ， ∴ ， 又∵ 是 的平分线，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ． 又∵ 是 的半径， ∴ 是 的切线； （2）解：在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ 的半径为 ． 21．（20-21九年级上·江苏南京·期中）如图，在 中， ，以 为直径作 交 于点E，连接 ， .    (1)求证： 是 的切线； (2)若 ， ，求 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)⊙O的半径为3 【分析】对于（1），连接 ，先说明 ，可得 ，再根据同角的余角相等得 ，然后根据“等边对等角”得 ，进而得出 ，即可得出答案； 对于（2），设 的半径为r，根据勾股定理可得 ，再根据勾股定理用含有r的式子表示 ，即可得出关于r的方程，然后求出解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接 ，    ∵ ， ∴ . ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ． ∵ 是 的半径， ∴ 是 的切线； （2）解：在 中， ， ， 设 的半径为r，则 ， ， ∴ ， ∴ . 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ，或 （舍去）． ∴ 的半径为3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理是求线段长的常用方法． 类型八、切线长定理 22．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图， 、 是 的切线，切点分别为A、B，点C在 上，过点C的切线分别交 、 于点D、E，若 ，则 的周长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理的应用，先根据切线长定理得 ， ， ，再根据 的周长 ，进而得出答案． 【详解】∵ ， 是 的切线， ， 是 的切线， ∴ ， ， ． ∵ 的周长 ， ∴ 的周长 ． 故选：B． 23．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在一张 纸片中， ， ， ， 是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长为（    ）    A．19 B．17 C．22 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设 的内切圆切三边于点 ，连接 ，得四边形 是正方形，由切线长定理可知 ，根据 是 的切线，可得 ， ，根据勾股定理可得 ，再求出内切圆的半径 ，进而可得 的周长． 【详解】解：如图，设 的内切圆切三边于点 、 、 ，连接 、 、 ， ∴四边形 是正方形，    由切线长定理可知 ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ 是 的内切圆， ∴内切圆的半径 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的周长为： ． 故选：D． 24．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在 中， ，点 在 上，以 为半径的半圆切 于点 ，交 于点 ，若 ， ，求 的半径和边 的长． 【答案】 的半径为 和边 的长为 ． 【分析】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理和勾股定理，连接 ，由 与 相切则 ，设 的半径为 ，故在 中，由勾股定理得： ，即可求出半径；由 ， 为半径证明 与 相切，根据切线长定理可得 ，然后在 中，由勾股定理得 ，即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】连接 ， ∵ 与 相切， ∴ ， ∴ ， 设 的半径为 ， 在 中，由勾股定理得： ， ∵ ， ， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 为半径， ∴ 与 相切， ∴ ， 设 ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ，解得 ， ∴ ． 类型九、三角形的外接圆 25．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点 并顺次连接得到 ，则 的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图， ， ∴三角形的外心为点 ， 故选A． 26．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图， 中， ， ．能够将 完全覆盖的最小圆形纸片的半径为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 、 ，作 于点 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：设圆的圆心为点 ，能够将 完全覆盖的最小圆是 的外接圆， 连接 、 ，作 于点 ，    则 ， ， ， ， ， ， ， ， 即 外接圆的半径是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念、圆周角定理、垂径定理、解直角三角形是解题的关键． 27．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）（1）如图1，在锐角 的外部找一点D，使得点D在 的平分线上，且点D在锐角 的外接圆上，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，若 ， ， ，则线段 的长为 ，线段的长为 ．（如需画草图，请使用图2）    【答案】（1）见详解；（2） ， 【分析】本题考查作图 复杂作图，三角形的外接圆，三角形的角平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）作 的平分线，再作 ， 的垂直平分线，确定 的外接圆的圆心，作圆，与 的平分线的交点即为点 ； （2）过点 作 ，运用勾股定理列式计算，得出 ，结合在 中， ，过点 作 于 ， 交 的延长线于 ．利用全等三角形的性质证明 ，最后根据特殊角的三角函数求解． 【详解】解：（1）如图：点 即为所求；    （2）过点 作 ，如图所示：    ∵ ， ， ∴ 则 ， ∴在 中， 如图，过点 作 于 ， 交 的延长线于 ，    ， 在 的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ， 类型十、三角形的内切圆 28．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点 是 的内切圆的圆心，若 ，则 度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出 ， ，进而利用三角形内角和定理得出 ，进而求出答案． 【详解】解：∵O是 的内心， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 29．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）勾股容圆最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是 步． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形的内切圆，连接圆心和切点，把三角形的面积分成三个三个角形的面积得到关于r的方程是解题的关键，与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为 ，利用面积相等可得到关于 的方程，可求得内切圆的半径，则可求得内切圆的直径． 【详解】如图，    根据勾股定理得：斜边 ， ∴ ，设内切圆的圆心为 ，分别连接圆心和三个切点，及 、 、 ， 设内切圆的半径为 ， 解得 该内切圆的直径是6步， 故答案为：6． 30．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，P为 的内心，经过点P的线段分别与 相交于点D、点E．若 ， ，则点P到 的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，角平分线的性质，连接 ，过P作 于H， 于G，根据等腰三角形的性质得到 ， ，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接 ，过P作 于H， 于G，    ∵P为 的内心， ∴ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点P到 的距离为 ， 故答案为： ． 类型十一、有关圆的作图问题 31．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，在 中， ，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)①作 的平分线，交 于点O；②以O为圆心， 为半径作圆． (2)在你所作的图中， 与 的位置关系．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)相切 【分析】该题目主要考查基本的作图方法，切线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接作图即可； （2）根据（1）中作图方法结合切线的判定定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：与 相切， 证明：∵ 为半径， ∴与 相切． 32．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，点 ， ， 都在格点上． (1)画出 的外接圆 ； (2)连接 ，在（1）中的 上画出点 ，使得 是直角三角形； (3)求 半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 本题考查作图 应用与设计作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）作出线段 ， 的垂直平分线的交点 ，以 为圆心， 为半径作 即可； （2）利用圆周角定理作出直径 ， 即可； （3）利用勾股定理求出 即可． 【详解】（1） 解：如图， 即为所求； （2） 解：如图， 或 即为所求； （3） 解： 的半径 ． 类型十二、圆与几何综合问题 33．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知 的半径 弦于点D， ，点P为 弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为 弦所对的劣弧上的一点，延长 交 的延长线于点Q，且 ，则 ________ ， ________ ； (2)如图2，若点P为 弦所对的优弧上的一点，连接 交 于点Q，且 ，过点P作 的切线，交 的延长线相交于点E，已知 ，求 的长． 【答案】(1) 、 (2) 【分析】（1）连接 ，则 ，由 ，根据垂径定理得 ，则 ，所以 ，由 ，求得 ，由 ，得 ，求得 ，则 ，于是得到问题的答案； （2）连接 ，则 ，由 ， ，得 ， ，由 ，得 ，则 ，所以 ，而 ，可求得 ，由切线的性质得 ，则 ，所以 ，则 ． 【详解】（1）解：如图1，连接 ，则 ， ∴ ， ∵ 于点D， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：30，45； （2）解：如图2，连接 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 与 相切于点P， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴PE的长是 【点睛】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°、切线的性质定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 34．（22-23九年级上·江苏南京·期中）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E． 【特殊情形】 (1)如图①， ，过圆心O作 ，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证： ． 【一般情形】 (2)如图②， ，过圆心O作 ，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证： ． 【经验迁移】 (3)如图③， ， ， F为 上的一点， ，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理可知F是AD中点，故OF是 的中位线，即 ，再根据垂径定理说明 即可； （2）作直径DG并连接AG，根据中位线定理证明 ，再根据圆周角定理证明 ，从而证明 即可； （3）根据条件分析出当 时，AM取最小值，利用含 直角三角形的性质与勾股定理即可解出此时AM的长度． 【详解】（1） 在⊙O中， ， OF是△ADB的中位线， ∵BD为⊙O的直径， ， （2）作直径DG，连接AG． 在⊙O中， OF是△ADG的中位线， DG是⊙O的直径， EMBED Equation.DSMT4 ， ． （3） EMBED Equation.DSMT4 在 中， ， ，M是DF的中点， 如图⑤所示，当AF的长度发生变化时： 点M是DF中点 点M始终保持在平行于AF的直线上 当AM的长度取最小值时， 如图④，此时 ，取AD中点H，连接MH，则 H、M分别是AD、DF中点 MH是 的中位线， 在 中， ， 故答案为： ． 【点睛】本题属于圆的综合题型，主要考查垂径定理、圆周角定理与中位线定理的应用，根据三个小问的变化情况，构造含中位线的三角形，是本题的解题关键． 类型十三、圆与动点综合问题 35．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形 中， ， ，点P从点A出发沿 以 的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿 以 的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)在运动过程中， 的长度能否为 ？若能，求出t的值，若不能，请说明理由； (2)取 的中点M，运动过程中，当 时，求t的值； (3)运动过程中，当以Q为圆心， 为半径的圆，与矩形 的边共有4个公共点时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) ， (3) 【分析】(1)根据题意可知： ， ， ，根据勾股定理及一元二次方程根的判别式，即可判定； (2)以B点为坐标原点， 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设 ， ，则 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，根据直角三角形的性质可得 ，再根据两点间的距离公式，可得 ，解方程即可求得； (3)当 与边 相切时，利用勾股定理求出t的最小值；当 过点D时，由勾股定理求出t的最大值，据此即可解答． 【详解】（1）解：不能； 理由如下： 根据题意可知： ， ， ， ∵四边形 是矩形， ， 在 中， ， ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根， ∴ 不可能为 ； （2）解：如图，以B为坐标原点， 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设 ， ， ， 又 ， ， 取 的中点 ，连接 ，则 ， ， ， ， 解得： ， ； （3）解：当 与边 相切时，过点Q作 ，垂足为E， ， 由勾股定理，得 ， 即 ， 解得： (舍去)， ， 当 过点D时， ， 由勾股定理得 ， 即 ， 解得： ， (舍去)， 综上，当 时， 与矩形 的边有4个交点． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形、圆的切线等知识点，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，综合性较强，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运用． 36．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知 是 的平分线， 是射线 上一点， ．动点 从点 出发，以 的速度沿 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 从点 出发，也以 的速度沿 竖直向上作匀速运动．连接 ，交 于点 ．经过 三点作圆，交 于点 ，连接 ．设运动时间为 ，其中 ． (1)求 的值； (2)当 时，求出 内切圆的半径； (3)求四边形 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意分别表示出 ，用含 的式子表示出来相加即可求解； （2）如图，作 内切圆，切点分别为 ，连接 ，求解 ，证明四边形 是正方形， ，可得 ，从而可得结论； （3）根据圆周角定理可得 ， 是等腰直角三角形．进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ． （2）当 时， ， ，    如图，作 内切圆，切点分别为 ，连接 ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， 即 内切圆的半径为1． （3） ， 是圆的直径． ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 在 中， ． 四边形 的面积 ， ． 四边形 的面积为 ． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解三角形的内切圆的半径，切线长定理的应用，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用圆的基础知识与切线长定理求解是解本题的关键． 类型十四、圆与材料探究问题 37．（20-21九年级上·江苏南京·期中）【提出问题】 （1）已知点P是⊙O外的一点，在⊙O上找一点A，使P、A两点间距离最短． 如图①，连接OP，OP与⊙O的交点A即为所求，此时线段PA最短．为了证明点A即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB，证明PB＞PA．请完成这个证明． 【变式探究】 （2）已知直线l与⊙O相离，在⊙O上找一点M，使点M到直线l的距离最短． 小明给出下列解答，请你补全小明的解答． 小明的解答 如图②，过点O作ON⊥l，垂足为N，ON与⊙O的交点M即为所求，此时线段MN最短．为了证明点M即为所求，不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ，即证明PQ＞MN． ∵　　，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON． 又　　，∴OP+PQ＞OM+MN． 又OP＝OM，∴PQ＞MN． 【拓展研究】 （3）如图③，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图④，在△ABC中，AC＝8，BC＝12，∠C＝30°，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是　　． 【答案】（1）见解析；（2）OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN；（3）见解析；（4）1≤r＜4． 【分析】（1）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系以及同圆的半径相等即可得出结论； （3）作直线l的垂线垂足为P，在垂线上与点A同侧截取PT＝MN＝1，连接AT，作AT的垂直平分线交直线PT于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求； （4）作到直线BC距离为2的直线l，则l∥BC，当P点在AC边上时，此时r最大，作AP的垂直平分线、并过P作l的垂线，与垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长度为半径作圆，设OA＝r，过A作AH⊥OP于点H，AE⊥BC于点E，证明△OAP为等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA＝4，当A、O、P三点共线时，此时r最小，求出r的最小值，即可得⊙O的半径r的取值范围． 【详解】解：（1）证明：在⊙O上另外任取一点B，连接PB，OB， ∵OA、OB是⊙O的半径， ∴OA＝OB， 在△OPB中，PB＞OP﹣OB， ∴PB＞OP﹣OA，即PB＞PA， ∴点A即为⊙O上使P、A两点间距离最短的点； （2）证明：在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ， ∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON， ∴OP+PQ＞ON． 又 ON＝OM+MN， ∴OP+PQ＞OM+MN． 又OP＝OM， ∴PQ＞MN． 故答案为：OP+PQ＞OQ，ON＝OM+MN； （3）作图不唯一，如图： （4）如图，作到直线BC距离为2的直线l，则l∥BC， ∵P点到BC的距离为2， ∴P点在直线l上， 又∵点P为⊙O上到BC的距离最小的点， ∴OP⊥l， ∴点P为⊙O与直线l的切点， ∴圆心O在过点P且垂直于BC的直线上， 当P点在AC边上时，此时r最大，作AP的垂直平分线、并过P作l的垂线，与垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长度为半径作圆，设OA＝r，过A作AH⊥OP于点H，AE⊥BC于点E， ∵AH⊥OH，OH⊥BC． ∴AH∥BC， ∴∠HAP＝∠C＝30°，∠APH＝60°， ∵OA＝OP， ∴△OAP为等边三角形， ∴OA＝AP， ∵AC＝8，∠C＝30°，AE⊥BC，EF＝2， ∴AE＝4，AF＝2， ∵l∥BC， ∴AP＝ AC＝4， ∴OA＝4， 即r最大为4， 当A、O、P三点共线时，此时r最小，如图： ∵A、O、P三点共线， ∴AP为⊙O的直径， ∴r＝1， ∵P在△ABC内部， ∴半径的取值范围是1≤r＜4． 故答案为：1≤r＜4． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，切线的性质，三角形三边的关系，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 类型十五、圆与方程、函数综合问题 38．（21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 为常数且 ． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)若方程的两根为 、 且 、 都为整数， ，求整数 的值； (3)在（2）的条件下，如图，平面直角坐标系中， ， ，以 为直径作 ，与 轴交于C、D．点 在平面内运动． ①若点 在 上，求 的值； ②若 为锐角三角形，直接写出 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)① 或 ② 或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，及其根的整数性，点与圆的位置，锐角三角形的特征． （1）证明一元二次方程根的判别式大于等于零即可． （2）因式分解法求得方程的两个根，根据根的整数性，分类讨论计算即可． （3）①根据 确定 ，得到 ， ，从而得到 ， ，根据点 在 上，则 ，计算即可． ②分点P在 上，内，外，外部时，再分在 的左侧和 ， 之间，在 的右侧和 ， 之间求解即可． 【详解】（1）∵方程一元二次方程 为常数且 ， ， ∴ ， ∴方程一定有两个实数根． （2）∵方程一元二次方程 为常数且 ， ∴ ， 解得 ． ∵方程的两根为 、 且 、 都为整数， ，k为整数， ∴ ，且 ， 当 时，都不满足 ， 故 ． （3）①∵ ， ∴ 的两个根为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， 的半径为3， ∵点 在 上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， 故 或 ． ②当点P在 上时，根据①得 或 ， 为 直径，此时 ，三角形都是直角三角形； 当点P在 内时，连接 ，延长交 于点N，连接 ， ，则 , ，是钝角，此时三角形是钝角三角形，不符合题意； 当点P在 外部时，作 于点A， 于点B， 此时 ，三角形都是直角三角形；根据 ， ， 此时 或 ； 当点P在 的左侧和 的右侧时，显然此时 ，此时的三角形是钝角三角形； 当点P在 ， 之间和 ， 之间是符合题意的锐角三角形， 故a的取值范围是 或 ． 类型十六、圆的有关新定义压轴问题 39．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）我们知道到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心.在三角形内部到三边距离相等的点是三角形的内心.由此，我们可以引入如下新的概念： 定义1：到三角形两个顶点距离相等的点叫做这个三角形的准外心，如图①， ，点P叫做 的准外心，也可以称作 边 上的准外心. 定义2：到三角形的内角两边距离相等的点叫做这个三角形的准内心，如图②， ， ，且 ，则点Q叫做 的准内心，也可以称作 边 和 上的准内心. 应用： (1)）如图③， 为等边三角形 的高，准外心Р在高 上，且 ，则 ________°. (2)如图④，在 中， ， ， ①若点M是 的准内心，且M在边 上，求 的长 ②若点N是 的准外心，且是 边 和 上的准内心，求 的值. 【答案】(1) (2)①   ② 【分析】（1）由定义1准外心的概念可得：准外心Р在等边三角形 的高 上，则可分类讨论：①若 ，②若 ，③若 ，再由 ，依次判断三种情况是否成立；逐一判断后，可得当 ，由 与题意相符，可得 ，即可求出 的度数． （2）①作 于点 ，连接 ，由勾股定理可得 ，由于点 是 的准外心，可证明 ，从而得到 的长度，设 ，利用勾股定理可得 的长，即可求出 的长．②连接 、 、 ，过点 作 于点 ， 于点 , 于点 ，由 ，可得 的长，即可得到 的长． 【详解】（1）解：①若 ，连接 ，则 ， ∵CD为等边三角形的高， ∴ ， ，∴ ， ∴ ， 与已知 矛盾， ∴ ， ②若 ，连接PA，同理可得 ， ③若 ，由 ，得 . ∴ ， 故 ； （2）①如图4作 于点 ，连接 ， ∵ ， ， ， ∴ ， 又∵点 是 的准外心， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， ②连接 、 、 ，过点 作 于点 ， 于点 , 于点 ， 由题可知： ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了新定义的运用能力和勾股定理． 40．（19-20九年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系xOy中的两个图形M与N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“和睦距离”，记作d（M，N）．若图形M，N有公共点，则d（M，N）＝0． （1）如图，A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，则d（C，⊙C）＝　 　，d（O，⊙C）＝　 　； （2）已知，如图，△ABC的一边AC在x轴上，B在y轴上，且AC＝8，AB＝7，BC＝5． ①D是△ABC内一点，若AC、BC分别切⊙D于E、F，且d（C，D）＝2d（D，AB），判断AB与⊙D的位置关系，并求出D点的坐标； ②若以r为半径，①中的D为圆心的⊙D，有d（B，⊙D）＞1，d（C，⊙D）＜2，直接写出r的取值范围　 　． 【答案】（1）2，3；（2）①AB是⊙O的切线，② 【分析】（1）由图形M、M间的“和睦距离”的定义即可求解; （2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H. 设OC＝x.先证明∠CBO＝30°，再证明DH=DE即可解决问题 ②先求出点D的坐标，列出不等式组求解即可. 【详解】解：（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2， ∴d（C，⊙C）＝2，d（O，⊙C）＝OC﹣2＝ ﹣2＝3， 故答案为2，3． （2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x． ∵OB2＝BC2﹣OC2＝AB2﹣AO2， ∴52﹣x2＝72﹣（8﹣x）2， 解得x＝ ， ∴BC＝2OC， ∴∠CBO＝30°，∠BCO＝60°， ∵CE，CF是⊙O的切线， ∴CD平分∠BCA， ∴∠DCE＝∠DCB＝30°， ∴DC＝2DE， ∵d（C，D）＝2d（D，AB）， ∴CD＝2DH， ∴DH＝DE， ∴AB是⊙O的切线． ②由①可知OB＝ OC＝ ，设DF＝DE＝DH＝x， ∵S△ABC＝ •AC•OC＝ •（AC+BC+AB）•x， ∴x＝ ， ∴CE＝ DE＝3，CD＝2DE＝2 ， ∴OE＝3﹣ ＝ ， ∴D（ ， ），∵B（0， ）， ∴BD＝ ＝ ， 由题意： ， 解得2 ﹣2＜r＜ ﹣1． 故答案为2 ﹣2＜r＜ ﹣1． 【点睛】本题考查了图形新定义“和睦距离"、解直角三角形的应用、切线的判定和性质、不等式组等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键. 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，正五边形 内接于 ， 与 相切于点 ，连接 并延长，交 于点 ，则 的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，三角形内角和定理，连接 ，根据切线的性质得 ，再利用圆内接正五边形的性质可得 ，再利用三角形的内角和等于 即可求解．熟练掌握正多边形的性质与切线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，连接 ，    EMBED Equation.DSMT4 与 相切， ， 正五边形 内接于 ， ， ， ， 故选B． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限， 与 轴、 轴都相切，且经过矩形 的顶点 与 相交于点 ．若 的半径为 ．点 的坐标是 ．则点 的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接 ，过点 作 于点 ，设 与 的切点为 ，连接 并延长，与 交于点 ，根据勾股定理求出 的长度，即 可知，运用垂径定理得出 的长度，则结果可得． 【详解】解：连接 ，过点 作 于点 ， 设 与 的切点为 ，连接 并延长，与 交于点 ，    点 的坐标是 ， 的半径为 ， ， ， ， 根据勾股定理： ， 即 ， ， EMBED Equation.DSMT4 与 轴、 轴都相切， 轴， ， 根据垂径定理可得： ， ， 点 的坐标是 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，圆切线的性质以及垂径定理，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）已知 是边长为3的等边三角形， 的半径为 是 上一动点， 分别切 于点 的另一条切线交 于点 ，则 周长 的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ， ，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得 ，根据垂线段最短可得，当 时， 最小，求出 最小值为 ，当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时 ，即可得出 ，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接 ， ，设 切 于G，    ∵ ， 分别是 的切线， ∴ ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 周长 ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 最小时，l最小，当 最大时，l最大； 根据垂线段最短可得，当 时， 最小， ∵ 是边长为3的等边三角形， ， ∴ ， 由勾股定理得： ， 当点D与点B（或C）重合时，AD最长，此时 ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得 ，以及当 时， 最小，点D与点B（或C）重合时，AD最长是解题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏南京·期中）如图，在一张 纸片中， ， ， ， 是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线 剪下一块三角形 ，则 的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设 的内切圆切三边于点 ，连接 ，得四边形 是正方形，由切线长定理可知 ，根据 是 的切线，可得 ， ，根据勾股定理可得 ，再求出内切圆的半径 ，进而可得 的周长． 【详解】解：如图，设 的内切圆切三边于点 、 、 ，连接 、 、 ， ∴四边形 是正方形， 由切线长定理可知 ， ∵ 是 的切线， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ∵ 是 的内切圆， ∴内切圆的半径 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的周长 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 5．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，在 中， ， ，点D是 边上一个动点，以点D为圆心r为半径作 ，直线 与 切于点E，若点E关于 的对称点F恰好落在 边上，则r的值是(   ) A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接 、 、 ，由 与 相切于点 ，得 ，由点 与点 关于 对称，得 垂直平分 ，则 ， ，所以 ， ，即可证明 ，由 ， ，得 ， ，所以 ，由勾股定理得 ，则 ，而 ，所以 ，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接 、 、 ，如图， 与 相切于点 ， ， ， 点 与点 关于 对称， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆的切线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 6．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 的直径， 是 的切线，切点是点D，过点A的直线与 交于点C，则下列结论错误的是（   ） A． B．如果 平分 ，那么 C．如果 ，那么 也是 的切线 D．如果 ，那么 【答案】D 【分析】利用圆的半径相等得到 ，根据切线的性质得 ，即可判断选项A；由角平分线定义得到 ，得到 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，进而推出 ，故选项B正确；连接 ，由 ， ，得到 ，证明 ，得到 ，由此判断选项C正确；若 ， 时， ，此时 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，求出 ，证得 ，但 不垂直 ，故选项D错误． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 是 的切线，切点是点D， ∴ ， ∴ ， 故选项A正确； 如果 平分 ，那么 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ∵ ， ∴ ，故选项B正确； 连接 ， ∵ ， ， ∴ 是 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 在 上， ∴ 也是 的切线，故选项C正确； 若 ， 时， ， 此时 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 但 不垂直 ，故选项D错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，圆的半径相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理的计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）欧几里得被称为“几何之父”，其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程 根的图形解法：如图，在⊙O中， 为直径，⊙O的切线与 的延长线交于点B，切点为A，连接 ，使 ， ，则该方程的一个正根是（    ） A． 的长度 B． 的长度 C． 的长度 D． 的长度 【答案】A 【分析】先根据题意得到 ， ，再由勾股定理得到 ，由 和 得到等式 ，然后逆用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵⊙O的切线与 的延长线交于点B，切点为A， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选A． 【点睛】本题考查了切线的定理，勾股定理，逆用完全平方公式，求出 是解题的关键． 8．（21-22九年级下·江苏淮安·期中）如图，四边形ABCD是正方形，以B为圆心，作半径长为2的半圆，交AB于点E．将半圆B绕点E逆时针旋转，记旋转角为30°，半圆B正好与边CD相切，则正方形的边长为（    ） A．3 B．2 C．2+ D．4 【答案】A 【分析】根据30°直角三角形的性质求出B′G= B′E=1，由矩形的判定和性质，得出BC=FG=3． 【详解】解：如图，B′F为圆B′的切线，延长FB′交AB于点G， 则B′F=B′E=2，∠B′GE=∠B′FD=90°， ∵∠B′EB=30°， ∴B′G= B′E=1， ∴FG= B′G+B′F=1+2=3， 在正方形ABCD中∠ABC=90°， 又∠B′GE=∠B′FD =90°， ∴四边形BCFG为矩形， ∴BC= FG=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，30°直角三角形的性质求边长，切线的性质以及旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，利用30°直角三角形求解． 9．（22-23九年级上·江苏南通·期中）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设 与 的交点为点F，由矩形的性质可得 ，若 固定不动，则E随 的位置变动而变化，因 ，所以点E运动的轨迹是以 为直径的圆，设该圆圆心为O，不难知道，当 时，即 为⊙O的切线时， 最大，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】设 与 的交点为点F，由矩形的性质可得 ， ， 点在以 为直径的 上，如下图， ∵当 是⊙O的切线时， 最大， ∴当 最大时， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、圆的基本性质，关键在于确定E点运动轨迹，有一定难度． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， 且 ，点P为 的内心，点O为 边中点，将 绕点B顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则 长的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在 的下方作等腰 ，使得 ．连接 ，过点K作 交 的延长线于点T．判断出点P的运动轨迹，求出 ，可得结论． 【详解】解：在 的下方作等腰 ，使得 ．连接 ，过点K作 交 的延长线于点T． ∵点P是 的内心， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点P在以K为圆心， 为半径的圆上运动， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的内心，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 11．（22-23九年级上·江苏常州·期中）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为 ，小正方形的面积为 ，则大正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直角三角形的三边分别为 ，较长的直角边为 较短的直角边为 EMBED Equation.DSMT4 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于 ，即 ，根据小正方的面积为49，可得 ，进而计算 即 即可求解． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为 ，较长的直角边为 较短的直角边为 EMBED Equation.DSMT4 为斜边， 直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ①， ②， ， ③， ， 解得 或 （舍去）， 大正方形的面积为 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于 是解题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，点 是正方形 的中心， 与 相切于点 ，连接 ，若 ， ，则正方形 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，切线的性质，中位线的性质，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，由切线的性质可以证明 ， ， ，最后通过勾股定理即可求解，掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ∵ 点 是正方形 的中心， ∴ 经过点 ， ， ∵ 与 相切于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴   ， ∴   ， ∵ ， ， ∴ ， ∴正方形 的面积是 ， 故选： ． 二、填空题 13．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中， 的圆心 的坐标为 ，半径为1，点 为直线 上的动点，过点 作 的切线，切点为 ，则切线长 的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，得到 最小是关键； 由于 三线段构成以 为斜边的直角三角形，且半径固定，则当 最小时， 最小，设点P的坐标为 ，则可得 关于x的二次函数，即可求得最小值，从而求得结果． 【详解】解：由题意知， ，则有 ，其中 ， 则当 最小时， 最小， 设点P的坐标为 ， 则 ， 当 时， 取得最小值，从而 的最小值为： 故答案为： ． 14．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中， 与y轴相切于点A，与x轴交于点B、C，连接 并延长交 于点D，交y轴于点E，连接 并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为 ，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】作 于点G，连接 ， ，利用切线性质推出 ，推出 得出 为 的中位线，进而推出 ，得到 ， ，根据D的坐标得到 ， ，利用圆周角定理的推论，推出 ，得到 ，即可求出B坐标． 【详解】解：如图，作 于点G，连接 ， ， 与y轴相切于点A， ， ， ， ， ， ， 即 ， 为 的中位线， ， ， ， ， ， ， 点D的坐标为 ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查圆的切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，中位线的判定与性质，关键是作辅助线构造全等三角形，相似三角形． 15．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形 中， ， ， 为矩形 的对角线的交点，以 为圆心，半径为1作 ， 为 上的一个动点，连接 、 ，则 面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】当 点移动到过点 的直线平行于 且与 相切时， 面积的最大，由于过点 的直线是 的切线，得出 垂直于切线，延长 交 于 ，则 ， 进而得出 ，根据勾股定理先求得 的长，易得 的长，利用面积法解得 的长，从而求得 的长，最后根据三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：当 点移动到过点 的直线平行于 且与 相切时， 面积的最大， 如下图，    ∵过点 的直线是 的切线， ∴ 垂直于切线， 延长 交 于 ，则 ， ∵四边形 为矩形， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最大面积 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，判断出点 处于什么位置时面积最大是解题关键． 16．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图， 中， 为 边的中点，以 上一点 为圆心的 和 均相切，则 的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质与三角形的面积，勾股定理．过点 作 于点 ， 于点 ，由切线的性质可知 ，在 中，由勾股定理，得 ，由 是 边的中点，得 ， ，由 ，得 ，解得 ．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形是解决问题的关键． 【详解】过点 作 于点 ， 于点 ． ∵ 、 是 的切线， ∴点 、 是切点， ∴ 、 是 的半径； ∴ ， 在 中， ， ， ， ∴由勾股定理，得 ， 又∵ 是 边的中点， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ 的半径是 ． 故答案为： ． 17．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知直线 与 轴交于 两点， 的半径为1， 为 上一动点， 切 于 点．线段 长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，垂线段最短，一次函数的性质等，连接 ， ， ，由切线的定义可知 ，由勾股定理得 ， 当 ， 取最小值时， 取最小值，利用三角形面积法求出 的最小值，即可求解． 【详解】解： 直线 与 轴交于 两点， 当 时， ，解得 ， 当 时， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 如图，连接 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 与 相切， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 当 ， 取最小值时， 取最小值， 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即线段 长度的最小值是 ． 故答案为： ． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆 的直径 ， 中， ， ， ，半圆 以 的速度从左向右运动，在运动过程中，点 、 始终在直线 上，设运动时间为 ， ．当半圆 与 的边相切时，运动时间 ． 【答案】2或8或14 【分析】本题考查平移性质、切线的判定与性质、锐角三角函数，分点E与C重合时和点E与D重合时，半圆 与 相切；点O与C重合时，半圆 与 相切时三种情况，利用平移性质和切线的判定与性质，结合数形结合计算求解即可．运用分类讨论思想是解答的关键 【详解】解：∵半圆 的直径 ， ∴半圆 的半径 , ①如图1，当点E与C重合时， ，则半圆 与 相切， 此时点O运动了 ， ∴运动时间 ； ②如图2，当点E与D重合时，则 ， ∴半圆 与 相切， 此时点O运动了 ， ∴运动时间 ； ③如图3，过C作 于F， ∵ ， ， ∴ ， 当半圆 与 相切时，O到 的距离等于半径 ， ∴点O与C重合，此时点O运动了 ， ∴运动时间 综上，当半圆 与 的边相切时，运动时间 2或8或14， 故答案为：2或8或14． 19．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，半径为1的 与直线l相切于点A，C为 上的一点， 于点B，则 的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】延长 到点D，使 ，则 ，当 与 相切于点C时， 最大，则此时连接 并延长交 延长线于点E，则 ，根据 ，可得 ，根据勾股定理可得 的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，延长 到点D，使 ， 则 ， 当 与 相切于点C时， 最大，则此时连接 并延长交 延长线于点E，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 与直线l相切于点A， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 连接 ，则 ， 在 中， ，根据勾股定理，得 ， ∴ ． ∴ 的最大值是： ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质． 20．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在 中， ： ： ： ： ， 在 内自由移动，若 的半径为 ，且圆心 在 内所能到达的区域的面积为 ，则 的周长为 ． 【答案】25 【分析】如图，由题意点 所能到达的区域是 ，连接 ，延长 交 于 ，作 于 ， 于 ，作 于 利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出 ，再证明 ≌ ，推出 ， ， ，设 ，在 中，则有 ，推出 ，由 ，推出 ，推出 ，可得 ，求出 即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意点 所能到达的区域是 ，连接 ，延长 交 于 ，作 于 ， 于 ，作 于 ． ， ， ， ， ， ∽ ， ： ： ： ： ： ： ， 设 ， ， ， 或 舍弃 ， ， 四边形 是矩形， ， 设 ， ， ， ， ， ， ≌ ， ， ， ，设 ， 在 中，则有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题 21．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形 中， ， ，P是边 上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在 上吗？为什么？ (2)当 时，判断 与 的位置关系； (3)当 与 相切时，求 被 截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在 上，理由见详解 (2) 与 相离，理由见详解 (3) 【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据 是圆周角，则 是圆的直径； （2） 与 相离，可以说明 到圆心的距离大于半径． （3）因为 与 相切，则 是梯形 的中位线．在直角 中根据勾股定理就可以得到． 【详解】（1）解：圆心O在 上，理由如下： 在矩形 中 ， 根据 的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在 上； （2）过圆心 作 交 、 于点 、 ； ， , , , , 四边形 是矩形， ， ， ， 与 相离； （3）连接 ，交 于点 ， 是直径， ， 又 ， ， 是 的中点， 是 的中点， ， 又 ， 与 相切， 为切点，设 ，则 ， 在直角 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ． ，即 被 截得的弦长为 ． 22．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，在矩形 中， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，点 以1.5 的速度从点 向点 运动，点 以2 的速度从点 向点 运动．点 、 同时出发，运动时间为 秒（ ）， 是 的外接圆． (1)当 时， 的半径是 ， 与直线CD的位置关系是 ； (2)在点 从点 向点 运动过程中， ①圆心 的运动路径长是 ； ②当 与直线 相切时，求 的值． (3)连接 ，交 于点 ，如图2，当 时，求 的值． 【答案】(1) ，相离 (2) ； (3) 【分析】（1）过点 作 于 ，交 于 ，根据矩形的性质，得出 ， ，再根据圆周角定理和平行线的性质，得出 的直径是 ， ，再根据题意，得出当 时， ， ，进而根据线段之间的数量关系，得出 ， ，再根据勾股定理，得出 的值，进而得出 的半径，再根据中位线的性质得出 的值，进而得出 的值，即可判断 与直线 的位置关系； （2）①根据 、 运动的速度与 、 的比相等，得出圆心 在对角线 上，再根据图形和题意，得出 和 两点在 时在点 重合，当时 ，直径 为对角线 ，根据中点的性质得出 ，再根据勾股定理解得 的值，进而得出 的长，即为圆心 的运动路径长；②当 与 相切时，设切点为 ，连接 并延长交 于 ，再根据线段之间的数量关系和题意，得出 ， ，再根据勾股定理解得 的值，再根据圆的性质，得出 ，再根据中位线的性质，得出 ，根据线段之间的数量关系，列出关于 的方程，求解即可得出答案； （3）过 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，证明 ，再根据全等三角形的性质得出 ，根据线段之间的数量关系得出 ，再根据勾股定理，列出方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点 作 于 ，交 于 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ 的直径是 ， ， 当 时， ， ， ∵ EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的半径为 ， ∵ ， 是 的中点， ∴ ， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 与直线 的位置关系是相离． 故答案为： ；相离； （2）解：①如图， ∵ 、 运动的速度与 、 的比相等， ∴圆心 在对角线 上， 由图可知， 和 两点在 时在点 重合， 当 时，直径为对角线 ， 是 的中点， ∴ ，由勾股定理，可得 ， ∴ ， ∴圆心的运动路径长是 ． 故答案为： ； ②如图，当 与 相切时， 设切点为 ，连接 并延长交 于 ， 则 ， ， 则 ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ，解得 ， ∴ 的值为 ； （3）解：如图，过 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得 （舍去）， ， ∴ 的值为 ． 【点睛】本题是四边形与圆的综合问题，主要考查了矩形的性质、圆周角定理、勾股定理、中位线的性质、切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 23．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，在四边形 中， 过 三点的 的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：    【特殊情形】 （1）如图②，当 时，圆心O在 上，求 的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当 时，求 的半径； （Ⅱ）当 时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接 ，以O为圆心，作出与 边相切的圆，记为小 ．当小 与 相交且与 相离时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） ；（2）（Ⅰ） ；（Ⅱ）①；（3） 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可； （2）（I）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可； （Ⅱ）参考(I)的方法，得出 到直线 的距离与 的关系，然后根据 到直线 的距离随 线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出 的轨迹形状； （3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到 的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：连接 ，在 中，设 EMBED Equation.DSMT4 ，则 ． 在 中， ， ∴ ，即 ．解得 ． （2）（I）解：过点 分别作 ，连接 ，    ∵ 过圆心， ， ∴ ． ∵ ， ∴四边形 是矩形． ∴ ． ∴ ． 设 ，则 ， 在 中 ， 在 中 ， ∴ ，即 EMBED Equation.DSMT4 ． 解得 ， ∴ ，即 ． （II）过点 分别作 ，连接 ，如图：    由（I）知： ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 整理得： ， ∵ 到 的距离 ， 类比平面直角坐标系内 的几何意义， ∴ 的轨迹是一条射线， 故答案为：①； （3）过 作 ，交 于 ，交 于 ，过 作 于 ，作 于 ，连接 EMBED Equation.DSMT4 ，过 作 于 ，如图：    由（II）知， ， EMBED Equation.DSMT4 四边形 是矩形， EMBED Equation.DSMT4 小 与 相交且与 相离， 即 解得： ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合考查了垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”、勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”、矩形的性质和判定、圆与直线的位置关系等知识，题目较难，求出小圆的半径的代数式是本题解题的关键． 24．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知：如图所示，在等边 中，边长均为 ，点P、点Q分别从点A、点B出发同时向点C以 的速度移动，到点C时停止． (1)几秒后， 的面积等于 ？ (2)设运动的时间为 秒，以Q为圆心， 为半径画圆，当 与线段 有唯一公共点时，求 的取值范围． 【答案】(1) 秒后， 的面积等于 (2) 或 【分析】（1）过点 作 于点 ，设运动时间为 秒，则 ，先证明 是等边三角形，再根据题意列方程即可； （2）分两种情况：当 与直线 相切于点 时，连接 ，当 与直线 相交，与线段 只有一个交点时讨论即可． 【详解】（1）解：过点 作 于点 ， 设运动时间为 秒，则 ， 在等边 中， ， ， ， 是等边三角形， 在 中， ， ， ， ， 解得： ， ， ， ， ， 故 秒后， 的面积等于 ； （2）解：如图，当 与直线 相切于点 时，连接 ， ， 在 中， ， ， 是等边三角形， ， ，即 ， 解得： ， 当 与直线 相交，与线段 只有一个交点时， ，即 ， ， ， 综上所述： 或 ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，动点问题，直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是本题的关键． 25．（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 坐标为 ，直线 与 轴相交于点 ，与线段 相交于点 ， 为直线 上一点，以 为圆心， 长为半径作 ．    (1)当点 坐标为 时，则 与直线 的位置关系为________； (2)当 与 三边共有三个公共点时，则点 的横坐标 应满足的条件为________； (3)如图②，当点 在第二象限时，且 与 轴交于 、 两点（ 在 的左边），以 为对称轴，将 下方的 翻折到 的上方，作 的直径 交 于点 ． ①如图③，当翻折后的弧 经过圆心 时，则点 的坐标为________； ②当翻折后的弧 把直径 分成 两段时，求点 的坐标． 【答案】(1)相切 (2) 或 (3)① ；② 或 【分析】（1）由点 、 、 的坐标和直线 ，得出半径和圆心到直线的距离，再根据圆心到直线的距离等于半径，则圆与直线相切判断即可； （2）结合图象分析 与 三边共有三个公共点时，点 的位置情况： 和 相切时有两个公共点，继续向右出现三个公共点；直至和 相切时，出现四个公共点；继续向右出现五个公共点，直至 经过点 时变为四个公共点；继续向右，将持续有三个公共点 ．求出关键时刻点 的横坐标，再写出三个公共点时， 的范围即可； （3）①根据翻折后的弧 经过圆心 ，可知直线 和 轴距离等于半径的一半，得到半径写出点 的坐标即可； ②根据翻折后的弧 把直径 分成 两段，分类讨论，画出图象分析求解即可． 【详解】（1）如下图过点 作 交直线 于点 ．    ， ， ，直线 与y轴相交于点D，以Р为圆心，PD长为半径作 ， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， EMBED Equation.DSMT4 与直线 相切． （2）如下图 与 相切于点 时，有两个公共点，点 继续向右运动将会出现三个公共点．    此时 （都有直角； ，平行线中的同位角）． ， ， ，直线 与 轴相交于点 ，以 为圆心， 长为半径作 ， ， ， ， ， ， ， （勾股定理计算）， ， ， ， ， 则 ， ， ， ， ， 如下图，点 继续向右运动直至 和 相切时，会有四个公共点，此时 ，即    继续向右会出现5个公共点；如下图继续运动直至 和直线 交于点 时，有4个公共点，连接 ，作 垂直直线 于点 ．    ， ， ， ， （勾股定理）， ， 解得 继续向右运动将持续有三个公共点． 综上所述分析，当 或 时， 与 三边共有三个公共点， 故答案为： 或 ． （3）①如图过点 作 的垂线交 于点 ，交弧 于点 ．    直线 与 轴相交于点 ，与线段 相交于点 ， 为直线 上一点，以 为圆心， 长为半径作 ， ， ， 点 在第二象限，且在直线 上， 点 的坐标为 ， 故答案为： ． ②弧 翻折后和直径 交于点 ． 情况一：如下图当 时，画出 沿 翻折后的完整 ，取 中点 ，有等腰三角形 三线合一（ ）．    直线 与 轴相交于点 ，与线段 相交于点 ， 为直线 上一点，以 为圆心， 长为半径作 ， ， ， ， ， 设圆半径为 ，则 ， ， ， ， ， （勾股定理）， （勾股定理）， ， ， ， ，即 ， ． 情况二：如下图当 时，画出 沿 翻折后的完整 ，取 中点 ，有等腰三角形 三线合一（ ）．    直线 与 轴相交于点 ，与线段 相交于点 ， 为直线 上一点，以 为圆心， 长为半径作 ， ， ， ， 设圆半径为 ，则 ， ， ， ， ， （勾股定理）， （勾股定理）， ， ， ， ，即 ， ， 综上所述，点 坐标为 或 ． 【点睛】本题考查了圆在直角坐标系中的综合应用，综合性强，数形结合、画出图象分类讨论，结合勾股定理、相似三角形知识点求解是解题的关键． 26．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）【新知】 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程 的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点 、 ，以 为直径作 ．若 交x轴于点 、 ，则 为方程 两个实数根． (1)【探究】由勾股定理得， ， ， ，在 中， ，所以 ．化简得： ，同理可得：______．所以m、n为方程 的两个实数根． (2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程 两根为横坐标的点M、N． (3)已知点 、 ，以 为直径作 ．请运用以上知识判断 与x轴的位置关系，并说明理由． (4)【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点 、 ，若以 为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程______． 【答案】(1) ； (2)见解析 (3) 与x轴相切．理由见解析 (4) 【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到 ，从而问题解决； （2）以 及 两点为端点的线段 为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点 即为所画的点； （3）由题意得 有两个相等的实数根，从而可得 与 轴只有一个交点，即与 轴相切； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【详解】（1）解：如图，连接 ， ，由勾股定理得， ， ， ， 在 中， ， 所以 ． 化简得： ， 所以n为方程 的一个实数根． 故答案为： ． （2）解：以 及 两点为端点的线段 为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程 的两个根，两交点M、N即为所画的点，如图所示； （3）解： 与x轴相切；理由如下： 由题意知， 与x轴两个交点的横坐标为于方程 的两个根， ， ∴方程 有两个相等的实数根， 对应地， 与x轴只有一个交点，即 与x轴相切 （4）如图，由勾股定理得 ， ， ， 在 中， ， 所以 ， 化简得： ， 同理可得： ． 所以 为方程 的两个实数根． 故答案为： ． 【点睛】本题是材料问题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 27．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，已知 、 、 ．动点 从 点出发，以每秒3个单位的速度，沿 的边 、 、 做匀速运动；动直线 从 位置出发，以每秒1个单位的速度向 轴负方向做匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为 秒，当点 运动到 时，它们都停止运动． (1)若 为线段 的中点，以 为圆心， 为半径的圆与直线 相切时，求 的值； (2)若 是以 为圆心，1为半径的圆， ①当 在线段 上运动时，直线 与 相交时，求 的取值范围； ②在整个运动过程中，若动点 以每秒 个单位的速度运动，使 与直线 有且只有两次机会相切，直接写出 满足的条件． 【答案】(1) 或 (2)①当 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 时，直线 与 相交；② 与直线 有且只有两次机会相切， m满足的条件为： ． 【分析】（1）分两种情况讨论，当点P在 上时，推出 ，根据相似三角形的性质，可以求出t的值，当点P在 上时， ，根据相似可求解t的值． （2）①分别求出相切时的两种情况下t的值，进而求相交时的取值范围； ②由①可以判断两次相切只能在圆的左侧和右侧，可以求出m的取值． 【详解】（1）解：①如图，当点P在线段OA上时， ∵点A（4，0），点B（4，3）， ∴ ， ， ， ∵M为OB中点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即： ， ∴ ， ②如图：当点P在OB上时， ， ∴ ， ∴ ，即： ， 解得： ， 综上所述， 或 ； （2）①如图，当直线 在 右侧与圆相切时， ， 解得： ； 当直线 在 左侧与圆相切时， ， 解得： ； 综上所述，当 时，直线 与 相交； ②由①可知，只有两次相切表示只能在圆的左侧和右侧相切，右侧相切 点一定在线段 上， 当 与直线恰好第三次相切时，即此时点P运动回到点 点速度达到最大值，如图所示， 直线l运动运动时间为： ， 点P速度为： ， ∴ 与直线l有且只有两次机会相切，求出m满足的条件为 ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的性质、圆的切线以及动点问题，解题的关键是对涉及到的知识点熟练掌握并能灵活运用并且要考虑到动点的所有情况． 28．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图1，点 为等边 的重心，点 为 边的中点，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 ．以点 为圆心， 为半径作 ．    (1)请判断直线 与 的位置关系，并予以证明； (2)如图2，点 为劣弧 上一动点（与点 ，点 不重合），连接 并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，求证： 为定值． 【答案】(1)直线 与 的位置关系是相切，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）直线 与 的位置关系是相切，先四边形 是菱形，再由等边三角形的性质得出 ，结合菱形的性质和切线的判定定理即可得证； （2）先求出 ，再说明 ，从而得出 ，结合 可得 ，即 为定值． 【详解】（1）解：直线 与 的位置关系是相切， 证明： 是等边三角形， 是重心，点 为 边的中点， 连接点 、 、 ，其所在直线是 的垂直平分线， ，且 ，             ， 与 互相垂直且平分， 四边形 是菱形；                又 等边 中， ， 为 的角平分线， ， ，                ， ， ∴ 与 相切； （2）证明： 与 对应的弦为 ， ， ， ， ， ，                    ， ， ，                ，                          ， ，            即 为定值． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，与圆有关的性质概念，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题关键． 29．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图1，平行四边形 中， ．点 为射线 上一点，以 为直径作 交 于 两点．设 的半径为 ． (1)如图2，当 与 相切时， ______． (2)如图3，当点 与点 重合时， ①求线段 长度； ②求阴影部分的面积； (3)当 与平行四边形 边所在直线相切时，求 的值； 【答案】(1)4 (2)① ；② (3) 或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得： ， ，得出 ，再由切线的性质可得 ，得出 ，利用 所对的直角边等于斜边的一半，可得 ，推出 的直径 ，即可得出答案； （2）①运用勾股定理即可求得答案； ②如图2，连接 ，利用圆周角定理可得出 ，过点 作 于 ，则 ，利用勾股定理可求得 ，再运用扇形面积公式和三角形面积公式即可求得答案； （3）分两种情况：①当 与直线 相切时，由切线性质可得 ，进而可得 ， ， ，再由勾股定理建立方程求解即可； ②当 与直线 相切时，如图4，过点 作 于 ，连接 ，则 ，证明四边形 是矩形，即可得出答案 【详解】（1）解：如图1， 四边形 是平行四边形， ． ， ， 与 相切， ， ， ， ， 的半径 ， （2）解：① 点 与点 重合， 为 的直径， ， ， ， 在Rt 中， ， ②如图2，连接 ， ， ， 过点 作 于 ，则 ， ， ， ； （3）解：①当 与直线 相切时，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： 或 (舍去)， ②当 与直线 相切时，如图4，过点 作 于 ，连接 ， 则 ， 取 的中点 ，连接 ， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 四边形 是矩形， 综上所述， 或 ； 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，切线的性质等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 30．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在 中， ， ， 是 外一点，且 ，求 的度数．若以点A为圆心， 长为半径作辅助圆 ，则 ， 两点必在 上， 是 的圆心角， 是 的圆周角，则 ______ ． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形 中， ，求 的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段 和直线 ，用直尺和圆规在 上作出所有的点 ，使得 （不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形 为边 上的点．若满足 的点 恰好有两个，则 的取值范围为______． ②如图4②，在 中， ， 是 边上的高，且 ，求 的长． 【答案】（1）45；（2） ；（3）见解析；（4）① ；② 【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识． （1）由圆周角定理可得出答案； （2）取 的中点O，连接 ．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出 ，则可得出答案； （3）作出等边三角形 ，由圆周角定理作出图形即可； （4）①在 上截取 ，连接 ，以 为直径 ，由图形可知 ，由勾股定理求出 和 的长，则可得出答案；②作 的外接圆，过圆心O作 于点E，作 于点F，连接 ．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1） 是 的圆心角， 是 的圆周角， ， ； 故答案为：45； （2）如图2， 的中点O，连接 ． ， ， ， ∴点A、B、C、D共圆， ， ， ； （3）作图如下：由图知， ；同理 ． （4）① ． 在 上截取 ，连接 ，以 为直径 ， 交 于E，交 于F，连接 ，过圆心O作 于H且交圆O于G，过G作 的切线 交 于K交 于Q，如图所示： ， ， 的半径为 ，即 ， ， ， ， ， ， ，即 ， 故答案为： ； ②如图，作 的外接圆，过圆心O作 于点E，作 于点F，连接 ． ， ． 在 中， ， ． ，O为圆心， ， ． 在 中， ， ， ． 在 中， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ _1788871892.unknow$$