专题04 等腰三角形（5大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题03 等腰三角形 等腰三角形的性质 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，且，则的度数是 ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，P是边的中点，，垂足分别为D ，E．求证：．    4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作，点在边上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的度数． 等腰三角形的判定 1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70° C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是的角平分线，，，D是的中点．求证：是等腰三角形．    3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，是的角平分线，，求证：是等腰三角形． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 等边三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西的方向行驶120海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶120海里到达A地，则A，C两地相距 海里． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，点P是等边内一点，， ° 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，D为上一点，，且，则 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图和都是等边三角形．求证：    5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 三线合一 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　）    A． B． C．平分 D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，为的中线，，则 °． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图：已知在中，，D为BC边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，，求AB的长． 4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC． 含30°角的直角三角形 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，，平分，则的值为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，平分，若，则点D到直线的距离 ．      4．（23-24八年级上·福建福州·期中）在中，，，，则AB的长为 ． 5．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 轴对称的综合问题 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（　　）    A．14 B．15 C．16 D．17 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为边的中点．若E，F为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点F的坐标为    4．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 ． 5．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的并写出点、、的坐标（直接写答案）：__________________ (2)在y轴上画出点P，使最小． 等腰三角形中的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．    (1)将向下平移5个单位，再向左平移3个单位，得到，请画出； (2)请画出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (3)点是轴上的动点，当是等腰三角形时，这样的点有________个． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，动点P从A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点O运动，同时动点Q从O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，当点P到达点O，两点同时停止运动． (1)用含t的式子表示______； (2)如图2，过点Q作，且，点M在第一象限，求点M的坐标（用含t的式子表示）； (3)点R为x轴负半轴上一点，且，坐标系内有一点，若为等腰直角三角形，则______． 最短路径问题 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 2．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 3．（23-24八年级上·福建厦门同安·期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ．    ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等腰三角形 等腰三角形的性质 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，图形结合分析的方法是解题的关键． 根据可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，，， ∴是等腰三角形， ∴， 故选：A ． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，且，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及三角形内角和定理，三角形外角的性质．设，构建方程即可解决问题； 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，P是边的中点，，垂足分别为D ，E．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵P是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作，点在边上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）以点为圆心，为半径画弧交于，则； （）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再利用，然后计算即可． 本题考查了作图-基本作图作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握基本作图和等腰三角形的性质． 【详解】（1）以点为圆心，为半径画弧交于， 如图，为所作； 则； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 等腰三角形的判定 1．（23-24八年级上·福建漳州·期中）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70° C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14 【答案】C 【分析】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断. 【详解】A. ∠C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； B、∵∠A=2∠B=70°， ∴∠B=35°， ∴∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； C、∠C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确； D、∵AB=3，BC=6，周长为14， ∴AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法. 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是的角平分线，，，D是的中点．求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】通过角平分线上点的性质、D为中点、证明出，从而证明． 【详解】∵是的角平分线，，， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵与是直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，正确证明全等三角形并得出各角之间的关系是本题的关键． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，是的角平分线，，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与平行线的性质，根据角平分线得到，根据平行线得到，从而得到即可得到证明． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形； （2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可． 【详解】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线 ∴∠DAF=∠CAF 又∵ ∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴是等腰三角形 （2）∵CG是∠ACE的角平分线 ∴∠ACG=∠ECG 又∵，∠ACB=∠B ∴ ∴∠ACG=∠ECG= 又∵∠CAG=∠ACB ∴∠AGC= 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 等边三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西的方向行驶120海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶120海里到达A地，则A，C两地相距 海里． 【答案】120 【分析】本题考查了方位角，等边三角形的判定及性质；由方位角得，海里，即可求解；理解方位角，得出是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西的方向行驶120海里到达B地， 再由B地向北偏西的方向行驶120海里到达A地， ， 海里， 是等边三角形， 海里． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，点P是等边内一点，， ° 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟记相关结论得出是解题关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，D为上一点，，且，则 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：6． 4．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图和都是等边三角形．求证：    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明即可． 【详解】证明：和都是等边三角形， ，， ， 即， ， ． 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再根据定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）已证：， ， ． 三线合一 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　）    A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，为的中线，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，先根据为的中线，得出，，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵为的中线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图：已知在中，，D为BC边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得平分，再根据垂直即可得到结果； （2）根据已知条件证明为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到，即可得到结果； 【详解】（1）证明：连接， ，为边的中点， 平分， 于点 于点， ； （2）解： ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ∵平分 ∴ ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC． 【答案】证明见解析 【分析】因为根据等腰三角形三线合一的性质可得：根据可得进而证明 【详解】解：AD是BC边上的中线， 又 含30°角的直角三角形 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在中，，，平分，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形性质，得，进一步计算得证，于是，而，进一步根据面积公式求解． 【详解】解：在中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 中，， ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形等角对等边，角直角三角形性质；由直角三角形性质得出线段间数量关系是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，平分，若，则点D到直线的距离 ．      【答案】3 【分析】过点作于点，先根据直角三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，    在中，，， ， 在中，， ， 即点到直线的距离为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）在中，，，，则AB的长为 ． 【答案】6 【分析】根据所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：，，， ．    故答案为：6． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 5．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论； （2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ； （2）解：是等边三角形， 理由如下：连接． 垂直平分， ∴， ，， ， ∴， ， 是等边三角形． 轴对称的综合问题 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（　　） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小． 【详解】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H． ∵S△OMN＝•MN•OH＝12，MN＝6， ∴OH＝4， ∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2， ∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2 ∵∠AOB＝45°， ∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°， ∴△OP1P2是等腰直角三角形， ∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小， 根据垂线段最短可知，OP的最小值为4， ∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（　　）    A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义求出△PMN的周长为P1P2，从而得解． 【详解】解：如图，∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2， ∴P1M＝PM，P2N＝PN， △PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+P1M+P2N＝P1P2， ∵P1P2＝15， ∴△PMN的周长为15． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质,关键在于巧妙的将周长转换成一条线段. 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为边的中点．若E，F为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点F的坐标为    【答案】 【分析】本题考查的是利用轴对称的性质求解图形周长的最小值，掌握图形周长取最小值时点的位置是解本题的关键，如图，作点D关于x轴的对称点，在边上截取，连接与x轴交于点E，在上截取，此时得到的点E、F使四边形的周长最小．再结合等面积法可得答案． 【详解】解：如图，作点D关于x轴的对称点，在边上截取，连接与x轴交于点E，在上截取，    而，， 结合平移的性质可得，     又、EF的长为定值， 此时得到的点E、F使四边形的周长最小． ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 ． 【答案】19.2 【分析】点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，根据三角形三边关系可得，当点P与点B或点C重合时，P、M、N三点共线，MN最长，由轴对称可得，，再由三角形等面积法即可确定MN长度． 【详解】解：如图所示：点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N， 由图可得：， 当点P与点B或点C重合时，如图所示，MN交AC于点F，此时P、M、N三点共线， MN最长， ∴，， ∵等腰面积为48，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查对称点的性质及三角形三边关系，三角形等面积法等，理解题意，根据图形得出三点共线时线段最长是解题关键． 5．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的并写出点、、的坐标（直接写答案）：__________________ (2)在y轴上画出点P，使最小． 【答案】(1)画图见详解；；； (2)画图见详解 【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而画出图形；利用所画图形得出各个点的坐标； （2）利用轴对称求最短路径的方法得出答案． 【详解】（1）解：关于y轴对称的如图所示 各个点的坐标为：；； （2）解：连接，交y轴于点P，即为所求． 【点睛】本题考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，解题关键是根据轴对称变化正确画出图形，利用轴对称性质求解． 等腰三角形中的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 【详解】解：如图，当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， ∴点C的个数有3个， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．    (1)将向下平移5个单位，再向左平移3个单位，得到，请画出； (2)请画出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (3)点是轴上的动点，当是等腰三角形时，这样的点有________个． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，，，； (3)4 【分析】（1）分别确定A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）分别确定A，B，C关于轴对称的对称点，，，再顺次连接即可； （3）由是等腰三角形，再分为腰和为底边两种情况画出点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； ∴，，； （3）如图，，，    ∴，，，符合题意；共4个点． 【点睛】本题考查的是画平移图形，画轴对称图形，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握平移与轴对称的性质并进行画图是解本题的关键． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，动点P从A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点O运动，同时动点Q从O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，当点P到达点O，两点同时停止运动． (1)用含t的式子表示______； (2)如图2，过点Q作，且，点M在第一象限，求点M的坐标（用含t的式子表示）； (3)点R为x轴负半轴上一点，且，坐标系内有一点，若为等腰直角三角形，则______． 【答案】(1)； (2)； (3)秒或秒 【分析】（1）先由运动知，，，进而可得出答案； （2）过点M作轴于B，作轴于C，先判断出，得出，，即可得出答案； （3）利用点N的坐标，分三种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由运动知，，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：如图2， 过点M作轴于B，作轴于C， ∵，且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：∵点，点R为x轴负半轴上一点，且， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴Ⅰ、当，时， ∴点N，R的横坐标相等， ∴， ∴； Ⅱ、当，时， ∴点N在y轴上， ∴，， ∴，，此种情况不存在； Ⅲ、当，时， ∴点N在的垂直平分线上，且点N到的距离等于， ∴①，且②， 解①得，，解②得，或， 综上，， ∴当t为秒或秒时，为等腰直角三角形． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，对称的性质，直角三角形的性质，解本题关键是用方程的思想和分类讨论的思想解决问题． 最短路径问题 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，先求得点A关于直线a的对称点，连接，即可求得答案． 【详解】如答图，点是点A关于直线a的对称点，连接，则与直线a的交点即为点P，此时最短． ∵与直线a交与点C， ∴点P的位置应选在C点． 同理，也可以找到点B关于直线a的对称点求得． 故选A． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 3．（23-24八年级上·福建厦门同安·期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7． 【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE， ∴PE=PE'， ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F， 当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时， 此时EP+FP的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B=60°， ∵E'F⊥AB， ∴∠FE'B=30°， ∴BE'=2BF， ∵BF=5，BE=4， ∴E'B=10， ∵CE=CE'， ∴10=2CE+BE=2CE+4， ∴CE=3， ∴BC=7， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ．    【答案】6 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值． 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，    ∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N ∴M′N′＝M′E， ∴CE＝CM′+M′E ∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值． ∵三角形ABC的面积为30，AB＝10， ∴×10×CE＝30， ∴CE＝6． 即CM+MN的最小值为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$