2.2 30°，45°，60°角的三角形函数值（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

鲁教版九年级上册数学 第二章 直角三角形边角关系 2.2 30°，45°，60°角的三角形函数值 1 学习目标 1.运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、 45°、60°角的三角函数值；（重点） 2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.(难点) 2 情境&导入 b A B C a ┌ c 如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°. 思考：sinA和cosB，有什么关系? sinA=cosB tanA和tanB，有什么关系？ tanA·tanB=1 3 情境&导入 观察一副三角尺，其中有几个锐角？他们分别等于多少度？ 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？ 30°、45°、60°角的三角函数值 1— 探索&交流 下图两块三角尺中，你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 5 探索&交流 （1）sin30°等于多少？你是怎样得到的？（2）cos30 °等于多少？ tan30 °呢？ 60° 30° 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝ 6 探索&交流 做一做 （1）60 °角的三角函数值分别是多少? 你是怎样得到的? （2）45 °角的三角函数值分别是多少? 你是怎样得到的? 45° 45° 60° 30° 探索&交流 设两条直角边长为a，则斜边长＝ 45° 45° 探索&交流 特殊角的三角函数值表 要能记住有多好 三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 300 450 600 这张表还可以看出许多知识之间的内在联系? 根据上面的计算，完成下表 探索&交流 (1)同角三角函数之间的关系． ①平方关系：sin2 A＋cos2 A＝1 ②商除关系：∵ (2)互余两角的三角函数之间的关系． sin A= cos（ 90° - ∠ A）； cos A=sin（ 90 ° - ∠ A） . 探索&交流 想一想 A C2 C1 B1 B2 如图，小明想通过测量B1C1及AC1 ，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度； 而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗? 探索&交流 (1)同角三角函数之间的关系． ①平方关系：sin2 A＋cos2 A＝1 ②商除关系：∵ (2)互余两角的三角函数之间的关系． sin A= cos（ 90° - ∠ A）； cos A=sin（ 90 ° - ∠ A） . 典例精析 例1.计算： (1)sin 30° + cos 45°； (2) sin260°+ cos260° — tan 45°. (1) sin 30°+ cos 45°= (2) sin260°+ cos260°- tan 45° 解： sin260°表示(sin60°)2 cos260°表示(cos60°)2 13 典例精析 例2.一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60 °，且两边摆动的角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). O B A D C 2.5m 60° 解: 如图，由题意可知，∠AOD= ×60°=30 °， OD = 2.5m， ∴ OC = OD·cos30 ° =2.5× ≈ 2.165(m). ∴ AC = 2.5－2.165 ≈ 0.34(m). 即最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 14 探索&交流 通过该表可以方便地知道30°，45°，60°角的三角函数值．它的另一个应用：如果已知一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数．例如：若sin θ＝ ，则锐角θ＝45°. ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= ∠A= 15 探索&交流 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC= , AC= ,求∠A、∠B的度数. ∵tanA= ∴∠A=30°,∠B=60°. 16 典例精析 例3.如图，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B 两个凉亭之间的距离，现测得AC=30 m，BC=70 m，∠ CAB=120°，请计算A，B 两个凉亭之间的距离. 17 探索&交流 解：如图，过点C 作CD ⊥ AB， 交BA 的延长线于点D. ∵∠ CAB=120°， ∴∠ CAD=60°，∴∠ ACD=30°， ∴ AD= AC=15 m ，CD=AC·cos 30°=15 m. 在Rt△BDC中，BD= =6 5(m)，∴ AB=BD－AD=65－15=50(m)， 即A，B 两个凉亭之间的距离为50 m. 随堂练习 练习&巩固 1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° D 19 练习&巩固 2.在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AB=2 ，AC= ， 则∠ B 的度数为_____. 60° 练习&巩固 3.如图,一段长1500m的水渠,它的横截面为梯形ABCD,其中AB∥CD,BC=AD,渠深AE=0.8m,底AB=1.2m,坡角为45 °,那么该段水渠最多能蓄水多少立方米? D E F C A B 45° 21 解: 如图,由题意可知,BF⊥CD,AE⊥CD. ∴ BF=AE=0.8m. 由AB∥CD可知∠C=45 °,则FC=FB=0.8m. ∴ CD=DE+EF+FC=0.8×2+1.2=2.8m. ∴ S梯形ABCD=(2.8+1.2)×0.8÷2=1.6m2. ∴ V=1.6×1500=2400m3. D E F C A B 45° 练习&巩固 课堂总结 30° 45° 60° sin A cos A tan A 1 特殊角的三角函数值: 23 $$