第一次月考卷（测试范围：1.1-3.1椭圆）-2024-2025学年高二数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019选择性必修第一册，江苏专用）

2024-2025年高二数学上学期第一次月考卷（测试范围：1.1-3.1椭圆） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．直线的方向向量分别是，则直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 4．已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知三边所在直线方程为，，，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点可得的最小值为( ) A． B． C．8 D．6 7．已知圆：（）和两点，.若圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列圆中与圆：相切的是（    ） A． B． C． D． 10．嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．直线与两坐标轴围成的三角形的面积记为，则（    ） A．的最小值是 B．对于所有的，方程有个不等实数解 C．存在唯一实数，使 D．的值域是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线的倾斜角的取值范围是 . 13．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 14．已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程. 16．已知直线和圆， (1)当为何值时，截得的弦长为2； (2)若直线和圆交于两点，此时，求的值. 17．已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 18．已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 19．已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年高二数学上学期第一次月考卷（测试范围：1.1-3.1椭圆） 一､选择题 1．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用斜率公式得到方程，解得即可. 【解析】依题意，解得. 故选：B 2．直线的方向向量分别是，则直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先求向量与的夹角，再求解直线夹角即可. 【解析】解：因为， 所以，因为 所以与的夹角为， 所以直线的夹角为，即. 故选：B 3．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【解析】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 4．已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解. 【解析】依题意可得，解得， 故的方程是. 故选：A. 【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题. 5．已知三边所在直线方程为，，，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据边上的高和直线垂直得到，联立直线和的方程得到，然后写直线方程即可. 【解析】设则边上的高所在直线的斜率为，，，， 联立，得， ∴边上的高所在直线的方程为. 故选：A. 6．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点可得的最小值为( ) A． B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】利用配方将转化为同一个点到不同两点间距离之和的最小值，再利用三点共线距离之和最小求解. 【解析】，所以表示点到与的距离之和.作关于轴的对称点得，所以. 故选：B. 7．已知圆：（）和两点，.若圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点的坐标求出直线的方程和，再根据的面积得到点到直线距离为，从而将问题转化为圆上存在四个不同的点到直线的距离为，结合圆的方程和圆的性质得到圆心到直线的距离小于，即可求解. 【解析】由和，得直线的方程为，即， 且， 设点到直线的距离为，则，解得：， 因为圆上存在四个不同的点，使得的面积为， 所以圆上存在四个不同的点到直线的距离为， 又圆：（）的圆心，半径， 则圆心到直线的距离小于，即，解得：， 所以的取值范围是， 故选：B. 8．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 【答案】D 【分析】根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可. 【解析】对选项A，，故A错误； 对选项B，设，则，， ，， 则，故B错误. 对选项C，因为椭圆，，，， 所以以为直径的圆与椭圆无交点，故不存在点满足，故C错误； 对选项D，，则， 则，解得，故D正确. 故选：D 二、多选题 9．下列圆中与圆：相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出两圆的圆心和半径，进而由圆心距和半径的关系得到两圆是否相切，对四个选项一一判断，得到答案. 【解析】变形为， 圆心为，半径为， A选项，的圆心为，半径为3， 故，由于，且， 所以圆与不相切，A错误； B选项，的圆心为，半径为3， 故，由于， 故圆与外切，B正确； C选项，的圆心为，半径为5， 故，由于， 故圆与内切，C正确； D选项，的圆心为，半径为7， 故，由于， 故圆与内切，D正确； 故选：BCD 10．嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得，即可根据得，逐一代入即可求解. 【解析】设且， 故 故， 故， 由于，故，故，即， 对于A，，满足，故A正确， 对于B，，，故B错误， 对于B，，，故C错误， 对于D，，，故D正确， 故选：AD 11．直线与两坐标轴围成的三角形的面积记为，则（    ） A．的最小值是 B．对于所有的，方程有个不等实数解 C．存在唯一实数，使 D．的值域是 【答案】BCD 【分析】分类讨论直线的位置，从而求出面积函数的值域判断AD，建立方程求解判断C，根据二次函数根的分布判断B. 【解析】直线可化为， 联立，解得，故直线恒过点，设，， 由题意可得中取得，取得， 当即时，直线的截距式为，由题意， 因为，所以，故， 当且仅当，即，即时等号成立， 当即或时，直线的截距式为，由题意， 则，，故， 因为时，，所以等号取不到，所以， 当即时，直线的截距式为，由题意， 则，，故， 因为时，，所以等号取不到，所以， 当时，无解，此种情况不存在，综上，的值域是， 故选项D正确，A错误； 当时，若，则，即，解得或（舍去）， 此时，无解； 若，则，即，解得或（舍去）， 此时，解得，满足；综上，存在唯一实数m，满足题意，故选项C正确； 当时，，即，则， 该方程有两个正根，又为单调函数， 所以当时，方程有个不等实数解； 当时，，即， 则，又，， 所以方程在上只有一个根， 又为单调函数，则方程有个不等实数解； 当时，，即， 则，又，， 所以方程在上只有一个根， 又为单调函数，则方程有个不等实数解； 综上，对于所有的，方程有个不等实数解，故选项B正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是找到直线恒过的定点，然后表示出三角形面积函数，分类讨论求值域及方程根的个数，是个难题. 三、填空题 12．直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出直线的斜率取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求出． 【解析】可化为：，所以，由于，结合函数在上的图象，可知． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系的应用，以及直线的一般式化斜截式，属于基础题． 13．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【解析】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 14．已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用函数求解. 【解析】设 因为点在椭圆上，所以① 又因为点在双曲线上，所以② 则①②得；①② 在中由余弦定理得： 即 即，即即 所以， 令，则 所以. 故答案：. 四、解答题 15．已知直线的方程为，若直线过点，且. (1)求直线和直线的交点坐标； (2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）求出直线的方程与方程联立求解交点坐标即可； （2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解的方程即可. 【解析】（1）因为直线过点，且， 所以直线的方程为，即， 联立，解得，， 所以直线和直线的交点坐标为； （2）当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为， 当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为， 因为直线过， 所以， 所以，此时直线方程为，即， 综上直线的方程为或. 16．已知直线和圆， (1)当为何值时，截得的弦长为2； (2)若直线和圆交于两点，此时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用弦长求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可列式求解； （2）先利用平面几何知识求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式即可列式求解. 【解析】（1）设为圆心到直线的距离，则由题意知，即，所以， 又由于圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离，所以， 即当时，直线被圆截得的弦长为2. （2）由于，所以组成等腰直角三角形，    所以圆心到直线的距离， 所以，所以， 即当时，直线和圆交于两点，且. 17．已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，求得圆心到该直线的距离d，利用弦长公式可求得所求弦长； （2）易知直线l的方程为，与圆C的方程联立，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，结合题意即可求得 【解析】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； （2）由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 18．已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）. (1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据，求出，代入圆的方程，可得解； （2）设，求出直线，从而得到点的坐标，化简，得证. 【解析】（1）根据题意，，， 设，则， 由于，所以， 则，得，将其代入， 得，故点的轨迹方程为； （2）设，则， 直线方程是，代入，得， 直线方程是，代入，得， 所以 ，即为定值．    【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法： （1）直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含的等式，就得到轨迹方程。 （2）相关点法：若轨迹点与已知曲线上的动点有关联，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程。 （3）定义法：运用解析几何中一些常用定义（圆锥曲线的定义），再从曲线定义出发直接写出轨迹方程。 （4）参数法（交轨法）：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把联系起来．其实某种意来说，交轨法也可看作参数法。 （5）点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的问题一般可用点差法， 19．已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【解析】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. （2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. ②由题意知，此时的斜率一定存在. ， 由及， 所以 ， 因为，令， 所以在上单调递增. 故的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$