专题02 二次函数的图象和性质（5基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题02 二次函数的图象和性质 二次函数的有关概念 1．（22-23九年级上·天津河西·期中）正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y是x的函数，它们的关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津西青·期中）下列函数中属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·天津·期中）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 二次函数y=ax2的图象和性质 1．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·天津河西·期中）二次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限 4．（22-23九年级上·天津西青·期中）已知二次函数有最大值，则取值范围是 ． 5．（21-22九年级上·天津静海·期中）二次函数y＝的图象开口向上，则k＝ ． 6．（21-22九年级上·天津·期中）已知二次函数的图象经过点，那么a的值为 ． 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．（23-24九年级上·天津东丽·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津和平·期中）二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（    ） A．向下、直线、 B．向下、直线、 C．向下、直线、 D．向上、直线、 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．时，随的增大而减小 D．，函数有最小值 4．（23-24九年级上·天津西青·期中）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．（23-24九年级上·天津·期中）抛物线的顶点坐标为 ． 6．（22-23九年级上·天津·期中）已如一个二次函数的顶点为，且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式 ． 7．（21-22九年级上·天津静海·期中）已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上有三点(﹣3，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）． 8．（21-22九年级上·天津·期中）二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，对应的函数值y＝ ． 9．（21-22九年级上·天津·期中）抛物线的对称轴为 ． 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质方程 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）直线的抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·天津·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④为任意实数，则． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24九年级上·天津河西·期中）二次函数图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·天津·期中）抛物线与轴的交点是，这条抛物线的对称轴为 ． 6．（23-24九年级上·天津津南·期中）如果抛物线经过，那么m的值是 ． 7．（23-24九年级上·天津津南·期中）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 ． 8．（23-24九年级上·天津东丽·期中）已知函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减少；则 9．（22-23九年级上·天津西青·期中）二次函数的最小值是 ，最大值是 ． 10．（22-23九年级上·天津津南·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 11．（23-24九年级上·天津西青·期中）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定h，k的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 12．（22-23九年级上·天津西青·期中）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． 13．（22-23九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为．请直接写出抛物线的函数解析式． 二次函数与一元二次方程 1．（23-24九年级上·天津·期中）如果，抛物线的顶点在第二象限，则方程的实根情况是（    ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．以上三种均有可能 2．（22-23九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ）    A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③ 4．（23-24九年级上·天津西青·期中）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则当时，x的取值范围是 ． 5．（23-24九年级上·天津·期中）若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是 ． 6．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）已知二次函数（为常数）的图象与轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点是 ． 7．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）已知二次函数． (1)如果二次函数与x轴有一个交点，求a的值． (2)若抛物线在x轴截得的线段长为3，求a的值． 8．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程．    (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 二次函数图象的平移 1．（23-24九年级上·天津西青·期中）拋物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（    ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 3．（23-24九年级上·天津西青·期中）抛物线的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的顶点坐标为 ． 4．（23-24九年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移3个单位长度所得到的抛物线的表达式为 ． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知二次函数 的图象为抛物线C． (1)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (2)将抛物线C先向左平移 2 个单位长度、再向上平移 1个单位长度后，所得抛物线为． 请直接写出抛物线的函数解析式． 6．（23-24九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (3)将抛物线C先向右平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为，请直接写出抛物线的函数解析式． 二次函数的最值问题 1．（21-22九年级上·天津·期中）已知二次函数的最大值为，且对称轴在轴的左侧，则实数m的值为 ． 2．（21-22九年级上·天津·期中）已知二次函数（是常数），当时，函数的最大值是，则的值为 ． 3．（20-21九年级上·天津红桥·期中）二次函数的最大值为 ． 4．（23-24九年级上·天津西青·期中）在平面直角坐标系中，关于x的二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解折式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)一次函数的图象与二次函数图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围． 5．（23-24九年级上·天津河西·期中）已知二次函数 (，，是常数)的图象过点，点，交轴于点． (1)求点的坐标和，的值； (2)抛物线的对称轴为 ； (3)当时，求的取值范围． 6．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为．    (1)求D点的坐标； (2)连接，说明； (3)若点P是直线下方抛物线上一动点，当点P位于何处时，的面积最大？求出此时点P的坐标． 7．（21-22九年级上·天津津南·期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB＝6mm，BC＝12mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2mm/s的速度移动，且与点P同时出发．设PBQ的面积为S，动点移动的时间为t（t＞0）． (1)当t＝4时，求S的值； (2)求S关于t的函数解析式； (3)t为何值时，S的值最大？ 实际问题与二次函数—图形问题 1．（23-24九年级上·天津河西·期中）九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）    A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案使得菜园面积一样大 2．（23-24九年级上·天津南开·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为.其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24九年级上·天津红桥·期中）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为9m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为；③菜园ABCD面积的最大值为．其中，正确结论的序号是 ． 4．（23-24九年级上·天津·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个边上有一个宽为门的矩形场地，设，设矩形面积为， (1)____________ (2)求矩形面积与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)当取何值时面积最大，最大是多少？ 5．（23-24九年级上·天津东丽·期中）如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为米,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． (1)若苗圃园的面积为平方米，求的值． (2)若平行于墙的一边长不小于米，当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值 6．（23-24九年级上·天津河西·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为 ．    (1)的长度是否能有两个不同的值都满足菜园面积为？说明理由． (2)当的长为多少时，围成的菜园面积最大？ 7．（23-24九年级上·天津河北·期中）某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大，最大值是多少？    实际问题与二次函数—销售问题 1．（23-24九年级上·天津河东·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24九年级上·天津西青·期中）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． (1)填写下表：设每千克水果涨价x元，利润为y元 每件商品涨价 1 2 3 … 售价（元/千克） 51 52 53 … 销量（千克） 490 … (2)求获得的月最大利润y为多少元？ 3．（23-24九年级上·天津东丽·期中）某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价x元，销售利润为y元 (1)求y与x的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围） (2)每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得最大利润？ 4．（23-24九年级上·天津南开·期中）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：（，x为整数）设该商品的日销售利润为w元． 时间：第x（天） 日销售价（元/件） 50 日销售量（件） (1)写出w与x的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 5．（23-24九年级上·天津和平·期中）2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． (1)求该款T恤4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？ 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）某商店以每顶60元的价格新进一批头盔，经市场调研发现，售价定为每顶100元时，每月可售出200顶为配合交管部门“一带（安全带）一盔（头盔）”整治活动，计划将头盔降价出售，经调查发现：每降价4元，每月可多售出40顶，设该商店降价后每个头盔的价格为元，每月销售的头盔数量为y顶． (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售头盔每月的利润为w元，求w与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当x取何值时，每月销售头盔的利润w有最大值？最大值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图象和性质 二次函数的有关概念 1．（22-23九年级上·天津河西·期中）正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y是x的函数，它们的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算正方体一个面的面积，然后乘以六得到正方体的表面积． 【详解】解：正方体的每一个面都是面积为的小正方形， ∵展开后由六个全等的小正方形组成， ∴正方体表面积为． 故答案选：D 【点睛】本题考查了二次函数关系式，用棱长表示出正方体表面积是解题关键． 2．（23-24九年级上·天津西青·期中）下列函数中属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是二次函数，故符合题意； B、中分母含有未知数，故不是二次函数，不合题意； C、未知数的最高次数为3，故不是二次函数，不合题意； D、，故不是二次函数，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数． 3．（21-22九年级上·天津·期中）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．当a=0时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，故本选项符合题意； C．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意：形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数． 二次函数y=ax2的图象和性质 1．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据开口判断a、b、c、d与0的关系，在根据张口的大小关系判断a、b、c、d绝对值的大小即可得到答案． 【详解】解：由图像开口方向可得， ，，，， 根据张口大小可得， ，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查抛物线的性质：开口向上，开口向下，的绝对值越大张口越小． 2．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得二次函数的图象的对称轴为y轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再由当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为y轴， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（21-22九年级上·天津河西·期中）二次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限． 【详解】解：抛物线 顶点坐标为，在轴上， 且开口向上， 抛物线不经过第三象限，第四象限； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断． 4．（22-23九年级上·天津西青·期中）已知二次函数有最大值，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接根据二次函数的性质作答即可． 【详解】解：∵二次函数有最大值， ∴二次函数图象开口向下， ∴， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数（）的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线（）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 5．（21-22九年级上·天津静海·期中）二次函数y＝的图象开口向上，则k＝ ． 【答案】 【分析】由解析式是二次函数可知 ，再由图像的开口向上得，由此求解即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得， ∵图像的开口向上， ∴即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，a＞0，图像开口向下时，a＜0是解题的关键． 6．（21-22九年级上·天津·期中）已知二次函数的图象经过点，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到的值． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．（23-24九年级上·天津东丽·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵，，为二次函数的图象上的三点，， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，推出离对称轴越远函数值越大是解题的关键． 2．（23-24九年级上·天津和平·期中）二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（    ） A．向下、直线、 B．向下、直线、 C．向下、直线、 D．向上、直线、 【答案】B 【分析】根据顶点式的顶点坐标为，，开口象限，即可求解． 【详解】解：∵，抛物线的开口向下，对称轴为直线、顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 3．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．时，随的增大而减小 D．，函数有最小值 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，故A选项正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴对称轴是直线，故B选项正确，不符合题意； C、时，随的增大而增大，故C选项错误，符合题意； D、，函数有最小值，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·天津西青·期中）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的对称轴是直线， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．（23-24九年级上·天津·期中）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线顶点式的性质，掌握顶点式的顶点坐标为是解题关键． 【详解】解：抛物线， 顶点坐标为， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·天津·期中）已如一个二次函数的顶点为，且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件，二次函数有最大值，则二次项系数，然后根据顶点式写出满足条件的二次函数即可． 【详解】解：二次函数有最大值， 二次项系数，取， 二次函数图像的顶点为， 二次函数的关系式为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查二次函数的关系式与二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键． 7．（21-22九年级上·天津静海·期中）已知抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上有三点(﹣3，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】y2＜y1＜y3 【分析】根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k（a＞0）， ∴该函数开口向上，对称轴是直线x＝-1，当x＞-1时，y随x的增大而增大，当x＜-1时，y随x的增大而减小，即函数图像上的点离对称轴越远其函数值越大， ∵|-3-（-1）|＝2，|-（-1）|＝1.5，|2-（-1）|＝3，点A（-3，y1）、B（，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点， ∴y2＜y1＜y3， 故答案为：y2＜y1＜y3． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．（21-22九年级上·天津·期中）二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，对应的函数值y＝ ． 【答案】1 【分析】根据二次函数的性质和已知函数的解析式得出函数的对称轴是y轴，函数的图象关于y轴对称，根据已知条件得出x1+x2＝0，再求出答案即可． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴（即直线x＝0），函数的图象关于y轴对称， ∵二次函数y＝﹣2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2， ∴x1＝﹣x2，即x1+x2＝0， 当x＝x1+x2＝0时，y＝﹣2×02+1＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够根据题意得到x1＝﹣x2，即x1+x2＝0． 9．（21-22九年级上·天津·期中）抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解： ∴抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：直线 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称轴，将抛物线的解析式化为顶点式是解题的关键． 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质方程 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）直线的抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据对称轴公式，可得答案． 本题考查了对称轴公式的应用，关键找到抛物线中a和b的值，再进行代入求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线． 故选：A． 2．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 3．（23-24九年级上·天津·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④为任意实数，则． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定抛物线对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧，当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴的交点． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故①错误，不符合题意； ， ，故②正确，符合题意； 由图象可得，3关于直线对称的点为， 当时，，故③错误，不符合题意； 由图象可得，当时，最大， 对任意实数，有，即，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有②④，共2个， 故选：B． 4．（23-24九年级上·天津河西·期中）二次函数图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出； 因为对称轴在y轴左侧，对称轴为， ∴； ∵抛物线经过原点， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于简单题，熟悉二次函数的图象是解题关键． 5．（23-24九年级上·天津·期中）抛物线与轴的交点是，这条抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线的对称性，可得二次函数与轴的交点是关于抛物线的对称轴对称，利用两个交点的坐标，求出中点，即可求出对称轴，掌握抛物线的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的公共点是， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线． 6．（23-24九年级上·天津津南·期中）如果抛物线经过，那么m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点A，B的坐标代入得，，两式相减即可． 【详解】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性解答． 解：∵抛物线经过， ∴， 得，， ∴． 故答案为：4． 7．（23-24九年级上·天津津南·期中）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数图象的平移，根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．解题的关键是掌握函数图象的平移规律． 【详解】解：把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的表达式为． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·天津东丽·期中）已知函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减少；则 【答案】 【分析】由增减性可求得对称轴为，再利用对称轴公式可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】当时，随的增大而减少；当时，随的增大而增大， 二次函数对称轴为， ， 对称轴为， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即． 9．（22-23九年级上·天津西青·期中）二次函数的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 1 【分析】根据二次函数图像与性质，在范围内求出最值即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ， 当时，，即二次函数的最小值是； 到的距离为；到的距离为， 当时，代入得，即二次函数的最大值是； 时，函数的最小值为，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数最值求法是解决问题的关键． 10．（22-23九年级上·天津津南·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】根据二次函数一般式的对称轴为即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数一般式的对称轴为是解本题的关键． 11．（23-24九年级上·天津西青·期中）把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定h，k的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可； （2）根据（1）所求，结合二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为， ∴； （2）解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数图象的性质等等，正确根据二次函数图象的平移规律求出平移后的解析式是解题的关键． 12．（22-23九年级上·天津西青·期中）求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，化为顶点式是解题的关键． 13．（22-23九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为．请直接写出抛物线的函数解析式． 【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)y的取值范围为； (3) 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得出答案； （3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线C的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为； （3）解：∵抛物线C：向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到抛物线． ∴：，即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二次函数与一元二次方程 1．（23-24九年级上·天津·期中）如果，抛物线的顶点在第二象限，则方程的实根情况是（    ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．以上三种均有可能 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由得抛物线开口向上，又根据抛物线的顶点在第二象限可得，据此即可判断求解，掌握二次函数的图象和性质性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的顶点在第二象限， ∴， ∴方程无实数根， 故选：． 2．（22-23九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】本题主要考查了根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解，根据对称性求得另一交点的坐标是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一元二次方程之间的关系进行即可解答． 【分析】解：∵二次函数解析式为, ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图像与x轴的一个交点是， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点是， ∴方程的两个实数根为，． 故选：A． 3．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ）    A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据当时，，当时，，即可判定①②；由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置判断b的符号即可判断③④． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴，故①错误； 当时，则， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，于y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴在直线和直线之间， ∴， ∴， ∴，，故③正确，④错误； ∴正确结论的序号为②③． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·天津西青·期中）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 由图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 5．（23-24九年级上·天津·期中）若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与轴的交点个数由决定，当时，抛物线与轴有两个交点，当时，抛物线与轴有一个交点，当时，抛物线与轴没有交点． 【详解】解：二次函数的图象与轴有公共点， ，即， 解得：， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）已知二次函数（为常数）的图象与轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点是 ． 【答案】 【分析】将代入即可求得m，在令，即可得到答案． 【详解】解：将代入函数可得， ， 解得， 即， 当时， ， 解得：，， ∴另一个交点为 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与轴交点问题，解题关键是知道一元二次方程与二次函数的关系． 7．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）已知二次函数． (1)如果二次函数与x轴有一个交点，求a的值． (2)若抛物线在x轴截得的线段长为3，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出判别式，根据题意可得，判别式的值等于0，即可求解； （2）求出该函数与x轴的两个交点坐标，根据截得的线段长为3可得两交点距离为3，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴有一个交点， ∴方程有两个相同是实数根， ∴，解得：． （2）∵抛物线在x轴截得的线段长为3， ∴抛物线与x轴有两个交点，且两交点距离为3， ∴方程的根为：， 即：，， ∴两交点坐标分别为：， ∴，整理得：， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数与x轴有一个交点，则对应一元二次方程有两个相等的实数根；次函数与x轴有两个交点，则对应一元二次方程有两个不相等的实数根；次函数与x轴没有交点，则对应一元二次方程没有实数根． 8．（23-24九年级上·天津西青·期中）已知关于的一元二次方程．    (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)已知二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由即可列不等式得到答案； （2）根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程有实数根， ，即， ， 的取值范围为； （2）二次函数图象的对称轴为直线， 抛物线与轴两个交点关于直线对称， 由图可知抛物线与轴一个交点为， 另一个交点为， 一元二次方程的解为，． 【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性． 二次函数图象的平移 1．（23-24九年级上·天津西青·期中）拋物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 向右平移4个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为， 所以，所得图象的解析式为， 故选B． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律，利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 2．（23-24九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（    ） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 【答案】B 【详解】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【分析】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移2单位得到抛物线， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·天津西青·期中）抛物线的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到解析式：， 故所得抛物线的顶点坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 4．（23-24九年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移3个单位长度所得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，解答即可，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度所得到的抛物线的表达式为：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知二次函数 的图象为抛物线C． (1)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (2)将抛物线C先向左平移 2 个单位长度、再向上平移 1个单位长度后，所得抛物线为． 请直接写出抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向．进而根据抛物线性质解题即可． （2）根据平移规律：上加下减，左加右减，则可以写出平移后的解析式． 【详解】（1）解：把化为：． ∴当时， y取的最大值2． 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y的取值范围为； 当时，y的取值范围为； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为；． （2）解：∵抛物线C： 向左平移2个单位长度，则：， 即： 再向上平移1个单位长度，则： 即： ∴抛物线的函数式为：． 6．（23-24九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围； (3)将抛物线C先向右平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为，请直接写出抛物线的函数解析式． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 根据二次函数的性质可得出答案； 根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式. 【详解】（1）解： ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ； （2）， ∴当 时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， 当 时, ； 当 时, ； ∴当时，二次函数的函数值的取值范围为 （3）∵抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 二次函数的最值问题 1．（21-22九年级上·天津·期中）已知二次函数的最大值为，且对称轴在轴的左侧，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】先由顶点式的最大值=4得到m的值，再根据对称轴在y轴的左侧进行排除即可得到正确的结果． 【详解】∵的最大值是4， ∴=4， 解得：m=，， 又∵二次函数的对称轴在y轴的左侧， ∴m＜0， ∴m=． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式和对称轴．熟记顶点式和二次函数的对称轴公式是解决本题的关键． 2．（21-22九年级上·天津·期中）已知二次函数（是常数），当时，函数的最大值是，则的值为 ． 【答案】3或-6 【分析】根据题目中的函数解析式和当0≤x≤2时，y的最大值是2，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：二次函数y=-x2+mx+=-（x-）2+， 当时，即m＞4， 在0≤x≤2时，x=2时取得最大值，则2=-22+2m+，得（舍去）； 当＜0时，即m＜0， 在0≤x≤2时，x=0时取得最大值，则，得； 当0≤≤2时，即0≤m≤4， 在0≤x≤2时，x=时取得最大值，则，得，（舍去）， 由上可得，m的值是3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 3．（20-21九年级上·天津红桥·期中）二次函数的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据二次函数的性质直接求解即可． 【详解】解： ∵a=-1＜0 ∴当时有最大值 即： 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的最值，根据抛物线的开口方向，在时，函数有最值． 4．（23-24九年级上·天津西青·期中）在平面直角坐标系中，关于x的二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解折式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)一次函数的图象与二次函数图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)25 (3) 【分析】（1）由二次函数的图象经过两点，利用交点式即可求得二次函数的表达式； （2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当，函数有最大值21；当时函数有最小值，进而求得它们的差； （3）由题意得，整理得，解方程求得，根据题意得到，即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象过点． ∴， ∴此二次函数的表达式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在范围内， 当，函数有最大值为：； 当时函数有最小值：， ∴y的最大值与最小值的差为：； （3）解：的图象与二次函数图象交点的横坐标为a和b， ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即m的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 5．（23-24九年级上·天津河西·期中）已知二次函数 (，，是常数)的图象过点，点，交轴于点． (1)求点的坐标和，的值； (2)抛物线的对称轴为 ； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得，再运用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可求解； （2）根据对称轴公式，即可求解； （3）抛物开口向下，当时，结合函数性质可得出． 【详解】（1）解：当时，， ； 将点，点代入， 得， 解得 ； （2）解：， 抛物线对称轴为直线． 故答案为：直线． （3），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，取最小值为； 当时取最大值为， 当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为．    (1)求D点的坐标； (2)连接，说明； (3)若点P是直线下方抛物线上一动点，当点P位于何处时，的面积最大？求出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将代入求出抛物线表达式，化为顶点式可得结果； （2）求出点B，点C坐标，分别求出，，，得到，即可证明结果； （3）过点P作轴，垂足为R，与交于点Q，求出的解析式，设，则，得到，表示出的面积，再根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 则， 解得：， ， ； （2）连接，如图， ∵， 令，则，即， ∵，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴；    （3）如图，过点P作轴，垂足为R，与交于点Q， 设的解析式为，将，代入， 得，解得：， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∵点P在下方， ∴， ∴当时，的面积最大， 此时，．    【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，三角形的面积，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，正确表示出的面积是解题关键． 7．（21-22九年级上·天津津南·期中）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB＝6mm，BC＝12mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2mm/s的速度移动，且与点P同时出发．设PBQ的面积为S，动点移动的时间为t（t＞0）． (1)当t＝4时，求S的值； (2)求S关于t的函数解析式； (3)t为何值时，S的值最大？ 【答案】(1)8 (2) (3)当t=3时，S的值最大． 【分析】（1）先求出AP，BP的长，由三角形面积公式可求解； （2）由题意知BP=6-t，BQ=2t，根据S=BP×BQ可得答案； （3）把（1）中求得的解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】（1）解：当t=4时，则AP=4×1=4（mm），BQ=4×2=8（mm）， ∴， ∴S=×2×8=8（平方毫米）； （2）解：∵动点P从点A开始沿边AB向点B以1mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2mm/s的速度移动， ∴BP=（6-t）（mm），BQ=2t（mm）， ∴S=×BP×BQ=t×（6-t）=t2+6t（0＜t≤6）； （3）解：∵， ∴当t=3时，S的值最大． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，二次函数的应用，根据题意得出BP=6-t，BQ=2t是结合三角形面积公式列出函数解析式的关键． 实际问题与二次函数—图形问题 1．（23-24九年级上·天津河西·期中）九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）    A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案使得菜园面积一样大 【答案】C 【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可． 【详解】解：方案1：设米，则米，    则菜园面积， 当时，此时菜园最大面积为米2； 方案2：如图，过点B作于H，则， ∵， ∴当时，的面积最大为平方米；    方案3：半圆的半径米， ∴此时菜园最大面积（米2）（米2）． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意计算三个方案的最大面积是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·天津南开·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为.其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设的边长为，则边的边长为，根据列出方程，再求解根据x的取值范围判断即可①；根据矩形的面积为192，列方程求解即可判断②；设矩形的菜园面积为，根据矩形的面积公式列方程，再根据二次函数的性质求函数最值即可判断③． 【详解】解：设的边长为，则边的边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过， ∴，故①正确； ∵当菜园面积为时，， 整理得，， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； 设矩形的菜园面积为， 根据题意得，， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的应用，理解题意，找出等量关系列出函数解析式和方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·天津红桥·期中）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为9m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为；③菜园ABCD面积的最大值为．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得： ， 其中， ∴， ①的长可以为，故结论①正确； ②当时，解得（不合题意，舍去）或；故结论②错误； ③菜园面积的最大值为，故结论③正确. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 4．（23-24九年级上·天津·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个边上有一个宽为门的矩形场地，设，设矩形面积为， (1)____________ (2)求矩形面积与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)当取何值时面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（）根据题意和图形即可求解； （）根据矩形的面积公式可得与的函数关系式，再根据边的长度为正数列出不等式组可得的取值范围； （）把函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确求出与的函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：， 即， ∵， ∴， ∴； （3）解：， ∵，， ∴当时，面积最大，最大值为． 5．（23-24九年级上·天津东丽·期中）如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为米,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． (1)若苗圃园的面积为平方米，求的值． (2)若平行于墙的一边长不小于米，当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值 【答案】（1）的值是 （2）这个苗圃园的面积有最大值平方米 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案； （2）先根据题意求出的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，， 由上可得，的值是； （2）设这个苗圃园的面积为平方米， 由题意可得， ， ∵平行于墙的一边长不小于米，且不大于米， ∴， 解得， ∴当时，取得最大值， 答：当时，这个苗圃园的面积有最大值平方米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用及性质，掌握一元二次方程的解法及二次函数的性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·天津河西·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为 ．    (1)的长度是否能有两个不同的值都满足菜园面积为？说明理由． (2)当的长为多少时，围成的菜园面积最大？ 【答案】(1)能，理由见解析 (2)当的长为时，菜园面积最大 【分析】（1）根据矩形的面积列方程，解方程求出x的值即可以解答； （2）设菜园的面积为，列出函数关系式，然后配方找到最大值解题即可． 【详解】（1）设长为，则的长为． 依题意，得 整理得 解得． 由的长不能超过， ∴，解得， 所以的长有两个不同的值满足菜园面积为是正确的． （2）设菜园的面积为 则． 当时，S取最大值． 答：当的长为时，菜园面积最大． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程和关系式是解题的关键． 7．（23-24九年级上·天津河北·期中）某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大，最大值是多少？    【答案】长方形的长为米，宽为米时，长方形的面积最大，最大是平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据矩形的面积列出函数关系式，根据二次函数的性质，求得最值，即可求解． 【详解】解：设米，则米，设长方形的面积为，根据题意得， ∴当时，取得最大值，最大值为平方米， 长方形的长为：米． 答：长方形的长为米，宽为米时，长方形的面积最大，最大是平方米． 实际问题与二次函数—销售问题 1．（23-24九年级上·天津河东·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件列出算式计算即可判断①；设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可判断②；设商场每天的盈利为元，根据题意得出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， 降价8元时，每天售出的件数为：（件），故①正确，符合题意； 设每件衬衫应降价元，则每天多销售件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽快减少库存， ， 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元，故②错误，不符合题意； 设商场每天的盈利为元， 由题意得：， ， 当时，最大为元，故③正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出算式、一元二次方程以及二次函数是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·天津西青·期中）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． (1)填写下表：设每千克水果涨价x元，利润为y元 每件商品涨价 1 2 3 … 售价（元/千克） 51 52 53 … 销量（千克） 490 … (2)求获得的月最大利润y为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)9000 【分析】（1）根据题意填写表格和列代数式即可； （2）根据（1）建立x与y的关系式，利用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：如表所示： 每件商品涨价 1 2 3 … 售价（元/千克） 51 52 53 … 销量（千克） 490 480 470 … （2）解：由（1）得月利润为：， 即， 当时，月利润y最大，最大值为：9000； 答：当涨价20元时，月最大利润为9000元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质． 3．（23-24九年级上·天津东丽·期中）某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价x元，销售利润为y元 (1)求y与x的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围） (2)每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得最大利润？ 【答案】(1) (2)70 【分析】（1）根据利润=每件的利润乘以件数计算即可求出函数解析式； （2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】（1）解：由题意可得： = = （2） ， ∵，开口向下， ∴当时，y有最大值， ∴， ∴每千克水产品定价为70时，该商店每月获得最大利润． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的最值，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键． 4．（23-24九年级上·天津南开·期中）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：（，x为整数）设该商品的日销售利润为w元． 时间：第x（天） 日销售价（元/件） 50 日销售量（件） (1)写出w与x的函数关系式； (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1) (2)该商品在第27天的日销售利润最大，最大日销售利润是1369元 【分析】（1）分和两种情况，利用利润等于每千克的利润乘以销售量列方程即可； （2）根据（1）中的解析式，利用函数的性质分别求出和的函数最大值，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ， ∴； （2）解：当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1369， 当时，， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第27天的日销售利润最大，最大日销售利润是1369元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用及二次函数的性质和一次函数的性质，找出数量关系列函数表达式是解题的关键． 5．（23-24九年级上·天津和平·期中）2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． (1)求该款T恤4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当时，利润最大，最大为5520元 【分析】（1）(1)设4月份到6月份的月平均增长率为x，根据4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件，可列方程，求解即可； （2）设定价为x元，利润为y元，列出函数关系式，找到对称轴根据二次函数的图象和性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：设4月份到6月份销售量的月平均增长率为a， 则， 解得：，（舍去）， 答：4月份到6月份销售量的月平均增长率为． （2）设定价为x元，利润为y元， 则， 对称轴为， ∵销售利润不超过30%， ∴定价不能超过元， ∵，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，利润最大，最大为5520元． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 6．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）某商店以每顶60元的价格新进一批头盔，经市场调研发现，售价定为每顶100元时，每月可售出200顶为配合交管部门“一带（安全带）一盔（头盔）”整治活动，计划将头盔降价出售，经调查发现：每降价4元，每月可多售出40顶，设该商店降价后每个头盔的价格为元，每月销售的头盔数量为y顶． (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该商店销售头盔每月的利润为w元，求w与x之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当x取何值时，每月销售头盔的利润w有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当元，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是9000元 【分析】（1）根据题意直接写出y与x的函数解析式即可； （2）根据总利润=单件利润×销售量列出方程，解方程即可； （3）根据总利润=单件利润×销售量写出函数解析式，利用函数的性质求最值． 【详解】（1）由题意得： ∴y与x的函数关系式为； （2）由题知 ， 与之间的函数关系式为； （3）， ， 抛物线开口向下， 又， 当时，有最大值，最大值为9000． 即当元，每月销售头盔的利润有最大值，最大利润是9000元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$