第24讲 分式方程（三类知识点+六大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第24讲 分式方程（六大题型） 学习目标 1、知道分式方程的概念． 2、会解分式方程． 3、掌握无解、增根等问题． 4、会解分式方程的实际应用. 一、分式方程、根与增根 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的根、增根及检验 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为O，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根． 要点：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 三、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 要点：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练1】解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【解析】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 【即学即练2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是： （1）方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解析】（1）解：方程两边都乘，得 ， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根； （2）解：方程两边都乘，得 ． 解这个方程，得． 经检验是增根，原方程无解． 【即学即练3】已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【解析】解：是分式方程的解， ， 解得：， 故选：C． 【即学即练4】若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解确定参数，用含字母的代数表示出是解题的关键． 根据题意求出方程无解时的值，代入得出的值． 【解析】解：解：去分母得：， 分式方程无解， 则， 故选：A． 【即学即练5】若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【解析】解：方程两边都乘，得 ， 增根为 ． 故选：D． 【即学即练6】若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程有增根的情况下求参数，理解分式方程的增根情况是解题关键．先去分母化简，然后根据题意得出，将其代入方程求解即可． 【解析】解： 方程两边同乘以，得 ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入，得， 故选：B． 【即学即练7】某市生态园计划种植一批梨树，原计划总产量万公斤，现改换梨树品种，改换后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，且种植亩数减少了亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？若设原来平均每亩产量为万公斤，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据更换梨树品种前后平均每亩产量间的关系，可得出改换梨树品种后平均每亩产量为万公斤，利用种植亩数=总产量÷平均每亩产量，结合改换梨树品种后种植亩数减少了10亩，可得出关于x的分式方程，此题得解. 【解析】解：∵改换梨树品种后平均每亩产量是原来的1.5倍，且原来平均每亩产量为x万公斤， ∴改换梨树品种后平均每亩产量为万公斤. 根据题意得： 即： 故选：B． 题型1：分式方程 【典例1】．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 【解析】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程，不符合题意； B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程，不符合题意； C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程，符合题意； D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程，不符合题意； 故选：C． 【典例2】．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】 本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【解析】 解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 【典例3】．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【解析】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 【典例4】． （填“是”或“不是”）方程的解. 【答案】是 【分析】把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可． 【解析】解：把代入方程 左边， 右边 左边=右边 所以是方程的解 故答案为：是 【点睛】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型2：解分式方程 【典例5】．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【解析】解：方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程的解为：． 【典例6】．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法，方程两边乘得，解出方程的解并检验是解题的关键． 【解析】解：原方程可化为， 方程两边同乘， 得， 整理，得，解得． 当时，， ∴是原分式方程的解． 【典例7】．解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式方程的解法； （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】（1）解： 去分母得： 解得： 经检验是原方程的解． （2）解： 去分母得： 解得： 经检验是原方程的解． 【典例8】．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【解析】（1） 方程两边乘， 得， 解得． 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． （2）， 方程两边乘， 得， 解得． 检验：当时，． 因此不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解． 【典例9】．解分式方程． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的步骤是解题的关键．根据移项，去分母，展开得到，系数化为1，最后检验即可． 【解析】解：原方程可变为， 得， 即， ∴， 即， 解得， 检验：当时， ， ∴原方程的解为． 【典例10】．解分式方程，去分母后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，把方程两边同时乘以去分母即可得到答案． 【解析】解： 方程两边同时乘以去分母得， 故选：B． 【典例11】．若代数式和的值互为相反数，则x等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，分式方程的求解，根据相反数定义列式，根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可． 【解析】解：代数式和的值互为相反数， ， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的解， 故选：B． 题型3：根据分式方程的解求值 【典例12】．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可； 【解析】解：， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且，即， 且， 且， 故选：． 【典例13】．如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程有增根求参数问题，根据分式方程有增根得，等式两边同时乘，得，再把代入得，进而可求解，熟练掌握分式方程有增根时的值是解题的关键． 【解析】解：分式方程有增根， ， 等式两边同时乘，得：， 将代入得：， 解得：， 故选A． 【典例14】．已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查解分式方程及一次函数的性质，根据题意得出或或，确定或或，再由一次函数的性质得出，即可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【解析】解：分式方程两边同时乘，得， 整理，得． ∵此分式方程无解， ∴或或， ∴或或． ∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，且， ∴， ∴或， ∴满足条件的m的值之和是． 故选C． 题型4：无解问题 【典例15】．若关于的方程无解，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程根的情况，解题的关键是明确分式方程无解的条件：①去分母后的整式方程无解；②解出的根为增根． 将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可； 【解析】解：将分式方程变为整式方程得：． 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故选A． 【典例16】．关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】 此题考查了分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值；熟练掌握分式方程有增根则无解是解题的关键． 【解析】 解： ∵分式方程无解， 即分式方程有增根； ∴，即； 将代入整式方程得：， 解得， 故选：B． 【典例17】．若关于的方程无解,则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程的解,分式方程无解即最简公分母为0．分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解确定出的值,代入整式方程计算即可求出的值． 【解析】解:∵无解, ∴去分母得:,解得, ∵当时,即,方程无解; ∵由分式方程无解,得,解得:, ∴把代入整式方程得:,解得:, ∴方程无解则的值为或． 故选:D． 题型5：列分式方程 【典例18】．学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米／时，那么满足的分式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，可得比赛时小亮平均速度为千米/时，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟即小时，列出方程即可． 【解析】解：∵比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，小亮训练前的平均速度为x千米/时， ∴比赛时小亮平均速度为千米/时， 根据题意可得， 故选：A． 【典例19】．某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，12h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运可以完成后一半任务，那么下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设单独采用机械装运可以完成后一半任务，由题意列出分式方程即可求解． 【解析】解：根据题意，得， 化简得， 故选：D． 【典例20】．小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线B的平均速度为千米/时，利用时间路程速度，结合走“走路线B比路线A时间节省20分钟”，即可得出关于x的分式方程，找出等量关系是解答本题的关键． 【解析】设走路线A的平均速度为千米/小时，则走路线B的平均速度为千米/时， 由题意得：， 故选：D． 题型6：分式方程的实际应用 【典例21】．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 【答案】篮球的单价为元，排球的单价为元． 【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用元购买的排球个和用元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可． 【解析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意，列方程得： ． 解得：． 经检验，是原方程的根， 当时，． 答：篮球的单价为元，排球的单价为元． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键． 【典例22】．周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍，用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆．求每辆型自行车的价格．甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为 (1)甲同学所列方程中的表示__________，乙同学所列方程中的表示__________． (2)选择甲同学或乙同学的方法解答这个问题． 【答案】(1)型自行车单价是元；单独购买型自行车的辆数是辆 (2)见解析 【分析】（1）根据方程中的等量关系即可求解； （2）根据解分式方程的方法即可求解． 【解析】（1）解：∵用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆， ∴甲同学所列的方程为， ∴表示型自行车单价是元， ∵型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍， ∴乙同学所列的方程为， ∴表示用元单独购买型自行车的辆数是辆， 故答案为：型自行车单价是元；单独购买型自行车的辆数是辆． （2）解：若选择甲同学的：，化简得：， 去分母得：，解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴每辆型自行车的价格是元； 若选择乙同学的：，化简得：， 去分母得：，解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴单独购买型自行车的辆数是辆， ∴， ∴每辆型自行车的价格是元． 【点睛】本题主要考查分式方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握分式方程的运用，解分式方程的方法是解题的关键． 【典例23】．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠米，乙施工队修建米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米． 【答案】米 【分析】设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，根据题意，列出方程，解出方程，即可． 【解析】解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米， （米）， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠米． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用． 【典例24】．近年来，辽宁省以建设“口袋公园”为重点，有效利用城市的边边角角，为市民打造更多的绿地空间和休闲去处，某市政府准备购买甲、乙两种观花树苗，用来美化“口袋公园”，在购买时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． (1)求甲、乙两种树苗的单价各是多少元． (2)现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过元，至少需要购买多少棵乙种树苗？ 【答案】(1)甲树苗的单价是元，乙树苗的单价是元 (2)至少需要购买棵乙树苗 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙树苗的单价是元，则甲树苗的单价是元，由题意：用元购买甲树苗的棵数比用元购买乙树苗的棵数少棵．列出分式方程，解方程即可； （2）设需要购买棵乙树苗，则购买棵甲树苗，由题意：购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解析】（1）设乙树苗的单价是元，则甲树苗的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲树苗的单价是元，乙树苗的单价是元； （2）设需要购买棵乙树苗，则购买棵甲树苗， 由题意得： ， 解得：， 答：至少需要购买棵乙树苗． 【典例25】．君子是我国古代对有德者的美称，梅兰竹菊俗称四君子，因为它们不畏风寒，像堂堂君子一样，所以称它们为四君子．梅花雪中来，箭兰幽谷藏，竹林风中立，明菊飘淡香．为装饰校园，某学校计划购入一批《梅》《兰》《竹》《菊》的国画，已知《梅》和《菊》的价格相同，《兰》和《竹》的价格相同，每幅《梅》比《兰》贵15元，并且用1200元购买《菊》和用900元购买《竹》的数量相同． (1)求每幅《梅》《兰》《竹》《菊》的价格分别为多少元； (2)该学校计划购买《梅》和《兰》共60幅，总费用不超过3120元，那么该学校最多能购买多少幅《梅》？ 【答案】(1)《梅》《菊》的价格为60元每幅，《竹》《兰》的价格为45元每幅 (2)最多能购买28幅《梅》 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设《梅》的价格为元，根据每幅《梅》比《兰》贵15元，并且用1200元购买《菊》和用900元购买《竹》的数量相同，列出分式方程即可； （2）设《梅》购买幅，《兰》购买幅，根据总费用不超过3120元，列出不等式进行求解即可． 【解析】（1）设《梅》的价格为元，则：《兰》的价格为元 由题意，得： 解得：，经检验是原方程的解， ∴， ∴《梅》《菊》的价格为60元每幅，《竹》《兰》的价格为45元每幅． （2）设《梅》购买幅，《兰》购买幅， ， ； ∴最多能购买28幅《梅》． 【典例26】．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等． 数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【解析】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 一、单选题 1．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题可把x=1的值，代入选项中，看选项左右边的值是否相等，若相等，则x=-1是方程的解． 【解析】解：A、当x=1时，x-1=0，分式无意义，故本选项不符合题意； B、当x=1时，x-1=0，分式无意义，故本选项不符合题意； C、当x=1时，左边，右边，则左边右边，故本选项符合题意； D、当x=1时，左边=右边，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的解，可将x的值代入方程，然后观察方程的值是否左边=右边． 2．下列方程：①；②（为常数，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【解析】①分母中含未知数，是分式方程； ②（为常数，且）分母中不含未知数，故不是分式方程； ③分母中不含未知数，故不是分式方程； ④分母中含未知数，是分式方程； ⑤分母中不含未知数，故不是分式方程； 综上，①④是分式方程，共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母． 3．解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（    ） A．方程两边分式的最简公分母是 B．方程两边都乘以，得整式方程 C．解这个整式方程，得 D．原方程的解为 【答案】D 【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：分式方程的最简公分母为（x−1）（x＋1）， 方程两边乘以（x−1）（x＋1），得整式方程2（x−1）＋3（x＋1）＝6， 解得：x＝1， 经检验x＝1是增根，分式方程无解． 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 4．下列说法中，正确的是（    ）. A．解分式方程一定会产生增根 B．方程的根为2 C．方程与方程的根相同 D．代数式与的值不可能相等 【答案】D 【分析】根据分式方程的解的定义、增根的概念进行判断即可． 【解析】A. 整式方程的解不一定都会使分式方程的分母为0，如：的解为x=3，但x=3不是增根，所以分式方程不一定有增根，错误； B. 方程的根为2，分母为0，所以是增根，原方程无解，错误； C. 方程|x|=1的解为x=±1，方程的解为x=1，值不相同，错误； D. 令，解得x=－3(为增根)，原方程无解，故值不可能相等，正确. 故选D. 【点睛】本题考查解分式方程及分式方程的解、增根的定义，熟练掌握分式方程的解法及解、增根的定义是解题的关键. 5．解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程并解方程． 【解析】解：把x=2代入方程2（2x-1）=3（x+a）-1中得：6=6+3a-1， 解得：a=， 正确去分母结果为2（2x-1）=3（x+）-6， 去括号得：4x-2=3x+1-6， 解得：x=-3． 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 6．为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．可列方程是（    ） A．+5＝ B．﹣＝5 C．﹣＝5 D．﹣＝5 【答案】C 【分析】设原计划每天种植树木x万棵，则实际每天种植树木（1+20%）x万棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解析】解：设原计划每天种植树木x万棵，则实际每天种植树木（1+20%）x万棵， 依题意得：-＝5， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7．若关于x的方程有增根，则m的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】先通过去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，求出参数m，即可． 【解析】解：把原方程去分母得：， ∵原分式方程有增根：x=1， ∴，即：m=1， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式方程增根的意义，理解使分式方程的分母为零的根，是分式方程的增根，是解题的关键． 8．若关于x的方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 【答案】C 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解恰好使原分式方程的分母等于0． 【解析】方程去分母得 解得 由题意，分以下两种情况： （1）当，即时，整式方程无解，分式方程无解 （2）当时， 当时，分母为0，分式方程无解，即 解得 综上，a的值为1或2 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确分两种情况讨论是解题关键． 9．关于x的分式方程＝1的解是不小于﹣3的负数，则下列各数中，a可取的一组数是（　　） A．﹣1，1 B．5，6 C．2，3 D．1.5，4 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为不小于﹣3的负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围． 【解析】解：分式方程去分母得：x+1＝2x+a，即x＝1﹣a， 根据分式方程解为不小于﹣3的负数，得到，且1﹣a≠﹣1， 解得且a≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中参数的取值范围，解题的关键是解出方程，表达出关于a的不等式． 10．若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为（    ） A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2 【答案】B 【解析】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5=﹣3x+15，即（a+3）x=10，由分式方程有正整数解，得到x=且x≠5，即a+3=1，5，10，解得：a=﹣2，2，7．综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣4， 故选B． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题 11．方程 的解是 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：， 移项合并得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 12．若分式方程的解是，则 ． 【答案】7 【分析】根据分式方程的解的定义把x＝0代入分式方程得到关于a的方程，然后解一元一次方程即可． 【解析】解：把x＝0代入分式方程得， ∴a＝7． 故答案为7． 【点睛】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边相等的未知数的值叫分式方程的解． 13．若与分式的值互为相反数，x的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得=0，故可求出x． 【解析】根据题意可得=0， ∴x2=16 解得 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是根据相反数的性质列出方程． 14．分式方程若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】取所有分母的系数的最小公倍数及不同因式的最高次幂的乘积最为最简公分母． 【解析】解：在方程两边同乘的最筒公分母是， 故答案为：． 【点睛】此题考查分式的最简公分母的确定方法：取所有分母的系数的最小公倍数及不同因式的最高次幂的乘积，熟记确定方法是解题的关键． 15．代数式与代数式的和为1，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意得到，然后根据分式方程的解法求出x的值，再检验方程的根即可． 【解析】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得, ， 去括号得, ， 移项并合并同类项得, ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴, 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，理解去分母、去括号、移项并合并同类项、未知数系数化1，检验方程的根是解答关键． 16．若方程的解与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】求出第二个分式方程的解，代入第一个方程中计算即可求出a的值． 【解析】解：方程去分母得：3x＝6， 解得：x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解， 根据题意将x＝2代入第一个方程得： 解得：， 经检验是原分式方程的解， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17．某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达科技馆，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求汽车的速度，设汽车的速度是x千米/小时，根据题意列方程 ． 【答案】 【分析】根据汽车的速度是x千米/小时，则自行车的速度是，根据题意，自行车比汽车多走40分钟列方程即可． 【解析】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程得应用，读懂题意，找准等量关系是解本题的关键． 18．已知，，，……，（，且n为正整数）．若，则a的值为 ． 【答案】13 【分析】分别用a表示出再根据列出方程，求出a的值并检验即可． 【解析】解：∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴ 解得，， 经检验，是方程的解， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了分式的运算以及解分式方程，用a表示出是解答本题的关键． 三、解答题 19．解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 【解析】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母得，， 解得， 检验：把代入最简公分母得，， ∴是分式方程的解； （2）解：方程两边同时乘以最简公分母得，， 解得， 检验：把代入最简公分母得，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 20．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】（1）解： 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是增根， ∴原方程无解； （2）解：， 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 21．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】根据分式方程的求解方法，先去分母化成整式方程计算即可； 【解析】（1）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （2）两边同时乘以得， ， 整理得：， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （3）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （4）两边同时乘以得， ， 整理得：， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （5）两边同时乘以得， ， 整理得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （6）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （7）两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； （8）两边同时乘以得， , 解得：， 经检验：， ∴是分式方程的解； 【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键． 22．小丽的妈妈先用元买某件小商品若干件，后来又用元买同样的小商品，这次比上次多件，而且店家给予优惠，每件降价元．请问第一次她买了多少件小商品？ 【答案】10件 【分析】利用两次购买小商品的数量相差20件列方程求解即可．本题考查了分式方程的应用，题目中的等量关系比较明显，比较容易列出方程求解． 【解析】解：设每件小商品的单价为元， 根据题意得：， 解得：或（舍去） 经检验是原方程的根， （件 答：第一次她买了10件小商品 23．小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【答案】这种牛奶原价每瓶是12元 【分析】本题考查分式方程的应用，设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元，根据打折后90元买到比打折前108元还多1瓶的牛奶列方程求解，注意分式方程需要检验． 【解析】解：设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元， 则 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 24．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】m的取值范围为：且． 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数．根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【解析】解：∵， 去分母得：， 解得：， 因为方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴m的取值范围为：且． 25．某村计划对总长为的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为的道路时，甲队比乙队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少m？ (2)若村委每天需付给甲队的道路改造费用为万元，乙队为万元，要使这次的道路改造费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成道路的长度是，乙工程队每天能完成道路的长度是 (2)至少应安排甲队修建10天 【分析】该题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是找出等量关系式和不等量关系式． （1）设乙工程队每天能完成道路的长度是，根据“已知甲队每天能完成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为的道路时，甲队比乙队少用4天”，列分式方程即可求解； （2）设应安排甲队工作天，根据“这次的道路改造费用不超过8万元”列出不等式求解即可； 【解析】（1）解：设乙工程队每天能完成道路的长度是， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 则甲工程队每天能完成道路的长度是． 答：甲工程队每天能完成道路的长度是，乙工程队每天能完成道路的长度是． （2）解：设应安排甲队工作天， 根据题意得：， 解得：． 答：至少应安排甲队修建10天． 26．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【解析】（1）解：， （2）根据题意可得： （3） （4） 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 27．在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察数字的变化规律，利用裂项的思路即可求得结果； （2）利用裂项的思路化简后，解分式方程即可． 本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算，解分式方程，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：依题意， ∵ ∴原方程化简为 去分母，得． 整理，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 28．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【解析】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 分式方程（六大题型） 学习目标 1、知道分式方程的概念． 2、会解分式方程． 3、掌握无解、增根等问题． 4、会解分式方程的实际应用. 一、分式方程、根与增根 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的根、增根及检验 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为O，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根． 要点：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 三、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 要点：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练1】解分式方程： 【即学即练2】解方程： (1)； (2)． 【即学即练3】已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】若分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 【即学即练6】若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【即学即练7】某市生态园计划种植一批梨树，原计划总产量万公斤，现改换梨树品种，改换后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，且种植亩数减少了亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？若设原来平均每亩产量为万公斤，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 题型1：分式方程 【典例1】．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例3】．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【典例4】． （填“是”或“不是”）方程的解. 题型2：解分式方程 【典例5】．解方程：． 【典例6】．解方程：． 【典例7】．解分式方程 (1) (2) 【典例8】．解下列方程： (1) (2) 【典例9】．解分式方程． 【典例10】．解分式方程，去分母后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【典例11】．若代数式和的值互为相反数，则x等于（    ） A．1 B． C．2 D． 题型3：根据分式方程的解求值 【典例12】．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【典例13】．如果关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．1 B．4 C． D． 【典例14】．已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A． B． C． D． 题型4：无解问题 【典例15】．若关于的方程无解，那么的值是（    ） A．4 B． C． D．3 【典例16】．关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B．0 C． D． 【典例17】．若关于的方程无解,则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型5：列分式方程 【典例18】．学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x千米／时，那么满足的分式方程为（    ） A． B． C． D． 【典例19】．某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，12h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运可以完成后一半任务，那么下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例20】．小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型6：分式方程的实际应用 【典例21】．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 【典例22】．周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍，用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆．求每辆型自行车的价格．甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为 (1)甲同学所列方程中的表示__________，乙同学所列方程中的表示__________． (2)选择甲同学或乙同学的方法解答这个问题． 【典例23】．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠米，乙施工队修建米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米． 【典例24】．近年来，辽宁省以建设“口袋公园”为重点，有效利用城市的边边角角，为市民打造更多的绿地空间和休闲去处，某市政府准备购买甲、乙两种观花树苗，用来美化“口袋公园”，在购买时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． (1)求甲、乙两种树苗的单价各是多少元． (2)现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过元，至少需要购买多少棵乙种树苗？ 【典例25】．君子是我国古代对有德者的美称，梅兰竹菊俗称四君子，因为它们不畏风寒，像堂堂君子一样，所以称它们为四君子．梅花雪中来，箭兰幽谷藏，竹林风中立，明菊飘淡香．为装饰校园，某学校计划购入一批《梅》《兰》《竹》《菊》的国画，已知《梅》和《菊》的价格相同，《兰》和《竹》的价格相同，每幅《梅》比《兰》贵15元，并且用1200元购买《菊》和用900元购买《竹》的数量相同． (1)求每幅《梅》《兰》《竹》《菊》的价格分别为多少元； (2)该学校计划购买《梅》和《兰》共60幅，总费用不超过3120元，那么该学校最多能购买多少幅《梅》？ 【典例26】．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 一、单选题 1．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 2．下列方程：①；②（为常数，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（    ） A．方程两边分式的最简公分母是 B．方程两边都乘以，得整式方程 C．解这个整式方程，得 D．原方程的解为 4．下列说法中，正确的是（    ）. A．解分式方程一定会产生增根 B．方程的根为2 C．方程与方程的根相同 D．代数式与的值不可能相等 5．解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（    ） A． B． C． D． 6．为美化城市环境，计划种植树木10万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天种植树木x万棵．可列方程是（    ） A．+5＝ B．﹣＝5 C．﹣＝5 D．﹣＝5 7．若关于x的方程有增根，则m的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 8．若关于x的方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 9．关于x的分式方程＝1的解是不小于﹣3的负数，则下列各数中，a可取的一组数是（　　） A．﹣1，1 B．5，6 C．2，3 D．1.5，4 10．若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为（    ） A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2 二、填空题 11．方程 的解是 ． 12．若分式方程的解是，则 ． 13．若与分式的值互为相反数，x的值为 ． 14．分式方程若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是 ． 15．代数式与代数式的和为1，则 ． 16．若方程的解与方程的解相同，则 ． 17．某中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达科技馆，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求汽车的速度，设汽车的速度是x千米/小时，根据题意列方程 ． 18．已知，，，……，（，且n为正整数）．若，则a的值为 ． 三、解答题 19．解分式方程 (1)； (2)． 20．解分式方程： (1)； (2)． 21．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 22．小丽的妈妈先用元买某件小商品若干件，后来又用元买同样的小商品，这次比上次多件，而且店家给予优惠，每件降价元．请问第一次她买了多少件小商品？ 23．小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 24．若关于x的方程的解为正数，求m的取值范围． 25．某村计划对总长为的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为的道路时，甲队比乙队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少m？ (2)若村委每天需付给甲队的道路改造费用为万元，乙队为万元，要使这次的道路改造费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 26．观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 27．在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 28．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$