2024-2025学年苏科版八年级数学上学期期中模拟试卷 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

2024-2025学年苏科版八年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）全等图形是指两个图形（    ） A．面积相同 B．形状相同 C．周长相等 D．能够完全重合 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知，的周长为，若，，的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 3．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．1，4，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．4，5，6 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）等腰三角形的周长为，若一边长为，则底边为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 6．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（    ）个      A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）有下列说法：（1）线段是轴对称图形；（2）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；（3）成轴对称的两个图形一定全等；（4）轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 9．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，点B、C、D共线，，则的长是（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（八年级上·江苏无锡·期中）“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有 个. 12．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，，若，则的长为 ． 13．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形的长和宽分别、，、分别是两边上的点，将四边形沿直线折叠，使点落在点处，则图中阴影部分的周长为 ． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，则是 三角形；若，，，则的长为 ． 15．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点D为内一点，平分，，．若，则的长为 ． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，D是边的中点，，则 ．（填“”、“”或“”） 17．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有 种不同的涂法． 18．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，，则的度数为 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)的面积为__________． (3)在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使的长最短． 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接．    (1)求证：； (2)求的度数． 21．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 22．（21-22八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 23．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，小正方形网格的边长为1，请在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留画图痕迹） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使值最小；（要求在直线上标出点P的位置） (3)的面积为______． 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版八年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）全等图形是指两个图形（    ） A．面积相同 B．形状相同 C．周长相等 D．能够完全重合 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】根据全等图形是能够完全重合的两个图形可得答案． 【详解】解：全等图形是指两个图形能够完全重合， 故选：D． 【点睛】本题考查全等图形的概念，理解概念是解答的关键． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知，的周长为，若，，的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得的长，从而可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为，若， ∴． 故选：B． 3．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（    ） A．1，4，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形，否则不是． 【详解】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意； B． ，不可以构成三角形，更不可能构成直角三角形，故B选项不符合题意； C．，可以构成直角三角形，故C选项符合题意； D． ，不可以构成直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）等腰三角形的周长为，若一边长为，则底边为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形三边的关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分底为和腰为两种情况分别求出第三边，再结合三角形三边关系判断即可解答． 【详解】解：当底为时，腰为，时三边为：，，符合三角形的三边关系； 当腰为时，底为，此时三边为：，，符合三角形三边关系； 综上，底边为或． 故选：C． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：B． 6．（20-21八年级上·江苏苏州·期中）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（    ）个      A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【知识点】画轴对称图形 【分析】根据轴对称的定义画出图形即可，注意不要漏画图形． 【详解】如图，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）有下列说法：（1）线段是轴对称图形；（2）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；（3）成轴对称的两个图形一定全等；（4）轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称图形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，根据全等三角形的性质，轴对称图形的性质即可一一判断 【详解】解：①线段是轴对称图形，正确； ②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，正确； ③成轴对称的两个图形一定全等，正确； ④轴对称图形的对称点一定在对称轴的两侧，错误，有可能在对称轴上． 故选：C． 8．（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 【答案】B 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺， 故选：B． 9．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此即可逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，本选项符合题意； B. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 10．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，点B、C、D共线，，则的长是（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，利用证明是解题的关键． 先证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（八年级上·江苏无锡·期中）“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有 个. 【答案】3 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】由轴对称图形的定义“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形”可知，线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，而直角三角形不一定是轴对称图形，所以上述四个图形中一定是轴对称图形的有3个. 12．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）如图，，若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：4 13．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形的长和宽分别、，、分别是两边上的点，将四边形沿直线折叠，使点落在点处，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】16 【知识点】折叠问题 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质．根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为，进而求出即可． 【详解】解：∵将四边形沿直线折叠，使点A落在点处， ∴， ∴图中阴影部分的周长为：， ∵长方形的长和宽分别为、， ∴图中阴影部分的周长为：， 故答案为：16． 14．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，，则是 三角形；若，，，则的长为 ． 【答案】 等边 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】设交于点，则，证明是等边三角形，则有，在上截取，连接，所以是等边三角形，根据性质得，，则，然后证明，再根据全等三角形的性质和线段和差即可求解． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：等边，． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知点D为内一点，平分，，．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，勾股定理，延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ， ， ， ， 平分， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，D是边的中点，，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的性质、三角形三边间的关系，证明是本题的关键． 延长到H，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到H，使得，连接，． ∵D是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有 种不同的涂法． 【答案】4 【知识点】设计轴对称图案 【分析】利用网格根据轴对称的性质即可解决问题． 【详解】如图所示： 一共有4种不同的涂法． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 18．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要是考查了三角形内角和、垂直平分线以及等腰三角形的性质，熟练应用三角形内角和与等腰三角形的性质求解角的度数，利用垂直平分线证边相等，是解决本题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)的面积为__________． (3)在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使的长最短． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【知识点】画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题)、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）先作出点B、C关于直线l对称的点、，然后再顺次连接即可； （2）利用割补法求值三角形的面积即可； （3）连接，交l于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：． 故答案为：． （3）解：连接，交l于P，点P即为所求． 连接，根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、在同一直线上时，最小，即最小． 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由余角的性质得到，根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）根据全等三角形的性质得：，根据余角的性质得到，进而得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：、 ， ， ， 在和中 ； （2）由（1）得， ，， , , , 即， 又， 是等腰直角三角形， ． 21．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ，，， 故答案为：，，； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）设边上的高为， 的面积， ， ， 故答案为： 22．（21-22八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 23．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂直平分，垂直平分，可得，由的周长为，可得，根据，求解作答即可； （2）由，可求，由，可得，则，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 24．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，小正方形网格的边长为1，请在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留画图痕迹） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使值最小；（要求在直线上标出点P的位置） (3)的面积为______． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、面积问题(轴对称综合题) 【分析】（1）利用关于直线对称的性质，分别得出对应点，连接即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接交直线于点P，即可得答案； （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图，作对应点，连接，即为所求； （2）如（1）图，连接交直线于点P，点P即为所求； （3）， ． 【点睛】本题考查作图一轴对称变换，三角形的面积，最短路线问题，解题的关键是正确得出对应点位置． 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 【答案】（1）见解析（2）和仍然全等，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接， 可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）证明：是的中线， ， 分别是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：和仍然全等，理由如下： 延长至，使，连接，延长至，使，连接， 和分别是和的和边上的中线， ，． 在和中， ， ， ，， 同理，， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 又，， ∴． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$