2024-2025学年人教版八年级数学上学期期中模拟试卷 测试范围：三角形、全等三角形、轴对称 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

2024-2025学年人教版八年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：三角形、全等三角形、轴对称 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·全国·期中）若一个多边形的外角和是它的内角和的，则这个多边形是（   ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 2．（23-24八年级上·四川泸州·期中）已知点与点关于轴对称，则的值为（　　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 4．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（      ） A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，11 D．2，3，6 5．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 9．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（23-24八年级上·湖北·期中）m边形没有对角线，n边形有14条对角线，则 ． 12．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，平分，交于点D．已知，则的面积为 ． 13．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图，， ， 则 ． 14．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，四边形沿直线对折后互相重合，如果，下列结论中正确的是 ．（把你认为正确的结论的序号都填上） ①；②；③；④． 15．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是 ． 16．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则 ． 17．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ． 18．（23-24八年级上·全国·期中）综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，在中，，．　　　 （1）如图①，若，则 °； （2）小聪同学把图①中的直线a向上平移得到图②，则 °； （3）如图③，若，则 °． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图中的条件直接写出、的值． 20．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是中线，于，于，若，，求的值．    21．（23-24八年级上·全国·期中）小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中是一个角()等于的直角三角板，是一个角（）等于的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段上，与相交于点F，且． (1)判断，的位置关系，并说明理由； (2)直接写出图中等于的角． 22．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 23．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 24．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，是的外角，， (1)用直尺和圆规作的中垂线（要求保留作图痕迹）； (2)求证： 证明：∵ ∴（_______） （_______） 而已知 ∴ ∴（_______） 25．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 26．（23-24八年级上·全国·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级初中数学上学期期中模拟试卷 测试范围：三角形、全等三角形、轴对称 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分（选择题）和（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·全国·期中）若一个多边形的外角和是它的内角和的，则这个多边形是（   ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】D 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可．本题考查的是多边形的内角与外角，掌握边形的内角和为、外角和是是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形边数是， 则， 解得． 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川泸州·期中）已知点与点关于轴对称，则的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到，，再带入求值即可． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）    A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 4．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（      ） A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，11 D．2，3，6 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据任意两边之和大于第三边逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故4，6，10不能组成三角形，不符合题意； B、，故3，6，7能组成三角形，符合题意； C、，故5，6，11不能组成三角形，不符合题意； D、，故2，3，6不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故选：D． 7．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ，，， 故①③正确； ∴ ∴ 故④正确， 无法证明，故②错误， 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 8．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，为角平分线，，则线段的长为（   ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 在上截取，连接，证明，再证明即可求解． 【详解】在上截取，连接，如图 ∵为角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴，，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 9．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形有关的线段，根据三角形的高和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：B． 10．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图：    在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（23-24八年级上·湖北·期中）m边形没有对角线，n边形有14条对角线，则 ． 【答案】10 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握对角线的求法是解题的关键．三角形没有对角线，七边形的对角线有14条，故，即可求得的值． 【详解】解：根据题意，得 ∴， ∴． 故答案为：10 12．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，平分，交于点D．已知，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图，， ， 则 ． 【答案】5 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 14．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，四边形沿直线对折后互相重合，如果，下列结论中正确的是 ．（把你认为正确的结论的序号都填上） ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形沿直线对折后互相重合， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴； 综上：正确的是①③④． 15．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与轴对称，由题意可得，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2．设横坐标为，则，解得，即可求出答案． 【详解】解：点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2， 设横坐标为，则， 解得， ∴点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则 ． 【答案】1 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高之比． 因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：如图，点是的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为：1． 17．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·全国·期中）综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，在中，，．　　　 （1）如图①，若，则 °； （2）小聪同学把图①中的直线a向上平移得到图②，则 °； （3）如图③，若，则 °． 【答案】 132 120 40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角性质等； （1）由平行线的性质得，即可求解； （2）同理可求，由三角形外角性质得，即可求解； （3）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由得，即可求解； 能熟练利用平行线的判定及性质求角度数是解题的关键． 【详解】解：（1），， ， ， ； 故答案为：； （2）由（1）得， 同理可求：， ， ； 故答案为：； （3）如图，过作， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案为：． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图中的条件直接写出、的值． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称图形的性质：对应角相等，对应线段相等,多边形内角和；由此性质即可求解． 【详解】解：由于四边形与四边形关于某直线对称， 则，， ， ； 故． 20．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是中线，于，于，若，，求的值．    【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】由题意，中，为中线，可知和的面积相等；利用面积相等，问题可求． 【详解】中，为中线， ， ． 于，于，，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中线性质，关键在于利用中线把三角形的面积分成相等的两部分进行知识解答．属于基础题． 21．（23-24八年级上·全国·期中）小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中是一个角()等于的直角三角板，是一个角（）等于的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段上，与相交于点F，且． (1)判断，的位置关系，并说明理由； (2)直接写出图中等于的角． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，，． 【知识点】内错角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，三角形内角和定理等； （1）由三角形内角和定理得，由内错角相等，两直线平行即可得证； （2）由邻补角的定义及对顶角的性质得，由平行线的性质得，由角的和差即可求解； 掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； 理由如下： ，， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 故图中等于的角有，，． 22．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论； （2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为 23．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连接各点即可求解； （2）根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标； （3）根据对称求最短路径的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴，，，如图所示，连接，    ∴即为所求图形． （2）解：由（1）可知，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴，，． （3）解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点， ∴根据对称可得，， ∴， ∵点两点之间线段最短， ∴最短，即的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求点的位置． 24．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，是的外角，， (1)用直尺和圆规作的中垂线（要求保留作图痕迹）； (2)求证： 证明：∵ ∴（_______） （_______） 而已知 ∴ ∴（_______） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、作垂线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别以、为圆心，大于为半径画弧，交点、两点，作直线，即为所求； （2）根据平行线的性质结合等角对等边即可得证． 【详解】（1）解：如图：的中垂线即为所作， ； （2）证明：∵ ∴（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 而已知 ∴ ∴（等角对等边）． 25．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析 【知识点】坐标与图形、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【详解】（1）如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． （3）结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 26．（23-24八年级上·全国·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：结论仍然成立，理由见解析；[结论运用]：210海里． 【知识点】与方向角有关的计算题、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ，，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ，，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$