第04讲 圆与方程（九大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第04讲 圆与方程 一、圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 注：当时，方程表示一个点； 当时，方程没有意义，不表示任何图形． 二、直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 相离 相切 相交 三、圆与圆位置关系的两种判断方法 （1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）． 图示 d与的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 （2）代数法：设圆①，圆②， 联立①②， 如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交． 四、两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆①，圆②， 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得③． 方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程． 重难点01求圆的方程 【解题必备】确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 例1．已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 例2．求适合下列条件的圆的方程. (1)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 【跟踪练习】 练习1．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 练习2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 练习3．过点且圆心在直线上的圆的一般方程为 ． 练习4．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)已知、，以线段AB为直径． (2)过点，，． 重难点02直线与圆的位置关系 【解题必备】判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 例3．在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（    ） A． B． C． D． 例4．若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 练习2．已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 练习3．（多选）已知直线与曲线有公共点，则整数k的取值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习4．若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 重难点03圆与圆的位置关系 【解题必备】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 例5．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 例6．已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 练习3．（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 练习4．已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 重难点04弦长问题 【解题必备】由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 例7．直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 例8．在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【跟踪练习】 练习1．已知圆截直线所得的弦长为，则 ． 练习2．已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 练习3．小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 练习4．已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点， (1)当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心. (2)当时，求直线的方程. 重难点05公共弦问题 【解题必备】两圆相减先得到公共弦的方程，然后在一个圆内进行求弦长 例9．设圆和圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．6 D． 例10．已知圆和圆交于两点，则 . 【跟踪练习】 练习1．圆与圆的公共弦长的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 练习2．（多选）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 练习3．（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 练习4．过直线上任一点P作直线PA，PB与圆相切，A，B为切点，则的最小值为 ． 重难点06切线问题与公切线问题 【解题必备】求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 例11．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 例12．过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．圆与圆的公切线长为 . 练习2．已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 . 练习3．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 练习4．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 重难点07与圆有关的轨迹问题 【解题必备】求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简． （2）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程． 例13．已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例14．已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知为定点，且，下列条件中能满足动点的轨迹为圆的有（    ） A． B． C． D． 练习2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 练习3．已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 练习4．已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 重难点08与圆有关的范围与最值问题 例15．已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 例16．已知点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，与圆切于点，则的最小值是 ． 【跟踪练习】 练习1．已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 练习2．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习3．实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．（多选）已知实数，满足，则（   ） A．当时，的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是1 重难点09直线与圆的新定义问题 例17．（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为12 B．的最大值为72 C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分 例18．一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 . 【跟踪练习】 练习1．（多选）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．面积的最大值为 C．点到直线距离的最大值为 D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 练习2．在平面直角坐标系中，点，，定义为点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点，则、两点之间的距离最小时，其极距为 . 练习3．在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. (1)已知，，求； (2)已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 练习4．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第04讲 圆与方程 一、圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程 圆心 半径 注：当时，方程表示一个点； 当时，方程没有意义，不表示任何图形． 二、直线与圆的位置关系的判断方法 判断方法 几何法 由圆心到直线的距离与半径长的大小关系来判断 代数法 联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 相离 相切 相交 三、圆与圆位置关系的两种判断方法 （1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长的关系来判断（如下图，其中）． 图示 d与的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 （2）代数法：设圆①，圆②， 联立①②， 如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交． 四、两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆①，圆②， 若两圆相交，则有一条公共弦，由，得③． 方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程． 重难点01求圆的方程 【解题必备】确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 例1．已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 例2．求适合下列条件的圆的方程. (1)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点，在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为； （2）设的外接圆为， 将，，代入可得： ，解得， 所以的外接圆为. 【跟踪练习】 练习1．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 练习2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B 练习3．过点且圆心在直线上的圆的一般方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的一般方程为，则圆心为， 依题意得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为： 练习4．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)已知、，以线段AB为直径． (2)过点，，． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点、， 所以线段AB的中点坐标为，即，所以圆心为， ，即半径为， 所以圆的标准方程为． （2）设圆M的一般方程为， 将A、B、C三点坐标代入圆M的一般方程得，解得， 所以圆M的一般方程为，圆M的标准方程为. 重难点02直线与圆的位置关系 【解题必备】判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 例3．在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立，可得，解得, 当，则方程组无解，即直线与圆无交点，故BC错误. 化为标准方程为, 其圆心为，半径为. 由选项可得，将化为斜截式可得. 对于A，圆心在第一象限，则，解得. 由原点在圆外，可得，故. 由直线方程可得，矛盾，故A错误. 对于D，圆心在第二象限，则，解得. 由原点在圆外，可得，故， 由直线方程可得，故D正确. 故选:D. 例4．若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线是圆的上半部分，当直线与曲线相切时，由2，得或（舍去）．结合图象可知，又， 所以． 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 【答案】C 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即， 而圆的圆心为，半径为， 于是得圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆相切. 故选：C 练习2．已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径为， 由直线与圆相切，得，而，解得， 所以“”是“直线l与圆C相切”的充要条件. 故选：C 练习3．（多选）已知直线与曲线有公共点，则整数k的取值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【详解】曲线可化为， 即， 当时，曲线C是以为圆心， 为半径的圆在y轴及y轴右侧的部分，直线， 则当直线l与曲线C相切时，有， 解得或（舍去）； 当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴左侧的部分， 直线，则当直线l与曲线C相切时，有， 解得或（舍去）．综上，若直线l与曲线C有公共点，则． 故选：BCD． 练习4．若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离， 化简得，解得. 又，则或1或2. 即的一个取值是. 故答案为：（填或填也正确） 重难点03圆与圆的位置关系 【解题必备】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 例5．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 例6．已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则点P在圆上， 又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)， 两圆半径分别为2、1， 所以， 所以. 故选：A． 【跟踪练习】 练习1．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 练习2．圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 练习3．（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 练习4．已知圆和圆内切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆化为标准方程为，圆心，半径， 圆化为标准方程为，圆心，半径， 由两圆外切，有，即，解得. 故答案为： 重难点04弦长问题 【解题必备】由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 例7．直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 所以. 故选：B. 例8．在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】，化为一般式，即，直线上有且仅有一点， 使，则圆心到直线的距离,即， 圆心. . 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．已知圆截直线所得的弦长为，则 ． 【答案】 【详解】由题知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，故， 得． 故答案为：. 练习2．已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，则， 所以的面积，解得. 又，所以，化简，得，解得. 故选：A. 练习3．小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【答案】 【详解】设圆的半径为，则，解得， ，， 所以当水面上涨4米后， 桥在水面的跨度为米． 故答案为：． 练习4．已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点， (1)当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心. (2)当时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）由已知，故，所以直线的方程为. 将圆心代入方程易知过圆心. （2）因为，圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线与轴垂直时，易知符合题意； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即， 所以，解得， 所以直线的方程为，即； 综上：直线的方程为或. 重难点05公共弦问题 【解题必备】两圆相减先得到公共弦的方程，然后在一个圆内进行求弦长 例9．设圆和圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】解：因为圆和圆交于A，B两点， 所以直线的方程为，所以到直线的距离， 所以，又， 所以. 故选：C. 例10．已知圆和圆交于两点，则 . 【答案】 【详解】将圆和圆的方程作差得. 圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．圆与圆的公共弦长的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由，得，圆心，半径； 由，得，圆心，半径， 所以两圆圆心均在直线上，半径分别为1和，    如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2. 故选：D. 练习2．（多选）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（    ） A．10 B．2 C． D． 【答案】BD 【详解】由题意可得弦所在的直线方程为， 因为圆，圆心， 圆，圆心， 设圆心与圆心到直线的距离分别为， 因为，即， 所以，又， 即，化简可得， 即，解得或. 故选：BD 练习3．（多选）已知圆与圆，下列说法正确的是（    ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 【答案】BC 【详解】由已知得圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，，故两圆相交， 所以与的公切线恰有2条，故A错误； 两圆方程相减可得与相交弦的方程为，故B正确； 所以到相交弦的距离为， 所以相交弦的弦长为，故C正确； 若，分别是圆，上的动点， 当，，，四点共线且，在，之间时， ，故D错误. 故选：BC. 练习4．过直线上任一点P作直线PA，PB与圆相切，A，B为切点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 由已知可得，圆心，半径. 因为为切线，所以， 所以，四点共圆，过圆心， 所以，是圆与圆的公共弦，所以， 且. 设四边形面积为，则. 又， 所以，. 显然，当增大时，也增大， 所以，当最小时，有最小值. 当时，最小，，此时. 故答案为：. 重难点06切线问题与公切线问题 【解题必备】求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 例11．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，圆心坐标为，可知AB错误； 设圆心半径为，且圆心到轴的距离为， 则由圆与轴相切可得， 故圆的方程为：. 故选：C. 例12．过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 【跟踪练习】 练习1．圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    练习2．已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 . 【答案】或 【详解】圆的圆心为，设关于直线对称点为， 则解得， 圆的方程为，圆心为，半径， 若公切线的斜率不存在，圆心到直线的距离，符合题意； 若公切线的斜率存在，设直线与圆系中的所有圆都相切，则， 即， 直线与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的值都成立， 所以有，解得， 所以所表示的一系列圆的公切线方程为. 综上可得所表示的一系列圆的公切线方程为或. 故答案为：或 练习3．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 练习4．已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是 【答案】或． 【详解】圆，则圆心为，半径， 设两切点为，则，因为，在中，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或．    重难点07与圆有关的轨迹问题 【解题必备】求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简． （2）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程． 例13．已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 因为，与圆相切， 所以，，，， 又， 所以四边形为正方形， 所以，则， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 故选：A． 例14．已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1 (2)x2＋y2－x－y－1＝0 【详解】（1）设线段AP的中点为M(x，y). 由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y). ∵ A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，∴ 圆O的方程为x2＋y2＝4.又点P在圆O上，∴ (2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. （2）设线段PQ的中点为N(x，y). 在Rt△PBQ中，PN＝BN，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴ OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴ x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0. ∴ 线段PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知为定点，且，下列条件中能满足动点的轨迹为圆的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】如图所示，以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，    设，则. A项，若，则， 整理得， 以代，以代，方程不变， 故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点， 令，得；令，得； 所以该轨迹不是圆，故A错误； B项，由，得， 即， 整理得，即， 所以点的轨迹是表示以为圆心，为半径的圆，故B正确； C项，若，则， 即，所以点的轨迹为圆，故C正确； D项，因为，所以， 即，所以点的轨迹为直线，故D错误. 故选：BC. 练习2．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意可得，化简得， 即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由：（），可得， 故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线， 故两圆外切，即有，即. 故选：D. 练习3．已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 【答案】 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，. 练习4．已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 重难点08与圆有关的范围与最值问题 例15．已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得， 由，得，设 ，则， 即，因此点C的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，即有，则代入， 整理得： ，即C轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 点与圆上点连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为. 故选：B    【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解. 例16．已知点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，与圆切于点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】由题意可得、，， 设，则，则， 由可得圆心为，半径为， 则，又， 则， 则. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】圆，圆心，半径为3，如图，   为弦的中点，， 共线时等号成立， . 故选:D. 练习2．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示. 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 练习3．实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径为， 又由，所以表示圆上的点与点连线的斜率， 当过点与圆相切时，此时取得最值，如图所示， 设，可得，令， 整理得，解得或， 结合图象，可得的取值范围是. 故选：C. 练习4．（多选）已知实数，满足，则（   ） A．当时，的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是1 【答案】BCD 【详解】由，得．该方程表示圆心为，半径的圆． 设，则表示圆上的点（除去点和）与原点连线的斜率， 由，则，解得或， 所以（可以为）， 即当时，无最小值，的最大值是，故A错误，B正确； 设，则，表示当直线与圆有公共点时直线在轴上的截距， 则，解得，即的最小值是，故C正确； 因为表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在轴上， 所以当，时，取得最小值，且最小值为，故D正确． 故选：BCD 重难点09直线与圆的新定义问题 例17．（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为12 B．的最大值为72 C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分 【答案】ABD 【详解】对于A，设点，由，得， 化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆， 所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，设线段AB的中点为N，， 当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确； 对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误； 对于D，由，，有，当点M不在x轴上时， 由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确． 故选：ABD． 例18．一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为 . 【答案】/ 【详解】曲线上任一点对应的切线方程为， 将其整理为关于的方程为. 由题意知，一个解对应一条切线，即关于的方程仅有一解， 所以，整理，得， 即曲线的方程为， 故上的点到直线的最小距离为. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．（多选）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．面积的最大值为 C．点到直线距离的最大值为 D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为 【答案】ABD 【详解】由题意，设点， 又， 所以， 化简可得， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确； 又点满足， 所以，B选项正确； 点到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误； 由D选项可知圆与圆有公共点，所以， 且， 即， 所以，D选项正确； 故选：ABD. 练习2．在平面直角坐标系中，点，，定义为点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点，则、两点之间的距离最小时，其极距为 . 【答案】/0.8 【详解】 如上图所示，在平面直角坐标系中，、，作出直角三角形，则由极距的定义可知，就是直角三角形中较小的直角边的大小. 因为点是直线：上的动点，是圆：上的动点，要使得最小，则，最小，此时，设直线交轴于点，交轴于点，因为直线的斜率为，则.如下图所示， 过点作平行于轴，过点作平行于轴，则，所以，在直角三角形中，，两点之间的极距即为. 设，则，所以，解得，即，两点之间最小的极距为. 故答案为： 练习3．在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. (1)已知，，求； (2)已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 【答案】(1)4 (2)（i）（ii） 【详解】（1）. （2）（i）直线与轴的交点，与轴的交点，设直线上任意一点，. 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段上时，，， 则. 因为，， 所以. 综上，当点与点重合时,坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为. （ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示. 过作直线的垂线，垂足为，则， 所以. 当取最小值时，取得最小值. 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为， 当且仅当与重合时，取到最小值. 易知， 所以的最小值为， 即的最小值为. 练习4．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意，不妨设， 则M，N两点的“曼哈顿距离”为， 所以，当且仅当等号成立， 即当且仅当，即， 综上所述，M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$