第03讲 直线方程与距离公式（九大重难点）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第03讲 直线方程与距离公式 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 二、直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 三、两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 四、距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 五、对称问题 （1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为； （2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则． 重难点01直线的倾斜角与斜率 【解题必备】（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 例1．在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例2．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．若经过，两点的直线的倾斜角是，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 练习2．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 练习3．经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 练习4．已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点02过定点的直线与线段相交问题 【解题必备】求形如的最值，利用的几何意义：连接定点与动点的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程． 例3．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 练习2．若直线与连接的线段总有公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 练习4．已知，，. (1)求直线和的斜率； (2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围. 重难点03求直线的方程 【解题必备】一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程；②已知两点坐标，选择两点式方程； ③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程；④已知两轴截距，选择截距式方程 例5．直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 例6．求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【跟踪练习】 练习1．已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点，则直线的一般式方程为 . 练习2．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 练习3．（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 练习4．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： (1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程. (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程. 重难点04直线过定点问题 【解题必备】若直线方程含参数，将其化成: 的形式，则方程组的解就是直线所过定点 例7．直线经过的定点坐标为 . 例8．已知点到动直线的投影点为Q，若点，则的最大值是 ． 【跟踪练习】 练习1．若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．5 练习2．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 练习3．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 练习4．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 重难点05两条直线的平行与垂直问题 【解题必备】（1）已知直线与直线, 则①,且；②. （2）已知直线,直线, 则①且(或)； ②. 例9．已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例10．直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪练习】 练习1．过,两点的直线与过、两点的直线垂直，则 . 练习2．已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 练习3．在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求经过点A且与直线BC平行的直线方程； (2)在中，求BC边上的高线所在的直线方程． 练习4．（多选）已知，，直线：，：，且，则（    ） A． B． C． D． 重难点06直线与坐标轴围成的面积问题 【解题必备】由于直线与轴、轴围成的是一个直角三角形,故求出直线在两坐标轴上的截距的绝对值，即可用三角形的面积公式求解 例11．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 例12．直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 练习2．（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 练习4．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是（ ）． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 重难点07距离公式的应用 例13．等腰直角三角形中，，若点的坐标分别为，，则点的坐标可能是（    ） A．或 B．或 C． D． 例14．已知直线l经过点，且平行于向量. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 【跟踪练习】 练习1．若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 练习2．已知定点，若直线上总存在点，满足条件，则实数的取值范围为 ． 练习3．已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点． (1)求直线的方程： (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离． 练习4．已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 重难点08对称问题 【解题必备】（1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 例15．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是 ． 例16．一条经过点且沿直线传播的光线被轴反射后经过点，求反射光线所在直线的一般式方程及入射点的坐标. 【跟踪练习】 练习1．直线关于点对称的直线方程为 ． 练习2．直线关于直线对称的直线方程是 . 练习3．已知，，直线. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于直线对称的直线方程. 练习4．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ． 重难点09线段和差最值问题 例17．代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 例18．著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【跟踪练习】 练习1．已知，点在直线，圆：，则最小值是 . 练习2．已知，求的最小值． 练习3．已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 练习4．（多选）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 第03讲 直线方程与距离公式 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 二、直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 三、两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 四、距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 五、对称问题 （1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为； （2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则． 重难点01直线的倾斜角与斜率 【解题必备】（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：； （2）解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 例1．在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，直线经过点， 则直线的斜率为, 故直线的倾斜角为. 故选：D. 例2．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得直线斜率为，即其倾斜角（）满足，可得， 所以直线的倾斜角， 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．若经过，两点的直线的倾斜角是，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 练习2．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 【答案】/ 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 练习3．经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【详解】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 练习4．已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为， 故选：B. 重难点02过定点的直线与线段相交问题 【解题必备】求形如的最值，利用的几何意义：连接定点与动点的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程． 例3．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 例4．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 由题意得，直线的斜率一定存在， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 又直线的斜率，所以， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【跟踪练习】 练习1．已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， ， 因为直线过点且与射线相交， 由图可知，所以直线的斜率或. 故选：D. 练习2．若直线与连接的线段总有公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线可得直线的斜率为，且过定点，又， 则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或， 又， 或. 故选：B. 练习3．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 【答案】 【详解】 如图，，，， 则，. 因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率， 由图象可知，， 所以有. 故答案为：. 练习4．已知，，. (1)求直线和的斜率； (2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由斜率公式可得直线的斜率， 直线的斜率. （2）如图所示，当点在AB上运动时，，，直线的斜率由负无穷增大到，由增大到正无穷大，所以直线的斜率的变化范围是. 重难点03求直线的方程 【解题必备】一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程；②已知两点坐标，选择两点式方程； ③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程；④已知两轴截距，选择截距式方程 例5．直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【详解】设, 因为点P恰为AB的中点，则，， 所以，即A，B两点的坐标分别为, 由截距式得直线l的方程为，即. 故答案为：. 例6．求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点，且斜率为； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. （2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 【跟踪练习】 练习1．已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【详解】因为，且，则， 所以直线的斜率为， 又因为直线经过点，则直线的方程为， 所以直线的一般式方程为或. 故答案为：或. 练习2．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为. 故选：A 练习3．（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）因为， 所以线段的中点为， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为， 故所求直线方程为，即； ②当直线不过原点时， 由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为， 所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 练习4．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： (1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程. (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程. 【答案】(1)x+5y﹣15＝0 (2)4x﹣3y+5＝0 【详解】（1）因为，则的中点， 因为的边上的中线过点， 所以的方程为，即， 故的边上的中线所在的直线方程为； （2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为， 因为，所以， 又直线经过点，故所求直线方程为，即4x﹣3y+5＝0； 重难点04直线过定点问题 【解题必备】若直线方程含参数，将其化成: 的形式，则方程组的解就是直线所过定点 例7．直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【详解】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 例8．已知点到动直线的投影点为Q，若点，则的最大值是 ． 【答案】6 【详解】变形为， 令，解得， 故恒过点， 设点，则⊥， 即， 整理得， 所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又，即在圆外， 则的最大值为. 故答案为：6 【跟踪练习】 练习1．若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】 因为直线过点，所以， 由和都是正实数，所以，，． 所以， 当时取等号，即，时取等号， 所以的最小值是. 故选:B． 练习2．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 练习3．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 练习4．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】容易知道动直线过定点为， 由可得，所过定点为， 由可知两条动直线互相垂直，即，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A 重难点05两条直线的平行与垂直问题 【解题必备】（1）已知直线与直线, 则①,且；②. （2）已知直线,直线, 则①且(或)； ②. 例9．已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例10．直线：，直线：，则直线是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，由，可得，若，即， 则需，即，即可得时，，故不是的充分条件； 若，则，，此时，故， 综上，直线是的必要不充分条件. 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．过,两点的直线与过、两点的直线垂直，则 . 【答案】0或5 【详解】两直线的方向向量分别为、， 故，解得或， 当时，,，、符合题意； 当时，,，、符合题意. 综上可知，或. 故答案为：或. 练习2．已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. （2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 练习3．在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求经过点A且与直线BC平行的直线方程； (2)在中，求BC边上的高线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由的三个顶点的坐标分别为，，， 可得直线的斜率， 所以过点且与直线平行的直线方程为，即. （2）解：由直线的斜率，可得边上的高线斜率， 所以边上的高线方程为， 即边上的高线所在的直线方程为. 练习4．（多选）已知，，直线：，：，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得，即， ，，则，当且仅当，即时等号成立， 所以有，A选项正确； 由，有， 当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立； 由，有，，，则， ，由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误； 由，有， ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确. 故选：ABD. 重难点06直线与坐标轴围成的面积问题 【解题必备】由于直线与轴、轴围成的是一个直角三角形,故求出直线在两坐标轴上的截距的绝对值，即可用三角形的面积公式求解 例11．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 例12．直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 【跟踪练习】 练习1．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 练习2．（多选）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程， 令，得；令，得. 故围成的三角形面积为, 化简可得或. 对于方程，，故方程无解. 对于方程，可得或. 故直线的方程或， 即或. 故选:CD. 练习3．已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由已知得的斜率为， 因为与直线垂直，所以， 解得． （2）令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 令，则，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小 此时的方程为 ，即． 练习4．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是（ ）． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】 由正弦与和轴交点的坐标分别为， 所以的面积为， 当时，， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以，当，结合对勾函数性质，在时有两个值， 当时，， 当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值， 所以，当时，，则直线过原点，不存在的面积为，所以故①不正确； 当时，仅有两条直线使的面积为，所以②正确； 当 时，仅有三条直线使的面积为，所以③正确； 当时，仅有四条直线使的面积为，所以④正确； 综上所述，真命题的序号是②③④. 故选：D. 重难点07距离公式的应用 例13．等腰直角三角形中，，若点的坐标分别为，，则点的坐标可能是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】设，直线的斜率分别为由题意可得即 解得或,所以点的坐标可能是或． 故选：A. 例14．已知直线l经过点，且平行于向量. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为，即. （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为， 由点到直线的距离公式得，即， 解得或. 所以所求直线m的方程为或. 【跟踪练习】 练习1．若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 练习2．已知定点，若直线上总存在点，满足条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为点在直线上， 所以可设， 由，得， 由两点间的距离公式可得 整理可得， 由，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 练习3．已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点． (1)求直线的方程： (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴直线过定点， 则点到直线的距离为： ， 故A到直线的距离为. 练习4．已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，，， 易知，故直线所在方程为，即， 点到该直线的距离为， 故 ， ， 当时，有最大值，此时． 故选：B． 重难点08对称问题 【解题必备】（1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 例15．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是 ． 【答案】 【解析】由已知得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，建立方程组，求得k，b,从而可求得直线在x轴上的截距. 【详解】由题意得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段A B的中点在直线y＝kx＋b上， 故解得k＝－，b＝， 所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为. 故答案为：. 例16．一条经过点且沿直线传播的光线被轴反射后经过点，求反射光线所在直线的一般式方程及入射点的坐标. 【答案】， 【详解】设A关于轴对称的点为，则， 所以直线的斜率为， 直线的斜截式方程为，即反射光线所在直线的一般式方程为. 令，得，所以入射点的坐标为， 【跟踪练习】 练习1．直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【详解】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即， 故答案为： 练习2．直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【详解】设所求直线上任意一点， 点P关于的对称点为, 如图所示： 则有，得 ∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. 故答案为： 练习3．已知，，直线. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有,解得,则. （2）因为的坐标满足直线的方程，点关于直线的对称点为， 则直线即为所求的直线， 由两点式得所求直线方程为， 化简得. 练习4．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示： 点关于的对称点为， 由，解得，所以， 因为点A，P，M三点共线，则， 令，得，所以， 点P关于x轴的对称点， 因为点三点共线，则， 令，的，所以， 所以， 解得或（舍去）， 故答案为： 重难点09线段和差最值问题 例17．代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】4 【详解】如图，    设点关于直线对称的点为， 则，解得， 则“将军饮马”的最短总路程为． 故答案为：4 例18．著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．已知，点在直线，圆：，则最小值是 . 【答案】 【详解】因为可转化为：，则圆心为，半径为. 设A关于直线的对称点B的坐标为， 则：，解得，即， 所以的最小值是， 故答案为：.      练习2．已知，求的最小值． 【答案】 【详解】设点的坐标为， 则表示点到点和的距离之和， 点为直线上一个动点，作图如下：    不妨设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， ， 当且仅当三点共线时取得等号； 故的最小值为. 练习3．已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）若为关于直线的对称点，则中点在直线上， 所以，得，则， 由，则， 要使最大，只需共线，. （2）如上图，要使最小，只需共线， 所以. 练习4．（多选）已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ） A．P在直线l上，则的最小值为 B．直线l上一点使最大 C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是 【答案】BC 【详解】对于A：设点关于直线l的对称点为， 则，解得 ， 当三点共线时取最小值.A错误； 对于B：，当三点共线时取最大值， 又，即， 联立，解得， 即直线l上一点使最大，B正确； 对于C：设， 当时，，当时，， 即， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，C正确； 对于D：， 当且仅当，即时等号成立， 此时，即，D错误. 故选：BC. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$