专题 04 2.4 线段、角的轴对称性 核心考点强化练（九大类）-2024-2025学年八年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（苏科版）

专题04 2.4线段、角的轴对称性核心考点强化练（九大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、线段垂直平分线的判定：两相等 1 二、轴对称中的光反射问题。 2 三、线段垂直平分线的性质的应用 3 四、角平分线性质的实际应用 3 五、角平分线的性质：角平分线，角的两边垂线试看，还是不行，可截等线。 5 六、角平分线的判定：两垂直一相等。 6 七、巧用角与线段对称性，妙求和差最大（小）值。 7 八、尺规作图：注意作图的规范与作图痕迹的保留。 8 九、轴对称图形综合提升： 10 一、线段垂直平分线的判定：两相等 1．如图，，，，相交于点 E．求证：． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 3．如图，是的角平分线，，分别是和的高，求证：垂直平分． 4．如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且． 求证：点一定在的垂直平分线上． 二、轴对称中的光反射问题。 5．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 三、线段垂直平分线的性质的应用 8．如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段E上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 9．如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    四、角平分线性质的实际应用 10．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 11．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 12．如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连结，若，求证：是的角平分线． 13．如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系． 五、角平分线的性质：角平分线，角的两边垂线试看，还是不行，可截等线。 14．如图，在中，是的平分线，，垂足是E，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    16．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 ． 17．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 六、角平分线的判定：两垂直一相等。 18．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 19．如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 20．如下图，已知是的两条角平分线，且相交于点P．求证：P点也在的平分线上． 21．如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 七、巧用角与线段对称性，妙求和差最大（小）值。 22．如图， (1)求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到的距离相等； (2)在上求一点Q，使最小． 23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 24．已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 八、尺规作图：注意作图的规范与作图痕迹的保留。 25．（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线． 作法如下： ①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接（路径最短）； i根据题意，利用直尺和圆规补全图形； ii作图依据为______________ （2）画一画，想一想：如图，已知．你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出作法，并证明． 26．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程： 已知：△ABC．    求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等． 作法：如图， 作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明． 证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴ = (              ) (填推理的依据) ． 27．下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程． 已知：如图，钝角．    求作：射线，使． 作法： ①在射线上任取一点D； ②以点O为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C； ④作射线．则为所求作的射线． (1)请根据作法，画出作图痕迹； (2)完成下面的证明． 证明：连接，由作图步骤②可知______． 由作图步骤③可知______． ∵， ∴（____________）（填推理的依据）． ∴． 28．①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹    ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）    九、轴对称图形综合提升： 29．已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ (2)探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． (3)拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 30．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 31．如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． (1)求证：平分 (2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证： 32．如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E. （1）求证：AE＝3EB （2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE＋PF的最小值及此时BP的长； （3）在（2）的条件下，连接EF，当PE＋PF取最小值时，△PEF的面积是______. 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 2.4线段、角的轴对称性核心考点强化练（九大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、线段垂直平分线的判定：两相等 1 二、轴对称中的光反射问题。 4 三、线段垂直平分线的性质的应用 6 四、角平分线性质的实际应用 7 五、角平分线的性质：角平分线，角的两边垂线试看，还是不行，可截等线。 10 六、角平分线的判定：两垂直一相等。 12 七、巧用角与线段对称性，妙求和差最大（小）值。 15 八、尺规作图：注意作图的规范与作图痕迹的保留。 19 九、轴对称图形综合提升： 25 一、线段垂直平分线的判定：两相等 1．如图，，，，相交于点 E．求证：． 【详解】证明：∵， ∴P在的中垂线上． ∵， ∴Q在的中垂线上， ∴． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接、、，   垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解： 垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 3．如图，是的角平分线，，分别是和的高，求证：垂直平分． 【详解】证明：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴（角平分线的性质）； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 4．如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且． 求证：点一定在的垂直平分线上． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴点一定在的垂直平分线上． 二、轴对称中的光反射问题。 5．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 6．如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 故选：B． 7．如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求， ； （2）解：由轴对称的性质可知． 在中，． 由轴对称性质，得． 故答案为：． 三、线段垂直平分线的性质的应用 8．如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段E上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【详解】如图： 连接交于点M， 是等腰三角形，点D为边的中点， ， 的底边长为6，面积是36， ， ， 是的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A， 的长为的最小值， 的周长最短 故选C． 9．如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    【答案】 【详解】解： ，分别为，的垂直平分线， ，， ， ． 故答案为：． 四、角平分线性质的实际应用 10．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（    ） A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【详解】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 11．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 12．如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连结，若，求证：是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵垂直， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线． 13．如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：在中，，是的平分线，于点， 由角平分线性质可知， 在和中， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 在和中， ， ， ， ， ． 五、角平分线的性质：角平分线，角的两边垂线试看，还是不行，可截等线。 14．如图，在中，是的平分线，，垂足是E，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵在中，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 15．如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，    当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 即点D到的距离为． 故答案为：3． 17．如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵平分，，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴四边形的面积． 六、角平分线的判定：两垂直一相等。 18．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 19．如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ∴． 平分． 20．如下图，已知是的两条角平分线，且相交于点P．求证：P点也在的平分线上． 【答案】见详解 【详解】证明：过点分别作于，于，于， 平分，平分， ，， ， ，， ∴P点也在的平分线上． 21．如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 七、巧用角与线段对称性，妙求和差最大（小）值。 22．如图， (1)求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到的距离相等； (2)在上求一点Q，使最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． （3）解：如图，点Q即为所求． 24．已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P， 即点P为所求； （2）解：如图所示，延长交直线l于Q， 即点Q为所求； （3）解：如图，过点A作交直线l于G， 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为9． 八、尺规作图：注意作图的规范与作图痕迹的保留。 25．（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线． 作法如下： ①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接（路径最短）； i根据题意，利用直尺和圆规补全图形； ii作图依据为______________ （2）画一画，想一想：如图，已知．你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出作法，并证明． 【答案】（1）作图见解析，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上； （2）见解析 【详解】（1）如图所示， 连接, 由作法得：， ∴，在的垂直平分线上， ∴ ∴作图依据为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上． 故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分上． （2）作法：①在上，利用刻度尺截取， 利用三角板的直角作交于点， ③作射线， 则为的角平分线． 证明：∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 即为的角平分线． 26．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程： 已知：△ABC．    求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等． 作法：如图， 作∠BAC的平分线，交BC于点D．则点D即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明． 证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴ = (              ) (填推理的依据) ． 【答案】（1）详见解析；（2）DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：（1）作∠BAC的角平分线，如图：    （2）作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)． 故答案为：DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等． 27．下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程． 已知：如图，钝角．    求作：射线，使． 作法： ①在射线上任取一点D； ②以点O为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C； ④作射线．则为所求作的射线． (1)请根据作法，画出作图痕迹； (2)完成下面的证明． 证明：连接，由作图步骤②可知______． 由作图步骤③可知______． ∵， ∴（____________）（填推理的依据）． ∴． 【答案】(1)作图见详解； (2)，，． 【详解】（1）解：由作法可得下图，    则为所求作的射线． （2）   证明：连接，由作图步骤②可知． 由作图步骤③可知． ∵， ∴ ． ∴． 故答案为：，，． 28．①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹    ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）    【答案】①见解析；②见解析 【详解】解：①分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建超市的位置． ②如图，在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 理由：如图，取的中点，连接，作格点，交、于、， ， 根据勾股定理求得， ∵， 的周长,； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（）， ∴， ∴ 的周长的一半，， ∴直线恰好将的周长和面积都平分 九、轴对称图形综合提升： 29．已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ (2)探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． (3)拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立证明见解析 (3) 【详解】（1）解：作于点D，如图， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论还成立， 理由如下：如图2，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． （3）解：． 理由如下：如图3，作于点D， 同（2）可证， ∴， 点P在的角平分线上，且于C， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 30．综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 31．如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． (1)求证：平分 (2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵为边上的高，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：平分． （2）过点E作于点M，于点N， 平分，且，， ． ， ， 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 为边上的高， ， ， ． 在和中， ． . 32．如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E. （1）求证：AE＝3EB （2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE＋PF的最小值及此时BP的长； （3）在（2）的条件下，连接EF，当PE＋PF取最小值时，△PEF的面积是______. 【答案】（1）见解析；（2）PE＋PF的最小值是6，此时BP的长为2；（3）. 【详解】解：（1）如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=， ∵AD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠BDE=，∠BAD=， ∴ ∴AB=4BE， ∴AE=3BE； （2）如图2，作点F关于BC的对称点点G，连接EG交BC于点P，此时PE＋PF的值最小， 作EH⊥AD于H， 由（1）可知AE=6，∠EAH=， ∴EH=3，AH=， ∵AB=8，∠BAD=， ∴BD=4，AD=， ∴DG=DF=，DH=， ∴GH=， ∴， ∴PE+PF=PE+PG=EG=6， ∴EG=AE， ∴∠G=∠EAH=， ∴∠DPG=， ∴∠EPB=， ∴∠EPB=∠B=， ∴△EBP是等边三角形， ∴BP=BE=2； ∴PE＋PF的最小值是6，此时BP的长为2. （3）如图2，连接EF， 在直角三角形AED中，EF是AD边上的中线， ∴EF=FD=， ∵∠ADE=， ∴△EDF是等边三角形， ∴∠DEF=， 由（2）可知∠BEP=， ∴∠DEP=， ∴∠PEF=， ∴S△PEF==. 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$