专题 02 第1章 全等三角形 核心考点强化练50道（十七大类）-2024-2025学年八年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（苏科版）

专题02 第1章 全等三角形核心考点强化练50道（十七大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、全等依据的辨析：建议描出一个三角形中的已知条件。 1 二、利用网格，巧用全等求角的度数 2 三、添加一个条件使三角形全等。 3 四、利用网格，全等分割。 4 五、全等五种判定方法的选用。（基础题型） 4 六、灵活选用五种方法判定三角形全等（难点） 6 七、经典辅助线：倍长中线 7 八、经典辅助线：截长补短 8 九、经典全等模型四：线段和差模型。 8 十、经典全等模型三：手拉手模型 9 十一、经典旋转模型二：垂线模型 10 十二、经典模型：一线三角模型 10 十三、经典全等模型一：旋转模型 11 十四、全等与动点——图形动点两步曲：线、式 12 十五、全等三角形性质的运用：全等则对应角等、对应边等。 14 十六、全等与尺规作图的融合。 14 十七、尺规作图：注意作图的规范性 16 一、全等依据的辨析：建议描出一个三角形中的已知条件。 1．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，那么量出的长，就是的距离．我们可以证明出，进而得出，那么判定和全等的依据是（    ）． A． B． C． D． 4．在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　） A． B． C． D． 二、利用网格，巧用全等求角的度数 6．在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 7．如图所示是一个的正方形，求的度数． 三、添加一个条件使三角形全等。 8．如图，点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 ．（只需添一个） 9．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线）． 10．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 11．如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是 ． 四、利用网格，全等分割。 12．在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：    13．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    五、全等五种判定方法的选用。（基础题型） 14．如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，，，．求证：． 15．如图，已知，，，求证：． 16．已知：如图，，点、分别在、上，且，求证：． 17．如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 18．如图，，求证：． 19．如图，点在一条直线上，，求证：． 20．如图，，，求证：． 六、灵活选用五种方法判定三角形全等（难点） 21．鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 23．（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由． （2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由． 24．如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 25．如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P． (1)观察猜想： 1.AE与BD的数量关系为______； 2.∠APD的度数为______； (2)数学思考： 如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． 七、经典辅助线：倍长中线 27．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； (2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 八、经典辅助线：截长补短 28．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 九、经典全等模型四：线段和差模型。 29．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 十、经典全等模型三：手拉手模型 30．如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等） ①如图1，求证：△ABE≌△ADC； ②探究：如图1，∠BOD= ； ③如图2，∠BOD= ； ④如图3，∠BOD= ． 十一、经典旋转模型二：垂线模型 31．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 32．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 十二、经典模型：一线三角模型 33．如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)说明． (2)说明． (3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 34．  如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：． 十三、经典全等模型一：旋转模型 36．已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 十四、全等与动点——图形动点两步曲：线、式 37．如图，与相交于点C，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当时，线段的长度_______，线段的长度_______； (2)求证：； (3)连接，当线段经过点C时，直接写出t的值； (4)连接，当的面积等于面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值． 38．已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 39．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．    (1)当时， ；当时， ； (2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度． 40．在中，，点是射线上一动点(不与点重合)，以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由． (2)在（1）的条件下，当时，那么________度． (3)设． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系． 十五、全等三角形性质的运用：全等则对应角等、对应边等。 41．如图，，，，，则 ． 42．如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 43．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 十六、全等与尺规作图的融合。 46．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 47．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 十七、尺规作图：注意作图的规范性 48．已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小甲同学设计的尺规作图过程， 作法：如图2 ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，E两点； ②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于F点； ③以点F为圆心，长为半径作弧，与②中作的弧在内部交于点G； ④作射线． 所以射线就是所求作的射线． 图1图2根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 49．尺规作图：求作一点，使得与全等，要求：画出所有符合题意的点，保留作图痕迹．    50．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 第1章全等三角形核心考点强化练50道（十七大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、全等依据的辨析：建议描出一个三角形中的已知条件。 1 二、利用网格，巧用全等求角的度数 3 三、添加一个条件使三角形全等。 5 四、利用网格，全等分割。 7 五、全等五种判定方法的选用。（基础题型） 8 六、灵活选用五种方法判定三角形全等（难点） 11 七、经典辅助线：倍长中线 18 八、经典辅助线：截长补短 22 九、经典全等模型四：线段和差模型。 24 十、经典全等模型三：手拉手模型 26 十一、经典旋转模型二：垂线模型 28 十二、经典模型：一线三角模型 32 十三、经典全等模型一：旋转模型 35 十四、全等与动点——图形动点两步曲：线、式 39 十五、全等三角形性质的运用：全等则对应角等、对应边等。 48 十六、全等与尺规作图的融合。 50 十七、尺规作图：注意作图的规范性 54 一、全等依据的辨析：建议描出一个三角形中的已知条件。 1．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故选：D． 2．如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，， ， 又 ，为公共边， ． 故选：A． 3．如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，那么量出的长，就是的距离．我们可以证明出，进而得出，那么判定和全等的依据是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴判定和全等的依据是， 故选：． 4．在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 由判定， 故选：A. 5．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为小明书上的三角形虽然被污染了，但是其它两角和它们的夹边却还是完整的，只需根据完整的两角和它们的夹边画出三角形即可，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 故答案为：D． 二、利用网格，巧用全等求角的度数 6．在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 7．如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 三、添加一个条件使三角形全等。 8．如图，点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 ．（只需添一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加即可， 理由如下： ， ， ， ， 在与中， ， ， 故答案为：． 9．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（或） 【详解】解：答案不唯一． ①． 在和中， ， ； ②． 在和中， ， ． 故答案为：（或）． 10．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【答案】 【详解】解：需添加的条件为：；理由如下： 在与中， ， ∴（）； 故答案为：． 11．如图，已知，垂足为B，，若直接应用“HL”判定，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】 【详解】解：“HL”判定定理的内容是：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等， 已知是直角边相等， 需补充的条件是斜边相等，即， 故答案为：． 四、利用网格，全等分割。 12．在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：    【答案】见解析 【详解】解：如图：    13．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【详解】    五、全等五种判定方法的选用。（基础题型） 14．如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 15．如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 16．已知：如图，，点、分别在、上，且，求证：． 【答案】详见解析 【详解】证明：在和中 ， ． 17．如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如图，，求证：． 【答案】见解答 【详解】证明： 在和中， ， ∴． 19．如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 20．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在与中， ， ∴． 六、灵活选用五种方法判定三角形全等（难点） 21．鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【答案】(1)甲，理由见解析 (2) 【详解】（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行． （2）； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 22．【提出问题】 我们已经知道了三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（） 【探索研究】 已知：在和中， （1）如图①，当时，根据　 　，可知；    （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，可知与　 　全等．（填“一定”或“不一定”）    （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请举出反例．    【归纳总结】 （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是　 　时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析；（3），见解析；（4）②③ 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， 故答案为． （2）如图②中，通过作图知， 存在满足条件，但不与全等； 故答案为：不一定      （3）结论：． 理由：如图③中，作交的延长线于G．作交的延长线于H．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）由（1）（3）中的结论可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角时，这两个三角形一定全等． 故答案为②③． 23．（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由． （2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），，理由见解析 （2）成立，见解析 【详解】（1）， 理由如下： ∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； （2）成立， 图2中：∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； 图3中：∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； 24．如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）全等，理由如下： ∵ ， ∴ ， 在与中 ∴ （2），理由如下： 在与中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在与中 ， ∴ ， ∴． 25．如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P． (1)观察猜想： 1.AE与BD的数量关系为______； 2.∠APD的度数为______； (2)数学思考： 如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． 【答案】(1)①AE＝BD；②60° (2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析 【详解】（1）解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形， ∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°， ∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB， ∴∠DCB=∠ACE， ∴△DCB≌△ACE， ∴AE=BD，∠BDC=∠CAE， 又∵∠DOP=∠COA， ∴∠APD=∠ACD=60°， 故答案是：AE=BD，60°； （2）上述结论成立， ∵△ACD，△BCE均为等边三角形， ∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°， ∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE， 在△DCB和△ACE中，， ∴△DCB≌△ACE（SAS）， ∴DB＝AE， ∠CDB＝∠CAE， 如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等）， ∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA， ∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°． 七、经典辅助线：倍长中线 26．【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【详解】解：[方法初探]延长至点E，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， 故答案为； [问题解决]，理由如下： 证明：延长至点G，使，连接， 同理可证， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴． 27．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； (2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)，证明见解析 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 八、经典辅助线：截长补短 28．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 九、经典全等模型四：线段和差模型。 29．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 十、经典全等模型三：手拉手模型 30．如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等） ①如图1，求证：△ABE≌△ADC； ②探究：如图1，∠BOD= ； ③如图2，∠BOD= ； ④如图3，∠BOD= ． 【答案】①见解析；②60°；③90°；④108° 【详解】解：①证明：如图， ∵△ABD和△AEC是等边三角， ∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， 即∠DAC=∠BAE． 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）； ②， ， ∵∠AFD=∠OFB， ∴∠BOD=∠BAD=60°； ③如图， 四边形和四边形是正方形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ∵∠AHB=∠OHD， ∴∠BOD=∠BAD=90°； ④如图，五边形和五边形是正五边形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵∠AMB=∠OMD， ∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°． 十一、经典旋转模型二：垂线模型 31．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 32．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 十二、经典模型：一线三角模型 33．如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)说明． (2)说明． (3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴； （3）证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：2． 34．  如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）证明①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ② ， ，， ； （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ； （3）解：， 理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 十三、经典全等模型一：旋转模型 35．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 36．已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解： ， ， 又 ，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 十四、全等与动点——图形动点两步曲：线、式 37．如图，与相交于点C，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当时，线段的长度_______，线段的长度_______； (2)求证：； (3)连接，当线段经过点C时，直接写出t的值； (4)连接，当的面积等于面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值． 【答案】(1)3，2 (2)见详解 (3)或 (4)或 【详解】（1）解：当时．， ∵，P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动 ∴P从点A出发，到达点时，用时，然后从点返回向点运动，则路程为， ∴ 故答案为：3，2； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∴，， 当线段经过点C时，如下所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度匀速运动， ∴时，点P到达点B，时，点P返回点A， ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，t的值为或． （4）解：∵，时， ∴， 则当点从点向运动时，， ∴； 当点从点向运动时，， ∴， 综上所述，或3． 38．已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 39．如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．    (1)当时， ；当时， ； (2)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【详解】（1）当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴； 当时，点P在线段上， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ①当点P在上时，    ， ∴， ； ②当点P在上时，    过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ； 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时，    ， ∴ 解得 ； ②当点在上，点在上，时，    ， ∴， 解得 ； ③当点P在上，点在上，时，    ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ④当点P在上，点Q在上，时    ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ∴运动的速度为或或或． 40．在中，，点是射线上一动点(不与点重合)，以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由． (2)在（1）的条件下，当时，那么________度． (3)设． ①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系．并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)①，证明见解析；②图见解析，． 【详解】（1）解：，理由： ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ； 故答案为：； （3）解：①，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②作出图形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 十五、全等三角形性质的运用：全等则对应角等、对应边等。 41．如图，，，，，则 ． 【答案】/45度 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 42．如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 【答案】，，证明见解析． 【详解】证明：，，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． 43．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 十六、全等与尺规作图的融合。 44．【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【答案】2；2；不一定；钝角 【详解】这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种：我们可以发现，此时（即“边边角"对应相等）两个三角形不一定全等 【拓展思考】∵是钝角三角形， ∴一定是钝角三角形 45．【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：∵， 在和中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （3）解：如图，在和，， 和不全等； ．   46．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 47．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 【答案】(1)见解析 (2)2，； (3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等 【详解】（1）解：如图所示： （2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等， 故答案为：2，； （3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等， 故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等． 十七、尺规作图：注意作图的规范性 48．已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小甲同学设计的尺规作图过程， 作法：如图2 ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，E两点； ②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于F点； ③以点F为圆心，长为半径作弧，与②中作的弧在内部交于点G； ④作射线． 所以射线就是所求作的射线． 图1图2根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【详解】解：如图，射线即为所求． 49．尺规作图：求作一点，使得与全等，要求：画出所有符合题意的点，保留作图痕迹．    【答案】见解析 【详解】解：如图，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于，交于，以点为圆心，为半径画弧，交之前的弧于，作射线，以为圆心，为半径画弧交射线于，连接，即为所作， 则，， 在和中， ， ； 同理可得：，． 50．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 【答案】见解析 【详解】解：如图，或即为所求． 试卷第2页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$