重庆市育才中学教育集团2024——2025学年九年级(上）第一次月考数学试题（模拟二）

重庆市育才中学教育集团2024—2025学年九年级(上） 第一次月考数学试题（模拟二） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A．2 B． C．0 D．﹣3 2．在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列词语所描述的事件是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．拔苗助长 C．旭日东升 D．竹篮打水 4．估计2（2）的值应在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（　　） A．y＝10（1+x）3 B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2 C．y＝10+10x+x2 D．y＝10（1+x）2 6．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图中有4个圆点，第2幅图中有7个圆点， 第3幅图中有10个圆点，第4幅图中有13个圆点，…，按照此规律，第2024幅图中圆点的个数是（　　） A．6069 B．6070 C．6072 D．6073 7．如图，圆内接四边形ABCD，AB为⊙O的直径，延长DC交AB延长线于点E，且CD＝CE，若∠DAB＝45°，则∠E＝（　　） A．25° B．30° C．45° D．50° 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、AB、CD上的点，连接DF、DG、EH，若HE＝DF，BE＞CH，∠ADG＝∠FDG．当∠BEH＝α时，则∠AGD的度数为（　　） A．α B．90°﹣α C． D．135°﹣α 10．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．　 　． 12．已知A（0，3）、B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 　 　． 13．现从﹣2，﹣1，0，3中，任取一个数作为二次函数y＝ax2+2x+1中a的值，则所得抛物线与x轴有公共点的概率 　 　． 14．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是 　 　． 15．如图，在正方形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，再以AD为直径作半圆，连接AC，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为 　 　． 16．已知关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　． 17．如图，AB为圆O的直径，过点A的切线与弦BD的延长线相交于点C，OE⊥BD，若AD＝12，BE＝8，则AC＝　 　． 18．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，∵21+12＝2×2+29，∴2129是“天天向上数”：又如3465，∵34+46≠2×6+65，∴3465不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时a＝　 　；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 　 　． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： （1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）； （2）． 20．学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点C作CM⊥AD交AD延长线于点M，过点C作CN⊥AB交AB于点N（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AC平分∠BAD，求证：CD＝CB． 证明：∵AC平分∠BAD，且CM⊥AD，CN⊥AB， ∴①　 　且∠CNB＝∠CMD＝90°， ∵在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°∴∠B+∠ADC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDM＝180°， ∴②　 　＝∠B， ∴△CDM≌△CBN（③　 　）， ∴CD＝CB． 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角④　 　． 21．为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在160≤x＜165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是 　 　，众数是 　 　； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有 　 　人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为 　 　度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 22．山城步道是重庆的特色，市民可以在步道里面休闲、运动，享受美好生活．半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，由甲、乙两个工程队合作完成，甲工程队修建的步道长度比乙工程队修建的步道长度的2倍少400米． （1）求甲、乙两工程队各修建步道多少米？ （2）实际修建过程中，甲工程队每天比乙工程队多修5米，最终甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，则甲工程队每天修建步道多少米？ 23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△PEF的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当直线y1＝﹣2x+b与该函数图象有两个交点时，b的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，3），C（1，0）． （1）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标，并在图中作出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，连接BD． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，点P在第一象限内的抛物线上，连接PB、PC，当四边形BPCD的面积最大时，求出此时点P的坐标以及S四边形BPCD的最大值； （3）如图2，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到新抛物线，若新抛物线与y轴交于点E，连接AE、BE，点M在新抛物线的对称轴上，满足：∠EBM+∠AEO＝∠OEB，请直接写出点M的坐标． 26．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，∠GBH+∠GED＝90°． （1）如图1，若H为CF的中点，AB＝3，且AF＝2DF，求线段DH的长； （2）如图2，若BH＝BC，过点B作BI⊥CH于点I，求证：； （3）如图3，若AB＝3，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作BQ⊥CP于点Q，将△BCQ沿BC翻折得△BCM，N为直线AB上一动点，连接MN，当△BCM面积最大时，直接写出的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 重庆市育才中学教育集团 2024—2025 学年九年级(上） 第一次月考数学试题（模拟二） （全卷共四个答题，满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色 2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑． 1．下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A．2 B．− 1 3 C．0 D．﹣3 2．在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列词语所描述的事件是随机事件的是（ ） A．守株待兔 B．拔苗助长 C．旭日东升 D．竹篮打水 4．估计 2√3 ×（2√3 − √2）的值应在（ ） A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间 5．某厂今年一月份新产品的研发资金为 10 万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x， 则该厂今年一季度新产品的研发资金 y（万元）关于 x的函数关系式为（ ） A．y＝10（1+x）3 B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2 C．y＝10+10x+x2 D．y＝10（1+x）2 6．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第 1 幅图中有 4 个圆点，第 2 幅图中有 7 个圆点， 第 3 幅图中有 10 个圆点，第 4 幅图中有 13 个圆点，…，按照此规律，第 2024 幅图中圆点的个数是 （ ） A．6069 B．6070 C．6072 D．6073 7．如图，圆内接四边形 ABCD，AB 为⊙O 的直径，延长 DC 交 AB 延长线于点 E，且 CD＝CE，若∠ DAB＝45°，则∠E＝（ ） A．25° B．30° C．45° D．50° 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+b和二次函数 y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ） A． B． C． D． 2 9．如图，正方形 ABCD中，点 E、F、G、H分别为边 AB、BC、AB、CD上的点，连接 DF、DG、EH， 若 HE＝DF，BE＞CH，∠ADG＝∠FDG．当∠BEH＝α 时，则∠AGD的度数为（ ） A．α B．90°﹣α C．90° − 𝛼 2 D．135°﹣α 10．有 n个依次排列的整式：第一项是 a2，第二项是 a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为 b1， 将 b1 加 2 记为 b2，将第二项与 b2 相加作为第三项，将 b2 加 2 记为 b3，将第三项与 b3 相加作为第四 项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到 5 个结论： ①b3＝2a+5； ②当 a＝2 时，第 3 项为 16； ③若第 4 项与第 5 项之和为 25，则 a＝7； ④第 2022 项为（a+2022）2； ⑤当 n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k 2； 以上结论正确的是（ ） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 二、填空题（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上． 11．√16 − ( 1 2 )−2 + (3 − 𝜋)0 = ． 12．已知 A（0，3）、B（2，3）是抛物线 y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 ． 13．现从﹣2，﹣1，0，3 中，任取一个数作为二次函数 y＝ax2+2x+1 中 a的值，则所得抛物线与 x轴有 公共点的概率 ． 14．如图，△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 40°后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上，且∠ AOC＝100°，则∠C的度数是 ． 15．如图，在正方形 ABCD中，以 A为圆心，AD为半径画弧，再以 AD为直径作半圆，连接 AC，若正 方形边长为 4，则图中阴影部分的面积为 ． 16．已知关于 x的分式方程 𝑎𝑥+1 2−𝑥 + 1 = 3 𝑥−2 有整数解，且关于 y的不等式组{ 4𝑦 ≥ 3(𝑦 − 2) 2𝑦 − 𝑦−1 2 ＜𝑎 有解且至多 5 个整数解，则所有满足条件的整数 a的值之和为 ． 17．如图，AB为圆 O的直径，过点 A的切线与弦 BD的延长线相交于点 C，OE⊥BD，若 AD＝12，BE ＝8，则 AC＝ ． 18．如果一个四位自然数𝑎𝑏𝑐𝑑的各数位上的数字均不为 0，满足𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 2𝑐 + 𝑐𝑑，那么称这个四位 数为“天天向上数”．例如：四位数 2129，∵21+12＝2×2+29，∴2129 是“天天向上数”：又如 3465， ∵34+46≠2×6+65，∴3465 不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为𝑎358，则此时 a＝ ； 若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数𝑎𝑏𝑐与后三位数字组成的三位数𝑏𝑐𝑑的和能被 9 整 除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 ． 3 三、解答题：（本大题共 8小题，19题 8分，20－26题各 10分，共 78分）解答时每小 题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过 程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： （1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）； （2） 2𝑚+1 𝑚 − (2 − 𝑚) ÷ −𝑚2+4𝑚−4 𝑚2−4 ． 20．学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填 空： （1）用直尺和圆规，过点 C作 CM⊥AD交 AD延长线于点 M，过点 C作 CN⊥AB交 AB于点 N（只 保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形 ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AC平分∠BAD，求证：CD＝CB． 证明：∵AC平分∠BAD，且 CM⊥AD，CN⊥AB， ∴① 且∠CNB＝∠CMD＝90°， ∵在四边形 ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°∴∠B+∠ADC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDM＝180°， ∴② ＝∠B， ∴△CDM≌△CBN（③ ）， ∴CD＝CB． 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特征．请你依照 题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个 小角④ ． 21．为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排 球；D．足球，这 4 门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有 100 名男同学选择 了 A 项目，为了解选择 A 项目男同学的情况，从这 100 名男同学中随机抽取了 30 人在操场进行测 试，并将他们的成绩 x（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在 160≤x＜165 这一组的数据为 160，162，161，163，162，164， 则该组数据的中位数是 ，众数是 ； （2）根据题中信息，估计选择 B项目的男生共有 人，扇形统计图中 D项目所占圆的圆 心角为 度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的 2 名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表 法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 4 22．山城步道是重庆的特色，市民可以在步道里面休闲、运动，享受美好生活．半山崖线步道沙坪坝段 全长 2000 米，由甲、乙两个工程队合作完成，甲工程队修建的步道长度比乙工程队修建的步道长度 的 2 倍少 400 米． （1）求甲、乙两工程队各修建步道多少米？ （2）实际修建过程中，甲工程队每天比乙工程队多修 5 米，最终甲工程队完成任务时间是乙工程队 完成任务时间的 1.2 倍，则甲工程队每天修建步道多少米？ 23．如图，矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝6，点 E为 AB边的中点，点 F为 BC边上的三等分点（CF＜ BF），动点 P从点 A出发，沿折线 A→D→C运动，到 C点停止运动．点 P的运动速度为每秒 2 个单位 长度，设点 P运动时间为 x秒，△PEF的面积为 y． （1）请直接写出 y关于 x的函数解析式，并注明自变量 x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当直线 y1＝﹣2x+b与该函数图象有两个交点时，b的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（2，2），B（0，3），C（1，0）． （1）将△ABC绕坐标原点 O顺时针旋转 90°为△A1B1C1，写出点 A1、B1、C1 的坐标，并在图中作 出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1 的面积． 5 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+3 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）和点 B（4， 0），与 y轴交于点 C，连接 BC，过点 A作 AD∥BC交 y轴于点 D，连接 BD． （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，点 P 在第一象限内的抛物线上，连接 PB、PC，当四边形 BPCD的面积最大时，求出 此时点 P的坐标以及 S 四边形 BPCD的最大值； （3）如图 2，将抛物线先向左平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位得到新抛物线，若新抛物线与 y 轴交于点 E，连接 AE、BE，点 M在新抛物线的对称轴上，满足：∠EBM+∠AEO＝∠OEB，请直接 写出点M的坐标． 26．已知，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AD 上的两点，连接 BE、CF，并延长交于点 G，连接 DG，H为 CF上一点，连接 BH、DH，∠GBH+∠GED＝90°． （1）如图 1，若 H为 CF的中点，AB＝3，且 AF＝2DF，求线段 DH的长； （2）如图 2，若 BH＝BC，过点 B作 BI⊥CH于点 I，求证：𝐵𝐼 + √2 2 𝐷𝐺 = 𝐶𝐺； （3）如图 3，若 AB＝3，P为线段 AD（包含端点 A、D）上一动点，连接 CP，过点 B作 BQ⊥CP于 点 Q，将△BCQ沿 BC翻折得△BCM，N为直线 AB上一动点，连接MN，当△BCM面积最大时，直 接写出 √2 2 𝐴𝑁 + 𝑀𝑁的最小值． 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效注意事项 姓名： 班级： 准考 证号： 22． 23．（1） （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 20． ① ② ③ ④ 21． （1）___________ ___________ （2）___________ ___________ （3） 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 贴条形码区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 1、 选择题 9 A B C D 8 7 4 3 2 5 1 A B C D 10 A B C D A B C D 6 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题 19．计算： （1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）； （2）． 17．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25． 24． 26． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $$20． ① ② ③ ④ 21． （1）___________ ___________ （2）___________ ___________ （3） 贴 条 形 码 区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 22． 23．（1） （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题 19．计算： （1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）； （2） 2𝑚+1 𝑚 − (2 − 𝑚) ÷ −𝑚2+4𝑚−4 𝑚2−4 ． 1 5 2 3 4 6 7 一、选择题 8 姓名： 班级： 准考 证号： A B C D 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 正确填涂 错误填涂 数学答题卡 注意事项 填 涂 样 例 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填 写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂；综 合题部分必须使用 0.5毫米的黑色签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 9 A B C D 10 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 25． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24． 26． 重庆市育才中学教育集团2024—2025学年九年级(上） 第一次月考数学试题（模拟二） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A．2 B． C．0 D．﹣3 【答案】D 【分析】分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项． 【解答】解：A、|2|＝2；B、||；C、|0|＝0；D、|﹣3|＝3； ∵02＜3， ∴四个数中绝对值最大的是﹣3． 故选：D． 【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 3．下列词语所描述的事件是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．拔苗助长 C．旭日东升 D．竹篮打水 【答案】A 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【解答】解：A．守株待兔，有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意； B．拔苗助长，是不可能事件，不符合题意； C．旭日东升，是必然事件，不符合题意； D．竹篮打水，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 4．估计2（2）的值应在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【分析】先计算2（2）的值，再估算的取值范围，进一步估算的取值范围即可． 【解答】解： ， ∵， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即2（2）的值应在7和8之间， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（　　） A．y＝10（1+x）3 B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2 C．y＝10+10x+x2 D．y＝10（1+x）2 【答案】B 【分析】根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【解答】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年二月份新产品的研发资金为10（1+x）万元，三月份新产品的研发资金为10（1+x）2万元． 根据题意得：y＝10+10（1+x）+10（1+x）2． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 6．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第1幅图中有4个圆点，第2幅图中有7个圆点，第3幅图中有10个圆点，第4幅图中有13个圆点，…，按照此规律，第2024幅图中圆点的个数是（　　） A．6069 B．6070 C．6072 D．6073 【答案】D 【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第n个图摆放圆点的个数． 【解答】解：观察图形可知： 摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0； 摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1； 摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2； 摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3； … 第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1， 当n＝2024时，3×2024+1＝6073， 故选：D． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 7．如图，圆内接四边形ABCD，AB为⊙O的直径，延长DC交AB延长线于点E，且CD＝CE，若∠DAB＝45°，则∠E＝（　　） A．25° B．30° C．45° D．50° 【答案】B 【分析】直接利用圆周角定理得出∠DOB＝90°，再利用直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质得出∠DOC＝60°，进而得出答案． 【解答】解：连接DO，CO， ∵∠DAB＝45°， ∴∠DOB＝90°， ∴△DOE是直角三角形， ∵DC＝EC， ∴CO＝DC＝EC， ∵DO＝CO， ∴DO＝CO＝DC， ∴△DOC是等边三角形， ∴∠DOC＝60°， ∴∠COE＝30°， ∵EC＝CO， ∴∠COE＝∠E＝30°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形以及直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确得出△DOC是等边三角形是解题关键． 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 9．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、AB、CD上的点，连接DF、DG、EH，若HE＝DF，BE＞CH，∠ADG＝∠FDG．当∠BEH＝α时，则∠AGD的度数为（　　） A．α B．90°﹣α C． D．135°﹣α 【答案】C 【分析】如图，设EH与DF交于点K，过点A作AM∥EH交CD于点M，交DF于点N，根据正方形性质可得：AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，先证明四边形AEHM是平行四边形，再证明Rt△ADM≌Rt△DCF（HL），利用直角三角形两锐角互余和角平分线定义即可求得答案． 【解答】解：如图，设EH与DF交于点K，过点A作AM∥EH交CD于点M，交DF于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°， ∴四边形AEHM是平行四边形， ∴AM＝HE， ∵HE＝DF， ∴AM＝DF， 在Rt△ADM和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ADM≌Rt△DCF（HL）， ∴∠AMD＝∠DFC， ∵∠CDF+∠DFC＝90°， ∴∠CDF+∠AMD＝90°， 在△DNM中，∠MND＝180°﹣（∠CDF+∠AMD）＝180°﹣90°＝90°， ∵AM∥EH， ∴∠DKH＝∠MND＝90°， ∵AB∥CD，∠BEH＝α， ∴∠DHE＝∠BEH＝α， ∴∠CDF＝90°﹣α， ∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝α， ∵∠ADG＝∠FDG， ∴∠ADG∠ADFα， 在Rt△ADG中，∠AGD＝90°﹣∠ADG＝90°． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】根据题意可以得出规律，第n项为（a+n﹣1）2，bn＝2a+2n﹣1，根据规律逐项求解判断即可． 【解答】解：由题意可知，第一项为（a+0）2，第二项为（a+1）2， ∴b1＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1， ∴b2＝2a+3， ∴b3＝2a+3+2＝2a+5，故①正确， ∴第三项为a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2， 当a＝2时，第三项为16，故②正确， ∴第四项为（a+2）2+2a+5＝（a+3）2， ∴b4＝2a+7， ∴第五项为（a+3）2+2a+7＝（a+4）2， ..． ∴bn＝2a+2n﹣1， ∴第n项为（a+n﹣1）2， ∴第2022项为（a+2021）2故④错误， 若第四项与第五项的和25， 则（a+3）2+（a+4）2＝25， 解得a＝0或a＝﹣7，故③错误， 当n＝k时，b1+b2+…+bk ＝（2a+1）+（2a+3）+…+（2a+2k﹣1） ＝2ka+[1+3+5+…+（2k﹣1）] ＝2ka+k2， 故⑤正确， 故正确的为：①②⑤， 故选：A． 【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律时解答此题的关键，难度较大． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．　1　． 【答案】1． 【分析】根据算术平方根，负整数指数幂，零次幂分别计算即可． 【解答】解：原式（3﹣π）0 ＝4﹣4+1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根，负整数指数幂，零次幂知识点是解题的关键． 12．已知A（0，3）、B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 　（1，4）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】已知A（0，3）、B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点， ∴c＝3，﹣4+2b+c＝3， 解得：b＝2，c＝3， 即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 故抛物线的顶点坐标是：（1，4）， 故答案为：（1，4）． 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 13．现从﹣2，﹣1，0，3中，任取一个数作为二次函数y＝ax2+2x+1中a的值，则所得抛物线与x轴有公共点的概率 　　． 【答案】． 【分析】若抛物线与x轴有公共点，则Δ＝22﹣4a×1≥0，即a≤1，而二次函数y＝ax2+2x+1需满足a≠0，则可得a≤1且a≠0，再利用概率公式可得答案． 【解答】解：若抛物线与x轴有公共点， 则Δ＝22﹣4a×1≥0， ∴a≤1． ∵y＝ax2+2x+1为二次函数， ∴a≠0， ∴a≤1且a≠0， ∵数字﹣2，﹣1，0，3中，满足小于等于1且不等于0的有：﹣2，﹣1， ∴所得抛物线与x轴有公共点的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查概率公式、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，熟练掌握概率公式、抛物线与x轴的交点是解答本题的关键． 14．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝100°，则∠C的度数是 　50°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝40°，AO＝DO，再求出∠COD，及∠A，即可知∠ODC的度数，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵△ODC是△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∴∠AOD＝40°，AO＝DO， ∵∠AOC＝100°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝100°﹣40°＝60°， ， ∴∠ODC＝∠A＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠COD﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣70°＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、以及三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 15．如图，在正方形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，再以AD为直径作半圆，连接AC，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为 　2π﹣4　． 【答案】2π﹣4． 【分析】根据题意得到，即可得到答案． 【解答】解：如图，设半圆与AC的交点为点E，取AD的中点为点O，连接OE、DE，设以A为圆心，AD为半径画弧交AC于点F， ∴∠AED＝90°，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAE＝45°， ∴∠ADE＝∠DAE＝45°， ∴OE⊥AD， ∴， 故答案为：2π﹣4． 【点评】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式、正方形的性质是关键． 16．已知关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 　﹣6　． 【答案】﹣6． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解， 【解答】解：分式方程得：， ∵分式方程有整数解， ∴1﹣a＝±1或±2或±3或±6，且，即a≠﹣2， 解得：a＝0或2或﹣1或3或4或﹣5或7， 不等式组整理得：，即， 由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：， ∴则符合条件的所有整数a的为﹣1和﹣5，和为﹣1+（﹣5）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．如图，AB为圆O的直径，过点A的切线与弦BD的延长线相交于点C，OE⊥BD，若AD＝12，BE＝8，则AC＝　15　． 【答案】15． 【分析】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出AB，证明△BEO∽△BAC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵OE⊥BD，BE＝8， ∴BD＝2BE＝16， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AB20， 在Rt△BEO中，OE6， ∵AC为圆O的切线， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC， ∵∠B＝∠B， ∴△BEO∽△BAC， ∴，即， 解得：AC＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，∵21+12＝2×2+29，∴2129是“天天向上数”：又如3465，∵34+46≠2×6+65，∴3465不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时a＝　3　；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 　4275　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“天天向上数”定义计算即可得出a的值，根据“天天向上数”的定义得出10a+11b＝1lc+d，由题意得出12a+13b，结合a、b、c、d的取值得出2a+4b＝18或2a+4b＝36或2a+4b＝54，再分别求解即可得出答案． 【解答】解：∵一个“天天向上数”为， ∴35＝2×5+58， ∴10a+3+35＝10+58， 解得：a＝3； ∵如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”， ∴10a+b+10b+c＝2c+10c+d， ∴10a+11b＝1lc+d， ∵一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除， ∴ ， ∴2a+4b＝9k（k为正整数）， 由题意得：0＜a≤9，0＜b≤9，0＜c≤9，0＜d≤9， ∴0＜2a+4b≤54， ∵2a+4b的和为偶数， ∴2a+4b＝18或2a+4b＝36或2a+4b＝54， 当2a+4b＝18时，解得或或或， ∵10a+11b＝1lc+d， ∴当时，此时c、d无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时c＝5，d＝8，即这个“天天向上数”为3358， 当时，此时c＝6，d＝6，即这个“天天向上数”为5266， 当时，此时c＝7，d＝4，即这个“天天向上数”为7174； 当2a+4b＝36时，解得或或或， ∵10a+11b＝1lc+d， ∴当时，此时c＝9，d＝9，即这个“天天向上数”为2899， 当时，此时c、d无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时c、d无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时c、d无符合题意的取值，不符合题意； 当2a+4b＝54时，解得， ∵10a+11b＝1lc+d， ∴当时，此时c、d无符合题意的取值，不符合题意； 综上所述，符合题意的“天天向上数”为3358，5266，7174，2899， ∵2899＜3358＜5266＜7174， ∴7174﹣2899＝4275， 故答案为：3，4275． 【点评】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用，理解“天天向上数”定义和较强的运算能力是解此题的关键． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： （1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）； （2）． 【答案】（1）﹣6xy+4y2；（2）． 【分析】（1）运用完全平方公式和单项式乘多项式的计算方法去掉小括号；再合并同类项即可． （2）根据完全平方公式和平方差公式对分式除进行化简；再算减法即可． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣2xy ＝﹣6xy+4y2； （2）原式 ． 【点评】本题考查了分式的混合运算和单项式乘多项式，解题的关键是运算公式法和计算法则进行计算． 20．学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点C作CM⊥AD交AD延长线于点M，过点C作CN⊥AB交AB于点N（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AC平分∠BAD，求证：CD＝CB． 证明：∵AC平分∠BAD，且CM⊥AD，CN⊥AB， ∴①　CN＝CM　且∠CNB＝∠CMD＝90°， ∵在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°∴∠B+∠ADC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDM＝180°， ∴②　∠CDM　＝∠B， ∴△CDM≌△CBN（③　AAS　）， ∴CD＝CB． 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角④　所对的四边形的两条边相等　． 【答案】（1）见解析；（2）CN＝CM；∠CDM；AAS；所对的四边形的两条边相等． 【分析】（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到CN＝CM，再证明∠CDM＝∠B，进而证明△CDM≌△CBN（AAS），则可得到CD＝CB，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵AC平分∠BAD，且CM⊥AD，CN⊥AB， ∴CN＝CM且∠CNB＝∠CMD＝90°， ∵在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠B+∠ADC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDM＝180°， ∴∠CDM＝∠B， ∴△CDM≌△CBN（AAS）， ∴CD＝CB； ∴对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等， 故答案为：CN＝CM；∠CDM；AAS；所对的四边形的两条边相等． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 21．为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在160≤x＜165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是 　162　，众数是 　162　； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有 　175　人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为 　108　度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案． （2）先用选择A项目的男生人数除以扇形统计图中A的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得选择B项目的男生人数；用360°乘以扇形统计图中D得百分比即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162， ∴该组数据的中位数是（162+162）÷2＝162． 该组数据中出现次数最多的为162， ∴该组数据的众数为162． 故答案为：162；162． （2）全校的男生人数为100÷20%＝500（人）， ∴选择B项目的男生共有500×35%＝175（人）． 扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为360°×（1﹣20%﹣35%﹣15%）＝108°． 故答案为：175；108． （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键． 22．山城步道是重庆的特色，市民可以在步道里面休闲、运动，享受美好生活．半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，由甲、乙两个工程队合作完成，甲工程队修建的步道长度比乙工程队修建的步道长度的2倍少400米． （1）求甲、乙两工程队各修建步道多少米？ （2）实际修建过程中，甲工程队每天比乙工程队多修5米，最终甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，则甲工程队每天修建步道多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙工程队修建步道x米，则甲工程队修建步道（2x﹣400）米，根据半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出乙工程队修建步道的长度，再将其代入（2x﹣400）中，即可求出甲工程队修建步道的长度； （2）设乙工程队每天修建步道y米，则甲工程队每天修建步道（y+5）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出乙工程队每天修建步道的长度，再将其代入（y+5）中，即可求出甲工程队每天修建步道的长度． 【解答】解：（1）设乙工程队修建步道x米，则甲工程队修建步道（2x﹣400）米， 根据题意得：2x﹣400+x＝2000， 解得：x＝800， ∴2x﹣400＝2×800﹣400＝1200（米）． 答：甲工程队修建步道1200米，乙工程队修建步道800米； （2）设乙工程队每天修建步道y米，则甲工程队每天修建步道（y+5）米， 根据题意得：1.2， 解得：y＝20， 经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意， ∴y+5＝20+5＝25（米）． 答：甲工程队每天修建步道25米，乙工程队每天修建步道20米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 23．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△PEF的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当直线y1＝﹣2x+b与该函数图象有两个交点时，b的取值范围． 【答案】（1）； （2）图象见解析；当0≤x≤3时，y随着x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）． （3）12≤b＜16． 【分析】（1）分0＜x≤3和3＜x≤5两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）分别求出直线y1＝﹣2x+b经过点（5，2）和点（3，10）时b的值，结合图象写出答案即可． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6， ∵点E为AB边的中点，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF）， ∴，， 当点P在AD上时，则AP＝2x，则0＜2x≤6，即0＜x≤3， 此时DP＝6﹣2x， ∴△PEF的面积 ＝2x+4； 当点P在CD上时，即3＜x≤5时，如图， 则DP＝2x﹣6， ∴△PEF的面积 ＝﹣4x+22； ∴ （2）函数图象如图所示， 当0≤x≤3时，y随着x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随着x的增大而减小； （3）当直线y1＝﹣2x+b经过点（5，2）时，2＝﹣2×5+b，则b＝12， 当直线y1＝﹣2x+b经过点（3，10）时，10＝﹣2×3+b，则b＝16， 结合图象可知，直线y1＝﹣2x+b与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是12≤b＜16． 【点评】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，2），B（0，3），C（1，0）． （1）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°为△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标，并在图中作出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1）A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1），画图见解答． （2）． 【分析】（1）根据旋转的性质可得点A1、B1、C1的坐标，画图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）点A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1）． 如图，△A1B1C1即为所求． （2）△A1B1C1的面积为1﹣1． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，连接BD． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，点P在第一象限内的抛物线上，连接PB、PC，当四边形BPCD的面积最大时，求出此时点P的坐标以及S四边形BPCD的最大值； （3）如图2，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到新抛物线，若新抛物线与y轴交于点E，连接AE、BE，点M在新抛物线的对称轴上，满足：∠EBM+∠AEO＝∠OEB，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）； （2），S四边形BPCD的最大值为13.5； （3），． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由S四边形BPCD＝S△BCD+S△PBC，即可求解； （3）由∠OEB＝∠OBE＝45°，∠EBM+∠AEO＝∠OEB＝45°，得到∠MBN＝∠OEA，则tan∠AEOtan∠MBN，即可求解． 【解答】解：（1）由题意，设二次函数的解析式：y＝a（x+1）（x﹣4）， 由题意：﹣4a＝3， ∴， ∴； （2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q， ∵AD∥BC， ∴， ∴S四边形BPCD＝S△BCD+S△PBC ， ∵B（4，0）、C（0，3）， ∴BC的解析式为：， 设，， ∴， ∵，对称轴：直线m＝2， ∴当m＝2时，PQ最大＝3， 此时，S四边形BPCD的最大值为13.5； （3）平移过后的解析式，对称轴为：直线， 由新抛物线的表达式知，点E（0，4），即OE＝OB＝4，设新抛物线的对称轴交x轴于点N（，0）， 则∠OEB＝∠OBE＝45°，∠EBM+∠AEO＝∠OEB＝45°， ∴∠MBN＝∠OEA， 由点O、A、C的坐标得：tan∠AEOtan∠MBN， 则直线BM的表达式为：y（x﹣4）， 当x时，y（x﹣4）； 即点M（，）； 当点M（M′）在BE上方时， 同理可得：直线BM′的表达式为：y＝﹣4（x﹣4）， 当x时，y＝﹣4（x﹣4）＝22， 即点M（，22）； 综上，，． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 26．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，∠GBH+∠GED＝90°． （1）如图1，若H为CF的中点，AB＝3，且AF＝2DF，求线段DH的长； （2）如图2，若BH＝BC，过点B作BI⊥CH于点I，求证：； （3）如图3，若AB＝3，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作BQ⊥CP于点Q，将△BCQ沿BC翻折得△BCM，N为直线AB上一动点，连接MN，当△BCM面积最大时，直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）证明见解析过程； （3）的最小值为． 【分析】（1）根据正方形的性质，求得AB＝AD＝DC＝3，DF＝1，在Rt△FDC中，根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点D作DM⊥GC于点M，证明△GBI是等腰直角三角形，△BIC≌△CMD，进而证明△GMD是等腰直角三角形，根据即可得证； （3）取BC的中点S，连接SM，连接PN，以PN为底边，在PN的左侧作等腰直角三角形TPN，根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得，则当SM⊥BC时，△B C M的面积最大，由，可得当T，N，M三点共线时，取得最小值，证明四边形ATMC是矩形，可得，即的最小值为． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝3， ∴∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC＝3， ∵AF＝2DF， ∴AF＝2，DF＝1， 在Rt△FDC中，， ∵H为CF的中点， ∴； （2）证明：如图，过点D作DM⊥GC于点M， ∵∠AEB＝∠GED，∠GBH+∠GED＝90°， ∵∠AEB+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBH， ∵BH＝BC，BI⊥CH， ∴∠HBI＝∠CBI， ∵∠ABC＝90°， ∴， ∴△GBI是等腰直角三角形， ∴GI＝BI， ∵∠BIC＝∠CMD＝90°，∠ICB＝90°﹣∠DCM＝∠CDM，BC＝DC， ∴△BIC≌△CMD， ∴MD＝IC，MC＝BI， ∴GM＝GC﹣CM＝GC﹣BI＝GC﹣GI＝IC， ∴GM＝MD， ∴△GMD是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即； （3）解：如图3所示，取BC的中点S，连接SM，连接PN，以PN为底边，在PN的左侧作等腰直角三角形TPN， ∴， ∵BQ⊥PC， ∴△BCQ是直角三角形， ∵将△BCQ沿BC翻折得△B C M， ∴△BMC是直角三角形， ∴， 当SM⊥BC时，△B C M的面积最大， ∵S是BC的中点， ∴△BMC是等腰直角三角形， 则△BQC也是等腰直角三角形， ∴， 此时如图4所示，则点P与A重合， ∵， ∴T，N，M三点共线时，取得最小值， ∴∠PCM＝∠ACB+∠BCM＝90°， ∵∠BMC＝90°，∠TAC＝∠TAB+∠BAC＝90°， 则四边形ATMC是矩形， ∴， 即的最小值为． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 重庆市育才中学教育集团 2024—2025 学年九年级(上） 第一次月考数学试题（模拟二） （全卷共四个答题，满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色 2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑． 1．下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A．2 B．− 1 3 C．0 D．﹣3 【答案】D 【分析】分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项． 【解答】解：A、|2|＝2；B、|− 1 3 |= 1 3 ；C、|0|＝0；D、|﹣3|＝3； ∵0＜ 1 3 ＜2＜3， ∴四个数中绝对值最大的是﹣3． 故选：D． 【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对 值是 0． 2．在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的 概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中 心，图形旋转 180°后与原图重合． 3．下列词语所描述的事件是随机事件的是（ ） A．守株待兔 B．拔苗助长 C．旭日东升 D．竹篮打水 【答案】A 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件； 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会 发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事 件． 【解答】解：A．守株待兔，有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意； B．拔苗助长，是不可能事件，不符合题意； C．旭日东升，是必然事件，不符合题意； D．竹篮打水，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 4．估计 2√3 ×（2√3 − √2）的值应在（ ） 2 A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间 【答案】C 【分析】先计算 2√3 ×（2√3 − √2）的值，再估算√6的取值范围，进一步估算12 − 2√6的取值范围 即可． 【解答】解：2√3 × (2√3 − √2) = 2√3 × 2√3 − 2√3 × √2 = 12 − 2√6， ∵√4＜√6＜√9， 即2＜√6＜3， ∴4＜2√6＜6， 又∵√24＜√25， ∴2√6＜5， ∴4＜2√6＜5， ∴−5＜− 2√6＜− 4， ∴7＜12 − 2√6＜8， 即 2√3 ×（2√3 − √2）的值应在 7 和 8 之间， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 5．某厂今年一月份新产品的研发资金为 10 万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x， 则该厂今年一季度新产品的研发资金 y（万元）关于 x的函数关系式为（ ） A．y＝10（1+x）3 B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2 C．y＝10+10x+x2 D．y＝10（1+x）2 【答案】B 【分析】根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率， 可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相 加，即可得出 y关于 x的函数关系式． 【解答】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为 10 万元，以后每月新产品的研发资金与上月相 比增长率都是 x， ∴该厂今年二月份新产品的研发资金为 10（1+x）万元，三月份新产品的研发资金为 10（1+x）2 万 元． 根据题意得：y＝10+10（1+x）+10（1+x）2． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出 y关于 x的函数 关系式是解题的关键． 6．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第 1 幅图中有 4 个圆点，第 2 幅图中有 7 个圆点， 第 3 幅图中有 10 个圆点，第 4 幅图中有 13 个圆点，…，按照此规律，第 2024 幅图中圆点的个数是 （ ） A．6069 B．6070 C．6072 D．6073 【答案】D 【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第 n个图摆放圆点的个数． 【解答】解：观察图形可知： 摆第 1 个图案需要 4 个圆点，即 4+3×0； 摆第 2 个图案需要 7 个圆点，即 4+3＝4+3×1； 摆第 3 个图案需要 10 个圆点，即 4+3+3＝4+3×2； 摆第 4 个图案需要 13 个圆点，即 4+3+3+3＝4+3×3； … 3 第 n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1， 当 n＝2024 时，3×2024+1＝6073， 故选：D． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 7．如图，圆内接四边形 ABCD，AB 为⊙O 的直径，延长 DC 交 AB 延长线于点 E，且 CD＝CE，若∠ DAB＝45°，则∠E＝（ ） A．25° B．30° C．45° D．50° 【答案】B 【分析】直接利用圆周角定理得出∠DOB＝90°，再利用直角三角形的性质、等边三角形的判定与性 质得出∠DOC＝60°，进而得出答案． 【解答】解：连接 DO，CO， ∵∠DAB＝45°， ∴∠DOB＝90°， ∴△DOE是直角三角形， ∵DC＝EC， ∴CO＝DC＝EC， ∵DO＝CO， ∴DO＝CO＝DC， ∴△DOC是等边三角形， ∴∠DOC＝60°， ∴∠COE＝30°， ∵EC＝CO， ∴∠COE＝∠E＝30°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形以及直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正 确得出△DOC是等边三角形是解题关键． 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+b和二次函数 y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先由二次函数 y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数 y＝ax+b的图象 相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x= − 𝑏 2𝑎 ＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项 正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x= − 𝑏 2𝑎 ＞0，得 b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 4 故选：A． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 9．如图，正方形 ABCD中，点 E、F、G、H分别为边 AB、BC、AB、CD上的点，连接 DF、DG、EH， 若 HE＝DF，BE＞CH，∠ADG＝∠FDG．当∠BEH＝α 时，则∠AGD的度数为（ ） A．α B．90°﹣α C．90° − 𝛼 2 D．135°﹣α 【答案】C 【分析】如图，设 EH与 DF交于点 K，过点 A作 AM∥EH交 CD于点 M，交 DF于点 N，根据正方 形性质可得：AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，先证明四边形 AEHM 是平行四边形，再证 明 Rt△ADM≌Rt△DCF（HL），利用直角三角形两锐角互余和角平分线定义即可求得答案． 【解答】解：如图，设 EH与 DF交于点 K，过点 A作 AM∥EH交 CD于点M，交 DF于点 N， ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°， ∴四边形 AEHM是平行四边形， ∴AM＝HE， ∵HE＝DF， ∴AM＝DF， 在 Rt△ADM和 Rt△DCF中， { 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷 𝐴𝑀 = 𝐷𝐹 ， ∴Rt△ADM≌Rt△DCF（HL）， ∴∠AMD＝∠DFC， ∵∠CDF+∠DFC＝90°， ∴∠CDF+∠AMD＝90°， 在△DNM中，∠MND＝180°﹣（∠CDF+∠AMD）＝180°﹣90°＝90°， ∵AM∥EH， ∴∠DKH＝∠MND＝90°， ∵AB∥CD，∠BEH＝α， ∴∠DHE＝∠BEH＝α， ∴∠CDF＝90°﹣α， ∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝α， ∵∠ADG＝∠FDG， ∴∠ADG= 1 2 ∠ADF= 1 2 α， 在 Rt△ADG中，∠AGD＝90°﹣∠ADG＝90°− 1 2 𝛼． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、直 角三角形的两个锐角互余等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．有 n个依次排列的整式：第一项是 a2，第二项是 a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为 b1， 将 b1 加 2 记为 b2，将第二项与 b2 相加作为第三项，将 b2 加 2 记为 b3，将第三项与 b3 相加作为第四 项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到 5 个结论： ①b3＝2a+5； ②当 a＝2 时，第 3 项为 16； ③若第 4 项与第 5 项之和为 25，则 a＝7； ④第 2022 项为（a+2022）2； 5 ⑤当 n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k 2； 以上结论正确的是（ ） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】根据题意可以得出规律，第 n项为（a+n﹣1）2，bn＝2a+2n﹣1，根据规律逐项求解判断即 可． 【解答】解：由题意可知，第一项为（a+0）2，第二项为（a+1）2， ∴b1＝a 2+2a+1﹣a2＝2a+1， ∴b2＝2a+3， ∴b3＝2a+3+2＝2a+5，故①正确， ∴第三项为 a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2， 当 a＝2 时，第三项为 16，故②正确， ∴第四项为（a+2）2+2a+5＝（a+3）2， ∴b4＝2a+7， ∴第五项为（a+3）2+2a+7＝（a+4）2， ..． ∴bn＝2a+2n﹣1， ∴第 n项为（a+n﹣1）2， ∴第 2022 项为（a+2021）2 故④错误， 若第四项与第五项的和 25， 则（a+3）2+（a+4）2＝25， 解得 a＝0 或 a＝﹣7，故③错误， 当 n＝k时，b1+b2+…+bk ＝（2a+1）+（2a+3）+…+（2a+2k﹣1） ＝2ka+[1+3+5+…+（2k﹣1）] ＝2ka+k2， 故⑤正确， 故正确的为：①②⑤， 故选：A． 【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律时解答此题的关键，难 度较大． 二、填空题（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上． 11．√16 − ( 1 2 )−2 + (3 − 𝜋)0 = 1 ． 【答案】1． 【分析】根据算术平方根，负整数指数幂，零次幂分别计算即可． 【解答】解：原式= √16 − ( 1 2 )−2 +（3﹣π）0 ＝4﹣4+1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根，负整数指数幂，零次幂知识点是解题的关键． 12．已知 A（0，3）、B（2，3）是抛物线 y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 （1，4） ． 【答案】见试题解答内容 【分析】已知 A（0，3）、B（2，3）是抛物线 y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线 y＝﹣x2+bx+c上两点， ∴c＝3，﹣4+2b+c＝3， 解得：b＝2，c＝3， 即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 故抛物线的顶点坐标是：（1，4）， 故答案为：（1，4）． 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关 键． 13．现从﹣2，﹣1，0，3 中，任取一个数作为二次函数 y＝ax2+2x+1 中 a的值，则所得抛物线与 x轴有 6 公共点的概率 1 2 ． 【答案】 1 2 ． 【分析】若抛物线与 x轴有公共点，则Δ＝22﹣4a×1≥0，即 a≤1，而二次函数 y＝ax2+2x+1 需满足 a≠0，则可得 a≤1 且 a≠0，再利用概率公式可得答案． 【解答】解：若抛物线与 x轴有公共点， 则Δ＝22﹣4a×1≥0， ∴a≤1． ∵y＝ax2+2x+1 为二次函数， ∴a≠0， ∴a≤1 且 a≠0， ∵数字﹣2，﹣1，0，3 中，满足小于等于 1 且不等于 0 的有：﹣2，﹣1， ∴所得抛物线与 x轴有公共点的概率为 2 4 = 1 2 ． 故答案为： 1 2 ． 【点评】本题考查概率公式、二次函数的性质、抛物线与 x轴的交点，熟练掌握概率公式、抛物线与 x轴的交点是解答本题的关键． 14．如图，△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 40°后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上，且∠ AOC＝100°，则∠C的度数是 50° ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝40°，AO＝DO，再求出∠COD，及∠A，即可知∠ODC的度 数，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵△ODC是△OAB绕点 O顺时针旋转 40°后得到的图形， ∴∠AOD＝40°，AO＝DO， ∵∠AOC＝100°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝100°﹣40°＝60°， ∠𝐴 = ∠𝐴𝐷𝑂 = 1 2 (180° − ∠𝐴𝑂𝐷) = 1 2 × (180° − 40°) = 70°， ∴∠ODC＝∠A＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠COD﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣70°＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、以及三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解 题的关键． 15．如图，在正方形 ABCD中，以 A为圆心，AD为半径画弧，再以 AD为直径作半圆，连接 AC，若正 方形边长为 4，则图中阴影部分的面积为 2π﹣4 ． 【答案】2π﹣4． 【分析】根据题意得到𝑆^阴影，即可得到答案． 【解答】解：如图，设半圆与 AC的交点为点 E，取 AD的中点为点 O，连接 OE、DE，设以 A为圆 心，AD为半径画弧交 AC于点 F， ∴∠AED＝90°，𝑂𝐸 = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐴 = 1 2 𝐴𝐷 = 2， ∵四边形 ABCD是正方形， 7 ∴∠DAE＝45°， ∴∠ADE＝∠DAE＝45°， ∴OE⊥AD， ∴𝑆^阴影， 故答案为：2π﹣4． 【点评】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式、正方形的性质是关键． 16．已知关于 x的分式方程 𝑎𝑥+1 2−𝑥 + 1 = 3 𝑥−2 有整数解，且关于 y的不等式组{ 4𝑦 ≥ 3(𝑦 − 2) 2𝑦 − 𝑦−1 2 ＜𝑎 有解且至多 5 个整数解，则所有满足条件的整数 a的值之和为 ﹣6 ． 【答案】﹣6． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出 x，由 x为整数确定出 a的值，表示出不等式组的 解集，由不等式组有解且至多 5 个整数解，确定出 a的取值，即可求解， 【解答】解：分式方程 𝑎𝑥+1 2−𝑥 + 1 = 3 𝑥−2 得：𝑥 = 6 1−𝑎 ， ∵分式方程有整数解， ∴1﹣a＝±1 或±2 或±3 或±6，且𝑥 = 6 1−𝑎 ≠ 2，即 a≠﹣2， 解得：a＝0 或 2 或﹣1 或 3 或 4 或﹣5 或 7， 不等式组整理得：{ 𝑦 ≥ −6 𝑦＜ 2𝑎−1 3 ，即−6 ≤ 𝑦＜ 2𝑎−1 3 ， 由不等式组有解且至多 5 个整数解，得到−6＜ 2𝑎−1 3 ≤ −1，解得：− 17 2 ＜𝑎 ≤ −1， ∴则符合条件的所有整数 a的为﹣1 和﹣5，和为﹣1+（﹣5）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的 关键． 17．如图，AB为圆 O的直径，过点 A的切线与弦 BD的延长线相交于点 C，OE⊥BD，若 AD＝12，BE ＝8，则 AC＝ 15 ． 【答案】15． 【分析】根据垂径定理求出 BD，根据勾股定理求出 AB，证明△BEO∽△BAC，根据相似三角形的性 质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵OE⊥BD，BE＝8， ∴BD＝2BE＝16， ∵AB为圆 O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AB= √𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = √122 + 162 =20， 在 Rt△BEO中，OE= √𝑂𝐵2 − 𝐵𝐸2 =6， ∵AC为圆 O的切线， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC， ∵∠B＝∠B， ∴△BEO∽△BAC， ∴ 𝐵𝐸 𝐵𝐴 = 𝑂𝐸 𝐴𝐶 ，即 8 20 = 6 𝐴𝐶 ， 解得：AC＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切 线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 18．如果一个四位自然数𝑎𝑏𝑐𝑑的各数位上的数字均不为 0，满足𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 2𝑐 + 𝑐𝑑，那么称这个四位数 为“天天向上数”．例如：四位数 2129，∵21+12＝2×2+29，∴2129 是“天天向上数”：又如 3465， 8 ∵34+46≠2×6+65，∴3465 不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为𝑎358，则此时 a＝ 3 ； 若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数𝑎𝑏𝑐与后三位数字组成的三位数𝑏𝑐𝑑的和能被 9 整 除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为 4275 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“天天向上数”定义计算即可得出 a的值，根据“天天向上数”的定义得出 10a+11b＝ 1lc+d，由题意得出 𝑎𝑏𝑐+𝑏𝑐𝑑 9 =12a+13b+ 2𝑎+4𝑏 9 ，结合 a、b、c、d 的取值得出 2a+4b＝18 或 2a+4b ＝36 或 2a+4b＝54，再分别求解即可得出答案． 【解答】解：∵一个“天天向上数”为𝑎358， ∴𝑎3 +35＝2×5+58， ∴10a+3+35＝10+58， 解得：a＝3； ∵如果一个四位自然数𝑎𝑏𝑐𝑑的各数位上的数字均不为 0，满足𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 2𝑐 + 𝑐𝑑 → ，那么称这个四位数 为“天天向上数”， ∴10a+b+10b+c＝2c+10c+d， ∴10a+11b＝1lc+d， ∵一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数𝑎𝑏𝑐与后三位数字组成的三位数𝑏𝑐𝑑的和能被 9 整 除， ∴ 𝑎𝑏𝑐+𝑏𝑐𝑑 9 = 100𝑎+10𝑏+𝑐+100𝑏+10𝑐+𝑑 9 = 100𝑎+110𝑏+11𝑐+𝑑 9 = 100𝑎+110𝑏+10𝑎+11𝑏 9 = 110𝑎+121𝑏 9 = 12𝑎 + 13𝑏 + 2𝑎+4𝑏 9 ， ∴2a+4b＝9k（k为正整数）， 由题意得：0＜a≤9，0＜b≤9，0＜c≤9，0＜d≤9， ∴0＜2a+4b≤54， ∵2a+4b的和为偶数， ∴2a+4b＝18 或 2a+4b＝36 或 2a+4b＝54， 当 2a+4b＝18 时，解得{ 𝑎 = 1 𝑏 = 4. 或{ 𝑎 = 3 𝑏 = 3 或{ 𝑎 = 5 𝑏 = 2 或{ 𝑎 = 7 𝑏 = 1 ， ∵10a+11b＝1lc+d， ∴当{ 𝑎 = 1 𝑏 = 4 时，此时 c、d无符合题意的取值，不符合题意； 当{ 𝑎 = 3 𝑏 = 3 时，此时 c＝5，d＝8，即这个“天天向上数”为 3358， 当{ 𝑎 = 5 𝑏 = 2 时，此时 c＝6，d＝6，即这个“天天向上数”为 5266， 当{ 𝑎 = 7 𝑏 = 1 时，此时 c＝7，d＝4，即这个“天天向上数”为 7174； 当 2a+4b＝36 时，解得{ 𝑎 = 2 𝑏 = 8 或{ 𝑎 = 4 𝑏 = 7 或{ 𝑎 = 6 𝑏 = 6 或{ 𝑎 = 8 𝑏 = 5 ， ∵10a+11b＝1lc+d， ∴当{ 𝑎 = 2 𝑏 = 8 时，此时 c＝9，d＝9，即这个“天天向上数”为 2899， 当{ 𝑎 = 4 𝑏 = 7 时，此时 c、d无符合题意的取值，不符合题意； 当{ 𝑎 = 6 𝑏 = 6 时，此时 c、d无符合题意的取值，不符合题意； 当{ 𝑎 = 8 𝑏 = 5 时，此时 c、d无符合题意的取值，不符合题意； 当 2a+4b＝54 时，解得{ 𝑎 = 9 𝑏 = 9 ， ∵10a+11b＝1lc+d， ∴当{ 𝑎 = 9 𝑏 = 9 时，此时 c、d无符合题意的取值，不符合题意； 综上所述，符合题意的“天天向上数”为 3358，5266，7174，2899， ∵2899＜3358＜5266＜7174， ∴7174﹣2899＝4275， 故答案为：3，4275． 9 【点评】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用，理解“天天向上数”定义和较强的运算能力是 解此题的关键． 三、解答题：（本大题共 8小题，19题 8分，20－26题各 10分，共 78分）解答时每小 题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过 程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： （1）（x﹣2y）2﹣x（x+2y）； （2） 2𝑚+1 𝑚 − (2 − 𝑚) ÷ −𝑚2+4𝑚−4 𝑚2−4 ． 【答案】（1）﹣6xy+4y2；（2） 1−𝑚2 𝑚 ． 【分析】（1）运用完全平方公式和单项式乘多项式的计算方法去掉小括号；再合并同类项即可． （2）根据完全平方公式和平方差公式对分式除进行化简；再算减法即可． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣2xy ＝﹣6xy+4y2； （2）原式= 2𝑚+1 𝑚 − (2 −𝑚) × (𝑚+2)(𝑚−2) −(𝑚−2) 2 = 2𝑚+1 𝑚 − (𝑚 + 2) = 2𝑚+1 𝑚 − 𝑚(𝑚+2) 𝑚 = 1−𝑚2 𝑚 ． 【点评】本题考查了分式的混合运算和单项式乘多项式，解题的关键是运算公式法和计算法则进行 计算． 20．学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填 空： （1）用直尺和圆规，过点 C作 CM⊥AD交 AD延长线于点 M，过点 C作 CN⊥AB交 AB于点 N（只 保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形 ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AC平分∠BAD，求证：CD＝CB． 证明：∵AC平分∠BAD，且 CM⊥AD，CN⊥AB， ∴① CN＝CM 且∠CNB＝∠CMD＝90°， ∵在四边形 ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°∴∠B+∠ADC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDM＝180°， ∴② ∠CDM ＝∠B， ∴△CDM≌△CBN（③ AAS ）， ∴CD＝CB． 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特征．请你依照 题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个 小角④ 所对的四边形的两条边相等 ． 【答案】（1）见解析；（2）CN＝CM；∠CDM；AAS；所对的四边形的两条边相等． 【分析】（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到 CN＝CM，再证明∠CDM＝∠B，进而证明△CDM≌△CBN（AAS）， 则可得到 CD＝CB，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的 四边形的两条边相等． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵AC平分∠BAD，且 CM⊥AD，CN⊥AB， ∴CN＝CM且∠CNB＝∠CMD＝90°， 10 ∵在四边形 ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠B+∠ADC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDM＝180°， ∴∠CDM＝∠B， ∴△CDM≌△CBN（AAS）， ∴CD＝CB； ∴对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边 形的两条边相等， 故答案为：CN＝CM；∠CDM；AAS；所对的四边形的两条边相等． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角 和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 21．为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排 球；D．足球，这 4 门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有 100 名男同学选择 了 A 项目，为了解选择 A 项目男同学的情况，从这 100 名男同学中随机抽取了 30 人在操场进行测 试，并将他们的成绩 x（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在 160≤x＜165 这一组的数据为 160，162，161，163，162，164， 则该组数据的中位数是 162 ，众数是 162 ； （2）根据题中信息，估计选择 B项目的男生共有 175 人，扇形统计图中 D项目所占圆的圆心角 为 108 度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的 2 名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表 法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案． （2）先用选择 A项目的男生人数除以扇形统计图中 A的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男 生人数乘以扇形统计图中 B 的百分比可得选择 B项目的男生人数；用 360°乘以扇形统计图中 D得 百分比即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得 出答案． 【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第 3 和第 4 的为 162 和 162， ∴该组数据的中位数是（162+162）÷2＝162． 该组数据中出现次数最多的为 162， ∴该组数据的众数为 162． 故答案为：162；162． （2）全校的男生人数为 100÷20%＝500（人）， ∴选择 B项目的男生共有 500×35%＝175（人）． 扇形统计图中 D项目所占圆的圆心角为 360°×（1﹣20%﹣35%﹣15%）＝108°． 故答案为：175；108． （3）画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有 2 种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为 2 12 = 1 6 ． 【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读 懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键． 22．山城步道是重庆的特色，市民可以在步道里面休闲、运动，享受美好生活．半山崖线步道沙坪坝段 11 全长 2000 米，由甲、乙两个工程队合作完成，甲工程队修建的步道长度比乙工程队修建的步道长度 的 2 倍少 400 米． （1）求甲、乙两工程队各修建步道多少米？ （2）实际修建过程中，甲工程队每天比乙工程队多修 5 米，最终甲工程队完成任务时间是乙工程队 完成任务时间的 1.2 倍，则甲工程队每天修建步道多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙工程队修建步道 x米，则甲工程队修建步道（2x﹣400）米，根据半山崖线步道沙 坪坝段全长 2000 米，可列出关于 x的一元一次方程，解之即可得出乙工程队修建步道的长度，再将 其代入（2x﹣400）中，即可求出甲工程队修建步道的长度； （2）设乙工程队每天修建步道 y米，则甲工程队每天修建步道（y+5）米，利用工作时间＝工作总量 ÷工作效率，结合甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的 1.2 倍，可列出关于 y的分式方 程，解之经检验后，可得出乙工程队每天修建步道的长度，再将其代入（y+5）中，即可求出甲工程 队每天修建步道的长度． 【解答】解：（1）设乙工程队修建步道 x米，则甲工程队修建步道（2x﹣400）米， 根据题意得：2x﹣400+x＝2000， 解得：x＝800， ∴2x﹣400＝2×800﹣400＝1200（米）． 答：甲工程队修建步道 1200 米，乙工程队修建步道 800 米； （2）设乙工程队每天修建步道 y米，则甲工程队每天修建步道（y+5）米， 根据题意得： 1200 𝑦+5 = 800 𝑦 ×1.2， 解得：y＝20， 经检验，y＝20 是所列方程的解，且符合题意， ∴y+5＝20+5＝25（米）． 答：甲工程队每天修建步道 25 米，乙工程队每天修建步道 20 米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系， 正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 23．如图，矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝6，点 E为 AB边的中点，点 F为 BC边上的三等分点（CF＜ BF），动点 P从点 A出发，沿折线 A→D→C运动，到 C点停止运动．点 P的运动速度为每秒 2 个 单位长度，设点 P运动时间为 x秒，△PEF的面积为 y． （1）请直接写出 y关于 x的函数解析式，并注明自变量 x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当直线 y1＝﹣2x+b与该函数图象有两个交点时，b的取值范围． 【答案】（1）𝑦 = { 2𝑥 + 4，(0 ≤ 𝑥 ≤ 3) −4𝑥 + 22，(3＜𝑥 ≤ 5) ； （2）图象见解析；当 0≤x≤3 时，y随着 x 的增大而增大，当 3＜x≤5 时，y 随着 x 的增大而减小； （答案不唯一）． （3）12≤b＜16． 【分析】（1）分 0＜x≤3 和 3＜x≤5 两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）分别求出直线 y1＝﹣2x+b经过点（5，2）和点（3，10）时 b的值，结合图象写出答案即可． 【解答】解：（1）在矩形 ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6， ∵点 E为 AB边的中点，点 F为 BC边上的三等分点（CF＜BF）， ∴𝐴𝐸 = 𝐵𝐸 = 1 2 𝐴𝐵 = 2，𝐶𝐹 = 1 3 𝐵𝐶 = 2，𝐵𝐹 = 2 3 𝐵𝐶 = 4， 当点 P在 AD上时，则 AP＝2x，则 0＜2x≤6，即 0＜x≤3， 此时 DP＝6﹣2x， 12 ∴△PEF的面积𝑦 = 4 × 6 − 1 2 𝐴𝐸 ⋅ 𝐴𝑃 − 1 2 𝐵𝐸 ⋅ 𝐵𝐹 − 1 2 (𝐶𝐹 + 𝐷𝑃) ⋅ 𝐶𝐷 = 4 × 6 − 1 2 × 2 × 2𝑥 − 1 2 × 2 × 4 − 1 2 (2 + 6 − 2𝑥) × 4 ＝2x+4； 当点 P在 CD上时，即 3＜x≤5 时，如图， 则 DP＝2x﹣6， ∴△PEF的面积𝑦 = 4 × 6 − 1 2 𝐵𝐸 ⋅ 𝐵𝐹 − 1 2 𝐶𝑃 ⋅ 𝐶𝐹 − 1 2 (𝐴𝐸 + 𝐷𝑃) ⋅ 𝐴𝐷 = 4 × 6 − 1 2 × 2 × 4 − 1 2 × 2 × (10 − 2𝑥) − 1 2 (2 + 2𝑥 − 6) × 6 ＝﹣4x+22； ∴𝑦 = { 2𝑥 + 4，(0 ≤ 𝑥 ≤ 3) −4𝑥 + 22，(3＜𝑥 ≤ 5) （2）函数图象如图所示， 当 0≤x≤3 时，y随着 x的增大而增大，当 3＜x≤5 时，y随着 x的增大而减小； （3）当直线 y1＝﹣2x+b经过点（5，2）时，2＝﹣2×5+b，则 b＝12， 当直线 y1＝﹣2x+b经过点（3，10）时，10＝﹣2×3+b，则 b＝16， 结合图象可知，直线 y1＝﹣2x+b与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是 12≤b＜16． 【点评】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关 键． 24．如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A（2，2），B（0，3），C（1，0）． （1）将△ABC绕坐标原点 O顺时针旋转 90°为△A1B1C1，写出点 A1、B1、C1 的坐标，并在图中作 出△A1B1C1； （2）求△A1B1C1 的面积． 13 【答案】（1）A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1），画图见解答． （2） 5 2 ． 【分析】（1）根据旋转的性质可得点 A1、B1、C1 的坐标，画图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）点 A1（2，﹣2）、B1（3，0）、C1（0，﹣1）． 如图，△A1B1C1 即为所求． （2）△A1B1C1 的面积为 1 2 × (1 + 2) × 3 − 1 2 × 2 × 1 − 1 2 × 1 × 2 = 9 2 −1﹣1= 5 2 ． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+3 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）和点 B（4， 0），与 y轴交于点 C，连接 BC，过点 A作 AD∥BC交 y轴于点 D，连接 BD． （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，点 P 在第一象限内的抛物线上，连接 PB、PC，当四边形 BPCD的面积最大时，求出 此时点 P的坐标以及 S 四边形 BPCD的最大值； （3）如图 2，将抛物线先向左平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位得到新抛物线，若新抛物线与 y 轴交于点 E，连接 AE、BE，点 M在新抛物线的对称轴上，满足：∠EBM+∠AEO＝∠OEB，请直接 写出点M的坐标． 【答案】（1）𝑦 = − 3 4 (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = − 3 4 𝑥2 + 9 4 𝑥 + 3； （2）𝑃(2， 9 2 )，S 四边形 BPCD的最大值为 13.5； （3）𝑀1(− 3 2 ， 11 8 )，𝑀2(− 3 2 ，22)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由 S 四边形 BPCD＝S△BCD+S△PBC，即可求解； （3）由∠OEB＝∠OBE＝45°，∠EBM+∠AEO＝∠OEB＝45°，得到∠MBN＝∠OEA，则 tan∠AEO= 𝑂𝐴 𝑂𝐸 = 1 4 =tan∠MBN，即可求解． 【解答】解：（1）由题意，设二次函数的解析式：y＝a（x+1）（x﹣4）， 由题意：﹣4a＝3， ∴𝑎 = − 3 4 ， ∴𝑦 = − 3 4 (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = − 3 4 𝑥2 + 9 4 𝑥 + 3； （2）过点 P作 PQ∥y轴交 BC于点 Q， 14 ∵AD∥BC， ∴𝑆△𝐵𝐶𝐷 = 𝑆△𝐵𝐶𝐴 = 1 2 × 5 × 3 = 7.5， ∴S 四边形BPCD＝S△BCD+S△PBC = 7.5 + 1 2 × 4 × 𝑃𝑄 = 7.5 + 2𝑃𝑄， ∵B（4，0）、C（0，3）， ∴BC的解析式为：𝑦 = − 3 4 𝑥 + 3， 设𝑃(𝑚，− 3 4 𝑚2 + 9 4 𝑚 + 3)，𝑄(𝑚，− 3 4 𝑚+ 3)， ∴𝑃𝑄 = − 3 4 𝑚2 + 3𝑚， ∵− 3 4 ＜0，对称轴：直线 m＝2， ∴当 m＝2 时，PQ 最大＝3， 此时𝑃(2， 9 2 )，S 四边形BPCD的最大值为 13.5； （3）平移过后的解析式𝑦 = − 3 4 𝑥2 − 9 4 𝑥 + 4，对称轴为：直线𝑥 = − 3 2 ， 由新抛物线的表达式知，点 E（0，4），即 OE＝OB＝4，设新抛物线的对称轴交 x 轴于点 N（− 3 2 ， 0）， 则∠OEB＝∠OBE＝45°，∠EBM+∠AEO＝∠OEB＝45°， ∴∠MBN＝∠OEA， 由点 O、A、C的坐标得：tan∠AEO= 𝑂𝐴 𝑂𝐸 = 1 4 =tan∠MBN， 则直线 BM的表达式为：y= − 1 4 （x﹣4）， 当 x= − 3 2 时，y= − 1 4 （x﹣4）= 11 8 ； 即点 M（− 3 2 ， 11 8 ）； 当点 M（M′）在 BE上方时， 同理可得：直线 BM′的表达式为：y＝﹣4（x﹣4）， 当 x= − 3 2 时，y＝﹣4（x﹣4）＝22， 即点 M（− 3 2 ，22）； 综上，𝑀1(− 3 2 ， 11 8 )，𝑀2(− 3 2 ，22)． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形 结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间 的关系． 26．已知，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AD 上的两点，连接 BE、CF，并延长交于点 G，连接 DG，H为 CF上一点，连接 BH、DH，∠GBH+∠GED＝90°． 15 （1）如图 1，若 H为 CF的中点，AB＝3，且 AF＝2DF，求线段 DH的长； （2）如图 2，若 BH＝BC，过点 B作 BI⊥CH于点 I，求证：𝐵𝐼 + √2 2 𝐷𝐺 = 𝐶𝐺； （3）如图 3，若 AB＝3，P为线段 AD（包含端点 A、D）上一动点，连接 CP，过点 B作 BQ⊥CP于 点 Q，将△BCQ沿 BC翻折得△BCM，N为直线 AB上一动点，连接 MN，当△BCM面积最大时，直 接写出 √2 2 𝐴𝑁 + 𝑀𝑁的最小值． 【答案】（1）𝐷𝐻 = √10 2 ； （2）证明见解析过程； （3） √2 2 𝐴𝑁 + 𝑀𝑁的最小值为3√2． 【分析】（1）根据正方形的性质，求得 AB＝AD＝DC＝3，DF＝1，在 Rt△FDC中，根据勾股定理 求得𝐹𝐶 = √10，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点 D作 DM⊥GC于点 M，证明△GBI是等腰直角三角形，△BIC≌△CMD，进而证明△GMD 是等腰直角三角形，根据𝐺𝐶 = 𝐺𝐼 + 𝐼𝐶 = 𝐵𝐼 +𝑀𝐷 = 𝐵𝐼 + √2 2 𝐺𝐷即可得证； （3）取 BC的中点 S，连接 SM，连接 PN，以 PN为底边，在 PN的左侧作等腰直角三角形 TPN，根 据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得𝑆𝑀 = 1 2 𝐵𝐶 = 3 2 ，则当 SM⊥BC时，△B C M的面 积最大，由𝑇𝑁 +𝑀𝑁 = √2 2 𝐴𝑁 +𝑀𝑁 ≥ 𝑇𝑀，可得当 T，N，M三点共线时， √2 2 𝐴𝑁 + 𝑀𝑁取得最小值， 证明四边形 ATMC是矩形，可得𝑇𝑀 = 𝐴𝐶 = 3√2，即 √2 2 𝐴𝑁 + 𝑀𝑁的最小值为3√2． 【解答】（1）解：∵四边形 ABCD是正方形，AB＝3， ∴∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC＝3， ∵AF＝2DF， ∴AF＝2，DF＝1， 在 Rt△FDC中，𝐶𝐹 = √12 + 32 = √10， ∵H为 CF的中点， ∴𝐷𝐻 = 1 2 𝐶𝐹 = √10 2 ； （2）证明：如图，过点 D作 DM⊥GC于点 M， ∵∠AEB＝∠GED，∠GBH+∠GED＝90°， ∵∠AEB+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBH= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐻， ∵BH＝BC，BI⊥CH， ∴∠HBI＝∠CBI= 1 2 ∠𝐻𝐵𝐶， ∵∠ABC＝90°， ∴∠𝐺𝐵𝐼 = ∠𝐺𝐵𝐻 + ∠𝐻𝐵𝐼 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐻 + 1 2 ∠𝐻𝐵𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶 = 45°， ∴△GBI是等腰直角三角形， ∴GI＝BI， ∵∠BIC＝∠CMD＝90°，∠ICB＝90°﹣∠DCM＝∠CDM，BC＝DC， ∴△BIC≌△CMD， ∴MD＝IC，MC＝BI， 16 ∴GM＝GC﹣CM＝GC﹣BI＝GC﹣GI＝IC， ∴GM＝MD， ∴△GMD是等腰直角三角形， ∴𝑀𝐷 = √2 2 𝐺𝐷， ∴𝐺𝐶 = 𝐺𝐼 + 𝐼𝐶 = 𝐵𝐼 +𝑀𝐷 = 𝐵𝐼 + √2 2 𝐺𝐷， 即𝐵𝐼 + √2 2 𝐷𝐺 = 𝐶𝐺； （3）解：如图 3 所示，取 BC的中点 S，连接 SM，连接 PN，以 PN为底边，在 PN的左侧作等腰直 角三角形 TPN， ∴𝑇𝑁 = √2 2 𝑃𝑁， ∵BQ⊥PC， ∴△BCQ是直角三角形， ∵将△BCQ沿 BC翻折得△B C M， ∴△BMC是直角三角形， ∴𝑆𝑀 = 1 2 𝐵𝐶 = 3 2 ， 当 SM⊥BC时，△B C M的面积最大， ∵S是 BC的中点， ∴△BMC是等腰直角三角形， 则△BQC也是等腰直角三角形， ∴𝐶𝑄 = 𝐵𝑄 = √2 2 𝐵𝐶 = 1 2 𝐴𝐶， 此时如图 4 所示，则点 P与 A重合， ∵𝑇𝑁 +𝑀𝑁 = √2 2 𝐴𝑁 +𝑀𝑁 ≥ 𝑇𝑀， ∴T，N，M三点共线时， √2 2 𝐴𝑁 + 𝑀𝑁取得最小值， ∴∠PCM＝∠ACB+∠BCM＝90°， ∵∠BMC＝90°，∠TAC＝∠TAB+∠BAC＝90°， 则四边形 ATMC是矩形， ∴𝑇𝑀 = 𝐴𝐶 = 3√2， 即 √2 2 𝐴𝑁 + 𝑀𝑁的最小值为3√2． 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段 最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．