第二章 直线和圆的方程单元测试卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2章 直线和圆的方程单元测试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分. 第Ⅰ卷　(选择题　共60分) 一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线l:xsin 30°-ycos 30°+1=0的斜率是 (　　) A. B. C.- D.- 2.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆C上,则圆C的方程为 (　　) A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y-8=0 C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y=0 3.过点(-2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是 (　　) A.+y=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.+y=1或+=1 4.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=1的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定,与m的取值有关 5.若P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为 (　　) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) 6.若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为 (　　) A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 7.过圆x2+y2=16上一点P作圆O:x2+y2=m2(m>0)的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=π,则m= (　　) A.2 B.3 C.4 D.9 8. 已知实数x,y满足x2+(y-2)2=1,则的最大值为 (　　) A. B. C.1 D. 二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分) 9.已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是 (　　) A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0 C.直线l过定点(0,1) D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等 10. 已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到l1的距离与到l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程是 (　　) A.2x+3y-8=0 B.4x+6y+5=0 C.6x+9y-10=0 D.12x+18y-13=0 11.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则下列结论正确的是 (　　) A.m=5 B.m=-5 C.|AB|=4 D.|AB|=3 12.圆C的方程为x2+y2-4x=0,若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线互相垂直,则实数k的取值可以是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷　(非选择题　共90分) 三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知圆x2+y2+2x-4y+a=0关于直线y=2x+b对称,则b=　　　　.  14. 已知圆C的圆心在x轴正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为　　　　　　　　.  15.已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x2+y2-6x+12y+20=0,则圆C的半径为　　　　,l被圆C截得的弦长的最小值为　　　　.  16.若动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-2y-6=0上,记线段PQ的中点为M(x0,y0),且(x0-2)2+(y0+1)2≤5,则+的取值范围为　　　　.  四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分) 直线l经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且　　　　　.  (1)求直线l的方程; (2)求直线l与坐标轴围成的三角形的面积. 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. ①与直线2x-y-1=0平行; ②直线l在x轴上的截距为-. 18.(12分)已知圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0,圆C2:x2+y2-4x-5=0. (1)试判断圆C1与圆C2是否相交,若相交,求两圆公共弦所在直线的方程;若不相交,说明理由. (2)若直线y=kx+1与圆C1交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求实数k的值. 19.(12分)在平面直角坐标系内,点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),点P满足·=k||2. (1)若k=2,求点P的轨迹方程; (2)当k=0时,若|λ+|max=4,求实数λ的值. 20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,边AB,AD分别在x轴、y轴的正半轴上,点A与坐标原点O重合,如图 所示.将矩形折叠,使点A落在边DC上,设折痕所在直线的斜率为k. (1)试求折痕所在直线的方程; (2)当-2+≤k≤0时,求折痕长的最大值. 21.(12分)有一种商品,A,B两地均有售且价格相同,但某居住地的居民从两地往回运时,每单位距离A地运费是B地运费的3倍.已知A,B相距10 km,问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算?(仅从运费的多少来考虑) 22.(12分)如图所示,已知圆O:x2+y2=r2(r>0)上点(1,a)处的切线的斜率为-,圆O与y轴的交点分别为A,B,与x轴正半轴的交点为D,P为圆O上在第一象限内的任意一点,直线BD与AP相交于点M,直线DP与y轴相交于点N. (1)求圆O的方程. (2)试问:直线MN是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 第3章 直线和圆的方程单元测试卷答案 1.A　[解析] 由题可知直线l的斜率k==,故选A. 2.D　[解析] 因为圆C的圆心坐标为(2,-3),所以可设圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2,因为圆C过点(-1,-1),所以(-1-2)2+(-1+3)2=r2,所以r2=13,故圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=13,即x2+y2-4x+6y=0,故选D. 3.D　[解析] 由题可知,直线过点(-2,0),所以直线在x轴上的截距为-2,又直线在两坐标轴上的截距之差为3,所以直线在y轴上的截距为1或-5,则所求直线方程为+y=1或+=1.故选D. 4.A　[解析] 圆心C到直线l的距离d==<1=r.故选A. 5.C　[解析] 设P(a,5-3a),则点P到直线x-y-1=0的距离d===,所以|2a-3|=1,解得a=2或a=1,所以P点坐标为(2,-1)或(1,2). 6.D　[解析] 圆的标准方程为(x-3)2+y2=9,圆心为A(3,0).连接AP(图略),因为点P(1,1)是弦MN的中点,所以AP⊥MN.因为AP所在直线的斜率k==-,所以弦MN所在直线的斜率为2,所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 7.A　[解析] 由题易知0<m<4.如图所示,当∠AOB=π时,∠APB=,连接OP,易知OA⊥AP,|OP|=4,∠APO=,∴|OA|=|OP|=2,则m=|OA|=2.故选A . 8.B　[解析] 根据题意,实数x,y满足x2+(y-2)2=1,则点(x,y)为圆x2+(y-2)2=1上的点,设P(x,y)是圆x2+(y-2)2=1上任意一点,连接OP,过点P作直线x+y=0的垂线, 垂足为T,则的几何意义为线段PT的长度,=,其几何意义为线段OP的长度,所以==sin∠POT,设直线y=kx与圆x2+(y-2)2=1相切于第一象限,此时sin∠POT取得最大值,且最大值为sin=,故的最大值为. 9.AC　[解析] 验证可知选项A,C正确;对于选项B,若直线l与直线x-y=0平行,则有a=0或a=-1,所以选项B错误;当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距分别是-1和1,所以选项D错误.故选AC. 10.BD　[解析] 设直线l的方程为4x+6y+b=0,直线l1的方程化为4x+6y-2=0,依题意=,解得b=5或b=-,所以选项B,D正确. 11.ABC　[解析] 如图所示,在Rt△OO1A中,由已知条件知|OA|=,|O1A|=2,∴|OO1|==5,∴当圆O1在y轴右侧时,m=5,当圆O1在y轴左侧时,m=-5,∴m=±5.又AB⊥OO1,∴|AC|==2,故|AB|=4.故选ABC. 12.AB　[解析] x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,圆心C(2,0),半径r=2,因为过点P所作的圆的两条切线互相垂直,所以点P,圆心C和两个切点构成正方形,所以|PC|=r=2,所以圆心C(2,0)到直线的距离不大于2,即≤2,化简得k2≤8,解得-2≤k≤2,所以实数k可以取1或2. 13.4　[解析] 由题意知,直线y=2x+b过圆心,而圆心坐标为(-1,2),代入直线方程,得b=4. 14.(x-2)2+y2=9　[解析] 由题意设圆的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),由点M(0,)在圆上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,得得所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9. 15.5　2　[解析] 将直线l的方程变形为2m(x-4)-(y+3)=0,由得即直线l恒过点A(4,-3).将圆C的方程化为标准方程,即(x-3)2+(y+6)2=25,∴圆心C的坐标为(3,-6),半径r=5.∵点A与圆心C之间的距离d=<5,∴点A在圆C内,∴l与圆C总相交.连接CA,若所求弦长最短,则应满足CA⊥l,故l被圆C截得的弦长的最小值为2=2. 16.　[解析] 由题意得,直线a:x-2y-2=0与直线b:x-2y-6=0互相平行,动点P在直线a上,动点Q在直线b上,所以PQ的中点M在与直线a,b平行,且到直线a,b的距离相等的直线上,设该直线为l,则其方程为x-2y-4=0.因为线段PQ的中点为M(x0,y0),且(x0-2)2+(y0+1)2≤5,所以点M(x0,y0)在圆C:(x-2)2+(y+1)2=5的内部或在圆C上.设直线l交圆C于A,B两点,则M在线段AB(含端点)上运动,易知,+的几何意义为线段AB(含端点)上的点M到原点O的距离的平方,而原点O到线段AB(含端点)的距离的平方的最小值为2=.由解得或不妨设A(4,0),B(0,-2),当M与A重合时,+取得最大值42+02=16.所以+的取值范围是. 17.解:方法一:选①. (1)∵直线l经过直线l1:x+y-4=0与直线l2:x-y+2=0的交点P,∴解方程组得即P(1,3).∵直线l平行于直线2x-y-1=0,∴设直线l的方程为2x-y+m=0,把P(1,3)的坐标代入,得2-3+m=0,解得m=1,∴直线l的方程为2x-y+1=0. (2)在直线l的方程2x-y+1=0中,令x=0,得 y=1,令y=0,得x=-,∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=×1×-=. 方法二:选②. (1)∵直线l经过直线l1:x+y-4=0与直线l2:x-y+2=0的交点P,∴解方程组得即P(1,3).由题意知直线l的斜率存在,设为k,且k≠0,则l:y-3=k(x-1),∵直线l在x轴上的截距为-,∴=-,∴k=2,∴直线l的方程为2x-y+1=0. (2)在直线l的方程2x-y+1=0中,令x=0,得 y=1,令y=0,得x=-,∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=×1×-=. 18.解:(1)由C1:(x+1)2+(y-2)2=4,得C1(-1,2),圆C1的半径r1=2.由C2:(x-2)2+y2=9,得C2(2,0),圆C2的半径r2=3.连接C1C2(图略),则|C1C2|==<r1+r2=5,∴两圆相交.两圆的方程作差得(x2+y2+2x-4y+1)-(x2+y2-4x-5)=6x-4y+6=0,即公共弦所在直线的方程为3x-2y+3=0. (2)由题可设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+1代入x2+y2+2x-4y+1=0,得x2+(kx+1)2+2x-4(kx+1)+1=0,整理得(1+k2)x2+(2-2k)x-2=0,由根与系数的关系得x1+x2=-①,x1·x2=②,又OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,将①②代入并化简得k2-2k-1=0,解得k=1-或k=1+. 19.解:(1)设P(x,y),则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).因为k=2,所以·=2||2,即x·x+(y-1)(y+1)=2(1-x)2+2y2,化简整理,得(x-2)2+y2=1,故点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=1. (2)因为k=0,所以·=0,所以x2+y2=1,所以|λ+|2=λ2+=λ2[x2+(y-1)2]+x2+(y+1)2=(2-2λ2)y+2λ2+2(y∈[-1,1]).当2-2λ2>0,即-1<λ<1时,|λ+=2-2λ2+2λ2+2=4≠16,不合题意,舍去;当2-2λ2≤0,即λ2≥1时,|λ+=-2+2λ2+2λ2+2=16,解得λ=±2. 20.解:(1)①当k=0时,折叠后点A与点D重合,折痕所在直线的方程为y=. ②当k≠0时,将矩形折叠后点A落在边DC上的点记为G(a,1),0<a≤2,所以点O与点G关于折痕所在的直线对称,连接OG,则kOG·k=-1,即·k=-1,则a=-k,故点G的坐标为(-k,1),从而折痕所在的直线与OG的交点(线段OG的中点)为P-,,故折痕所在直线的方程为y-=kx+,即y=kx++(k≠0).综上所述,折痕所在直线的方程为y=kx++. (2)当k=0时,折痕的长为2.当-2+≤k<0时,折痕所在的直线交直线BC于点M2,2k++,交y轴于点N0,.∵2k++=(k+2)2-,-2+≤k<0,∴2k++的取值范围为,故点M在边BC上,点N在边AD上.∵|MN|2=22+=4+4k2≤4+4×(7-4)=32-16, ∴折痕长的最大值为=2-2.又2-2>2,∴折痕长的最大值为2-2. 21.解:以AB所在的直线为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系,如图所示 .|AB|=10,所以A(-5,0),B(5,0),设P(x,y)是区域分界线上的任一点,并设从B地运往P地的单位距离运费为a,即从B地运往P地的运费为|PB|·a,则从A地运往P地的运费为|PA|·3a.因为分界线上运费相等,所以|PB|·a=3a·|PA|,即3=,整理得x+2+y2=2①,所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买,在圆内的居民应选择在A地购买,在圆外的居民应选择在B地购买. 22.解:(1)由题意得·-=-1,∴a=,∴r2=1+()2=4,∴圆O的方程为x2+y2=4. (2)设直线AP的方程为y=kx+2(-1<k<0),由消去y得(1+k2)x2+4kx=0,∴P-,.∵B(0,-2),D(2,0),∴直线BD的方程为y=x-2,由得M,.由D,P,N三点共线得=,∴yN==,故N0,,∴kMN=,∴直线MN的方程为y=x+,即(y-2x+2)k+(y-2)=0,由解得∴直线MN过定点(2,2). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$