精品解析：湖北省大冶市2024-2025学年九年级上学期九月月考数学试题

2024年秋季九年级数学训练题（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 把一元二次方程化成一般形式得（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如果关于x一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 5. 已知是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 若是抛物线上三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 2 8. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 9. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 12. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 13. 已知方程一个根为，则方程的另一个根为______． 14. 把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为___________． 15. 如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为 __________________． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 17. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数简图； （3）当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根； （2）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 19. 关于的一元二次方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从6月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 22. 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． （1）求线段的取值范围； （2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． （3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，． （1）【用数学的眼光观察】 如图1，连接，判断与数量关系，并说明理由； （2）【用数学的思维思考】 如图2，连接，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）【用数学的语言表达】 如图3，延长至点，满足，然后连接，当，绕点旋转得到三点共线时，求线段的长． 24. 如图，二次函数向左平移一个单位得到的图象，交轴于点，，交轴于点，顶点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，当的长度最小时，求出点的坐标； （3）若点是对称轴上一动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对称点为，如果点刚好落在抛物线上，求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季九年级数学训练题（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 把一元二次方程化成一般形式得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式展开、移项化成的形式即可． 【详解】解：由得：， 即：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式、平方差公式，熟知一元二次方程的一般形式是解答的关键． 2. 在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象和二次函数的图象是解题的关键．分别判断一次函数和二次函数的图象分布位置即可． 【详解】解：由可得直线的图象过第一、二、四象限， 则选项C、D符合； 由可得抛物线的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 则选项A、D符合； 综上，只有选项D两个图象都符合， 故选：D． 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 4. 如果关于x一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 5. 已知是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：在一元二次方程中，，，则． 故选：A 6. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点对称轴上， ∴． 故选：B． 7. 若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分3为腰长及3为底边长两种情况找出值是解题的关键．分3为腰长及3为底边长两种情况考虑：当3为腰长时，将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程可求出的值，由三角形的三边关系可得出舍去；当3为底边长时，由根的判别式，可求出值，将的值代入原方程可求出的值，由三角形的三边关系可得出符合题意，综上即可得出结论． 【详解】解：当3为腰长时，将代入原方程得， 解得：， 原方程为， ，， ， 长度为3，3，1的三条边不能围成三角形 舍去； 当3为底边长时，， 解得：， 原方程为， ， ， 长度为3，2，2的三条边能围成三角形， 符合题意． 故选：B 8. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像是解题的关键．根据抛物线的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：， 故开口向下，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； 顶点坐标为，选项C正确； 当时，随的增大而减小，选项D错误． 故选C． 9. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为尺，则， 根据题意得：， 故选：D． 10. 如图，抛物线上的两点，且轴，直线与轴交于轴上的有两点，且四边形是平行四边形，则常数的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，求得点A、B的坐标成为解题的关键． 先求得抛物线的对称轴为，再根据坐标与图形以及平行四边形的性质可得，根据二次函数图像的对称性可得点的横坐标分别为：2，6；然后确定点的纵坐标，最后将点A的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵x轴上的有两点， ∴, ∵四边形是平行四边形， ∴, 由二次函数的对称性可得：点的横坐标分别为：2，6， ∵直线与轴交于，轴， ∴点的纵坐标8， ∴点的坐标分别为、， 将点代入可得：，解得：． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个二次函数的解析式，使其图象的开口向下，且对称轴为直线．这个函数解析式可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数的对称轴是直线；当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；二次函数与轴交于点．由题意可知：写出的函数解析式满足，，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数的解析式为． 图象的开口向下， ，可取， 对称轴是直线， ，得， 可取任意数， 函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 详解】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 13. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 14. 把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为：． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 设，则，根据勾股定理求出x的值，利用翻折的性质和勾股定理可得． 【详解】解：在矩形中，，，， 设，则， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知：， ， ， ，， ，， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先方程两边同时除以2，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项再提公因式，然后令每个因式为0，即可作答． （3）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 ∴ 17. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据的对称轴为直线，顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据增减性解答即可． 【小问1详解】 解：的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表： 描点画图，得： 【小问3详解】 解：由抛物线开口向上，对称轴为直线， 则当随的增大而减小时，的取值范围为． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根； （2）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），方程的另一根为2 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求出k的值，从而得到原方程为，再根据因式分解法解方程即可得出方程的另一根； （2）根据一元二次方程根的判别式证明即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：． ∴原方程为， ∴， 解得，， ∴方程的另一根为2； 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 19. 关于的一元二次方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和． （1）由方程求出判别式即可． （2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，进而求解． 【小问1详解】 解：， ∵方程总有两个实数根， 【小问2详解】 由， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵， ∴． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从6月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 （2）当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题和营销问题．熟练掌握平均增长率公式，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数；营销问题熟练掌握总利润与每件利润和件数的关系，是解决问题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件列方程求解即可； （2）设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为8400元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 21. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数解析式． 【小问2详解】 一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 22. 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门． （1）求线段的取值范围； （2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽． （3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长和宽分别为， （3）不能围成面积为的自行车车棚，见解析 【解析】 【分析】（1）设线段的长为，则的长为，根据可利用的增长为，即可求解； （2）表示出矩形面积，求出即可； （3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题． 此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设线段的长为，则的长为， 根据题意得，解得， 线段的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意列方程，得， 解得，； 当时，， 当时，，而墙长，不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，； 【小问3详解】 解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下： 根据题意得， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 23. 数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，． （1）【用数学的眼光观察】 如图1，连接，判断与的数量关系，并说明理由； （2）【用数学的思维思考】 如图2，连接，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）【用数学的语言表达】 如图3，延长至点，满足，然后连接，当，绕点旋转得到三点共线时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）1或7 【解析】 【分析】（1）用证明，即可求解； （2）证明、，即可求解； （3）①如图所示，过点作于，求出，，得到，即可求解；②如图所示，过点作于，同理可解． 【小问1详解】 ，理由： ， ，， ， 则； 【小问2详解】 ，理由： 点作交的延长线于点， ，， 是中点，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 则； 【小问3详解】 旋转得到，，三点共线， ①如图所示，过点作于， 是等腰三角形，，， ，， 在中，， ， ， 即旋转得到，，三点共线时，； ②如图所示，过点作于， 同理，，即旋转得到，，三点共线时，， 综上所述，线段的长为：1或7． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键． 24. 如图，二次函数向左平移一个单位得到的图象，交轴于点，，交轴于点，顶点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，当的长度最小时，求出点的坐标； （3）若点是对称轴上一动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对称点为，如果点刚好落在抛物线上，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质综合，涉及待定系数法求解析式，将军饮马问题，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握将军饮马的解决方法和坐标系中线段旋转构造一线三垂直全等是解题的关键． （1）利用平移确定，再利用交点式确定解析式即可； （2）利用，得出，当、、共线时，最小，即最小，利用解析式与抛物线对称轴交点即可求解； （3）分当点在轴上方时，和当点在轴下方时进行讨论，构造一线三垂直全等模型，列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是平移所得， ∴， ∵交轴于点，， ∴的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵的对称轴为直线，与轴交于点，， ∴点、关于直线对称， ∴， ∴， 当、、共线时，最小， 即最小， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 则； 【小问3详解】 解：设抛物线对称轴交轴于点， ①当点在轴上方时， 如图，过点作垂直于抛物线对称轴于点， 由旋转得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：或（舍）， 当时，， 故； ②当点在轴下方时， 如图，过点作平行于轴的直线，过点作于，过点作于， 由旋转得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得：（舍）或， 当时，， 故； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$