精品解析：河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

长葛市第三实验高级中学2024-2025学年第一学期高二年级月考试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 四面体中，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，向量，，，且，，则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 6. 空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9. 已知是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ） A. 若∥，∥，则∥ B. 若两两共面，则，，共面 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为－ D. 11. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在正方体中，，则__________． 13. 已知，则________. 14. 若，，三点共线，则___________. 四、解答题(本大题共5大题，共77分) 15. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 16. 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. （1）用表示，并求EF的长； （2）求与夹角的大小． 17. 如图，在正方体中，分别是的中点． （1）证明：； （2）求与所成的角； 18. 如图，正三棱柱中，底面边长为. （1）设侧棱长为，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长． 19. 如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长葛市第三实验高级中学2024-2025学年第一学期高二年级月考试卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可. 【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为. 故选：A. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，可得，所以A不正确，C正确； 对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确； 故选：C. 3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 4. 四面体中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得 ，由数量积公式计算即可. 【详解】由题知，， 所以 ， 所以，解得， 故选：C 5. 已知 ，向量，，，且，，则的值为（ ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出可得答案. 【详解】因为向量，，， 由，则，解得， 由，则，解得， 则. 故选：A. 6. 空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解． 【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线， 则可设， 又点在平面外，则 ， 即， 则， 又， 所以，解得，， 故选：C． 7. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出在上的投影，进行计算在上的投影向量. 【详解】因为，，所以. 因为，所以 故在上的投影向量为 故选：B 8. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用即可求解. 【详解】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设， ，故，,，, 由可知，，即， 又因为为钝角，所以， 由,,可知，， ，整理得， 解得， 故选：D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9. 已知是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ） A. 若∥，∥，则∥ B. 若两两共面，则，，共面 C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对应A：根据共线向量的定义分析判断；对于BCD：根据空间向量基本定理分析判断. 【详解】对于选项A：因为是空间的三个单位向量，可知，，都是非零向量， 若∥，∥，则，故A正确； 对于选项B：若，，两两共面，可能为空间能作为基底的三个向量， 所以，，不一定共面，故B错误； 对于选项C：若，，是空间的一组基底， 假设，，共面， 则存在，使得， 可得，方程组无解， 假设不成立，所以，，不共面，也可以是空间的一组基底，故C正确； 对于选项D：对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得，需要不共面，故D错误. 故选：AC． 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为－ D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算，对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量的夹角公式，即可求解，对于D，结合向量垂直的性质，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以向量与不共线，故选项A不正确； 因为，，所以，故选项B正确； 因为，故选项C正确； 因为，所以，即，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量共线可判断A；求出与同向的单位向量可判断B；求出和夹角的余弦值可判断C；求出平面的一个法向量可判断D. 【详解】对于A，，，因为，所以与不是共线向量，故A错误； 对于B，，与同向的单位向量是，故B正确； 对于C，，，，所以和夹角的余弦值是，故C错误； 对于D，，，设为平面的一个法向量， 则，，令，可得， 所以平面的一个法向量是，故D正确. 故选：BD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在正方体中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据即可得出答案. 【详解】解：在正方体中，因为，， 所以． 故答案为：2. 13. 已知，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可； 【详解】由题意可得， 故答案为：2 14. 若，，三点共线，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由转化为坐标运算可得答案. 【详解】因为，，三点共线， 所以，即， 所以，解得，即. 故答案为：. 四、解答题(本大题共5大题，共77分) 15. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴，. 又()∥()， ∴，解得，. 【小问2详解】 由，得， ∴，∴，即，∴，解得. 16. 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，. （1）用表示，并求EF的长； （2）求与夹角的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线性运算求，再根据向量的数量积运算可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. 【小问2详解】 由题意得 ， 因此 ， 即，即与的夹角为. 17. 如图，在正方体中，分别是的中点． （1）证明：； （2）求与所成的角； 【答案】（1）证明见解析 （2）90° 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质可证明面，从而根据线面垂直的性质可得（2）取中点 ，连接，因为 是 的中点，由是平行四边形，可得，设与相交于点H，则是与所成的角，利用三角形全等可得与所成的角是； 【小问1详解】 在中，平面，平面, 所以; 【小问2详解】 取中点，连接，因为是的中点，所以平行且相等， 又因为,故, 即四边形是平行四边形，所以， 设与相交于点H，则是与所成的角或其补角， 因为E是的中点，则，故， 而,则, 则，即与所成的角是； 18. 如图，正三棱柱中，底面边长为. （1）设侧棱长为，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱的长． 【答案】（1） 由已知得，， 平面， ，， 又是正三角形， , ； ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示与，结合向量数量积的运算律计算，即可得证； （2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 又， ， ， 解得， 即侧棱长为. 19. 如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $