第9章 第3节 带电粒子在复合场中的运动-【名师导航】2025年高考物理一轮总复习讲义（江苏专用）

第3节　带电粒子在复合场中的运动 细研考点·突破题型 考点1 典例1　解析：(1)根据左手定则可知，粒子进入第一个磁场后受到的洛伦兹力的方向向上，粒子从O上方处射出磁场，可知粒子的半径r0＝ 粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则qv0B＝ 所以B＝。 (2)当入射速度为5v0时，粒子的半径r＝＝5r0＝d 设粒子在矩形磁场中偏转的角度为α，则d＝r·sin α 所以sin α＝ 则α＝53° 粒子从第一个矩形磁场区域出来进入第二个磁场区域后，受到的洛伦兹力的方向相反，由运动的对称性可知，粒子出第二个磁场时，运动的方向与初速度的方向相同；粒子在没有磁场的区域内做匀速直线运动，最后在后两个磁场区域的情况与前两个磁场区域的情况相同，运动轨迹如图所示： 粒子在磁场中运动的周期T＝ 粒子在一个矩形磁场中运动的时间t1＝·T＝ 粒子在没有磁场的区域内运动的时间t2＝ 所以粒子运动的总时间 t＝4t1＋t2＝·。 (3)将中间的两个磁场向中间移动距离x后，粒子出第一个磁场区域后，速度的方向与OO'之间的夹角为α，由几何关系可知，粒子向上的偏移量y＝2r(1-cos α)+x·tan α 由于y≤2d 联立解得x≤d 即xm＝d时，粒子在没有磁场的区域内运动的时间最长，则粒子整个过程的运动时间最长。粒子直线运动路程的最大值 sm＝+(2d-2xm) 则增加的路程的最大值Δsm＝sm-2d 代入数据可得Δsm＝d 所以增加的时间的最大值Δtm＝。 答案：(1)　(2)·　(3) 跟进训练 解析：(1)电子在磁场中做匀速圆周运动，画出电子的运动轨迹如图1所示，由几何关系得r1+r1＝R 根据洛伦兹力提供向心力，得ev1B＝ 联立解得v1＝。 (2)电子在圆形磁场中，有ev2B＝ 则轨迹半径r2＝2R 如图2所示，轨迹圆弦长过圆心时运动时间最长，圆心角α＝60° 最长时间tm＝ 电子运动周期T＝ 解得tm＝。 (3)在y轴左侧磁场中，有ev3B＝ 可得r3＝R 在y轴右侧磁场中，有ev3×B＝ 可得r4＝2R 能打到MN的临界轨迹如图3(r4无需标出) OM＝2r4sin θ 解得θ＝30° 能打到MN的电子在PQ上的长度为L＝2Rcos θ 比例为η＝ 解得η＝。 答案：(1)　(2)　(3) 典例2　解析：(1)粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上下对称，如图(a)所示。 (2)设粒子从M点射入时速度的大小为v0，进入磁场的速度大小为v，方向与电场方向的夹角为θ，如图(b)所示，速度v沿电场方向的分量为v1。 根据牛顿第二定律有qE＝ma ① 由运动学公式有 l'＝v0t ② v1＝at ③ v1＝vcos θ ④ 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 qvB＝ ⑤ 由几何关系得l＝2Rcos θ ⑥ 联立①②③④⑤⑥式得v0＝。 ⑦ (3)由运动学公式和题给数据得 v1＝v0cot ⑧ 联立①②③⑦⑧式得 ⑨ 设粒子由M点运动到N点所用的时间为t'，则t'＝2t+T ⑩ 式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，T＝ ⑪ 由③⑦⑨⑩⑪式得t'＝。 答案：(1)见解析图　(2)　(3)　 跟进训练 1．解析：(1)C点到P点过程粒子做类平抛运动，y轴方向 0-(v0sin θ)2＝-2aR qE＝ma ＝t x轴方向 s＝v0cos θ·t 联立解得E＝3×104 V/m，s＝ m。 (2)C点发出的粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，其入射速度 v＝v0cos θ＝1×105 m/s 设粒子轨迹半径为r1，由牛顿第二定律得 qvB＝ 由几何关系可知r1＝R＝1 m 联立解得B＝0.2 T。 (3)分析可知，CD上任意点发出的粒子经圆形磁场偏转后都从M点通过x轴进入第Ⅳ象限，其中从A点射出的粒子将从N点进入、从M点离开圆形磁场，且第一次通过x轴时速度方向沿-y方向，它第二次通过x轴时能到达离O点最远的位置，其运动轨迹如图 设粒子在第Ⅳ象限磁场中运动的轨迹半径为r2，由牛顿第二定律得qv 解得r2＝2 m 所求点的坐标为(5 m，0)。 答案：(1)3×104 V/m　 m　(2)0.2 T　(3)(5 m，0) 2．解析：(1)正粒子从(0，-××t2 水平方向有x＝v0t 联立解得t＝ 竖直方向上有vy＝×t＝ 水平方向上有vx＝ 故第一次进入磁场时的速度v＝＝2 设速度方向与x轴负方向成θ角，则有 tan θ＝ 代入解得θ＝30°。 故粒子进入磁场中与x轴负方向成30°。 (2)经分析可知，粒子轨迹如图1所示，由几何关系可知α＝60° 经(1)分析，粒子在类平抛运动中，x＝v0t＝L 故可知，x＝Rcos α 解得R＝2L 粒子在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝ 解得B＝。 (3)若使板的上表面会出现荧光点，临界的粒子轨迹图如图2所示，若刚好打在板左端点，则有： +R1+R＝4L-L 解得R1＝L 根据洛伦兹力提供向心力得qvB1＝ 则有＝4 故B1＝4B，即k1＝4 同理，若刚好打在板右端点，则有 +R2+R＝4L+L 解得R2＝L 故B2＝B，即k2＝ 故可得当k满足≤k≤4时，板的上表面会出现荧光点。 答案：(1)2，方向与x轴负方向成30°　(2)　(3)≤k≤4 典例3　解析：(1)在磁场中由洛伦兹力提供向心力qv0B＝m 线状粒子源发出的粒子均从F点射出，可得r＝R 解得带电粒子的初速度大小v0＝。 (2) 设打在荧光屏上的横、纵坐标分别为x、y，粒子从F点离开磁场时与O1O之间的夹角为θ，如图1所示 sin θ＝ 可得θ＝30° 依题意有x＝Rtan θ＝ 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，可得a＝ y＝at2 ＝v0t 联立解得y＝ 则粒子打在荧光屏上的位置坐标为。 (3)磁场区域的最小面积为图2中两条轨迹与圆O1相交部分的面积， S＝2－2 解得磁场区域的最小面积S＝。 答案：(1)　(2)　(3) 跟进训练 解析：(1)正离子运动的轨迹如图所示。磁场中做圆周运动的半径r满足 d＝r+rcos 60°，解得r＝d。 (2)设离子在磁场中的运动速度为v0，则有 qv0B＝m T＝ 由图知离子在磁场中做圆周运动的时间为t1＝T＝ 离子在电场中做类平抛运动，从C到G的时间为t2＝ 离子从D处运动到G处所需时间为 t＝t1+t2＝。 (3)设电场强度为E，则有qE＝ma d＝a 由动能定理得qEd＝EkG-m 解得EkG＝。 答案：(1)d　(2) 　(3) 考点2 典例　解析：(1)设小球的质量为m，电荷量为q，速度为v，球在MN段受力分析如图1所示， 因为小球在MN段做匀速直线运动，所以小球受力平衡，由平衡条件得mgtan 45°＝qE 解得 要使小球进入第一象限后能立即在矩形磁场区域做匀速圆周运动，则小球所受重力与电场力平衡mg＝qE1 联立解得E1＝E。 (2)由(1)受力分析可知，qvBsin 45°＝qE，即qvB＝Eq，所以v＝ 由qvB1＝ 可知R＝ 由图2中几何关系得L<R(1+cos 45°) 解得0<B1<。 (3)由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝ 小球在第一、第二象限的轨道半径分别为R1＝，R2＝ 小球由N点进入第一象限后运动半周进入第二象限，作出粒子在第一、第二象限的运动轨迹如图3所示， 位置：y＝(R1+R2)×m＝(m＝1，2，3，…)和y＝L+(R1+R2)×n＝L+(n＝0，1，2，…) 时间T1＝ T2＝ t＝+(T1+T2)n(n＝0，1，2，…) 和t＝++(T1+T2)m(m＝0，1，2，…) 综上所述：时间为t＝(n＝0，1，2，…)和t＝ (m＝0，1，2，…)。 答案：(1)　E　(2)0<B1< (3)见解析 跟进训练 1．D　[根据左手定则判断可知，无论粒子带何种电荷，受到的洛伦兹力和电场力的方向总相反，满足qvB＝qE，即v＝，故可看出粒子能否沿直线射出只与速度有关，与电性和电荷量无关，故A、B错误；撤去电场后，粒子在剩下的磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m，可得R＝，两粒子的比荷不一定相同，则运动的半径不一定相同，故C错误；撤去磁场后，两粒子在电场中做类平抛运动，若能穿过场区，则水平方向做匀速直线运动，由l＝vt可知两粒子通过场区的时间相等，故D正确。] 2．解析：(1)根据电子在复合场中做直线运动，有eE＝ev0B， 解得E＝v0B。 (2)电子在复合场运动过程中，洛伦兹力不做功，只有电场力做功，根据动能定理，有 eE·y1＝m-m， 解得y1＝。 (3)由分析可知，电子在最高点速度最大，设能到达的最大高度为y2的电子的入射速度为v，在最大高度处的速度为vm， 由题意有eE-evB＝evmB-eE， 根据动能定理有eE·y2＝m-mv2， 解得v＝v0， 则入射速度在0<v≤v0范围内的电子都能到达纵坐标y2位置， ， 所以＝90%。 答案：(1)v0B　(2)　(3)90% 3．C　[设磁感应强度为B，圆形轨道半径为r，三个小球质量均为m，它们恰好通过最高点时的速度分别为v甲、v乙和v丙，则mg+Bv甲q甲＝，mg-Bv乙q乙＝，mg＝， 显然，v甲 > v丙 > v乙，选项A、B错误；甲、乙两小球在运动过程中，只有重力做功，即它们的机械能守恒，选项D错误；甲球在最高点处的动能最大，因为势能相等，所以甲球的机械能最大，甲球的释放位置最高，选项C正确。] 4．A　[带电圆环在磁场中受到向上的洛伦兹力，当重力与洛伦兹力相等时，圆环将做匀速直线运动，A正确；当洛伦兹力大于重力时，圆环受到摩擦力的作用，并且随着速度的减小而减小，圆环将做加速度减小的减速运动，最后做匀速直线运动，D错误；如果重力大于洛伦兹力，圆环也受摩擦力作用，且摩擦力越来越大，圆环将做加速度增大的减速运动，故B、C错误。] 5．解析：(1)设微粒Q的质量为m，P、Q碰撞后瞬间微粒C的速度为v1 当微粒Q静止时有mg＝qE 微粒P、Q碰撞的过程满足动量守恒，有 mv0＝2mv1 碰撞后微粒C到O点的过程，由动能定理有 (2mg-qE)d＝×2mv2-×2m 解得v0＝2。 (2)微粒C在磁场中做等螺距螺旋线运动，由运动的分解可知，微粒C在磁场中沿z轴正方向以大小为vcos θ的速度做匀速直线运动，在平行于xOy平面内做速度大小为vsin θ的匀速圆周运动，微粒C做圆周运动的周期为T＝ 故L＝nTvcos θ(n＝1，2，3，…) 解得L＝(n＝1，2，3，…)。 (3)微粒C沿z轴正方向做匀速直线运动，则微粒C从O点运动到荧光屏所用的时间 t＝＝5.25T 微粒C在平行于xOy平面内做匀速圆周运动，则有qvBsin θ＝ 故微粒C做匀速圆周运动的轨迹半径 r＝ 根据微粒C的运动轨迹可知，微粒C打到荧光屏上的位置坐标为 原点O到该位置的距离 l'＝＝。 答案：(1)2　(2)1，2，3，…)　(3) 6．解析：(1)小球匀速直线运动时受力如图甲所示，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有 qvB＝ ① 代入数据解得 v＝20 m/s ② 速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足tan θ＝ ③ 代入数据解得tan θ＝ θ＝60°。 ④ (2)方法一：撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，设其加速度为a，有 a＝ ⑤ 设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有 x＝vt ⑥ 设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y，有 y＝at2 ⑦ a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又 tan θ＝ ⑧ 联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得 t＝2 s≈3.5 s。 ⑨ 方法二：撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为 vy＝vsin θ ⑤ 若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有 vyt-gt2＝0 ⑥ 联立⑤⑥式，代入数据解得 t＝2 s≈3.5 s。 ⑦ 答案：(1)20 m/s，方向与电场方向成60°角斜向上　(2)3.5 s 考点3 典例　解析：(1)小球沿PQ向右做直线运动，受力平衡，则mg＝Eq 解得E＝。 (2)小球能再次通过D点，其运动轨迹应如图(a)所示。 设小球做匀速圆周运动的轨迹半径为r，则由几何关系有 s＝ 又知s＝v0t1 圆弧轨迹所对的圆心角 θ＝2π-π 则t0＝ 联立解得π。 (3)当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，小球运动一个周期的轨迹如图(b)所示， 由几何关系得R+＝(+1)L 解得R＝L 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 qv0B0＝m 解得B0＝ 小球在一个周期内运动的路程 s1＝3××2πR+6×＝(4π+6)L 故Tm＝。 答案：(1)　(2)π　(3)　 跟进训练 1．解析：(1)电子沿着径向飞入磁场，由带电粒子在磁场中的运动规律得，带电粒子沿着OA方向飞出磁场，电子在磁场中做圆周运动的圆心为O'，如图1所示 由几何关系得，电子做圆周运动的半径r＝R，由题意得 eU＝mv2 evB1＝m 联立解得B1＝＝B0。 (2)由r＝知，磁感应强度越小，电子做圆周运动的半径越大，反之越小；如图2所示，由题意知打在屏幕上的C点的电子半径最大，此时的电子在T＝0时刻飞入匀强磁场；打在屏幕D点的电子在T时刻飞入磁场的，那么rC＝R 同理rD＝R 根据几何关系得tan∠POOD＝，则 ∠POOD＝，∠POD＝ 同理∠POC＝ 故∠COD＝π- 故电子在荧光屏上扫描的角速度ω＝。 (3)设打到E点的电子做圆周运动的速度为v1，此时做圆周运动的回旋角为45°，由几何关系得，此时电子回旋的半径rE＝(+1)R 由r＝知，B一定时，v与r成正比，即 如果还要满足在CD间扫描，那么此时的电子在磁场中做圆周运动最大半径为定值rC，同理，v与B成正比，则有 解得B2＝B＝B0tan 。 答案：(1)B0　(2)　(3)B0tan 2．解析：(1)0~t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R， 即R＝ ① 又qv0B0＝m ② 代入 解得。 ③ (2)设粒子P在磁场中运动的周期为T，则 T＝ ④ 联立①④解得T＝4t0 ⑤ 即粒子P做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，设t0~2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则 x1＝v0t0 ⑥ y1＝a ⑦ 其中加速度a＝ 由③⑦解得y1＝＝R，因此t＝2t0时刻粒子P的位置坐标为，如图中的b点所示。 (3)分析知，粒子P在2t0~3t0时间内，电场力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在3t0时刻速度方向为沿x轴正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0~5t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原点O的最远距离L，即O、d间的距离，则有L＝2R+2x1 ⑧ 解得L＝v0t0。 答案：(1)　(2)　(3)v0t0 核心素养10 示例1　解析：(1)甲种离子在电场中加速时，有 qU0＝×2mv2 ① 设甲种离子在磁场中的运动半径为r1，则有 qvB＝2m ② 根据几何关系有 x＝2r1-L ③ 由①②③式解得x＝-L。 ④ (2)如图所示，最窄处位于过两虚线交点的垂线上 d＝r1- ⑤ 由①②⑤式解得 d＝-。 ⑥ (3)设乙种离子在磁场中的运动半径为r2 r1的最小半径 r1min＝ ⑦ r2的最大半径r2max＝ ⑧ 由题意知2r1min-2r2max>L， 即->L ⑨ 由⑦⑧⑨式解得 L<[2-]。 ⑩ 答案：(1)-L (2)- (3)L<[2-] 示例2　解析：(1)设粒子在P的速度大小为vP，则根据 qvPB＝m 可知半径表达式为R＝ 粒子在静电场中加速，根据动能定理有 nqU ＝ m 粒子在磁场中运动的周期为T＝ 粒子运动的总时间为t＝(n-1)× 解得t＝。 (2)由粒子的运动半径r＝，结合动能表达式Ek＝mv2变形得r＝ 则粒子加速到P前最后两个半周的运动半径为 r1＝，r2＝ 由几何关系dm＝2 结合EkP＝解得 dm＝2。 (3)设粒子在偏转器中的运动半径为rQ，则在偏转器中，要使粒子半径变大，电场力应和洛伦兹力反向，共同提供向心力qvPB-qE＝m 设粒子离开偏转器的点为E，圆周运动的圆心为O'。由题意知，O'在EQ上，且粒子飞离磁场的点与O、O'在一条直线上 粒子在偏转器中运动的圆心在Q点，从偏转器飞出，即从E点离开，又进入回旋加速器中的磁场，此时粒子的运动半径又变为R，然后轨迹发生偏离，从加速器的F点飞出磁场，那么磁场的最大半径即为 Rm＝OF＝R+OO' 将等腰三角形△OO'Q放大如图 虚线为从Q点向OO'所引垂线，虚线平分α角，则 OO'＝2(rQ-R)·sin 解得最大半径为Rm＝R+sin。 答案：(1) (2)2 (3)R+sin 示例3　B　[粒子带正电和负电均可，选项A错误；由洛伦兹力等于电场力，即qvB＝qE，解得速度v＝，选项B正确；若速度v>，粒子可能从板间射出，选项C错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入，所受电场力和洛伦兹力方向相同，不可能做直线运动，选项D错误。] 示例4　A　[最终正负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，有q＝qvB，Q＝vS＝vbc，得U＝，所以电压表示数与离子浓度无关，A错误；正负离子流动时，根据左手定则，正离子受洛伦兹力向后表面偏转，所以后表面上带正电荷，前表面上带负电荷，前表面电势比后表面低，与正离子的多少无关，B正确；由选项B可知，前表面的电势一定低于后表面的电势，与哪种离子多无关，C正确；由A项分析可知Q＝，污水流量Q与U成正比，与a、b无关，D正确。此题选择不正确的，故选A。] 示例5　B　[若霍尔元件材料为金属导体，则自由电子导电，根据左手定则可知，电子受洛伦兹力指向前表面，即前表面集聚电子，则前表面比后表面的电势低，选项A错误；若将磁体的两极对调，同时将电流方向改为向上，根据左手定则可知，电子受洛伦兹力仍指向前表面，即前表面集聚电子，则前表面比后表面的电势低，则前后表面电势的高低情况不变，选项B正确；因为q＝qvB，可得U＝Bvd，即若电流恒定，则v不变，由于B不断变化，则控制电路监测到的电压也不断变化，选项C错误；若自行车的车速增大，只是B变化变快，则控制电路监测到的电压频率变大，但是不影响检测到的电压大小，选项D错误。故选B。] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　带电粒子在复合场中的运动 带电粒子在组合场中的运动　 1．组合场 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。 2．分析思路 (1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 (2)找关键：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题。 3．“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝Eq 只受大小恒定的洛伦兹力 F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 牛顿第二定律、向心力公式r＝，T＝，t＝ 4．运动过程 　磁场与磁场的组合 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 [典例1]　如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为m、电荷量为＋q，从O沿轴线射入磁场。当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场。取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 (1)求磁感应强度大小B； (2)入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t； (3)入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场(磁场不重叠)，可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt，求Δt的最大值。 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [跟进训练] (2024·如皋市模拟)如图所示，圆心坐标为 (－R，0)、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直坐标平面，y轴右侧存在磁感应强度大小为0.5B、方向垂直坐标平面的匀强磁场，薄收集板MN位于y轴上－2R到－4R的区间上。PQ是均匀分布的线状电子源，P、Q点的坐标分别为(－2R，－R)、(0，－R)，电子源沿y轴正方向持续发射速率相同的电子，已知电子的质量为m、电荷量为－e，不计电子间的相互作用。 (1)若从PQ中点进入磁场的电子恰好能从y轴左侧打到Q点，求电子的速率v1； (2)若电子的速率v2＝，求电子第1次在圆形匀强磁场区域中运动的最长时间tm； (3)若电子的速率v3＝，求MN能收集到的电子数占发射电子数的比例η。 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　电场与磁场的组合 　先电场后磁场 1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图所示。 2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图所示。 注意：进入磁场的速度是离开电场的末速度，而非进入电场的初速度。 [典例2]　一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在Oxy平面内的截面图如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于Oxy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。 (1)定性画出该粒子在电、磁场中运动的轨迹； (2)求该粒子从M点入射时速度的大小； (3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 [跟进训练] 1．如图所示，在Oxy平面第Ⅰ象限内有一半径为R＝1 m 的圆形区域，圆心为O1，圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界与x和y轴分别相切于M、N两点。在x<0区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内存在方向垂直于Oxy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在电场中有一个位于Oxy平面内且与y轴平行、长为R的线状粒子源CD，CD的中点A在x轴上，粒子源上各点均能沿Oxy平面发射质量为m、电荷量为q(q>0)的同种带电粒子，且所发射粒子的速度大小均为v0＝2×105 m/s，方向均与x轴正方向成θ＝60°角。已知从C点发出的粒子，恰好沿水平方向经过y轴上的P点，经圆形磁场偏转后恰好从M点进入第Ⅳ象限，粒子的比荷＝5×105 C/kg，P点坐标为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求： (1)匀强电场场强的大小E和OA间的距离s； (2)圆形磁场磁感应强度的大小B； (3)粒子源CD上各点所发出的粒子经圆形磁场后最终都能通过x轴进入第Ⅳ象限，经第Ⅳ象限磁场偏转后将第二次通过x轴，求这些粒子第二次通过x轴时所能到达的离O点最远的点的坐标。 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2024·连云港模拟)利用电磁场改变电荷运动的路径，与光的传播、平移等效果相似，称为电子光学。如图所示，在xOy坐标平面内，第三象限存在着方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。在其余象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小均为B(未知)。在坐标点(0，－)处有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，以初速度沿着x轴负方向射入匀强电场，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，忽略粒子重力。求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度v； (2)磁感应强度B的大小； (3)现将一块长为L的上表面涂着荧光粉的薄板放置在x轴上，板中心点横坐标x0＝4L，仅将第四象限的磁感应强度变为原来的k倍 (k＞1), 当k满足什么条件时，板的上表面会出现荧光点。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　先磁场后电场 1．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)。 2．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)。 [典例3]　如图甲所示，磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场存在于底面半径为R的圆柱形空间内，O1和O2是圆柱形空间上、下两个圆面的圆心，其后侧与O1等高处有一个长度为R的水平线状粒子发射源MN，图乙是俯视图，P为MN的中点，O1P连线与MN垂直。线状粒子源能沿平行PO1方向发射某种质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子束，带电粒子的速度大小均相等。在O1O2右侧2R处竖直放置一个足够大的矩形荧光屏，荧光屏的AB边与线状粒子源MN垂直，且处在同一高度。过O1作AB边的垂线，交点恰好为AB的中点O。荧光屏的左侧存在竖直向下的匀强电场，宽度为R，电场强度大小为E。已知从MN射出的粒子经磁场偏转后都从F点(圆柱形空间与电场边界相切处)射入电场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 (1)求带电粒子的初速度大小； (2)以AB边的中点O为坐标原点，沿AB边向里为x轴，垂直AB边向下为y轴建立坐标系，求从M点射出的粒子打在荧光屏上的位置坐标； (3)求圆柱形横截面内，磁场区域的最小面积。 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [跟进训练] 如图所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距A点2d(AG⊥AC)，不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内。求： (1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r； (2)离子从D处运动到G处所需时间； (3)离子到达G处时的动能。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 带电粒子在叠加场中的运动　 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 其他力的合力与洛伦兹力等大反向 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，其他力的合力为零 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 3．三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与电场强度方向相同，负电荷受力方向与电场强度方向相反 电场力做功与路径无关 W＝qU 电场力做功改变电势能 磁场 大小：F＝qvB(v⊥B) 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 4．关于是否考虑粒子重力的三种情况 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 (2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 (3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 [典例]　(2024·盐城模拟)如图所示，竖直平面内的直角坐标系Oxy中，在第一、第二象限内分别有方向垂直于坐标平面向里和向外的匀强磁场，在y＞0的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，磁感应强度和电场强度大小均未知。在第四象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴正方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。一个带电小球从图中y轴上的M点，沿与x轴成θ＝45°角斜向上做匀速直线运动，由x轴上的N点进入第一象限并立即做匀速圆周运动，已知O、N点间的距离为L，重力加速度大小为g。求： (1)小球的比荷和第一象限内匀强电场场强E1的大小； (2)要使小球能够进入第二象限，求第一象限内磁感应强度B1的大小范围； (3)若第一象限内磁感应强度大小为，第二象限内磁感应强度大小为，求小球穿过y轴的位置和时间的可能取值(从小球进入第一象限开始计时)。 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　“三步”解决叠加场问题 [跟进训练] 　磁场与电场叠加 1．(2023·苏州实验中学高三月考)如图所示，在两块平行金属板间存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场。现有两种带电粒子M、N分别以同样的速度v从左端沿两板间的中线射入，都能沿直线从右端射出，不计粒子重力。以下说法正确的是(　　) A．带电粒子M、N的电性一定相同 B．带电粒子M、N的电荷量一定相同 C．撤去电场仅保留磁场，M、N做圆周运动的半径一定相等 D．撤去磁场仅保留电场，M、N若能通过场区，则通过场区的时间相等 2．(2023·江苏卷)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小E； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1； (3)若电子入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　磁场与重力场叠加 3．如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电、乙球带负电、丙球不带电。现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则(　　) A．经过最高点时，三个小球的速度相等 B．经过最高点时，甲球的速度最小 C．甲球的释放位置比乙球的高 D．运动过程中甲、乙两个小球的机械能不守恒 4．如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度图像可能是下列选项中的(　　) A　　　　B　　　　　C　　 　　D 　磁场、电场与重力场叠加 5．(2024·山东青岛质检)如图所示，在空间直角坐标系Oxyz中，xOz平面水平，xOy平面左侧空间存在竖直向上、电场强度大小为E的匀强电场；Oxy平面右侧空间存在竖直向上、电场强度大小为2E的匀强电场和水平向右、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在xOy平面右侧空间区域有一垂直于z轴的荧光屏，电荷量为q的带电微粒Q静止在yOz平面内的A点，A点离z轴的距离为d。质量与Q相同的不带电微粒P在yOz平面内运动，某时刻与微粒Q碰撞并合为一体(记为微粒C)，经过O点时，速度大小为v，方向与z轴正方向成θ角，重力加速度为g。 (1)求微粒P与微粒Q碰前瞬间速度的大小v0； (2)若微粒C在磁场中运动打到荧光屏上时的速度与经过O点时的速度相同，求荧光屏到O点的距离L； (3)若荧光屏到O点的距离l＝，求微粒C打到荧光屏上的位置坐标，并求出O点到该位置的距离。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6．(一题多法)如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5N/C, 同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。有一带正电的小球，质量m＝1×10-6 kg，电荷量q＝2×10-6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g＝10 m/s2。求： (1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向； (2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 带电粒子在交变电、磁场中的运动　 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 了解场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 [典例]　如图甲所示，虚线MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界)。一个质量为m、电荷量为q的带正电小球(视为质点)，以大小为v0的水平初速度沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时(t＝0)，在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时的速度方向与PQ连线成60°角。已知D、Q间的距离为(＋1)L，t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期，重力加速度大小为g。 (1)求电场强度E的大小； (2)求t0与t1的比值； (3)小球过D点后将做周期性运动，当小球运动的周期最大时，求此时磁感应强度的大小B0及运动的最大周期Tm。 审题指导 题中信息 方法引导 沿PQ向右做直线运动 小球受力平衡，通过平衡条件，可求出电场强度的大小 小球再次通过D点速度与PQ成60°角 画出运动轨迹，找出直线运动位移大小与匀速圆周运动轨迹半径的关系 求运动的最大周期 当小球运动轨迹最长，圆弧轨迹与MN相切时小球运动周期最大 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [跟进训练] 　带电粒子在交变磁场中的运动 1．(2023·南通一模)某磁偏转装置如图甲所示，纸面内半径为R、圆心为O的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B的大小按图乙所示规律做周期性变化，在 0～T 时间内B＝B0tan 。在磁场区域的右侧有一圆心也在O点的半圆形荧光屏，A为荧光屏中点。一粒子源P均匀地发射初速度可忽略的电子，沿PO方向射出的电子经电压U加速后正对圆心O射入磁场，∠POA＝，在0～T时间内经磁场偏转的电子从上到下打在荧光屏上C、D两点间(图中C、D未画出)。已知电子的电荷量为e、质量为m，B0＝，tan ＝－1。不计电子的重力，电子穿过磁场的时间远小于磁场变化的周期，忽略磁场变化激发电场的影响。 (1)求打在荧光屏A点的电子在进入磁场时磁感应强度大小B1； (2)求∠COD及电子在荧光屏上扫描的角速度ω； (3)由于加速电压增大到某一值，0～T时间内进入磁场的电子从A点上方的E点向下扫描，∠EOA＝。为使电子仍在C、D间扫描，扫描的角速度仍为ω，须在圆形磁场区域叠加一个变化的匀强磁场B2，求B2的值。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　带电粒子在交变电、磁场中的运动 2．如图(a)所示Oxy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图(b)所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向。t＝0时刻，带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量，图(b)中＝，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为。求： (1)粒子P的比荷； (2)t＝2t0时刻粒子P的位置； (3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　质谱仪 装置 原理图 规律 质谱仪 带电粒子由静止被加速电场加速qU＝mv2，在磁场中做匀速圆周运动qvB＝m，则比荷＝ [示例1]　一台质谱仪的工作原理如图所示。大量的甲、乙两种离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为＋q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹。不考虑离子间的相互作用。 (1)求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x； (2)在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d； (3)若考虑加速电压有波动，在(U0－ΔU)到(U0＋ΔU)之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件。 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　回旋加速器 装置 原理图 规律 回旋 加速器 交变电流的周期和带电粒子做圆周运动的周期相同，带电粒子在圆周运动过程中每次经过D形盒缝隙都会被加速。由qvB＝m得Ekm＝ [示例2]　(2021·江苏卷)如图1所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为α，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求： (1)粒子加速到P点所需要的时间t； (2)极板N的最大厚度dm； (3)磁场区域的最大半径Rm。 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　速度选择器 装置 原理图 规律 速度 选择器 若qv0B＝Eq，即v0＝，带电粒子做匀速运动 [示例3]　在如图所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直。一带电粒子(重力不计)从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子(　　) A．一定带正电 B．速度v＝ C．若速度v>，粒子一定不能从板间射出 D．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　电磁流量计 装置 原理图 规律 电磁 流量计 q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝π＝ [示例4]　为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直上下底面方向加磁感应强度为B的匀强磁场，在前后两个面的内侧固定有金属板作为电极，污水从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压U。若用Q表示污水流量(单位时间内流出的污水体积)，下列说法不正确的是(　　) A．污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大 B．若污水中正离子较多，则前表面电势比后表面电势低 C．若污水中负离子较多，则前表面电势比后表面电势低 D．污水流量Q与U成正比，与a、b无关 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　霍尔元件 装置 原理图 规律 霍尔 元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差 [示例5]　应用霍尔效应可以测量车轮的转动角速度。如图所示为轮速传感器的原理示意图，假设齿轮为五齿结构，且均匀分布，当齿轮凸起部分靠近霍尔元件时，磁体与齿轮间的磁场增强，凹陷部分靠近霍尔元件时，磁体与齿轮间的磁场减弱。工作时霍尔元件上下两面通入电流I，前后两面连接控制电路。下列说法正确的是(　　) A．若霍尔元件材料为金属导体，则前表面比后表面的电势高 B．若将磁体的两极对调，同时将电流方向改为向上，则前后表面电势的高低情况不变 C．若电流恒定，则控制电路监测到的电压也恒定不变 D．若自行车的车速增大，则控制电路监测到的电压也增大 [听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　讨论与电、磁场有关的实际问题，首先应通过分析将其提炼成纯粹的物理问题，然后用解决物理问题的方法进行分析。这里较多的是用分析力学问题的方法，对于带电粒子在磁场中的运动，还应特别注意运用几何知识寻找关系。 4/21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(二十七) 1．D　[粒子在磁场内做匀速圆周运动，磁场区域的磁感应强度垂直纸面向外，由左手定则可以判断出粒子一定带正电；在辐向电场中，电场力提供粒子做匀速圆周运动的向心力，可以判断出K1的电势低于K2的电势，故A、B错误；粒子经加速电场加速qU＝mv2，在电场中做匀速圆周运动Eq＝m，在磁场中做匀速圆周运动qvB＝m，故C错误；由C项解得B＝，为保证B不变，U增大时，则k增大，故D正确。故选D。] 2．C　[由受力分析可知，微粒受到重力、电场力和洛伦兹力的作用，因微粒在复合场中做直线运动，可知其所受合力为零，根据做直线运动的条件可知微粒的受力情况如图所示，所以微粒一定带负电，A错误；微粒一定做匀速直线运动，否则速度变化，洛伦兹力大小变化，微粒将做曲线运动，因此微粒的动能保持不变，B错误；微粒由a沿直线ab运动的过程中，电场力做正功，电势能一定减小，C正确；在微粒的运动过程中，洛伦兹力不做功，电场力做正功，则微粒的机械能一定增加，D错误。] 3．C 4．C　[根据Uq＝mv2可得粒子进入磁场区域的速度：v＝ m/s＝2×104 m/s，选项A错误；t＝0时刻进入磁场的粒子， B0＝ T，则运动半径r0＝＝0.1 m＝10 cm，由几何关系可知，tan α＝，α＝30°，则速度偏转角度θ＝2α＝60°，选项B错误；当t＝0时刻射入的粒子射出磁场时打到屏上的位置距离P点最远，最远距离为y＝tan 60°＝20 cm，则粒子束打在荧光屏的范围宽度为2y＝40 cm，选项C正确；若B的最大值为2 T，则粒子运动半径r＝＝10-2 m＝10 cm＝R，则粒子离开磁场时速度方向平行光屏竖直向上，即t＝0时刻进入磁场的粒子无法打到荧光屏上，选项D错误。] 5．B　[根据题图(a)轨迹可知，带正电的粒子从O点向上偏转做圆周运动，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，选项A错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB0＝m ，解得磁感应强度B0＝，选项B正确；虚线区域不加磁场时粒子做匀速直线运动，粒子做匀速直线运动的时间t1＝，虚线区域加入磁场后粒子做匀速圆周运动，粒子做匀速圆周运动的时间t2＝，磁场变化的周期T0＝t1+t2＝ ，选项C错误；若t＝0时，质量为m、电荷量为-q的带电粒子，以初速度v从A点沿AO入射，到达O点后向下，与板碰撞后，到达B板，与B碰撞后向上偏转90°然后从磁场中飞出，不能返回A点，选项D错误。故选B。] 6．A　[由T＝，T＝，可得质子被加速后的最大速度为2πfR，其不可能超过2πfR，质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小无关，选项A正确，B错误；高频电源可以使用正弦式交变电流，选项C错误；要加速α粒子，高频交流电周期必须变为α粒子在其中做圆周运动的周期，即T'＝，故选项D错误。] 7．C　[若霍尔元件的自由电荷是自由电子，根据左手定则，电子受到洛伦兹力向C端相连接的面移动，因此C端电势低于D端的电势，故A错误；当霍尔元件上下面之间的恒定电流I的方向改变，从霍尔元件输出的控制车速的电势差正负号相反，但由题中第四张图可知，不会影响车速控制，故B错误；设自由电子定向移动的速率为v，霍尔元件前后面间的距离为h，左右表面间距离为d，达到稳定后，自由电荷受力平衡，由Bqv＝q，可得U＝Bhv，电流的微观表达式I＝nqvS＝nqvhd，则U＝，可知仅增大电流I时前后表面电势差增大，对应的车速更大，电动自行车的加速性能更好，更容易获得最大速度，故C正确；当按题中第一张图顺时针均匀转动把手时霍尔器件周围电场强度增大，那么霍尔器件输出的控制车速的电势差U增大，因此车速变快，但并不是增加的越来越快，故D错误，故选C。] 8．解析：(1)在磁场中动能不会增加，末动能全来自电场力所做的功，由动能定理可得 N·qEL＝Ek 可解得N＝。 (2)设粒子从K射出时速度为v，在磁场中洛伦兹力作为向心力有qvB＝m 在磁场中最后半圈的半径r＝ 因为mv2＝Ek 联立可解得B＝。 (3)粒子运动第一圈的过程中，若第一个粒子运动一圈回到P时最后一个粒子还未飘入P或刚好飘入P，则会发生碰撞，即Δt小于粒子运动一圈的总时间t总。从P加速至Q过程，由牛顿第二定律可知a＝ 由运动学公式有＝2aL 该过程时间t1＝ 在磁场Ⅱ中的半周后匀速穿过中间宽为L的区域，再转回磁场Ⅰ半周，磁场中两个半周的时间相当于一个周期，即t2＝T＝ 其中r1＝ 匀速向左穿过中间宽为L区域时间t3＝ 粒子运动一圈的总时间t总＝t1+t2+t3 联立上述各式可解得t总＝+πd 由前面分析可知Δt<t总，即Δt的范围为 Δt<+πd。 答案：(1)　(2) (3)Δt<+πd 9．解析：(1)M、N两板间电场强度大小为 E＝ ① 离子在速度选择器中沿直线运动并通过O2孔，根据平衡条件有qE＝qv0B1 ② 联立①②解得v0＝。 ③ (2)当v略微大于匀速直线运动速度v0时，可以将v分解为两个同向的分速度，其中一个分速度大小为v0，对应离子的匀速直线分运动，所以离子从O1到O2的运动时间为t＝ ④ 另一个分运动为匀速圆周运动 根据牛顿第二定律有qvB1＝mv ⑤ 可得离子的圆周分运动的周期为 T＝ ⑥ 根据圆周运动的周期性可知 t＝nT(n＝1，2，3，…) ⑦ 联立③④⑥⑦解得 L＝(n＝1，2，3，…)。 ⑧ (3)设离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有 evB2＝m ⑨ 解得R＝ ⑩ 根据⑩式可推知氦3离子运动的最大和最小半径分别为 R3max＝ 11 R3min＝ 12 如图所示，所以氦3离子所能达到荧光屏上的最远位置到O2的距离为 x3max＝2R3max＝ 13 氦3离子所能达到荧光屏上的最近位置到O2的距离为 x3min＝2R3mincos 14 氦3亮线宽度为d3＝x3max-x3min 15 同理可知氦4所能达到荧光屏上的最近位置到O2的距离为 x4min＝ 16 由题意可知要能在荧光屏上分辨出氦3和氦4离子，则x4min-x3max≥ 17 联立13~17式解得Δv≤v0。 答案：(1)　(2)(n＝1，2，3，…) 　(3)Δv≤v0 10．解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则qv0B＝m 由题可知r＝R 解得v0＝。 (2)由r＝可得，质量越大，圆周运动的半径越大。设质量为m1的粒子恰好从N点射出，粒子离开磁场时与水平方向夹角为θ，由几何关系得sin θ＝0.8，cos θ＝0.6 此时粒子在磁场中做圆周运动的半径 r1＝0.5R 所以m1＝0.5m 同理，设质量为m2的粒子恰好从M点射出，则m2＝2m 所以能从金属板之间区域射出的粒子质量范围是0.5m≤m≤2m。 (3)从N点进入上部分磁场的粒子经磁场偏转返回边界到达Q点，偏移的水平距离 x1＝＝3.2R 从M点进入上部分磁场的粒子经磁场偏转返回边界到达P点，偏移的水平距离 x2＝＝12.8R 如图1，则PQ之间距离至少是 Δx＝(12.8+2.4-3.2)R＝12R。 (4)MN间不加电场时，粒子打在P点。若MN间加上向左的电场，质量为2m的粒子将打在金属板MM'上，而无法打在探测板上。当MN间加上向右的电场，质量为2m的粒子恰好从N点射出时，金属板间电压最大，由(3)知，此时粒子沿水平方向的偏移距离为x3＝12.8R>3.2R 一定打在探测板上，如图2、3所示 则有 vx＝v0sin 37° vy＝v0cos 37° 0.6R＝vyt x＝-vxt+at2 x＝2.4R-0.6Rtan 37°＝1.95R 联立求得 a＝ 又2ma＝q 解得UMN＝。 答案：(1)　(2)0.5m≤m≤2m　(3)12R　(4) 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(二十七)　带电粒子在复合场中的运动 题组一　带电粒子在组合场中的运动 1．(2024·镇江模拟)如图所示，比荷为k的粒子从静止开始，经加速电场U加速后进入辐向的电场E进行第一次筛选，在辐向电场中粒子做半径为R的匀速圆周运动，经过无场区从小孔P1处垂直边界进入垂直纸面向外的匀强磁场B中进行第二次筛选，在与O2距离为d的小孔P2处垂直边界射出并被收集。已知静电分析器和磁分析器界面均为四分之一圆弧，以下叙述正确的是(　　) A．静电分析器中K1的电势高于K2的电势 B．被收集的带电粒子一定带负电 C．电场强度E与磁感应强度B的比值关系为＝ D．若增大U，为保证B不变，则被收集粒子的k比原来大 题组二　带电粒子在叠加场中的运动 2．如图所示，某空间存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面水平向里。一带电微粒由a点以一定的初速度进入电磁场，刚好能沿直线ab斜向上运动，则下列说法正确的是(　　) A．微粒可能带正电，也可能带负电 B．微粒的动能可能变大 C．微粒的电势能一定减小 D．微粒的机械能一定不变 3．(2023·新课标卷)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点，a点在小孔O的正上方，b点在a点的右侧，如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为(　　) A．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里 B．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外 C．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里 D．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外 题组三　带电粒子在交变电、磁场中的运动 4．(2023·扬州模拟)如图(a)所示，圆心为O的圆形区域，半径R＝10 cm，MN为荧光屏，长度L＝100 cm，P为屏的中点，圆形区域圆心O距离荧光屏s＝20 cm, OP垂直于MN，大量的带电粒子经U＝2 000 V 电压加速，形成一连续的粒子束，沿半径方向进入圆形区域。当圆形区域内不加磁场时，带电粒子打在荧光屏中心P点，当圆形区域加一匀强磁场后，粒子束经磁场偏转打到荧光屏另一位置，通过改变磁场的大小、方向来改变粒子束打在荧光屏上的位置，磁感应强度B随时间t变化如图(b)所示，已知带电粒子的电荷量q＝1×10-3 C，质量m＝1×10-8 kg，不计粒子重力，忽略粒子在磁场中运动的时间，则下面说法正确的是(　　) A．粒子进入磁场区域的速度v＝2×103 m/s B．t＝0时刻进入磁场的粒子，速度偏转角度θ＝30° C．电子束打在荧光屏的范围宽度为40 cm D．若B的最大值为2 T，则t＝0时刻进入磁场的粒子可以打到荧光屏上 5．如图(a)所示，在半径为R的虚线区域内存在周期性变化的磁场，其变化规律如图(b)所示。薄挡板MN两端点恰在圆周上，且MN所对的圆心角为120°。在t＝0时，一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，以初速度v从A点沿直径AOB射入场区，运动到圆心O后，做一次半径为的完整的圆周运动，再沿直线运动到B点，在B点与挡板碰撞后原速率返回(碰撞时间不计，电荷量不变)，运动轨迹如图(a)所示，粒子的重力不计，不考虑变化的磁场所产生的电场，下列说法正确的是(　　) A．磁场方向垂直纸面向外 B．图(b)中B0＝ C．图(b)中T0＝ D．若t＝0时，质量为m、电荷量为－q的带电粒子，以初速度v从A点沿AO入射、偏转、碰撞后，仍可返回A点 题组四　复合场中的STSE问题 6．回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示。设D形盒半径为R。若用回旋加速器加速质子时，匀强磁场的磁感应强度为B，高频交流电频率为f。则下列说法正确的是(　　) A．质子被加速后的最大速度不可能超过2πfR B．质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小有关 C．高频电源只能使用矩形交变电流，不能使用正弦式交变电流 D．不改变B和f，该回旋加速器也能用于加速α粒子 7．霍尔元件广泛应用于生产生活中，有的电动自行车上控制速度的转动把手就应用了霍尔元件，这种转动把手称为“霍尔转把”。“霍尔转把”内部有永久磁铁和霍尔器件等，截面如图。开启电动自行车的电源时，在霍尔器件的上下面之间就有一个恒定电流I。如图所示。将“霍尔转把”旋转，永久磁铁也跟着转动，施加在霍尔器件上的磁场就发生变化，霍尔器件就能输出变化的电势差U。这个电势差是控制车速的，电势差与车速的关系如图。以下叙述正确的是(　　) A．若霍尔元件的自由电荷是自由电子，则C端的电势高于D端的电势 B．若改变霍尔器件上下面之间的恒定电流I的方向，将影响车速控制 C．其他条件不变，仅增大恒定电流I，可使电动自行车更容易获得最大速度 D．按第一张图顺时针均匀转动把手，车速减小 8．(2021·江苏省新高考适应性考试)跑道式回旋加速器的工作原理如图所示。两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界平行，相距为L，磁感应强度大小相等、方向垂直纸面向里。P、Q之间存在匀强加速电场，电场强度为E，方向与磁场边界垂直。质量为m、电荷量为＋q的粒子从P飘入电场，多次经过电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口K引出，引出时的动能为Ek。已知K、Q的距离为d。 (1)求粒子出射前经过加速电场的次数N； (2)求磁场的磁感应强度大小B； (3)如果在Δt时间内有一束该种粒子从P点连续飘入电场，粒子在射出K之前都未相互碰撞，求Δt的范围。 9．(2024·南京模拟)一台质谱仪工作原理如图甲所示，带电离子从O1孔沿速度选择器的中轴线O1O2进入正交电磁场中，已知磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里，MN板电压UMN＝U0(U0＞0)，板间距为d，板间电场为匀强电场。离子从O2射出后进入垂直纸面向里、大小为B2的匀强磁场，经磁场偏转打在荧光屏上，PQ垂直O1O2，不考虑离子间相互作用和重力的影响。 (1)离子在速度选择器中沿直线运动并通过O2孔，求穿出时粒子的速度v0； (2)质量为m、电荷量为q、速度为v的离子进入速度选择器时不满足匀速直线运动的条件(v略微大于匀速直线运动速度v0)，离子的运动可视为一个沿O1O2的匀速直线运动和一个垂直磁场做匀速圆周运动的合运动，为使得离子沿初速度方向通过O2孔，O1O2间距离L为多少？ (3)如图乙所示，大量一价氦离子从O2孔垂直磁场射出，射出离子的发散角为θ，且左右对称。若射出离子的速度v大小为v0－Δv≤v≤v0＋Δv(v0为已知量)，氦离子包括氦3和氦4离子，电荷量都是e，质量分别是3m0和4m0，要能在荧光屏上分辨出氦3和氦4离子，两组亮线区域的最短间距应不小于其中氦3亮线宽度区域的十分之一，则Δv应该满足什么条件？ 10．如图所示为某种新型质谱仪结构简化示意图，半径为R的圆内有垂直纸面向外、大小为B的匀强磁场，圆心为O，OO′为竖直方向的轴线，O点右侧圆周上的S处有一粒子源(OS⊥OO′)，可以正对O点发射出速度、电荷量相等，质量不同的带正电粒子，圆形磁场上方关于轴线OO′对称放置两块正对的平行金属板MM′和NN′，两金属板长均为0.6R，间距为2.4R，金属板下边缘连线M′N′与圆形磁场最高点在同一水平线上，金属板上边缘连线MN上方存在范围足够大、方向垂直于纸面向内的磁感应强度为 0.25B 的匀强磁场，MN连线上有一可左右平移的探测板PQ。已知从S点射出的电荷量为q、质量为m的粒子，恰好沿轴线OO′进入两金属板之间区域。不计粒子之间的相互作用，两金属板间的电场为匀强电场(不考虑边缘效应)，不计粒子重力，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6, tan ＝，求： (1)粒子源发射的粒子速率v0； (2)两金属板之间不加电压时，能从金属板之间区域射出的粒子的质量范围； (3)两金属板之间不加电压时，要使探测板上表面能接收到所有从金属板之间射出的粒子，板的长度至少为多少？ (4)当两金属板间加上恒定电压UMN时，要使得质量为2m的粒子能够打在题(3)中相应位置的探测板上，电压UMN的最大值是多少？ 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$