全书要点速记-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

第一章　集合与常用逻辑用语 1．常用数集 数集名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 字母表示 N N*或N＋ Z Q R 2．集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性． 3．元素与集合的关系： 4．集合的表示方法： 5．集合间的基本关系 [重要结论]　(1)若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C． [易错警示]　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 6．集合的基本运算 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． [重要结论]　A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B． 7．充分条件与必要条件 若p，则q 若q，则p p是q的______条件 真命题 假命题 充分不必要 假命题 真命题 必要不充分 真命题 真命题 充要 假命题 假命题 既不充分也不必要 8．全称量词命题与存在量词命题的否定 含有一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定为¬p：∃x∈M，¬p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定为¬p：∀x∈M，¬p(x)． 9．根据集合间的关系判断充分、必要条件 集合 关系 p是q的______ 条件 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} AB 充分不必要 BA 必要不充分 A＝B 充要 既不充分也不必要 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1．作差法比较两个实数的大小 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b． 2．不等式性质 性质1(对称性)：a>b⇔b<a； 性质2(传递性)：a>b，b>c⇒a>c； 性质3(可加性)：a>b⇒a＋c>b＋c； 性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 性质8：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 3．基本不等式：≤ (1)不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)基本不等式的变形：ab≤(a，b∈R)． (4)重要不等式： a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (5)最值定理：已知x>0，y>0，则 ①如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：积定和最小) ②如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．(简记：和定积最大) [易错警示]　应用基本不等式求最值的前提条件：“一正、二定、三相等”． 4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＝0(a>0) 有两个不等的实数根x 1，x 2 有两个相等的实数根x 1，x 2 无实数根 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x＜x2 } ∅ ∅ 5．不等式恒成立问题的解法 (1)a≠0时，ax2＋bx＋c>0(<0)对任意实数x恒成立的条件是()． (2)对于较易分离且分离后函数最值易求的问题都可以采用分离参数法，其常用的结论是：g(a)>f (x)(g(a)<f (x))恒成立等价于g(a)>f (x)max(g(a)<f (x)min)． 第三章　函数的概念与性质 1．函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y值(函数值)的集合{f (x)|x∈A} [特别提醒]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．(2)在求分段函数的值f (x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式． 2．单调性的定义：对于函数f (x)的定义域D内某个区间[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1≠x2． (1)若(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0⇔>0⇔f (x)在[a，b]上单调递增； (2)(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0⇔<0⇔f (x)在[a，b]上单调递减． [拓展]　复合函数的单调性满足同增异减的原则． 3．最值的定义：设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)①∀x∈D，都有f (x)≤M． ②∃x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最大值． (2)①∀x∈D，都有f (x)≥M． ②∃x0∈D，使得f (x0)＝M，则M是函数y＝f (x)的最小值． 4．函数的奇偶性 (1)f (x)是奇函数⇔定义域D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)⇔f (x)图象关于原点对称． (2)f (x)是偶函数⇔定义域D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)⇔f (x)图象关于y轴对称． [重要结论]　若奇函数f (x)在原点处有意义，则f (0)＝0． 5．五个常见幂函数的图象 第四章　指数函数与对数函数 1．根式的性质 (1)()n＝a． (2)当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 4．指数式与对数式的关系 (1)互化式：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x． (2)对数的基本性质 ①零和负数没有对数，即真数N>0． ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)． ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (3)两个重要的对数恒等式 ①＝N(a>0，且a≠1，N>0)． ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 5．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 6．对数的换底公式及推论 (1)换底公式：logab＝． (2)常用推论： ①logab·logba＝1． ②logab·logbc·logca＝1． ③ ＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)． 7．指数、对数函数的图象及性质 [说明]　(1)研究指数、对数函数的性质时，要首先考虑底数a的取值范围，分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，在这两种情况下，函数的单调性不同，相应的图象也不同，其次要注意函数的定义域． (2)底数互为倒数，两指数函数的图象关于y轴对称；两对数函数的图象关于x轴对称． (3)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称． 8．函数的应用(二) (1)函数的零点概念：函数f (x)的零点是使f (x)＝0的实数x． (2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： (3)函数零点存在定理 ①条件：函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0． ②结论：函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． [特别提醒]　(1)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f (a)f (b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． ①　　　 　　②　 　　　　③ (2)函数零点存在定理是不可逆的，因为f (a)f (b)<0可以推出函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f (x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f (a)f (b)<0．如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f (a)f (b)>0． (3)如果单调函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么函数y＝f (x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的实数解． (4)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 第五章　三角函数 1．任意角和弧度制 (1)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (2)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 (3)弧度制下的弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 ①弧长公式：l＝αR． ②扇形面积公式：S＝lR＝αR2． 2．任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， (1)点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α． (2)点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α． (3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)． [拓展]　(1)若点P(x，y)是角α终边上的任意一点，点P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝． (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀： 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝． 4．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α — — 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 5．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 ， [π，] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 [重要结论]　函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 6．三角恒等变换 (1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))； tan (α－β)＝(T(α－β))； tan (α＋β)＝(T(α＋β))． (2)二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝． (3)半角公式 sin ＝±； cos ＝±； tan ＝±； tan ＝＝＝； tan ＝＝＝． (4)辅助角公式 a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝． [重要结论]　(1)公式的常用变式 tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)； sin 2α＝＝； cos2α＝＝． (2)降幂公式：sin 2α＝; cos2α＝n αcos α＝sin 2α． 7．函数y＝A sin (ωx＋φ) (1)函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 (2)用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如表所示： ωx＋φ 0 π 2π x y＝A sin (ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 (3)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 方法一(先平移后伸缩)　 方法二(先伸缩后平移) [易错警示]　左右平移是相对于自变量x而言的，与其系数无关． 8．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略 利用三角恒等变换把函数化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式． (1)求周期：在ω＞0的前提下，利用周期公式T＝即可计算出函数f (x)的最小正周期． (2)求单调区间：在ω＞0，A>0的前提下，－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递增区间，＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)的解集即为函数f (x)的单调递减区间． (3)求最值： ①代换法：若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作一个整体，由x的范围计算出u＝ωx＋φ的取值范围，然后结合函数y＝sin u的图象确定函数f (x)的最小值和最大值． ②转化法：形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． ③换元法：形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． ④图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的最值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$