5.2.1 第2课时 三角函数值的符号及公式一-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

课时分层作业(四十四)　三角函数值的符号及公式一 一、选择题 1．(多选)已知cos θ＝－，则θ可能是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角　 C．第三象限角 D．第四象限角 2．下列说法中，正确的是(　　) A．终边相同的角的同名三角函数的值相等 B．终边不同的角的同名三角函数的值不等 C．若sin α＞0，则α是第一、二象限的角 D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－ 3．2cos －3tan 的值为(　　) A．－ B．－1 C．0 D． 4．已知角α的终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式一定为正的是(　　) A．sin α B．tan α C．cos α D． 5．(多选)若sin θtan θ<0，则角θ的终边位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 6．sin α>0是角α的终边落在第一、二象限的______条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”选填) 7．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin (2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为________． 8．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是______． 三、解答题 9．(源自湘教版教材)确定下列各三角函数值的符号： (1)sin ；(2)cos 3； (3)tan 250°；(4)sin ·cos ． 10．在△ABC中，A为钝角，则点P(tan B，cos A)(　　) A．在第一象限 B．在第二象限　 C．在第三象限 D．在第四象限 11．(多选)下列函数值中符号为正的是(　　) A．sin (－1 000°) B．cos C．tan 2 D． 12．(多选)若α在第一象限，则下列选项中，一定为正数的是(　　) A．sin 2α B．cos 2α C．tan D．sin 13．设角α是第三象限角，且＝－sin ，则角是第________象限角． 14．化简下列各式： (1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab cos (－1 080°)； (2)sin ＋cos π·tan 4π． 15．若＋＝0，判断sin (cos θ)·cos (sin θ)的值的符号． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　三角函数值的符号及公式一 [学习目标]　1．能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．(逻辑推理) 2．通过任意角的三角函数的定义，理解终边相同的角的同一三角函数值相等．(数学运算) [讨论交流]　预习教材P180－P181，并思考以下问题： 问题1．如何判断三角函数值在各象限内的符号？ 问题2．诱导公式一的内容及其作用分别是什么？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 探究问题1　根据三角函数的定义，猜测一下三角函数值在各个象限内的符号． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．如图所示，三角函数值的符号 2．正弦函数一、二象限为正，三、四象限为负；余弦函数一、四象限为正，二、三象限为负；正切函数一、三象限为正，二、四象限为负． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例讲评]　1．(源自人教B版教材)确定下列各值的符号． (1)cos 260°；(2)sin ； (3)tan (－672°20′)；(4)tan ． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“______________________________”来判断． [学以致用]　1．判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin α·cos ·tan (α为三角形的内角)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　三角函数值符号的应用 [典例讲评]　2．(1)若sin θ>cos θ，且sin θ·cos θ<0，则θ在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(多选)函数f (x)＝－＋的值可能是(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题，应依据题目中所有的三角函数值的符号分别确定角α的终边可能所在的象限，则它们的公共象限即为所求． [学以致用]　2．(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________． 探究3　公式一 探究问题2　终边相同的角的三角函数值有何关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 终边相同的角的同一三角函数的值____． 公式一： sin (α＋k·2π)＝__________， cos (α＋k·2π)＝__________， tan (α＋k·2π)＝__________， 其中k∈Z． [典例讲评]　3．计算下列各式的值： (1)sin (－1 395°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°； (2)sin ＋tan ． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z． (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． [学以致用]　3．计算下列各式的值： (1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin ＋tan ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于(　　) A．第一象限 B．第二象限　 C．第三象限 D．第四象限 2．sin (－315°)的值是(　　) A．－ B．－ C． D． 3．(多选)下列各三角函数值符号为负的有(　　) A．sin 10° B．cos (－220°) C．sin (－10) D．cos π 4．计算：sin ＋cos ＋tan ＝________． 1．知识链：(1)三角函数值在各象限内的符号； (2)公式一． 2．方法链：转化与化归、公式法． 3．警示牌：注意不要误用三角函数值的符号法则． 三角函数在单位圆中的几何表示及应用 设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM，sin α＝ON，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．过点A(1，0)作x轴的垂线与角α的终边(或其反向延长线)交于点T(或T′)，则tan α＝AT(或AT′)． 我们把有向线段OM，ON和AT(或AT′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(四十四) 1．BC　2．A　3．C　4．C　5．BC　 6．必要不充分　7．　 8．，k∈Z 9．解：(1)∵π<<，则为第三象限角， 则sin <0． (2)∵<3<π，则3为第二象限角， 则cos 3<0． (3)∵180°<250°<270°，则250°为第三象限角， 则tan 250°>0． (4)∵<<2π，则为第四象限角， 则sin <0，cos >0， 故sin cos <0． 10．D　[因为△ABC中，A为钝角，所以B为锐角，可得tan B>0，cos A<0， 所以点P(tan B，cos A)在第四象限．故选D．] 11．ABD　[对于A，sin (－1 000°)＝sin (－360°×3＋80°)＝sin 80°>0，所以选项A满足题意； 对于B，因为－是第四象限角， 所以cos >0，所以选项B满足题意； 对于C，因为<2<π， 所以tan 2<0，所以选项C不满足题意； 对于D，＝＝，因为是第二象限角，－是第四象限角， 所以－sin <0，tan <0，即>0， 所以选项D满足题意．故选ABD．] 12．AC　[∵α在第一象限，∴2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，∴kπ<<kπ＋，k∈Z，故是第一或第三象限角， 因而tan 一定为正，sin 可能为正，可能为负，故C正确，D错误； 又4kπ<2α<4kπ＋π，k∈Z， ∴2α是第一或第二象限角或终边在y轴正半轴上，故sin 2α恒正，cos 2α可正、可负或为0，故A正确，B错误．故选AC．] 13．四　[角α是第三象限角，则角是第二、四象限角， ∵＝－sin ， ∴角是第四象限角．] 14．解：(1)原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－2ab cos (－3×360°) ＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0° ＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2． (2)sin ＋cos tan 4π ＝sin ＋cos tan 0 ＝sin ＋0＝． 15．解：＋＝0⇔sin θ，cos θ异号⇔θ为第二或第四象限角． ①若θ是第二象限角，则0<sin θ<1，－1<cos θ<0，从而sin (cos θ)<0，cos (sin θ)>0．所以sin (cos θ)cos (sin θ)<0． ②若θ是第四象限角，则－1<sin θ<0，0<cos θ<1，从而sin (cos θ)>0，cos (sin θ)>0，所以sin (cos θ)cos (sin θ)>0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：正弦的符号取决于纵坐标y的符号；余弦的符号取决于横坐标x的符号；正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负． 典例讲评　1．解：(1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°<0． (2)因为－是第四象限角， 所以sin <0． (3)由－672°20′＝47°40′＋(－2)×360°，可知－672°20′是第一象限角， 所以tan (－672°20′)>0． (4)由＋2π，可知是第三象限角，所以tan >0． 发现规律　(2)一全正，二正弦，三正切，四余弦 学以致用　1．解：(1)∵<3<π<4<<5<2π， ∴3，4，5分别是第二、三、四象限角， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0． (2)∵α为三角形的一个内角， ∴0<α<π，0<<， ∴sin α>0，cos >0，tan >0， ∴sin αcos tan >0． 探究2 典例讲评　2．(1)B　(2)AC　[(1)由sin θcos θ<0，知sin θ和cos θ异号，所以θ在第二或第四象限， 又因为sin θ>cos θ，所以θ在第二象限． (2)由函数f (x)＝， 当x为第一象限角时，可得f (x)＝1－1＋1＝1； 当x为第二象限角时，可得f (x)＝1＋1－1＝1； 当x为第三象限角时，可得f (x)＝－1＋1＋1＝1； 当x为第四象限角时，可得f (x)＝－1－1－1＝－3． 故选AC．] 学以致用　2．(1)C　(2)(－2，3]　[(1)因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．故选C． (2)因为cos α0，sin α＞0， 所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)， 所以所以－2＜a3，即实数a的取值范围是(－2，3]．] 探究3 探究问题2　提示：由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等． 新知生成　相等　sin α　cos α　tan α 典例讲评　3．解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝． (2)原式＝sin cos ＋tan cos ＝sin cos ＋tan cos ＝×＋1×＝． 学以致用　3．解：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝． (2)原式＝sin＋tan ＝sin＋tan＝＋1． [应用迁移] 1．D　[由sin θ<0，tan θ<0，根据三角函数值的符号与角的象限间的关系， 可得角θ的终边位于第四象限．故选D．] 2．C　[sin (－315°)＝sin (－360°＋45°) ＝sin 45°＝．故选C．] 3．BD　[选项A，因为10°角是第一象限角， 所以sin 10°>0，故选项A不满足题设条件； 选项B，因为－220°角是第二象限角， 所以cos(－220°)<0，故选项B满足题设条件； 选项C，因为－10∈，所以角－10是第二象限角，所以sin(－10)>0，故选项C不满足题设条件． 选项D，因为cos π＝－1<0，故选项D满足题设条件． 故选BD．] 4．2　[原式＝sin ＋cos ＋tan ＝sin ＋cos ＋tan ＝＋＋1＝2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$