章末综合测评4 指数函数与对数函数-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

章末综合测评(四) 1．A　[＝＋π－3＝4－π＋π－3＝1． 故选A．] 2．A　[因为3a＝4，所以a＝log34， 所以ab＝log34×log23＝×＝2．故选A．] 3．B　[令f (x)＝0，可得＝，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝和指数函数y＝的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f (x)的零点只有一个．故选B．] 4．D　[因为函数f (x)为幂函数，所以2m－1＝1，得m＝1，即f (x)＝x3，函数g(x)＝loga(x－1)＋b(a>0，且a≠1)的定点为(2，b)，即23＝b＝8．故选D．] 5．D　[对于选项A：因为f (x)＝x3，f (y)＝y3，f (x＋y)＝(x＋y)3， 不满足f (x＋y)＝f (x)f (y)，故A错误； 对于选项B：因为f (x)＝在R上单调递减，不符合题意，故B错误； 对于选项C：因为f (x)＝，f (y)＝，f (x＋y)＝， 不满足f (x＋y)＝f (x)f (y)，故C错误； 对于选项D：因为f (x)＝ex，f (y)＝ey，f (x＋y)＝ex＋y， 满足f (x＋y)＝f (x)f (y)，且f (x)在R上单调递增，故D正确．故选D．] 6．B　[依题设知a>1，且f (x)的定义域为(1，＋∞)， ∴f (x)在(1，＋∞)上单调递减．故选B．] 7．B　[由R0＝1＋rT，R0＝3.22，T＝10，可得10r＋1＝3.22， 所以r＝0.222，则I(t)＝ert＝e0.222t， 设题中所求病例数增加至4倍所需天数为t1， 所以I(0)＝e0＝1，I(t1)＝＝4， 即0.222t1＝ln 4＝2ln 2， 所以t1＝≈≈6.216，所以累计感染病例数增加至I(0)的4倍，至少需要7天．故选B．] 8．A　[法一：由函数y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝x的图象(如图)知，0<a<b<1<c，故选A． 法二：∵a>0，∴2a>1，∴a>1，∴0<a<． 又∵b>0，∴0<<1，∴0<b<1，∴<b<1． 又∵c>0，∴0<<1，∴0<log2c<1， ∴1<c<2．∴0<a<<b<1<c．] 9．AD　[对于A选项：lg 6＝lg 2＋lg 3＝a＋b，A正确； 对于B选项：log34＝＝＝≠，B错误； 对于C选项：log212＝log24＋log23＝2＋＝2＋，C错误； 对于D选项：lg ＝lg 3－lg 2＝b－a，D正确．故选AD．] 10．ACD　[令－x2＋3x＋4>0，得－1<x<4， 即函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为(－1，4)，A正确，B错误； ∵－x2＋3x＋4＝－＋， ∴－x2＋3x＋4∈， ∴y＝log0.4(－x2＋3x＋4)∈[－2，＋∞)，C正确； 令t＝－x2＋3x＋4，则其在上单调递增，上单调递减，又y＝log0.4t在(0，＋∞)上单调递减，由复合函数的单调性得y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的递增区间为，D正确．故选ACD．] 11．BC　[∵正实数x，y满足log2x＋logy<－， ∴log2x－<log2y－． 易知f (x)＝log2x－在(0，＋∞)上单调递增，故x<y， ∴>，x3<y3，故A错误、B正确； ∴y－x>0，y－x＋1>1，ln (y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC．] 12．8　[41＋log42＝41×4log42＝4×2＝8．] 13．(0，1]　[由f (x)＝＋log2x， 得解得0<x1， 所以函数f (x)＝＋log2x的定义域是(0，1]．] 14．1　[由奇函数f (x)＝定义域为R， 则f (0)＝＝0⇒m＝1， 所以f (x)＝， 此时f (－x)＝＝＝－f (x)，满足题设．所以m＝1．] 15．解：(1)－2×－2×()0÷ ＝－2×－2×1×＝－2×－2× ＝－2×－＝－－＝0． (2)3log32－2log23·log278＋log68＋2log6 ＝ ＝2－2＋log62＋log63＝1． 16．解：(1)由①可知，＝0，即解得由②可知函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，则由③可知，函数y＝logbx＋3(b＞0，且b≠1)过定点(1，3)，则 综上，三个条件中任选一个，均有即f (x)＝ax过点(1，3)， 即a＝3，f (x)＝3x． g(x)为偶函数．证明如下： g(x)＝f (x)＋＝3x＋3－x，x∈R， g(－x)＝f (－x)＋＝3x＋3－x＝g(x)， ∴g(x)为偶函数． (2)loga(1＋x)＜loga(2－x)， 即log3(1＋x)＜log3(2－x)， 可化为2－x＞1＋x＞0，∴－1＜x＜． 即不等式loga(1＋x)＜loga(2－x)的解集为． 17．解：(1)由已知得 得 解得a＝4，b＝2． (2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)， 令f (x)＝0，得4x－2x＝1， 即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝， 又2x>0，∴2x＝， 解得x＝log2． (3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t， 则g(t)＝t2－t＝－，t∈[1，16]，所以g(x)∈[0，240]． 18．解：(1)由题意知10-12I1， ∴11012， ∴0lg 12， ∴0L120， 故人听觉的声强级范围为[0，120](单位：dB)． (2)依题意，当I＝10-7W/m2时， L＝10lg ＝10lg 105＝50， 当I＝2×10-9W/m2时，L＝10lg ＝10lg (2×103)＝10(lg 2＋3) ＝30＋10lg 2<30＋10lg 10＝40； 当I＝5×10-10W/m2时，L＝10lg ＝10lg (5×102)＝10(lg 5＋2) ＝20＋10lg 5<20＋10lg 10＝30； 当I＝9×10-11W/m2时，L＝10lg ＝10lg (9×10)＝10(lg 9＋1) ＝10＋10lg 9<10＋10lg 10＝20． 故这4人中达到班级要求的有3人． 19．解：(1)因为f (x)为R上的奇函数， 所以f (0)＝0，得b＝1． 又f (－1)＝－f (1)，得a＝1． 经检验a＝1，b＝1符合题意． (2)证明：∀x1，x2∈R，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝ ＝ ＝． 因为x1<x2，所以>0． 又因为＋1)>0， 所以f (x1)>f (x2)，所以f (x)为R上的减函数． (3)因为t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0恒成立， 所以f (t2－2t)<－f (2t2－k)． 因为f (x)为奇函数，所以f (t2－2t)<f (k－2t2)． 因为f (x)为R上的减函数， 所以t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立， 而3t2－2t＝3－≥－， 所以k<－． 所以实数k的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末综合测评(四)　指数函数与对数函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简：＝(　　) A．1 B．－1 C．7－2π D．2π－7 2．已知3a＝4，b＝log23，则ab＝(　　) A．2 B．9 C．4 D．5 3．函数f (x)＝－的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知幂函数f (x)＝(2m－1)·xm+2的图象过函数g(x)＝loga(x－1)＋b(a>0，且a≠1)的图象所经过的定点，则b的值等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 5．下列函数中，满足“f (x)f (y)＝f (x＋y)”的增函数是(　　) A．f (x)＝x3 B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ex 6．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)是增函数，那么函数f (x)＝loga的图象大致是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 7．在α型病毒病情初始阶段，可以用指数函数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律．指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT，其中R0为病毒基本再生数，T为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10．据此，在α型病毒病情初始阶段，累计感染病例数增加至I(0)的4倍，至少需要(参考数据：ln 2≈0.69)(　　) A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 8．设a，b，c均为正数，且2a＝a，＝b，＝log2c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a＝lg 2，b＝lg 3，则(　　) A．a＋b＝lg 6 B．＝log34 C．2＋＝log212 D．b－a＝lg 10．关于函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)，下列说法正确的是(　　) A．定义域为(－1，4) B．定义域为(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．值域为[－2，＋∞) D．递增区间为 11．已知正实数x，y满足log2x＋y<－，则下列结论一定正确的是(　　) A．< B．x3<y3 C．ln (y－x＋1)>0 D．2x－y< 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．＝________． 13．函数f (x)＝＋log2x的定义域是________． 14．已知函数f (x)＝为奇函数，则m的值等于________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)(1)计算－2×－2×()0÷； (2)计算－2log23·log278＋log68＋2log6． 16．(本小题满分15分)已知指数函数f (x)＝ax(a＞0，且a≠1)过点(m，n)．在①＝0，②函数y＝x2－2x＋4的顶点坐标为(m，n)，③函数y＝logbx＋3(b＞0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题． (1)求f (x)的解析式，判断并证明g(x)＝f (x)＋的奇偶性； (2)解不等式：loga(1＋x)＜loga(2－x)． 注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分． 17．(本小题满分15分)设函数f (x)＝log2(ax－bx)，且f (1)＝1，f (2)＝log212． (1)求a，b的值； (2)求函数f (x)的零点； (3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域． 18．(本小题满分17分)声强级L(单位：dB)由公式：L＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12W/m2，求人听觉的声强级范围； (2)某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40 dB．现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10-7W/m2，2×10-9W/m2，5×10-10W/m2，9×10-11W/m2，求这4人中达到班级要求的有多少人？ 19．(本小题满分17分)已知定义域为R的函数f (x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)证明：f (x)为减函数； (3)若对于任意t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$