4.5.1 函数的零点与方程的解异-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是指使得ax2＋bx＋c＝0的实数x．二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是其图象与x轴交点的横坐标． 新知生成　1．f (x)＝0的实数x 2．零点　x轴 典例讲评　1．解：(1)当x0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2． 所以函数f (x)＝的零点为－3和e2． (2)令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10， ∴函数f (x)的零点是1，10． 学以致用　1．AB　[由题意知3a＋b＝0， ∴b＝－3a，a≠0， ∴g(x)＝－3ax2－ax＝－ax(3x＋1)，使g(x)＝0，则x＝－或x＝0． 故选AB．] 探究2 探究问题2　提示：(1)有零点，f (－4)f (－2)<0． (2)有零点，f (0)f (2)<0． 探究问题3　提示：一定有，至少有一个．草图如下． 新知生成　连续不断　f (a)f (b)<0　至少　f (c)＝0 典例讲评　2．(1)D　(2)B　[(1)选项A，y＝f (x)＝x2在区间[－1，1]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(－1，1)内有零点0，但是有f (－1)f (1)>0，A错误； 选项B，y＝f (x)＝x2在区间[－1，1]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (－1)f (1)>0，但是其在(－1，1)内有零点0，B错误； 选项C，y＝f (x)＝在区间(1，2)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (1)f (2)<0，但是其在(1，2)内没有零点，C错误； 选项D，依据函数零点存在定理可知，若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，则其在(a，b)内有零点，D正确．故选D． (2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x)在定义域内单调递增，f (1)＝－1<0，f (10)＝1－>0， ∴在(1，10)内，函数f (x)存在零点．] 学以致用　2．解：令函数f (x)＝4x3＋x－15， 由于函数y＝4x3，y＝x－15在R上都是增函数， 则函数f (x)在R上是增函数，而 f (1)＝4×13＋1－15＝－10<0，f (2)＝4×23＋2－15＝19>0， 因此函数f (x)在(1，2)内有唯一零点， 所以方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内有唯一解． 探究3 典例讲评　3．解：法一：(数形结合法)令f (x)＝x－3＋ln x，令f (x)＝0， 则ln x＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示． 由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f (x)＝x－3＋ln x只有一个零点． 故原方程只有一个解． 法二：(函数零点存在定理)设f (x)＝x－3＋ln x， 因为f (3)＝ln 3>0，f (2)＝－1＋ln 2＝ln <0，所以f (3)f (2)<0， 说明函数f (x)＝x－3＋ln x在区间(2，3)内有零点． 又f (x)＝x－3＋ln x在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以原方程只有一个解． 典例讲评　4．B　[作出函数f (x)＝的图象如图所示． 令g(x)＝0，可得f (x)＝b，画出直线y＝b，可得当－1<b<0时，直线y＝b和函数y＝f (x)的图象有两个交点，则g(x)有两个零点．故选B．] 学以致用　3．(1)B　(2)a>1或a＝0　[(1)令g(x)＝0，得f (x)＝－x＋3，画出函数f (x)和y＝－x＋3的图象，如图所示： 函数g(x)的零点个数即f (x)和y＝－x＋3的图象的交点个数，结合图象知有2个交点，故函数g(x)有2个零点．故选B． (2)由题意知：函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，作出函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示． 若函数y＝|x2－4x＋3|与y＝a的图象有两个交点，则a>1或a＝0．所以实数a的取值范围是a>1或a＝0．] [应用迁移] 1．AC　[令f (x)＝0，解得x＝±1，所以函数的零点是－1和1．故选AC．] 2．AC　[因为函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，且f (1)<0，f (2)>0，f (3)>0，f (4)<0，函数在区间(1，2)和(3，4)上一定有零点，故选AC．] 3．3　[由题意得f (2)＝loga3－1＝0，解得a＝3．] 4．2　[当x0时，由x2－2＝0，解得x＝－， 当x>0时，由ln x＝0，解得x＝1， 所以函数f (x)＝ 的零点个数是2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 [学习目标]　1．了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点三者之间的联系．(直观想象) 2．了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数．(逻辑推理) [讨论交流]　预习教材P142－P144，并思考以下问题： 问题1．函数零点的概念是什么？ 问题2．函数零点存在定理如何表述？ 问题3．方程的解、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　函数零点的概念 探究问题1　回想一下，二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是如何定义的？二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点与其图象与x轴交点的横坐标存在怎样的关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使______________________叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有____⇔函数y＝f (x)的图象与____有公共点． 　函数零点的求法 (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数解． (2)几何法：函数y＝f (x)的图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [学以致用]　1．(多选)若函数f (x)＝ax＋b只有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　) A．－ B．0 C． D．－3 探究2　函数零点存在定理 探究问题2　观察函数f (x)＝x2＋2x－3的图象： (1)f (x)在区间(－4，－2)上有零点吗？f (－4)·f (－2)的值和0有什么关系？ (2)f (x)在区间(0，2)上有零点吗？f (0)·f (2)的值与0有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题3　如果函数f (x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f (a)f (b)<0，那么f (x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？请画草图辅助说明． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有________________________，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内____有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得______________，这个c也就是方程f (x)＝0的解． [典例讲评]　2．(1)已知y＝f (x)是定义在R上的函数，下列命题正确的是(　　) A．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(a，b)内有零点，则有f (a)·f (b)<0 B．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)>0，则其在(a，b)内没有零点 C．若y＝f (x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，则其在(a，b)内有零点 D．若y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，则其在(a，b)内有零点 (2)函数f (x)＝lg x－的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，10) C．(10，100) D．(100，＋∞) [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　确定函数f (x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． [学以致用]　2．(源自北师大版教材)判定方程4x3＋x－15＝0在区间(1，2)内解的存在性，并说明理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　函数零点个数问题 　判断函数的零点个数 [典例讲评]　3．判断方程x＋ln x＝3的实数解的个数． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据零点个数求参数范围 [典例讲评]　4．函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－b有两个零点，则实数b的取值范围是(　　) A．0<b<1 B．－1<b<0 C．b<0 D．－1<b<1 [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断函数零点个数的常用方法 (1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的个数就是函数f (x)零点的个数． (2)图象法：直接作出函数f (x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f (x)零点的个数． (3)f (x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f (x)零点的个数． [学以致用]　3．(1)已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)＋x－3的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若函数y＝|x2－4x＋3|－a有两个零点，则实数a的取值范围是________． 1．(多选)函数f (x)＝(x2－1)(x＋1)的零点是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 2．(多选)已知函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 y －0.2 1.3 0.9 －0.5 －1 下列区间中函数y＝f (x)一定有零点的是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 3．已知函数f (x)＝loga(2x－1)－1的零点是2，则a＝________． 4．函数f (x)＝的零点个数是________． 1．知识链：(1)函数的零点的定义； (2)函数的零点与方程的解的关系； (3)函数零点存在定理； (4)函数的零点个数的判断． 2．方法链：定理法、方程法、数形结合法． 3．警示牌：注意不要将零点理解成点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十八) 1．A　2．D　3．B　4．C　5．BCD 6．(－1，0)　7.3　8.1 9．解：法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0，∴f (0)f (2)<0， ∴f (x)在(0，2)上必定存在零点． 又f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上单调递增， ∴f (x)有且只有一个零点． 法二：令f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2＝0，即2－2x＝lg (x＋1)， 在同一平面直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图，如图所示， 由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点． 10．C　[本题转化为函数y＝lg |x|和函数y＝|x2－2|的图象的交点个数，作出两个函数的图象，如图， 根据图象可得两个函数图象的交点的个数为4， 所以函数f (x)＝lg |x|－|x2－2|的零点个数为4．故选C．] 11．C　[因为f (x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上单调递增， 且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3＋1>0， 即x0∈(2，3)，所以k＝2，故选C．] 12．C　[由已知条件得f (x)的零点可以看成y＝2x与y＝4－x图象的交点的横坐标， g(x)的零点可以看成y＝ex与y＝4－x图象的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x与y＝4－x图象的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系下分别画出y＝2x，y＝ex，y＝ln x，y＝4－x的函数图象，如图所示，可知c>a>b，故选C．] 13．D　[∵f (x)为奇函数且在(0，＋∞)内有1 012个零点， ∴在(－∞，0)内也有1 012个零点， 又∵f (0)＝0，∴共有2 024＋1＝2 025(个)零点．故选D．] 14．解：(1)由f (0)＝f (4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f (x)＝x2－4x＋3，令f (x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1． 所以f (x)的零点是1和3． (2)因为f (x)的零点一个大于1，另一个小于1，其图象如图． 需f (1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4． 故实数b的取值范围为(4，＋∞)． 15．解：若函数f (x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个根， 若a＝0，则方程2ax2－x－1＝0可化为－x－1＝0， 得x＝－1∉(0，1)，不成立． 若a≠0，设方程的两根为x1，x2， 且Δ＝(－1)2＋8a＝1＋8a0， 得a－，且a≠0， 当－a<0时， 有 故x1<0，x2<0，不符合题意； 若a>0，则函数图象开口向上， 又f (0)＝－1<0， 若函数在(0，1)上恰有一个零点， 则f (1)＝2a－1－1>0，所以a>1． 综上，a>1． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十八)　函数的零点与方程的解 一、选择题 1．函数f (x)＝log3(x－1)－2的零点为(　　) A．10 B．9 C．(10，0) D．(9，0) 2．设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则＋的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 3．函数f (x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(e，3) 4．方程|lg x|＋x－2＝0的解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是(　　) A．函数一定有两个零点 B．a>0时，函数一定有两个零点 C．a<0时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 二、填空题 6．若f (x)＝x＋b的零点在区间(0，1)内，则b的取值范围为________． 7．已知函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分取值如下表所示： x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 f (x) －3.51 1.02 2.37 1.56 －0.38 1.23 2.7 3.5 4.9 则函数y＝f (x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为________． 故函数y＝f (x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为3．] 8．函数f (x)＝2x＋x－5在(t，t＋1)上存在零点，则整数t的值为________． 三、解答题 9．判断函数f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数． 10．函数f (x)＝lg |x|－|x2－2|的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 11．函数f (x)＝ln x＋2x－5的零点为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知函数f (x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b 13．已知f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 012个，则f (x)的零点的个数为(　　) A．1 011 B．1 012 C．2 024 D．2 025 14．已知函数f (x)＝x2－bx＋3． (1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x)的零点； (2)若函数f (x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求实数b的取值范围． 15．若函数f (x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$