4.4.3 不同函数增长的差异-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

4.4.3　不同函数增长的差异 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：幂函数y＝x比对数函数y＝log2x增长快，而且快很多． 探究问题2　提示：当x的值充分大时，指数函数y＝2x比幂函数y＝x100增长快，而且快很多． 新知生成　增函数　增函数　增函数　y轴　x轴　越来越快　越来越慢　ax>kx>logax 典例讲评　1．(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度变快．故选A． (2)由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，可知指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数．] 学以致用　1．D　[显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x)＝2x．故选D．] 探究2 典例讲评　2．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f (x)＝2x． (2)因为f (1)>g(1)，f (2)<g(2)，f (9)<g(9)，f (10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2，2 024>x2， 从图象上可以看出，当x1<x<x2时， f (x)<g(x)， 所以f (6)<g(6)． 当x>x2时，f (x)>g(x)， 所以f (2 024)>g(2 024)． 又因为g(2 024)>g(6)， 所以f (2 024)>g(2 024)>g(6)>f (6)． 学以致用　2．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f (x)＝ln x． (2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f (x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f (x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)； 当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)． 综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f (x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f (x)； 当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f (x)． 探究3 典例讲评　3．解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 学以致用　3．解：(1)因为函数y＝m3x中，y随x的增长而增长，且增长的速度越来越快，函数y＝mlog3x＋b中，y随x的增长而增长，且增长的速度越来越慢， 根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即y＝mlog3x＋b， 由题意可得 解得 所以该模型的解析式为： y＝2log23log3x＋1＝2log2x＋1． (2)由(1)知：y＝2log2x＋1， 由题意知：y5，即2log2x＋15，则有2log2x4，所以log2x2，所以x4， 所以至少需要4秒． [应用迁移] 1．B　[D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．] 2．ABC　[对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B，C，当0<a<1时，显然不成立；对于D，当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不一定成立．故选ABC．] 3．>log2x　[作出f (x)＝和g(x)＝log2x的图象，如图所示： 由图象可知，在(0，4)内，>log2x； x＝4或x＝16时，＝log2x； 在(4，16)内，<log2x； 在(16，20)内，>log2x．] 4．④　[由表格数据增长越来越快，代入数据验证可知其中最接近的一个是y＝2x．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十七) 1．D　2．C　3．B　4．D　5．CD 6．y＝x2　7．乙，甲，丙 8．(2，4)　(0，2)∪(4，＋∞) 9．解：方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)， 因为15.386>15，所以方案二较好． 10．A　[分别画出y＝2x，y＝x2的图象(图略)，由图象可知，两图象有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x<－1时，y<0，故排除D．故选A．] 11．C　[当x>0时，函数y＝4x的图象如图所示，若当0＜x时，不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵当y＝logax的图象与y＝4x的图象交于点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1，故选C．] 12．ABD　[易知该指数函数的解析式为f (x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f (5)＝32>30，所以B正确；由f (x1)＝＝4和f (x2)＝＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设＝＝＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正确．] 13．(4)　(1)　(3)　(2)　[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．] 14．解：(1)对于模型一，当k>0时，匀速增长； 对于模型二，当k>0时，先慢后快增长； 对于模型三，当k>0时，先快后慢增长． 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y＝klog2＋n． (2)将(0，0)，(30，3)代入解析式得到 即 解得k＝3，n＝－3， 即y＝3log2－3． 当x＝90时，y＝3log2(6＋2)－3＝6， 满足每天得分最高不超过6分的条件． 所以函数的解析式为 y＝ (3)由y＝3log2－3≥4.5，log2≥2.5＝log2， 得＋2≥＝4≈5.657，得x≥54.86， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟． 15．解：y＝lg x＋1在区间[4，10]上单调递增，当x＝10时，ymax＝2．作出y＝lg x＋1与y＝的图象，如图所示． 由图知lg x＋1<在x∈[4，10]上恒成立． 故函数y＝lg x＋1符合公司的要求． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十七)　不同函数增长的差异 一、选择题 1．某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 2．下面对函数f (x)＝x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢 B．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C．f (x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 D．f (x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝ax2＋b D．y＝a＋ 4．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是(　　) A．投资3天以内(含3天)，采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 5．(多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲的速度快 D．甲先到达终点 二、填空题 6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 7．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应选择的方案分别是________． 8．若x∈(0，＋∞)，则使log2x<2x<x2成立的x的取值范围是________，使log2x<x2<2x成立的x的取值范围是________． 三、解答题 9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%． 哪个方案较好？ 10．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　D 11．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A．(，2) B．(1，) C． D． 12．(多选)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，给出的下列说法正确的是(　　) A．此指数函数的底数为2 B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2 C．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月 D．设野生水葫芦蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3 13．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应________；C对应________；D对应________． 14．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求如下：(1)函数的图象接近图示；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分．现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx＋b(k>0)；②y＝＋b(k>0)；③y＝klog2＋n(k>0)． (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟(结果保留整数)． 15．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的．则对于函数①y＝lg x＋1，②y＝，符合该公司奖励方案的函数模型是哪一个？(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4.3　不同函数增长的差异 [学习目标]　1．了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型．(数据分析、直观想象) 2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(数据分析、数学建模) [讨论交流]　预习教材P136－P138，并思考以下问题： 问题1．函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？ 问题2．函数y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)的增长速度有什么不同？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　几个函数模型增长差异的比较 探究问题1　观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？ x 22 24 26 28 210 212 214 216 y＝ 2 4 8 16 32 64 128 256 y＝log2x 2 4 6 8 10 12 14 16 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　观察下表，想一想，两个函数的增长有什么差异？ x 20 24 28 210 214 220 y＝2x 2 216 2256 21 024 216 384 21 048 576 y＝x100 1 2400 2800 21 000 21 400 22 000 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 三种函数模型的增长差异 函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 ______ ______ ______ 图象的变化 趋势 随x增大逐渐近似与____平行 随x增大逐渐近似与____平行 保持固定增长速度 增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度________，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度________ 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有____________________ [典例讲评]　1．(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 024x B．y＝2 024 C．y＝log2 024x D．y＝2 024x (2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2 [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　常见的函数增长特点 一次 函数 一次函数y＝kx＋b(k>0)的增长特点是随着自变量的增大，函数值保持固定的增长速度，即增长速度不变 指数 函数 指数函数y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸” 对数 函数 对数函数y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增长速度越来越慢，即增长速度平缓 [学以致用]　1．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i(x)(其中i∈{1，2，3，4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f 1(x)＝x2，f 2(x)＝4x，f 3(x)＝log2x，f 4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　) A．f 1(x)＝x2 B．f 2(x)＝4x C．f 3(x)＝log2x D．f 4(x)＝2x 探究2　函数增长速度的比较 [典例讲评]　2．函数f (x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点，y2)，且x1<x2． (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f (6)，g(6)，f (2 024)，g(2 024)的大小． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由图象判断指数函数和对数函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数和对数函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． [学以致用]　2．已知函数f (x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示． (1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)借助图象，比较f (x)和g(x)的大小． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　函数模型的选择 [典例讲评]　3．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%．现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　几类不同增长函数模型选择的方法 (1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型． (2)增长速度越来越快， 即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越大，此时的函数模型是指数函数模型． (3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型． [学以致用]　3．科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是1 cm3，2秒后染料扩散的体积是3 cm3，染料扩散的体积y与时间x(单位：秒)的关系有两种函数模型可供选择：①y＝m·3x，②y＝mlog3x＋b，其中m，b均为常数． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)若染料扩散的体积达到5 cm3，至少需要多少秒？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x2 D．y＝6x 2．(多选)以下四种说法中，错误的是　(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 3．已知16<x<20，利用图象可判断出和log2x的大小关系为________． 4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据： x 2 2.99 4 5 6.002 y 4 8.02 15.99 32 64.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝；③y＝log2x；④y＝2x．其中最接近的一个是________(只填序号)． 1．知识链：一次函数增长模型、指数函数增长模型、对数函数增长模型． 2．方法链：转化法． 3．警示牌：注意理解三种函数增长的差异． 指数爆炸与生活哲学 指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？ 1.01365≈？ 1.02365≈？ 0.99365≈？ 1.01219×0.98146≈？ 0.9550≈？ 有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$