4.4.2 对数函数的图象和性质(1)-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

课时分层作业(三十五)　对数函数的图象和性质(一) 一、选择题 1．函数y＝log0.25x与y＝log4x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 2．若对数函数y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(0，1) 3．若函数f (x)＝logax＋1(a＞0，且a≠1)的图象过定点A(m，n)，则m＋n＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 4．已知f (x)＝log3x，则f ，f ，f (2)的大小关系是(　　) A．f >f >f (2) B．f <f <f (2) C．f >f (2)>f D．f (2)>f >f 5．(多选)若0<a<1，则函数y＝loga(x＋5)的图象经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 6．比较大小： (1)log22________log2； (2)log8π________logπ8． 7．已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为________． 8．如果函数f (x)＝(3－a)x与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 9．已知函数f (x)＝log3x． (1)作出这个函数的图象； (2)若f (a)<f (2)，利用图象求a的取值范围． 10．已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f (x)＝与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 11．若log3a<log3b<0，则(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1　 C．b>a>1 D．a>b>1 12．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 13．已知函数f (x)＝|lg x|，若f (m)＝f (n)(n＜m)，则2m＋3n的取值范围为________． 14．已知函数f (x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)． (1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域； (2)试确定不等式f (x)≤g(x)中x的取值范围． 15．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4.2　对数函数的图象和性质(一) [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示： x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝x … -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y＝x … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 … 对数函数y＝log2x和y＝x的图象如图． 探究问题2　提示：同一坐标系中函数的图象如图． (1)函数y＝log2x和y＝log3x的图象从左到右是上升的． (2)函数y＝ x和y＝x的图象从左到右是下降的． (3)函数y＝log2x和y＝x的图象关于x轴对称，同样，函数y＝log3x和y＝x的图象也关于x轴对称． (4)这四个函数的定义域均为(0，＋∞)，值域为R，都过定点(1，0)． 新知生成　(0，＋∞)　(1，0)　(－∞，0)　[0，＋∞)　(0，＋∞)　(－∞，0]　x轴 典例讲评　1．(1)B　[(1)结合图象可知0<a<1，0<b<1，又当logax1＝logbx2＝1时， x1＝a，x2＝b，结合题图知b<a，∴0<b<a<1．故选B．] (2)解：因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f (x)＝log5|x|＝ 所以函数y＝log5|x|的图象如图所示． 母题探究 解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示． ①　　　　　　② 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②所示． 第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③所示． 第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示． ③　　　　　　④ 发现规律　(1)y轴　(2)x轴及上方　x轴下方图象　(4)y轴　x轴　原点 学以致用　1．(1)C　(2)D　[(1)因为对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)， 所以令2x＋1＝1，解得x＝0， 此时f (0)＝loga1＝0，即f (x)的图象过定点(0，0)． 故选C． (2)因为函数f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以0<a<1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴上，所以x＝1＋b>0，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1<b<0．] 探究2 典例讲评　2．解：(1)因为2>1，所以函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数． 由5.3>4.7，得log25.3>log24.7． (2)因为0<0.2<1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数． 由7<9，得log0.27>log0.29． (3)因为3>1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数． 由π>3，得log3π>log33＝1． 同理可得1＝logππ>logπ3． 因此log3π>logπ3． (4)当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数， 此时由3.1<5.2，得loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数， 此时由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2． 发现规律　(2)图象　换底公式　(3)中间量 学以致用　2．解：(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5<log5． 法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0， 所以log5<log5． (2)法一(单调性法)：由于2＝，2＝， 对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 且>，所以0>log2>log2， 所以<， 所以2<2． 法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝x及y＝x的图象，由图易知：2<2． (3)取中间值1， 因为log23>log22＝1＝log55>log54， 所以log23>log54． 探究3 典例讲评　3．解：(1)原不等式等价于 解得＜x3． 所以不等式的解集为． (2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)． 当a＞1时， 不等式等价于无解． 当0＜a＜1时， 不等式等价于解得x＞4． 综上可知，当a＞1时，解集为∅； 当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}． 学以致用　3．解：由loga<1，得loga<logaa． (1)当a>1时，有a>，此时a>1． (2)当0<a<1时，有a<，从而0<a<． 所以a的取值范围是∪(1，＋∞)． [应用迁移] 1．A　[对数函数的定义域为(0，＋∞)，四个选项中最有可能是对数函数的是A选项．故选A．] 2．B　[a＝log23.6>1，1>c＝log43.6>b＝log43.2，故选B．] 3．(2，1)　[令loga(x－1)＝0，得x＝2，此时y＝1． ∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2，1)．] 4．(2，7]　[由题意可得lg (2x－4)lg 10， ∴0<2x－410， 即2<x7．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4.2　对数函数的图象和性质(一) [学习目标]　1．初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象、数学抽象) 2．会利用对数函数的单调性比较大小．(逻辑推理、数学运算) [讨论交流]　预习教材P132－P133，并思考以下问题： 问题1．对数函数的图象是什么形状？你能画出y＝log2x与y＝x的图象吗？ 问题2．通过对数函数的图象，你能观察到函数的哪些性质？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　对数函数的图象和性质 探究问题1　请同学们先完成下列表格，再利用描点法在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝x的图象． x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y＝x … … y＝x … … 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　在探究问题1所画图象的基础上，再画出函数y＝log3x和y＝ x的图象，并说出这四个函数图象的特征． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 对数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 _________ 值域 R 单调性 在(0，＋∞) 上单调递增 在(0，＋∞) 上单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点__________，即x＝1时，y＝0 函数值特点 当x∈(0，1)时， y∈__________； 当x∈[1，＋∞)时， y∈________ 当x∈(0，1)时， y∈__________； 当x∈[1，＋∞)时， y∈________ 对称性 函数y＝logax与y＝x的图象关于____对称 [典例讲评]　1．(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　) A．0<a<b<1　　　 B．0<b<a<1 C．a>b>1 D．b>a>1 (2)已知f (x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　把本例(2)改为f (x)＝|log2(x＋1)|＋2，试作出其图象． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　函数图象的变换规律 (1)作y＝f (|x|)的图象时，保留y＝f (x)(x>0)的图象不变，x<0时y＝f (|x|)的图象与y＝f (x)(x>0)的图象关于____对称． (2)作y＝|f (x)|的图象时，保留y＝f (x)的__________图象不变，把____________以x轴为对称轴翻折上去即可． (3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律． (4)y＝f (－x)与y＝f (x)的图象关于____对称，y＝－f (x)与y＝f (x)的图象关于____对称，y＝－f (－x)与y＝f (x)的图象关于____对称． [学以致用]　1．(1)函数f (x)＝loga(2x＋1)(a>0，且a≠1)的图象一定过点(　　) A． B．(1，0) C．(0，0) D．(0，1) (2)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0，b<－1 B．a>0，－1<b<0 C．0<a<1，b<－1 D．0<a<1，－1<b<0 探究2　比较对数值的大小 [典例讲评]　2．(源自北师大版教材)比较下列各题中两个数的大小： (1)log25.3，log24.7； (2)log0.27，log0.29； (3)log3π，logπ3； (4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的____或用________转化． (3)底数和真数都不同，找______． [学以致用]　2．比较下列各组值的大小： (1)log5与log5； (2)2与2； (3)log23与log54． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　解对数不等式 [典例讲评]　3．解不等式： (1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)； (2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0，且a≠1)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解． [学以致用]　3．已知loga<1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列图象对应的函数可能是对数函数的是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 2．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b 3．若a>0，且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________． 4．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________． 1．知识链：(1)对数函数的图象及性质； (2)利用对数函数的图象及性质比较大小； (3)利用单调性解对数不等式． 2．方法链：分类讨论法、数形结合法． 3．警示牌：作对数函数图象时注意不要忽视底数a>1与0<a<1两种情况． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十五) 1．A　2．B　3．C　4．B　5．BCD 6．(1)>　(2)<　7．　8．(1，2) 9．解：(1)作出函数f (x)＝log3x的图象如图所示． (2)由图象知： 当0<a<2时，恒有f (a)<f (2)． 所以所求a的取值范围为0<a<2． 10．B　[log2a＋log2b＝0， 即为log2(ab)＝0，即有ab＝1． 当a＞1时，0＜b＜1， 函数f (x)＝与g(x)＝logbx均为减函数，四个图象均不满足；当0＜a＜1时，b＞1， 函数f (x)＝与g(x)＝logbx均为增函数，排除ACD．故在同一坐标系中的图象可能是B．] 11．B　[∵y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，且log31＝0， ∴由log3a<log3b<0，得0<a<b<1． 故选B．] 12．B　[因为y＝4.2x在R上单调递增， 且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3， 即0<a<1<b． 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c．故选B．] 13．[2，＋∞)　[因为函数f (x)＝|lg x|， 若f (m)＝f (n)，则|lg m|＝|lg n|， 因为n＜m，所以n＜1＜m，lg m＝－lg n， 所以lg m＋lg n＝lg (mn)＝0， 所以mn＝1， 则2m＋3n2＝2，当且仅当2m＝3n且mn＝1，即m＝，n＝时取等号．] 14．解：(1)由解得1＜x＜3， ∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}． (2)不等式f (x)g(x)，即为loga(x－1)loga(6－2x)， ①当a＞1时，不等式等价于 解得1<x； ②当0＜a＜1时，不等式等价于 解得x<3． 综上可得，当a＞1时，不等式的解集为； 当0＜a＜1时，不等式的解集为． 15．解：由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示． 要使x2<logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2图象的上方，于是0<m<1． ∵x＝时，y＝x2＝， ∴只要x＝时，y＝logm＝logmm，∴m，即m． 又0<m<1，∴m<1． 即实数m的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$