4.3.2 第1课时 对数的运算-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

课时分层作业(三十二)　对数的运算 一、选择题 1．lg 8＋3lg 5的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．＋log2＝(　　) A． B．3 C． D．3＋ 3．若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝(　　) A．3t B．t C．t D． 4．已知3a＝2，则log38－2log36＝(　　) A．a－2 B．5a－2 C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1 5．(多选)若a>0且a≠1，b>0，c>0，n，m∈N*，n>1，则下列等式成立的是(　　) A．loga(b2－c2)＝2logab－2logac B．(loga3)2＝2loga3 C．loga＝logab D．logab＝－loga 二、填空题 6．已知a＝lg 2，则lg 50＝________(用a表示)． 7．计算：log26－log23－＋＝________． 8．若a，b满足ln a＋ln b＝0，则a＋b的最小值为________． 三、解答题 9．已知log189＝a，18b＝5，求log1845．(用a，b表示) 10．已知2a＝5，log2＝b，则4a-3b＝(　　) A． B． C．25 D．5 11．已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则＝(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．或4 12．空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而中国象棋空间复杂度的上限N约为1048(参考数据：lg 3≈0.48)，则下列各数中与最接近的是(　　) A．10150 B．10125 C．10105 D．10135 13．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，求的值． 14．运用对数运算性质，解答下列两题． (1)计算的值； (2)因为210＝1 024∈(103，104)，所以210的位数为4．请判断2 0222 023的位数． (参考数据：lg 2 022≈3.306，100.038≈1.091) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$null 4.3.2　对数的运算 第1课时　对数的运算 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1)由M＝ap，N＝aq，得p＝logaM，q＝logaN． 由MN＝ap＋q，得p＋q＝loga(MN)． 从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)． (2)将指数式＝ap－q化为对数式，得 loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0)． (3)由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R)． 新知生成　(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN　(3)nlogaM 典例讲评　1．解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz． (2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay． (3)loga ＝loga(x2) ＝logax2＋logay＋loga ＝2logax＋logay－logaz． 学以致用　1．解：(1)log2(64×16)＝log2(26×24)＝log2210＝10． (2)log3(9×27)＝log3(32×33)＝log335＝5． ＝＝＝18． (4)log336－log312＝log3＝log33＝1． (5)log7＋log7＝log7＝log7＝－1． (6)lg 20＋lg 5＝lg 100＝lg 102＝2． 探究2 典例讲评　2．解：(1)lg 12＝lg (22×3)＝lg 22＋lg 3＝2lg 2＋lg 3≈2×0.301 0＋0.477 1＝1.079 1． (2)lg ＝lg 33－lg 24＝3lg 3－4lg 2≈3×0.477 1－4×0.301 0＝0.227 3． 学以致用　2．解：由3b＝5，得log35＝b． ∴log3＝log3＝log330 ＝log35＋log36 ＝＋log32＋log33 ＝＋a＋． 探究3 典例讲评　3．解：(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5 ＝(lg 2＋lg 5) ＝lg 10 ＝． (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3． (3)原式＝ ＝ ＝ ＝． 学以致用　3．解：(1)原式＝(lg 5)2＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1． (2)lg 8＋(lg 5)2＋lg 2lg 50＋lg 25 ＝2lg 2＋(lg 5)2＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋(lg 5)2＋lg 2＋lg 2lg 5 ＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3． [应用迁移] 1．D　[lg 15＝lg (3×5)＝lg 3＋lg 5＝a＋b． 故选D．] 2．C　[lg 4＋lg －＝lg －2＝lg 10－2＝1－2＝－1， 故选C．] 3．B　[∵lg 3＝a，lg 7＝b， ∴lg ＝lg 3－lg 49＝lg 3－2lg 7＝a－2b．] 4．(4)　[根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(4)正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2　对数的运算 第1课时　对数的运算 [学习目标]　1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．(逻辑推理) 2．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(数学运算) [讨论交流]　预习教材P124－P125，并思考以下问题： 问题1．对数具有哪三条运算性质？ 问题2．如何借助指数幂的运算性质推导对数的运算性质？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　对数的运算性质 探究问题1　若令M＝ap，N＝aq． (1)由于apaq＝ap＋q，所以MN＝ap＋q，试问loga(MN)与logaM，logaN之间存在怎样的等量关系？ (2)由于＝ap－q，所以＝ap－q，试问loga与logaM，logaN之间存在怎样的等量关系？ (3)由于(ap)n＝anp(n∈R)，所以Mn＝anp(n∈R)，试问logaMn与logaM之间存在怎样的等量关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝______________． (2)loga＝_________________． (3)logaMn＝_________(n∈R)． [典例讲评]　1．用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga； (2)loga(x3y5)； (3)loga ． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　用对数运算性质解题的一般步骤： 第一步：看对数式的真数部分的组成形式：积、商还是幂； 第二步：用对数的运算性质拆解，即把对数式分解成对数式的和、差形式； 第三步：逆用运算性质，检验算式是否正确． [学以致用]　1．(源自北师大版教材)计算： (1)log2(64×16)； (2)log3(9×27)； ； (4)log336－log312； (5)log7＋log7； (6)lg 20＋lg 5． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　带有附加条件的对数式求值 [典例讲评]　2．(源自苏教版教材)已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值(结果保留4位小数)： (1)lg 12； (2)lg ． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对数式求值的两种处理方式 (1) (2) [学以致用]　2．已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log3． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　利用对数的运算性质化简、求值 [典例讲评]　3．计算下列各式的值： (1)lg －lg ＋lg ； (2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． (2)对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： ①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)． ②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． [学以致用]　3．求下列各式的值： (1)(lg 5)2＋lg 2·lg 50； (2)lg 8＋(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋lg 25． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知lg 3＝a，lg 5＝b，则lg 15的值为(　　) A． B．ab C．a－b D．a＋b 2．计算：lg 4＋lg －＝(　　) A．0 B．6 C．－1 D． 3．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为(　　) A．a－b2 B．a－2b C． D． 4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式： (1)(logax)n＝nlogax； (2)(logax)n＝logaxn； (3)＝logax； (4)＝loga． 其中正确的有________．(填序号) 1．知识链：(1)对数的运算性质； (2)对数运算性质的应用． 2．方法链：转化法． 3．警示牌：(1)注意不要混淆对数的运算性质与指数幂的运算性质； (2)注意不要忽视对数的运算性质成立的条件． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$