4.3.1 对数的概念-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

4.3　对数 4.3.1　对数的概念 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：方程2x＝4的解为x＝2；用指数方程不能求方程2x＝3的解． 探究问题2　提示：x＝log2b． 新知生成　1．x＝logaN　底数　真数 典例讲评　1．(1)B　[由题意可得 解得3<x<4或x>4． 所以x的取值范围为(3，4)∪(4，＋∞)．] (2)解：①由2-7＝，可得log2＝－7． ②由 32＝－5，可得＝32． ③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000． ④由ln x＝2，可得e2＝x． 学以致用　1．ABD　[C错误，由log39＝2可得32＝9．故选ABD．] 探究2 典例讲评　2．解：(1)由－lg x＝2得lg x＝－2， ∴x＝10-2＝． (2)由logx＝－3得 x-3＝＝4-3，∴x＝4． (3)由x＝得＝27， 即3－x＝33， ∴－x＝3，即x＝－3． (4)由ln ＝x得ex＝， 即ex＝e-2，∴x＝－2． 学以致用　2．解：(1)设x＝log525，则5x＝25＝52， 所以x＝2，即log525＝2． (2)设x＝log2，则2x＝＝2-4， 所以x＝－4， 即log2＝－4． (3)设x＝lg 1 000，则10x＝1 000＝103， 所以x＝3， 即lg 1 000＝3． (4)设x＝lg 0.001，则10x＝0.001＝10-3， 所以x＝－3，即lg 0.001＝－3． 探究3 探究问题3　提示：log21＝0；log31＝0；lg 1＝0． 发现loga1＝0(a>0，且a≠1)． 探究问题4　提示：log22＝1；log33＝1；lg 10＝1． 发现logaa＝1(a>0，且a≠1)． 新知生成　1．(1)没有　(2)0　(3)1 2．N　x 典例讲评　3．解：(1)∵ln (log5x)＝0，∴log5x＝1， ∴x＝51＝5． (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝3， ∴x＝103＝1 000． (3)x＝＝7÷＝7÷5＝． 学以致用　3．解：(1)log2＝log22-1＝－1． (2)log0.61＝log0.60.60＝0． (3)＝·2-2＝＝． (4)＝＝5． [应用迁移] 1．C　[根据对数的定义，得0和负数没有对数，所以选项A，B不可以求对数，又－x20，所以选项D没有对数，因为π>0，所以选项C可以求对数．] 2．B　[根据对数的定义，得＝－2，故选B．] 3．B　[由题意知 解得0<a<．] 4．0　[原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0．] 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 课时分层作业（三十一） 1.D2.B3.B4.C5.AB 6.97.38.1,2)U2,3) 9.解：由题意得3x2+2-1=2x2-1,解得x=0或-2， 当x=0时，2x2一1=一1，不合要求，舍去： 当x=一2时，2x2一1=7，满足要求 综上，x=一2. 10.C[由题意可得：hn55=h8≈h号=lhe4=4. 故选C.] 11.ABa-b=343b=380÷3gg=10÷7=9.J 12.C[由题意知，4.9=5+g/→1g=-0.1→/=10=而≈1≈0.8， 所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.] 13.25[2别83+32189=23×2g+3元=8×3+号=25.1 14.解：(1)58g+=4. (2)384=4,342=3g×3-2=4×=青 (3)58s2=2,52+10gg=52×58s2=25×2=50 15,解：根据定义，g1]=g2]=g3]==g=0: [g10]=g11]=lg12]=…=[lg99]=1: [lg1001=1g101]=g102]=…=[lg999]=2: [g1000]=lg1001]=lg1002]=…=1g2024]=3. 所以[g1]+g2]+g3]+…+g10]+g11]+g12]+…+g2024=1× (99-9)+2×(999-99)+3×(2024-999)=90+2×900+3×1025=4965. 1/1 ·独家授权侵权必究· 4.3　对数 4.3.1　对数的概念 [学习目标]　1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(数学抽象) 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(数学运算) [讨论交流]　预习教材P122－P123，并思考以下问题： 问题1．对数的概念是什么？ 问题2．对数式中底数和真数分别有什么限制？ 问题3．什么是常用对数和自然对数？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　对数的概念 探究问题1　前面我们已学习了指数幂的运算，知道了解方程x2＝4需要开方运算，求33的值需要幂的运算．你能用学过的知识求出方程2x＝4的解吗？2x＝3呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　一般地，如果2x＝b(b>0)，那么x的值如何表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作______________，其中a叫做对数的____，N叫做____． 2．对数式与指数式的关系 3．常用对数与自然对数 [典例讲评]　1．(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　　) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(3，4) (2)将下列对数式化为指数式或将指数式化为对数式： ①2-7＝；②32＝－5； ③lg 1 000＝3；④ln x＝2． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式． (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数值作为指数，底数不变，写出指数式． [学以致用]　1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．100＝1与lg 1＝0 B．＝与log27＝－ C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝5 探究2　利用指数式与对数式的关系求值 [典例讲评]　2．求下列各式中x的值： (1)－lg x＝2；(2)logx＝－3； (3)x＝；(4)ln ＝x． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN＝m． (2)将logaN＝m写成指数式am＝N． (3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b． [学以致用]　2．求下列各式的值： (1)log525；(2)log2；(3)lg 1 000；(4)lg 0.001． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　对数的基本性质及对数恒等式 探究问题3　把20＝1，30＝1，100＝1化成对数式，你发现了什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题4　把21＝2，31＝3，101＝10化成对数式，你发现了什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．对数的基本性质 (1)负数和0____对数； (2)loga1＝__(a>0，且a≠1)； (3)logaa＝__(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝__；logaax＝__(a>0，且a≠1，N>0)． [典例讲评]　3．求下列各式中x的值： (1)ln (log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0，且a≠1)对式子进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． [学以致用]　3．(源自湘教版教材)求下列各式的值： (1)log2；(2)log0.61； (3)；(4)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列选项中，可以求对数的是(　　) A．0 B．－5 C．π D．－x2 2．将＝9写成对数式，正确的是(　　) A．log9＝－2 ＝－2 ＝9 D．log9(－2)＝ 3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< 4．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝________． 1．知识链：(1)对数的概念； (2)对数式与指数式的互化； (3)对数的基本性质及对数恒等式． 2．方法链：转化法． 3．警示牌：注意不要忽视对数式中底数与真数的范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(三十一)　对数的概念 一、选择题 1．若log3x＝3，则x＝(　　) A．1 B．3 C．9 D．27 2．log3等于(　　) A．4 B．－4 C． D．－ 3．设＝25，则x的值等于(　　) A．10 B．13 C．100 D．±100 4．已知log5[log3(log2x)]＝0，则等于(　　) A． B． C． D． 5．(多选)下列式子中正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0　 B．＝80 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25x＝，则x＝±5 二、填空题 6．若a＝log23，则2a＋2－a＝________． 7．log33＋＝________． 8．在对数式log(x－1)(3－x)中，实数x的取值范围是________． 三、解答题 9．已知 (3x2＋2x－1)＝1，求x的值． 10．若取e3≈20，e7≈1 100，则ln 55≈(　　) A． B． C．4 D．6 11．设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为(　　) A． B． C． D． 12．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 13．计算＋＝________． 14．求下列各式的值： (1)；(2)；(3)． 15．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有着广泛的应用．求[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 10]＋[lg 11]＋[lg 12]＋…＋[lg 2 024]的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$