4.2.2 指数函数的图象和性质(1)-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

4.2.2　指数函数的图象和性质(一) [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：(1)　　1　2　4　4　2　1　　 (2)y＝2x和y＝的图象如图所示． 探究问题2　提示：(0，＋∞)　(0，＋∞)　增函数　减函数　无最值　无最值　非奇非偶函数　非奇非偶函数　(0，1)　(0，1)　0<y<1　y>1　y>1　0<y<1 探究问题3　提示：两函数的图象关于y轴对称． 探究问题4　提示：共同的性质：(1)当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减． (2)函数的图象恒过点(0，1)． 新知生成　(0，＋∞)　无最值　(0，1)　0　1　0<y<1　y>1　0<y<1　y>1　增函数　减函数　非奇非偶函数　y轴　 典例讲评　1．B　[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)， D(1，d)，由图可知b<a<1<d<c，故选B．] 学以致用　1．C　[由于0<m<n<1，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象．] 探究2 典例讲评　2．(1)(－1，－1)　[因为y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f (－1)＝－1，故f (x)＝2ax+1－3的图象恒过定点(－1，－1)．] (2)解：利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象．如图所示． ①　　　　　　② ③　　　　　　④ ⑤ 学以致用　2．(1)D　(2)C　[(1)由于f (x)在R上单调递减，所以0<a<1， 又0<f (0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，所以b<0，故选D． (2)∵函数g(x)＝3x+1＋t的图象过点(0，3＋t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3＋t0，解得t－3．] 探究3 典例讲评　3．解：(1)y＝23-x的定义域为R，值域为(0，＋∞)． (2)y＝56x+1的定义域为R，值域为(0，＋∞)． (3)中分母不等于0，故x≠2， 所以y＝的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 由于≠0，故≠1， 又，所以y＝的值域为(0，1)∪(1，＋∞)． 学以致用　3．解：(1)定义域为R． 因为|x|0， 所以y＝＝＝1． 故y＝的值域为[1，＋∞)． (2)因为1－2x0，所以2x1． 所以2x20，所以x0． 又因为0<2x1，所以－1－2x<0， 所以01－2x<1． 所以函数的定义域为(－∞，0]，值域为[0，1)． [应用迁移] 1．B　[∵y＝3－x＝，∴B选项正确．] 2．C　[设点(x，y)为函数f (x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f (x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称．] 3．B　[y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B．] 4．　(－4，＋∞)　[当2x＋1＝0，即x＝－时，a2x+1＝1为常数，此时y＝1－4＝－3，即函数y＝a2x+1－4的图象恒过点． 又a2x+1>0，所以y＝a2x+1－4>－4， 所以函数y＝a2x+1－4的值域为(－4，＋∞)．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.2　指数函数的图象和性质(一) [学习目标]　1．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(直观想象) 2．掌握指数型函数图象过定点及图象变换问题．(直观想象) 3．学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题．(数学运算) [讨论交流]　预习教材P116－P117，并思考以下问题： 问题1．指数函数的图象有什么特征？ 问题2．指数函数y＝ax(a>1)和y＝ax(0<a<1)的定义域、值域和单调性各是什么？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　指数函数的图象 探究问题1　先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝的图象． x －2 －1 0 1 2 y＝2x y＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　通过图象，分析y＝2x与y＝的性质并完成下列表格． 函数 y＝2x y＝ 定义域 x∈R x∈R 值域 ________ ________ 单调性 ________ ________ 最值 ________ ________ 奇偶性 ________ ________ 特殊点 ________ ________ y的变 化情况 当x<0时，______； 当x>0时，______ 当x<0时，______； 当x>0时，______ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题3　从表格及图象观察，两函数的图象有什么联系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题4　再选取底数a＝3，a＝4，a＝，a＝，在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共同的性质？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 指数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 ________ 最值 ______ 定点 过定点__________，即x＝__时，y＝__ 函数值 的变化 当x<0时，__________； 当x>0时，______　 当x>0时，__________； 当x<0时，______　 单调性 在R上是______ 在R上是______ 奇偶性 ____________ 对称性 y＝ax与y＝的图象关于____对称 [典例讲评]　1．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． [学以致用]　1．已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) A　　　　B　 　　C　　　　D 探究2　指数型函数的图象的应用 [典例讲评]　2．(1)函数f (x)＝2ax+1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________． (2)利用函数y＝f (x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象： ①f (x－1)；②f (|x|)；③f (x)－1；④－f (x)； ⑤|f (x)－1|． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　指数型函数图象问题的处理技巧 (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象经过的定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势． [学以致用]　2．(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 (2)要使g(x)＝3x+1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A．t≤－1 B．t<－1 C．t≤－3 D．t≥－3 探究3　与指数函数有关的定义域(值域)问题 [典例讲评]　3．(源自北师大版教材)求下列函数的定义域和值域： (1)y＝23-x；(2)y＝56x+1；(3)y＝． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y＝af (x)型函数的定义域、值域的求法 (1)形如y＝af (x)的函数的定义域就是f (x)的定义域． (2)形如y＝af (x)的函数的值域，先求出u＝f (x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af (x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论． [学以致用]　3．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．函数y＝3－x的图象是(　　) A　　　B　　　　C　　　D 2．函数f (x)＝πx与g(x)＝的图象关于(　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝－x对称 3．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是(　　) A．[1，＋∞) B．[2，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 4．函数y＝a2x+1－4(a>0，且a≠1)的图象恒过点________，值域为________． 1．知识链：(1)指数函数的图象；(2)指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点． 2．方法链：数形结合法． 3．警示牌：对于形如函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)过定点的问题，可以通过使f (x)＝0求解． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(二十九) 1．D　2．B　3．C　4．B　5．CD 6．(－3，－2)　7．{x|x≠±1}　8.6 9．解：(1)当x＜0时，－x＞0，所以f (－x)＝2x． 因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)＝2x， 所以f (x)＝ 作出函数大致图象如图所示． (2)由图象得：函数f (x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．值域是(0，1]． 10．B　[f (x)＝＝由指数函数的图象知B正确．] 11．A　[由函数f (x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，排除选项C，D；又因为函数图象过点(0，1＋b)(其中1＋b<0)，所以A项正确．] 12．D　[由题意分析得，取函数y＝3x与y＝3－x中的较小的值， 则f (3x*3－x)＝ 如图所示(实线部分)． 由图可知，函数f (3x*3－x)的值域为(0，1]．故选D．] 13．{a|a1或a＝0}　[作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与y＝|2x－1|的图象只有一个交点，则a1或a＝0．] 14．解：(1)由f (x)为减函数可知a的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b<0，即b<－1，所以b的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y＝|f (x)|的图象如图所示． 由图象可知使|f (x)|＝m有两解的实数m的取值范围为(0，3)． 15．解：(1)因为函数f (x)＝bax的图象经过点A(1，6)和B(3，24)，可得结合a>0，且a≠1，解得a＝2，b＝3，所以函数f (x)的解析式为f (x)＝3×2x． (2)要使＋m在区间(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y＝＋在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可， 因为函数y＝＋在区间(－∞，1]上单调递减， 所以当x＝1时，y＝＋取得最小值，最小值为，所以只需m即可，即实数m的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(二十九)　指数函数的图象和性质(一) 一、选择题 1．四个指数函数y＝2x，y＝3x，y＝，y＝的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝2x和y＝3x B．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝2x和y＝3x C．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x D．图象①，②，③，④对应的函数依次为y＝，y＝，y＝3x和y＝2x 2．函数y＝ax-1＋1的图象恒过定点(　　) A．(2，1) B．(1，2) C．(0，1) D．(－1，1) 3．函数f (x)＝2x-3(1<x≤5)的值域是(　　) A．(0，＋∞) B．(0，4) C． D． 4．已知0<a<1，b∈R，则函数y＝ax＋b的图象恒过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(多选)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 　 A　　　　　B　　　 　C　　　　D 二、填空题 6．若指数函数f (x)＝(a＋3)x是R上的减函数，则a的取值范围是________． 7．函数y＝的定义域为________． 8．若函数y＝在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝________． 三、解答题 9．已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝2－x． (1)求函数f (x)在R上的解析式，并作出f (x)的大致图象； (2)根据图象写出函数f (x)的单调区间和值域． 10．函数f (x)＝的图象大致为(　　) 　 A　　　　B　　　　　C　　　　　D 11．已知函数f (x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 　 A　　　　B　　　　　C　　　　　D 12．若定义运算f (a*b)＝则函数f (3x*3－x)的值域是(　　) A．R B．[1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(0，1] 13．若方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________． 14．已知函数f (x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若f (x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围； (2)若f (x)的图象如图②所示，|f (x)|＝m有两个实数解，求m的范围． ①　　　　　② 15．已知函数f (x)＝b·ax(a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)． (1)试确定函数f (x)的解析式； (2)若关于x的不等式＋－m≥0在区间(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$