2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

第2课时　一元二次不等式的应用 [探究建构]　 探究1 探究问题　提示：>0与(x－2)(x＋1)>0等价； 0与(x－2)(x＋1)0不等价，前者的解集中没有－1，后者的解集中有－1． 典例讲评　1．解：(1)不等式≥0可转化成不等式组解得x≤－1或x>3． 即原不等式的解集为{x|x≤－1，或x>3}． (2)因为≤1， 所以－1≤0， 所以≤0， 则(4－x)(2x－3)≤0且2x≠3． ∴(x－4)≥0且x≠， 从而x<或x≥4． 故原不等式的解集为． 学以致用　1．解：∵不等式ax－b>0的解集是x>， ∴a>0，且a＝2b， 则不等式>0等价于>0． ∴(x－1)(x－5)<0，解得1<x<5． 因此原不等式的解集为{x|1<x<5}． 探究2 典例讲评　2．解：法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6．由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为． 法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为． 母题探究 解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0． ∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0， 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0， 解得－<x<－，故不等式的解集为 ． 学以致用　2．AD　[因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}， 所以ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和4，且a>0， 所以－2＋4＝－，－2×4＝，得b＝－2a，c＝－8a，所以A正确； 对于B，因为a＋b－c＝a＋(－2a)－(－8a)＝7a>0，所以a＋b>c，所以B错误； 对于C，因为b＝－2a，c＝－8a，所以bx＋c>0可化为－2ax－8a>0，因为a>0，所以x＋4<0，解得x<－4，所以bx＋c>0的解集为{x|x<－4}，所以C错误； 对于D，因为b＝－2a，c＝－8a，所以cx2－bx＋a<0可化为－8ax2＋2ax＋a<0，因为a>0，所以8x2－2x－1>0，(2x－1)(4x＋1)>0，解得x<－或x>，所以原不等式的解集为，所以D正确．故选AD．] 探究3 典例讲评　3．解：(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w＝(x－10)(－10x＋500)(10x50)． (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得 (x－10)(－10x＋500)3 000． 化简，得x2－60x＋8000． 解得20x40． 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20x25． 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000． 由20x25，得500－20x＋1 000600． 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500p600}元． 学以致用　3．解：设每件售价x(x15)元， 则 解得15x20， 所以销售价格最高是20元． [应用迁移] 1．A　[依题意，关于x的不等式x2＋ax＋b>0的解集是{x|x<－2，或x>3}， 所以关于x的方程x2＋ax＋b＝0的根为x＝－2或x＝3， 所以解得 所以a＋b＝－7．故选A．] 2．C　[原不等式可化为(x－1)(x＋2)<0， 故原不等式的解集为{x|－2<x<1}．] 3．B　[∵汽车的刹车距离大于10 m， ∴s＝v2＋v>10， ∴s＝v2＋v－10>0． 故选B．] 4．4　[由题意知，不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}， 则(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，故a＝4．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　一元二次不等式的应用 [学习目标]　1．掌握分式不等式的解法．(数学运算) 2．掌握一元二次不等式的实际应用．(数学建模) 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算、直观想象) [讨论交流]　预习教材P53－P54，并思考以下问题： 问题1．应用一元二次不等式解决实际问题时应注意哪些问题？ 问题2．一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间存在怎样的联系？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　简单分式不等式的解法 探究问题　>0与(x－2)(x＋1)>0等价吗？≥0与(x－2)(x＋1)≥0等价吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例讲评]　1．解下列不等式： (1)≥0； (2)≤1． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　简单的分式不等式的解法 [学以致用]　1．关于x的不等式ax－b>0的解集是，求关于x的不等式>0的解集． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　三个“二次”的关系 [典例讲评]　2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　从不等式ax2＋bx＋c>0的解集中可以获取以下信息： (1)二次项系数的符号； (2)参数a，b，c之间的关系． [学以致用]　2．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．a＋b<c C．bx＋c>0的解集是{x|x>－4} D．cx2－bx＋a<0的解集是 探究3　一元二次不等式的实际应用 [典例讲评]　3．(源自北师大版教材)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政策协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500． (1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解不等式应用题的步骤 [学以致用]　3．某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价格销售，每天能售出30个；若售价每提高1元，日销售量则减少2个．为了使这批魔方每天的销售总收入不低于400元，销售价格最高是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若关于x的不等式x2＋ax＋b>0的解集是{x|x<－2，或x>3}，则a＋b＝(　　) A．－7 B．－6 C．－5 D．1 2．不等式 <0的解集为(　　) A．{x|x>1} B．{x|x<－2} C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1} 3．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离(单位：m)与刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下函数关系：s＝v2＋v，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是(　　) A．v2＋v－10<0　 B．v2＋v－10>0 C．v2＋v＋10<0　 D．v2＋v＋10>0 4．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1，或x>4}，则实数a＝________． 1．知识链：(1)简单的分式不等式的解法； (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系； (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法链：等价转化法、数形结合法． 3．警示牌：(1)解分式不等式要等价变形； (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十五) 1．D　2．D　3．C　4．B　5．ABD　 6．3　7．{x|0＜x1}　8．{x|x<1} 9．解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得 解得a＝－6，c＝－1． (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c0可化为－6x2＋8x－20， 即3x2－4x＋10，解得x1， 所以所求不等式的解集为． 10．D　[由x2－(a＋1)x＋a0，得(x－a)(x－1)0， 因为关于x的一元二次不等式x2－(a＋1)x＋a0的解中有且仅有4个正整数， 所以a>1，不等式的解为1xa，且4a<5， 故选D．] 11．AB　[因为ax2＋bx－1>0的解集是{x|－2<x<－1}，所以a<0，且ax2＋bx－1＝0的两个实数根是x＝－2或x＝－1，即－＝－3，－＝2，解得a＝－，b＝－，故A正确，C错误；bx2＋ax＋1>0，即－x2－x＋1>0，即3x2＋x－2<0，解得－1<x<，故B正确；bx2＋ax－1<0，即－x2－x－1<0，即3x2＋x＋2>0，解得解集是R，故D错误．故选AB．] 12．BC　[设桶的容积为x，根据题意可得关于x的一元二次不等式：(x－8)－20%x，且x>8， 化简可得x2－15x＋400， ∴8<x．故选BC．] 13．　[因为＞0等价于(ax－1)(x＋b)＞0，而(ax－1)(x＋b)＝0的两根为，－b，因为不等式解集为{x|－1＜x＜3}，故可得a＜0，且＝－1，－b＝3，则a＝－1，b＝－3，则＜0，即＜0，等价于(2x＋3)(2x－1)＞0，解得．] 14．解：由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12， s乙＝0.05x＋0.005x2>10． 分别求解，得x甲<－40或x甲>30， x乙<－50或x乙>40． 由于x>0，从而得x甲>30 km/h， x乙>40 km/h． 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 15．解：(1)由题意知下调后的电价为x元/(kWh)，用电量增至＋a，电力部门的收益为 y＝(x－0.3)(0.55x0.75)． (2)依题意，有 整理，得 解得0.60≤x≤0.75． ∴当电价最低定为0.60元/(kW·h)时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十五)　一元二次不等式的应用 一、选择题 1．分式不等式≤0的解集为(　　) A．{x|－5≤x≤1} B．{x|－5≤x<1} C．{x|x≤－5，或x≥1} D．{x|x≤－5，或x>1} 2．不等式<的解集是(　　) A．{x|x<2} B．{x|x>2} C．{x|0<x<2} D．{x|x<0，或x>2} 3．产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 4．若p：≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(多选)若函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点是A(－2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是(　　) A．b＋c＝－1 B．方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1 C．不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2＜x＜1} D．不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1} 二、填空题 6．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是________． 7．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝________． 8．已知不等式ax2＋bx－3<0的解集为{x|－1<x<3}，则不等式bx＋1＋a>0的解集为________． 三、解答题 9．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为． (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0． 10．已知关于x的一元二次不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解中有且仅有4个正整数，则a的取值范围是(　　) A．－3≤a<－2 B．－3<a≤－2 C．4<a≤5 D．4≤a<5 11．(多选)若关于x的不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|－2<x<－1}，则下列说法正确的是(　　) A．a－b＝1　 B．bx2＋ax＋1>0的解集是 C．a＝－2 D．bx2＋ax－1<0的解集是 12．(多选)有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的20%，则桶的容积可能为(　　) A．7 B．9 C．11 D．13 13．如果关于x的不等式＞0的解集是{x|－1＜x＜3}，则不等式＜0的解集为________． 14．在一条限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．问这次事故的主要责任方是谁？ 15．某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降低到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/(kW·h)． (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$