2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：都是含有一个未知数的不等式，并且未知数的最高次数为2． 新知生成　未知数　2 探究2 探究问题2　提示：函数图象与x轴交点的横坐标正好是对应方程的根． 探究问题3　提示：从图象上看，位于x轴上方的函数值大于零，位于x轴下方的函数值小于零，故x2－x－6<0的解集为{x|－2<x<3}． 新知生成　1．ax2＋bx＋c＝0 2．{x|x<x1，或x>x2}　{x|x1<x<x2}　∅　∅ 典例讲评　1．解：(1)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4． 根据y＝x2－7x＋12的图象(图①)，可得原不等式的解集为{x|x<3，或x>4}． (2)不等式两边同乘以－1，得x2＋2x－30． 方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1． 根据y＝x2＋2x－3的图象(图②)，可得原不等式的解集为{x|－3x1}． ①　　　　②　 　 ③　　　　④ (3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1． 根据y＝x2－2x＋1的图象(图③)，可得原不等式的解集为∅． (4)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解． 根据y＝x2－2x＋2的图象(图④)，可得原不等式的解集为R． 发现规律　(1)化标准　(2)判别式　(3)求实根　(4)画草图　(5)写解集 学以致用　1．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6． 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－1，或x>6}． (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0． 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3． 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象(图略)知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}． 探究3 典例讲评　2．解：Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R． (2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于2(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于2(x＋1)2>0，故x≠－1． (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为 x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)． 此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2． 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为 ； 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}． 典例讲评　3．解：原不等式可化为(x＋1)(x－a)<0， ∴方程x2＋(1－a)x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a． 又函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象(图略)开口向上， 则当a<－1时，原不等式的解集为{x|a<x<－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为∅； 当a>－1时，原不等式的解集为{x|－1<x<a}． 典例讲评　4．解：(1)当a＝0时，原不等式为－x＋2>0，解得x<2； (2)当a≠0时，原不等式为(ax－1)(x－2)>0， ①当0<a<时，>2，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得x<2或x>； ②当a＝时，原不等式即为(x－2)2>0，解得x≠2； ③当a>时，0<<2，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得x<或x>2； ④当a<0时，<0<2，解不等式(ax－1)(x－2)>0可得<x<2. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为； 当0<a<时，原不等式的解集为； 当a＝时，原不等式的解集为； 当a>时，原不等式的解集为. [学以致用]　2. 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为． [应用迁移] 1．A　[只有③是一元二次不等式，故选A．] 2．B　[因为(1－x)(2＋x)>0⇒(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，所以不等式的解集为{x|－2<x<1}．故选B．] 3．{x|－7<x<1}　[要使有意义，则7－6x－x2>0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1．] 4．　[∵0<m<1， ∴>1>m， 故原不等式的解集为．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 [学习目标]　1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(数学抽象) 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(数学运算) 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(直观想象) [讨论交流]　预习教材P50－P53，并思考以下问题： 问题1．一元二次不等式的概念是什么？ 问题2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？ 问题3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　一元二次不等式的概念 探究问题1　观察下面的式子： (1)2x2－1≥0； (2)x2－3x<0； (3)3x2＋2x－1>0． 它们有怎样的共同特征？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 定义 一般地，我们把只含有一个______，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 探究2　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 探究问题2　如图，二次函数y＝x2－x－6的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－x－6＝0的根有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题3　你能从二次函数y＝x2－x－6的图象上找到x2－x－6<0的解集吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使_________________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ______________________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 _____________ ______ __ 注意点：(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根． [典例讲评]　1．(源自苏教版教材)解下列不等式： (1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1<0；(4)x2－2x＋2>0． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)______．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)______．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)______．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)______．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)______．根据图象写出不等式的解集． [学以致用]　1．解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (2)(2－x)(x＋3)<0． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　含参数的一元二次不等式的解法 　对判别式Δ进行讨论 [典例讲评]　2．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对根的大小进行讨论 [典例讲评]　3．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对二次项系数进行讨论 [典例讲评]　4.设a∈R，解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2>0. [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解含参数的一元二次不等式的一般步骤 提醒：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并． [学以致用]　2.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；－y>0；③－x2－3x<0；④>0．其中一元二次不等式的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．不等式(1－x)(2＋x)>0的解集为(　　) A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<1，或x>2} D．{x|－1<x<2} 3．要使有意义，则x的取值范围为______． 4．若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为________． 1．知识链：(1)一元二次不等式的概念； (2)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系； (3)含参数的一元二次不等式的解法． 2．方法链：数形结合法、分类讨论法． 3．警示牌：解含参数的一元二次不等式时，注意不要因分类讨论的标准不统一导致错误． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十四) 1．C　2．B　3．B　4．A　5．B 6．2　7．{x|－4x1}　 8．{k|k<0，或0<k2，或k4} 9．解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小． 当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)； 当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4； 当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1． 综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1，或x<2(a－1)}； 当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}； 当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)，或x<a＋1}． 10．A　[二次函数y＝mx2－ax－1(m>0)的图象开口向上，且过点(0，－1)，结合图象(略)知，BCD均不正确．] 11．B　[根据给出的定义，得 x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2) ＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)， 又x⊙(x－2)<0，即(x＋2)(x－1)<0， 故不等式的解集是{x|－2<x<1}．] 12．BC　[易知对于一元二次方程x2－2x－a＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4＋4a>0，即a>－1，解原不等式可得1－x1＋．因为不等式的解集中只有5个整数，所以借助二次函数的图象(图略)数形结合可知只需31＋<4，解得3a<8．故选BC．(也可以分别令a＝2，4，6，8，然后代入一元二次不等式进行检验，看其是否符合题意)] 13．1　{x|x<1或x>3}(答案不唯一)　[当a>0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，且与x轴交点为(1，0)与(3，0)，结合图象(略)可得不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1或x>3}．] 14．解：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}． (2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－． ①当a<－时，解不等式得－<x<2， 即原不等式的解集为． ②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为∅． ③当－<a<0时，解不等式得2<x<－， 即原不等式的解集为． ④当a>0时，解不等式得x<－或x>2， 即原不等式的解集为. 综上所述，当a>0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}； 当－<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－时，不等式的解集为∅； 当a<－时，不等式的解集为． 15．解：因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－<a<时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根， 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}， 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a－xa＋}． 综上所述，当－<a<时，原不等式的解集为∅； 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}； 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}； 当a>或a<－时，原不等式的解集为{x|a－xa＋}． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十四)　一元二次不等式的解法 一、选择题 1．不等式－x2＋x＋2<0的解集为(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－1，或x>2} D．{x|x<－2，或x>1} 2．设x∈R，则“x(x－4)<0”是“0<x<2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|(x－1)(x－3)<0}，则A∩B＝(　　) A．{x|x>1} B．{x|2<x<3} C．{x|1<x<3} D．{x|x>2或x<1} 4．下列四个不等式中，解集为一切实数的是(　　) A．x2＋6x＋10≥0 B．x2－2x＋5>0 C．－x2＋x＋1≥0 D．2x2－3x＋4<0 5．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m<x<n} 二、填空题 6．二次函数y＝x2－4x＋4的零点是________． 7．使根式有意义的实数x的取值范围是__________． 8．已知x＝1是不等式k2x－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________________． 三、解答题 9．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0． 10．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　) A． B．R C． D．∅ 11．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2，或x>1} D．{x|－1<x<2} 12．(多选)关于x的一元二次不等式x2－2x－a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于(1，0)与(3，0)两点，当a＝________时，不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________．(写出a的一个值即可) 14．设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0. 15．解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$