2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

[探究建构]　 探究1 典例讲评　1．解：(1)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且xy＝12， 由，可得x＋y2＝2＝4， 当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝2． 所以把12写成两个2的乘积时，它们的和最小，最小为4． (2)设两个正数为x，y，则x>0，y>0，且x＋y＝25，由＝，可得xy， 当且仅当x＝y时等号成立，此时x＝y＝， 所以把25写成两个的和时，它们的积最大，最大为． 学以致用　1．解：设直角三角形两直角边长分别为x，y，依题意，S＝xy＝8，则xy＝16， 于是x＋y2＝8，当且仅当x＝y＝4时取等号， 所以当直角三角形直角边长都为4 cm时，两条直角边的长度和取得最小值8 cm． 探究2 典例讲评　2．解：(1)因为污水处理池的长为x m，所以宽为 m． 由题意可得解得x18． y＝400×1＋248×2××1＋80×200＝800＋16 000． (2)∵y＝800＋16 0001 600×＋16 000＝44 800， 当且仅当x＝， 即x＝18时取等号， 此时，＝． 因此，当污水处理池长为18 m，宽为 m时，其总造价最低，最低造价为44 800元． 学以致用　2．解：设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，总造价为y元， 由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m， 所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80， 由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋8020×2＋80＝160(元)， 当且仅当a＝b＝2时，等号成立， 因此，该容器的最低总造价为160元． 探究3 典例讲评　3．解：(1)设阴影部分直角三角形的高为y cm， 所以阴影部分的面积S＝6×xy＝3xy＝36 000，所以xy＝12 000， 又x＝60，故y＝200， 由图可知AD＝y＋20＝220 cm， AB＝3x＋50＝230 cm． 海报纸的周长为2×(220＋230)＝900 cm． 故海报纸的周长为900 cm． (2)由(1)知xy＝12 000，x>0，y>0， S矩形ABCD＝(3x＋50)(y＋20)＝3xy＋60x＋50y＋1 0003xy＋2＋1 000＝49 000， 当且仅当6x＝5y，即x＝100 cm，y＝120 cm时等号成立，此时AB＝350 cm，AD＝140 cm． 故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少． 学以致用　3.4　[设BM＝x(x>0)，则由DC∥AM，得＝， 解得ND＝， ∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)＝24＋3x＋24＋2＝48，当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立． ∴当BM＝4 m时，矩形花坛AMPN的面积最小．] [应用迁移] 1．B　[设a>0，b>0，ab＝121，则a＋b2＝2＝22，当且仅当a＝b＝11时等号成立．故选B．] 2．C　[设矩形的长为x cm，宽为y cm，0<x<4，0<y<4，则2(x＋y)＝8，即x＋y＝4， 所以这个模型的面积xy＝4， 当且仅当x＝y＝2时取等号， 所以这个模型的最大面积为4 cm2． 故选C．] 3．C　[设该矩形区域的长为x m，则宽为 m， 则所用警戒线的长度为22×2＝80 m，当且仅当＝x，即x＝20时，取等号． 则所用警戒线的长度的最小值为80 m．故选C．] 4．5　8　[由题意可知，年平均利润＝－x－＋18＝－＋18－2＋18＝8， 当且仅当x＝，即x＝5时，年平均利润最大，为8万元．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　基本不等式在实际问题中的应用 [学习目标]　1．熟练掌握基本不等式及其变形的应用．(数学抽象) 2．会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题．(数学抽象) [讨论交流]　预习教材P46－P48，并思考以下问题： 问题1．利用基本不等式求最值的依据是什么？ 问题2．利用基本不等式解决实际问题时应注意什么？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　简单的和定、积定问题 [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)(1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　该类应用题实际上考查的是基本不等式最值定理的实际应用，解答过程中，一是注意实际问题中变量的范围，二是注意应用基本不等式求最值的条件． [学以致用]　1．已知直角三角形的面积为8 cm2，当两条直角边各为多长时，两条直角边的长度和最小？最小值是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　费用最低(用料最少)问题 [典例讲评]　2．某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200 m2，高度为1 m的三段污水处理池(如图)，由于受地形限制，其长、宽都不超过18 m，已知池的外壁的建造费为400元/m2，池中两道隔墙(与宽平行)的建造费为248元/m2，池底的建造费为80元/m2．设污水处理池的长为x m，总造价为y元． (1)求y的表达式； (2)污水处理池的长与宽各是多少时，总造价最低？并求出这个最低造价． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他变量．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)靠拢． [学以致用]　2．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，求该容器的最低总造价． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　 方案设计问题 [典例讲评]　3．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH＝2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm)，设EF＝x cm． (1)当x＝60时，求海报纸(矩形ABCD)的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 应用基本不等式解决实际问题的思路与方法 (1)理解题意，设出变量． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题． (3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值． (4)根据实际背景写出答案． [学以致用]　3．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C．已知AB＝4 m，AD＝3 m，当BM＝________m时，矩形花坛AMPN的面积最小． 1．把121写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为(　　) A．11 B．22 C．44 D．2 2．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 3．某校为了庆祝建校100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400 m2的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为(　　) A．30 m B．50 m C．80 m D．110 m 4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 1．知识链：简单的和定、积定问题、费用最低(用料最少)问题、方案设计问题． 2．方法链：配凑法、转化法． 3．警示牌：生活中的变量有它自身的意义，解题时注意不要忽略变量的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十三) 1．A　2．A　3．B　4．B　5．AC　 6．32　7.400　8.3　 9．解：(1)设每间禽舍的长为x m，宽为y m，则4x＋6y＝36， 即2x＋3y＝18． 设S＝xy(0<x<9，0<y<6)．应用基本不等式， 有2x＋3y2，即218． 所以S13.5． 当且仅当2x＝3y时，不等式中的等号成立， 此时解得 因此，当每间禽舍的长、宽分别设计为4.5 m和3 m时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为13.5 m2． (2)由(1)及题设条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y． ∵2x＋3y2＝2＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间禽舍长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小． 10．B　[因为0<x<，所以0<1－2x<1，则f (x)＝＋＝＋，由权方和不等式可得＋＝25， 当且仅当＝，即x＝时，等号成立．故选B．] 11．B　[假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升． 第一种方案的均价为＝； 第二种方案的均价为＝． 所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算．] 12．AD　[设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为＋，∴v＝＝． ∵b>a>0，由基本不等式可得<， ∴v＝<＝， 又v＝<＝， v－a＝－a＝>＝0， ∴v>a，则a<v<． 故选AD．] 13．C　[设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝＋2＝8(小时)，当且仅当＝，即v＝100时等号成立，此时t＝8小时．] 14．解：设休闲广场用地的宽为x m，则长为 m，所以长方形用地的宽为(x＋2)m，长为m， 则长方形用地的面积为S＝(x＋2)＝3x＋＋3902＋390＝486， 当且仅当3x＝，即x＝16时，等号成立，此时的长方形用地的长为27 m，宽为18 m． 所以应选择的长方形用地满足长为27 m，宽为18 m． 15．解：(1)由题意可得AD＝4－x， 且x>4－x>0，可得2<x<4， 由CE＝AE＝x－DE， 在直角三角形ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2， 即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2， 化简可得DE＝4－(2<x<4)． (2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)＝2≤2＝12－8， 当且仅当x＝2，4－x＝4－2， 即队徽的长和宽分别为2，4－2时， △ADE的面积取得最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十三)　基本不等式在实际问题中的应用 一、选择题 1．要设计一个矩形，其对角线长为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为(　　) A．50 B．25 C．50 D．100 2．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为(　　) A．4 mg/L B．6 mg/L C．8 mg/L D．12 mg/L 3．某企业2月份的产量与1月份相比增长率为p，3月份的产量与2月份相比增长率为q(p>0，q>0)，若该企业这两个月产量的平均增长率为x，则下列关系中正确的是(　　) A．x≥ B．x≤　 C．x> D．x< 4．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买m台设备的总成本为y＝m2＋m＋200(单位：万元)．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备(　　) A．100台 B．200台　 C．300台 D．400台 5．(多选)某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次．已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是(　　) A．当x＝40时，y取得最小值 B．当x＝45时，y取得最小值 C．ymin＝320 D．ymin＝360 二、填空题 6．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为________． 8．中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式．设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为________． 三、解答题 9．(源自北师大版教材)如图，动物园要围成4间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计) (1)现有可围36 m长钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ (2)若使每间禽舍面积为24 m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？ 10．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有着广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则＋≥，当且仅当＝时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x)＝＋的最小值为(　　) A．11 B．25 C．121 D．169 11．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 12．(多选) 小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 13．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要(　　) A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 14．某地欲修建一个384 m2的长方形休闲广场，如图所示，场地上、下两侧要留1.5 m空白，左、右两侧要留1 m空白，为节约用地，应选用何种尺寸的长方形用地？ 15．志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB>AD，矩形的周长为8 cm． (1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围； (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$