2.2 第1课时 基本不等式-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：． 探究问题2　提示：法一：(作差法) ＝＝＝≥0，即，当且仅当a＝b时，等号成立． 所以≤． 法二：(性质法) 要证≤， 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－()2≤0， 显然()2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立． 所以≤． 探究问题3　提示：如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝．由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为． 因此，基本不等式的几何意义是“圆的半径不小于半弦”． 新知生成　1．　a＝b　 2．不小于 典例讲评　1．证明：(1)因为a，均为正数，由基本不等式，得a＋2＝2，当且仅当a＝，即a＝1时等号成立，所以原不等式成立． (2)因为a，b为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得＋2＝2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以原不等式成立． 学以致用　1．BC　[A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立； D项，x＋2＝2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号．] 探究2 探究问题4　提示：两个代数式都具有“x与和”的形式，且x＝1(定值)． 探究问题5　提示：当a>0，b>0时，有①ab；②a＋b2．由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值． 新知生成　(1)2　(2)S2 典例讲评　2．(1)D　[因为m>0，n>0，mn＝81， 所以m＋n2＝18，当且仅当m＝n＝9时取等号，故选D．] (2)解：∵x>0，∴>0，4x>0． ∴＋4x2＝8． 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8． 母题探究 解：∵x<0，∴－x>0． 则＋(－4x)2＝8， 当且仅当＝－4x，即x＝－时取等号． ∴＋4x－8． ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8． 学以致用　2．B　[因为0x8，所以8－x0，所以＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．] 探究3 典例讲评　3．(1)6　(2)　[(1)因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋＝x－2＋＋22＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立． 所以y＝x＋的最小值为6． (2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0． ∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 法二：∵0<x<，∴－x>0． ∴y＝x(1－3x)＝3x3＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值．] 母题探究 C　[因为x<2，所以x－2<0， 则y＝x＋＝x－2＋＋2 ＝－＋2－2＋2＝－2， 当且仅当2－x＝，即x＝0时，等号成立， 所以函数y＝x＋(x<2)的最大值是－2．] 学以致用　3．(1)B　[∵a>0，b>0，a＋2b＝4， ∴ab＝a2b＝×＝2， 当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立． ∴ab的最大值为2．] (2)解：∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1． [应用迁移] 1．B　[∵a>0，b>0，∴a＋b2＝2，当且仅当a＝b＝1时，取等号，故a＋b的最小值为2．] 2．A　[∵(x>0，y>0)，且x＋y＝10， ∴xy＝25，当且仅当x＝y＝5时，等号成立． 故xy有最大值25．] 3．C　[已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．] 4．A　[∵x>y>0， ∴2x>x＋y，>>， 即>y， ∴x>>>y．故选A．] 第2课时　基本不等式在实际 问题中的应用 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [学习目标]　1．了解基本不等式的证明过程．(数学运算) 2．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)．(数学抽象) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(逻辑推理) [讨论交流]　预习教材P44－P46，并思考以下问题： 问题1．基本不等式的内容是什么？ 问题2．基本不等式成立的条件是什么？ 问题3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　基本不等式 探究问题1　由赵爽弦图(如图)抽象出了一类重要不等式：a2＋b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立．如果a>0，b>0，我们以分别代替图中的a，b，可得出什么结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　上述结论是在重要不等式基础上转化出来的，你能用多种方法给出它的证明吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题3　结合教材P45中的探究，你能否给出的一种几何解释？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则，当且仅当______时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．两个正数的算术平均数______它们的几何平均数． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)设a，b为正数，证明下列不等式： (1)a＋≥2； (2)＋≥2． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足． [学以致用]　1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．∀a，b∈R，成立 B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 C．∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab D．若x>2，则x＋≥2中可以取等号 探究2　最值定理 探究问题4　仔细观察典例1中a＋，＋两个代数式，它们有什么共性？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题5　借助≤，能求哪几类问题的最值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值_________； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值． 简记为：积定和最小，和定积最大． [典例讲评]　2．(1)(源自苏教版教材)若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 (2)当x>0时，求＋4x的最小值． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　将本例(2)的条件“x>0”变为“x<0”，求＋4x的最大值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑使等号成立的条件是否具备． [学以致用]　2．若0≤x≤8，则的最大值为(　　) A． B．4 C． 探究3　拼凑法利用基本不等式求最值 [典例讲评]　3．(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________． (2)已知0<x<，则y＝x(1－3x)的最大值为________． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　本例(1)变为：函数y＝x＋(x<2)的最大值是(　　) A．4　　　B．5　　　C．－2　　　D．2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： 拼凑技巧 以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换 变形技巧 以拼凑出和或积的定值为目标 拆、添项 应注意检验利用基本不等式的前提 提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． [学以致用]　3．(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则ab的最大值是(　　) A． B．2 C．2 D．4 (2)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知ab＝1，且a>0，b>0，则a＋b的最小值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝10，则xy有(　　) A．最大值25 B．最大值50 C．最小值25 D．最小值50 3．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为(　　) A．1 B． C． 4．设x>y>0，则下列各式中正确的是(　　) A．x>>>y B．x>>>y C．x>>y> D．x>>y> 1．知识链：(1)基本不等式的推导与证明； (2)最值定理； (3)拼凑法利用基本不等式求最值． 2．方法链：公式法、拼凑法． 3．警示牌：注意利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十二) 1．B　2．D　3．D　4．B　5．B　 6．36　7．p>q　8．　 9．解：(1)因为x>－2，所以x＋2>0．由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－22－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立． 因此，当x＝2时，函数y＝x＋取得最小值6． (2)xy＝2x5y＝10， 当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时，等号成立，所以xy的最大值是10． 10．D　[法一：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D． 法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．] 11．A　[因为a>2，所以a－2>0， 所以m＝(a－2)＋ 2＝2， 由b≠0，得b2≠0，所以n＝2－b2<2． 综上可知m>n．] 12．B　[因为x>0， 所以x＋2＝2， 当且仅当x＝，即x＝时，取等号， 要使得x＋a恒成立，则a2， 所以x＋a恒成立的一个充分条件是a<80．] 13．　[由0＜x＜1，可得y＝x＝＝，当且仅当x2＝1－x2，即x＝时，等号成立，此时ymax＝．] 14．证明：因为x>0，所以x＋>0， 所以x＋＝x＋＝x＋＋－2－＝． 当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立． 故不等式得证． 15．解：(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即横线处应填． (2)因为a>0，b>0，c>0， 且a＋b＋c3>0，a2＋b2＋c23>0， 所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)9＝9abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)9abc． (3)因为a>0，b>0，c>0，， 所以abc， 又因为a＋b＋c＝1， 0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1， 所以(1－a)(1－b)(1－c)＝， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十二)　基本不等式 一、选择题 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y　 C．x≤2y D．x<2y 2．已知0<x<2，则x2(4－x2)的最大值为(　　) A．8 B．16 C．2 D．4 3．已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b取得最小值时a，b的值分别为(　　) A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，2 4．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 5．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是(　　) A．xy≤ B．≥2 C．≥2 D．x2＋y2≥2|xy| 二、填空题 6．已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________． 7．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． 8．当x＞0时，y＝的最小值为________． 三、解答题 9．(1)(源自苏教版教材)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值． (2)(源自苏教版教材)设x>0，y>0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值． 10．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 11．已知m＝a－2＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不确定 12．若x>0，则x＋≥a恒成立的一个充分条件是(　　) A．a>80 B．a<80 C．a>90 D．a<90 13．函数y＝x(0＜x＜1)的最大值为________． 14．设x>0，求证：x＋≥． 15．我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值． (1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)． (2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明： 设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值： 设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)(1－b)·(1－c)的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$