2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

第2课时　等式性质与不等式性质 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：等式有下面的基本性质： 性质1(对称性)　如果a＝b，那么b＝a； 性质2(传递性)　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3(可加性)　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4(可乘性)　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5(可除性)　如果a＝b，c≠0，那么＝． 发现等式基本性质的方法：运算中的不变性就是性质． 探究问题2　提示：对称性：a>b⇔b<a； 传递性：a>b，b>c⇒a>c； 可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； 可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc． 新知生成　(1)b＜a　(2)a＞c　(3)a＋c＞b＋c　(4)ac＞bc　ac＜bc　(5)a＋c＞b＋d　(6)ac＞bd　(7)an＞bn(n∈N，n2) 典例讲评　1．D　[对于A选项：c<0时，不成立； 对于B选项：a＝3，b＝2，c＝4，d＝0时不成立； 对于C选项：a＝0，b＝－2，c＝－1，d＝－2时不成立； 对于D选项：两边平方可知，结论成立．故选D．] 学以致用　1．ACD　[不妨设a＝2，b＝1，c＝0，d＝－1， 此时a＋d＝b＋c＝1，故A错误； ad＝－2<bc＝0，故C错误． 设a＝－3，b＝－4，c＝－5，d＝－6， 则ac＝15<bd＝24，故D错误； 因为a>b，c>d，根据不等式的基本性质(同向可加性) 得a＋c>b＋d，故B正确．] 探究2 典例讲评　2．证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0， 又因为a>b>0， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 所以0<<， 因为a>b，d>c， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a＋d>b＋c． 又|b|>|c|，所以b＋c>0， 所以0<b＋c<a＋d， 由不等式的同号可乘性可得 <． 学以致用　2．证明：(1)因为c<d<0， 所以－c>－d>0， 又a>b>0，故a(－c)>b(－d)>0， 即ac<bd． (2)因为a>b，c>0，所以ac>bc， 因为a，b同号，所以ab>0，>0， 故ac>bc，即>， 所以<． (3)因为c>d>0，所以>>0， 又a>b>0，所以>>0， 故>． 探究3 典例讲评　3．解：(1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2， 所以－4<x－y<2． (2)因为－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6， 所以1<3x＋2y<18． 母题探究　 1．解：因为－1<x<3，－1<y<3， 所以－3＜－y<1，所以－4<x－y<4． 又因为x<y，所以x－y<0， 所以－4<x－y<0． 2．解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 则所以 即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)， 又因为－1<x＋y<4，2<x－y<3， 所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<， 所以－<(x＋y)＋(x－y)<， 即－<3x＋2y<． 学以致用　3．解：∵－<α<，－<β<，∴－<－β<， ∴－π<α－β<π． 又∵β<α，∴α－β>0， ∴0<α－β<π， 又2α－β＝α＋(α－β)， ∴－<2α－β<π． [应用迁移] 1．B　[选项A，取a＝1，b＝0，c＝2，d＝1，则a＋b<c＋d，A不成立； 选项B，因为a>－b，所以－a<b，所以c－a<c＋b，则B成立； 选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，C不成立； 选项D，当a＝－1，b＝0时，D不成立．] 2．B　[因为a－1>0，所以a>1，由不等式性质可得－a<－1，故－a<－1<1<a，B正确，ACD错误． 故选B．] 3．D　[因为a>b，所以a－3>b－3，故A错误； a＋3>b＋3，故B错误； 3a>3b，故C错误； <，故D正确．故选D．] 4．{x－y|27<x－y<56} 　[∵28<y<33， ∴－33<－y<－28． 又∵60<x<84， ∴27<x－y<56． 由28<y<33，得<<，即<<3．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　等式性质与不等式性质 [学习目标]　1．掌握等式和不等式的基本性质．(数学抽象) 2．运用不等式的性质解决有关问题．(数学运算) [讨论交流]　预习教材P40－P42，并思考以下问题： 问题1．等式的基本性质有哪些？ 问题2．不等式的基本性质有哪些？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　等式的性质与不等式的性质 探究问题1　等式有哪些基本性质？试归纳一下发现等式基本性质的方法． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　探究问题2　类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔______． (2)传递性：a＞b，b＞c⇒______． (3)可加性：a＞b⇔______________． (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒__________；a＞b，c＜0⇒__________． (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒______________． (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒__________． (7)乘方法则：a＞b＞0⇒_________________． [典例讲评]　1．下列命题中正确的是(　　) A．若ac>bc，则a>b B．若a>b，c>d，则a－c>b－d C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若<，则a<b [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用不等式判断正误的两种方法 (1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． [学以致用]　1．(多选)已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，则下列选项中不正确的是(　　) A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋d C．ad>bc D．ac>bd 探究2　利用不等式的性质证明不等式 [典例讲评]　2．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|，求证：<． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． [学以致用]　2．(源自湘教版教材)求证： (1)若a>b>0，且c<d<0，则ac<bd； (2)若a>b，且a，b同号，c>0，则<； (3)若a>b>0，且c>d>0，则>． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　利用不等式的性质求代数式的取值范围 [典例讲评]　3．已知－1<x<4，2<y<3． (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　 1．若将本例条件改为“已知－1<x<y<3”，求x－y的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．若将本例条件改为“已知－1<x＋y<4，2<x－y<3”，求3x＋2y的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体之间的关系，利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 提醒：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地先分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． [学以致用]　3．已知－<β<α<，求2α－β的取值范围． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d B．若a>－b，则c－a<c＋b C．若a>b，c<d，则> D．若a2>b2，则－a<－b 2．已知a－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．－1<－a<a<1 B．－a<－1<1<a C．－a<－1<a<1 D．－1<－a<1<a 3．如果a>b，那么下列运算正确的是(　　) A．a－3<b－3 B．a＋3<b＋3　 C．3a<3b D．< 4．已知60<x<84，28<y<33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________． 1．知识链：(1)等式的性质； (2)不等式的性质及其应用． 2．方法链：作差比较法、赋值法、不等式性质法． 3．警示牌：注意不等式的每条性质是否具有可逆性． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十一) 1．D　2．C　3．C　4．B　5．AC 6．1，－1(答案不唯一)　7.3　8．②③　 9．解：甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的． 乙同学做的不对，因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负．故不能将<<与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘． 丙同学做的不对，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大． 10．A　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0， ∴a>0>c， 对于A，∵b>c，a>0，∴ab>ac，故选项A正确； 对于B，∵a>b，c<0，∴ac<bc，故选项B错误； 对于C，当a＝1，b＝0，c＝－1时，ab＝bc，故选项C错误． 故选A．] 11．B　[由题意可知，a>b>0⇒a－b>0，a－c>b－c，即A错误，B正确； 若c＝0，则ac2＝bc2，＝，即C，D项错误．故选B．] 12．A　[∵>0，∴>， ∴()2>()2， ∴a>b>0，∴a2－b2>0， ∴“>0”是“a2－b2>0”的充分条件， 又∵a2－b2>0，不妨取a＝－2，b＝1， 无法推出>0，故A正确．] 13．AC　[A选项，6<a<60，15<b<18，故6＋15<a＋b<60＋18，即21<a＋b<78，A正确； B选项，－18<－b<－15，故6－18<a－b<60－15，即－12<a－b<45，B错误； C选项，<<，故×6<<×60，即<<4，C正确； D选项，因为<<4，且＝＋1，故<<5，D错误．故选AC．] 14．证明：由c<d<0，得－c>－d>0， 又a>b>0， ∴a－c>b－d>0， 则(a－c)2>(b－d)2>0， 因此<， 又e<0， 所以>． 15．解：法一：设u＝a＋b，v＝a－b， 得a＝，b＝， ∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v． ∵1u4，－1v2，∴－33v6． 则－2u＋3v10，即－24a－2b10． 法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， ∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b． ∴∴ 又 ∴－24a－2b10． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十一)　等式性质与不等式性质 一、选择题 1．与a>b等价的不等式是(　　) A．|a|>|b| B．a2>b2 C．>1 D．a3>b3 2．已知0<b<a，a＋b＝2，则(　　) A．0<a<1 B．1<b<2 C．0<a－b<2 D．ab>a2 3．已知1<a<4，－2<b<3，则(　　) A．0<2a－b<11 B．－4<2a－b<5　 C．－1<2a－b<10 D．－2<2a－b<5 4．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax 5．(多选)已知a>b，c>d>0，则(　　) A．a－d>b－c B．ac>bd C．ac2>bc2 D．> 二、填空题 6．能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________． 7．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad．若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题． 8．给出以下四个命题： ①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒＞；④a＜b＜0⇒＞．其中真命题的序号是________． 三、解答题 9．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因． 甲：因为－6<a<8，－4<b<2， 所以－2<a－b<6． 乙：因为2<b<3，所以<<， 又因为－6<a<8，所以－2<<4． 丙：因为2<a－b<4，所以－4<b－a<－2． 又因为－2<a＋b<2，所以0<a<3，－3<b<0， 所以－3<a＋b<3． 10．若a>b>c，a＋b＋c＝0，则有(　　) A．ab>ac B．ac>bc C．ab>bc D．以上都错 11．设a，b为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(　　) A．a－b<0 B．a－c>b－c C．ac2>bc2 D．> 12．若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．(多选)已知6<a<60，15<b<18，则下列正确的是(　　) A．21<a＋b<78 B．－9<a－b<42 C．<<4 D．<< 14．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>． 15．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$