2.1 第1课时 不等关系与不等式-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 [探究建构]　 探究1 探究问题1　提示：左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1(单位：km/h，下同)应该满足100v1120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足60v2100． 典例讲评　1．解：(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x18，这时菜园的另一边长为＝(m)，所以菜园的面积S＝x， 依题意有S110，即x110， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 (2)因为矩形的另一边长15－11， 所以x8， 又0<x18，且x11，所以8x11． 学以致用　1．BC　[因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x＋3y＋10z55，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x＋6y＋13z125．故选BC．] 探究2 探究问题2　提示：如图，设a，b在数轴上所对应的点分别是A，B．当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b． 新知生成　a＞b　a＞b　a＝b　a＝b　a＜b　a＜b 典例讲评　2．解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． 由x1，得x－10，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)0， ∴3x33x2－x＋1． 母题探究 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1． 学以致用　2．解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋， ∵0，∴＋>0． ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0， ∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2． 探究3 探究问题3　提示：大正方形的面积S＝()2＝a2＋b2，四个小直角三角形面积之和S′＝4×ab＝2ab， 因为SS′，即a2＋b22ab，当且仅当a＝b时取等号． 新知生成　　a＝b 探究问题4　提示：证明：利用完全平方公式，得a2＋b2－2ab＝(a－b)2． 因为∀a，b∈R，(a－b)20， 当且仅当a＝b时，等号成立， 所以a2＋b2－2ab0． 因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2＋b22ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． 典例讲评　3．证明：a3＋b3－(ab2＋a2b) ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b) ＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)． ∵a>0，b>0，且a2＋b22ab， ∴a＋b>0，a2＋b2－2ab0． ∴a3＋b3－(ab2＋a2b)0， 故a3＋b3ab2＋a2b． 学以致用　3．证明：由重要不等式可知x2＋y22xy(当且仅当x＝y时取等号)，即162xy，所以xy8． [应用迁移] 1．AC　[a不是负数，可表示成a0；x不大于3可表示成x3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋20．] 2．A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．] 3．7.9v<11.2　[“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9v<11.2．] 4．a＝2　[令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0， ∴a＝2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 [学习目标]　1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(数学建模) 2．会用比较法比较两实数的大小．(逻辑推理) [讨论交流]　预习教材P37－P39，并思考以下问题： 问题1．如何比较两个实数的大小？ 问题2．如何表述比较实数a，b大小的基本事实？ [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　用不等式(组)表示不等关系 探究问题1　如图是高速公路的指示牌，其含义是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 在现实世界和日常生活中，存在着大量相等关系和不等关系，常用不等式来研究含有不等关系的问题． [典例讲评]　1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，靠墙的一边长为x m． (1)若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用不等式(组)表示不等关系的注意点 (1)在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间的不等关系不可以用不等式(组)来表示． (2)在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一． [学以致用]　1．(多选)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表： 型号 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块．上述问题中不等关系表示正确的为(　　) A．5x＋3y＋10z≥55 B．5x＋3y＋10z≤55 C．12x＋6y＋13z≤125 D．12x＋6y＋13z≥125 探究2　基本事实 探究问题2　数轴上的点与实数是一一对应的，你能借助数轴刻画两个实数a，b的大小关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么______ a－b＞0⇔______ 如果a－b等于0，那么______ a－b＝0⇔______ 如果a－b是负数，那么______ a－b＜0⇔______ 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以将其转化为比较它们的差与0的大小． [典例讲评]　2．已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． [学以致用]　2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　重要不等式 探究问题3　如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的．设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b如何表示这种关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[新知生成] 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2__2ab，当且仅当______时，等号成立． 探究问题4　你能证明探究问题3中得到的不等式吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例讲评]　3．已知a>0，b>0，证明：a3＋b3≥ab2＋a2b． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)的等号成立的充要条件是“a＝b”，其变形ab≤与≥体现了两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系． [学以致用]　3．已知x，y∈R，且x2＋y2＝16，证明：xy≤8． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)下面列出的不等式中，正确的是(　　) A．a不是负数，可表示成a≥0 B．x不大于3，可表示成x<3 C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0 D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0 2．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1　　　 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 3．中国“神舟十七号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为________． 4．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________． 1．知识链：(1)用不等式(组)表示不等关系； (2)作差法比较大小； (3)重要不等式． 2．方法链：作差法． 3．警示牌：在用不等式表示实际问题中变量不等关系时，注意不要忽略实际意义． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十) 1．D　2．D　3．C　4．A　5．A　 6．>　7．　8.2　±1 9．证明：法一：利用a2＋b22ab． ∵a>0， ∴a＋＝()2＋2＝2． 当且仅当a＝1时，等号成立． ∴a＋2． 法二：∵a＋－2＝()2＋－2＝0，∴a＋2． 10．B　[∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0， ∴M>N，故选B．] 11．A　[由题图可知体积缩小一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选A．] 12．AD　[∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0， ∴a2＋3>2a，即A正确； x2＋y2－xy＝＋y20，知B错误； a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)20，知C错误； 4x2＋8y2＝(2x)2＋(2y)222x2y＝8xy，知D正确．] 13．(a2＋b2)>ab　[由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1>S2，即(a2＋b2)>ab．] 14．解：因为a－＝＝，a>0， 所以当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<． 综上，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<． 15．解：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2， 则甲用时t1＝＋， 乙用时t2＝， t1－t2＝＋－ ＝s ＝s ＝>0， ∴甲用时多．∴乙先到达教室． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(十)　不等关系与不等式 一、选择题 1．(源自人教B版教材)平流层是指地球表面以上10 km到50 km的区域，下列不等式中，x能表示平流层高度的是(　　) A．|x＋10|<50 B．|x－10|<50 C．|x＋30|<20 D．|x－30|<20 2．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线一共40 km，其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60 km/h，设需摩托车运送的路段平均速度为x km/h，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为(　　) A．>1 B．<1 C．＋>1 D．＋<1 3．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过73 500 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(　　) A．a＋b＋c<130且abc<73 500 B．a＋b＋c>130且abc>73 500 C．a＋b＋c≤130且abc≤73 500 D．a＋b＋c≥130且abc≥73 500 4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D．P≤Q 5．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是(　　) A．256<x<260 B．x>136　 C．136<x<260 D．x<260 二、填空题 6．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2．(填“>”或“<”) 7．设x，y∈R，则x2＋y2－1________2x－4y－6(填“>”“<”“≥”或“≤”)． 8．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值． 三、解答题 9．已知a>0，求证：a＋≥2． 10．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．无法确定 11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：各自先饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　) A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 12．(多选)下列不等式恒成立的为(　　) A．a2＋3>2a(a∈R) B．x2＋y2>xy C．a2＋b2>2(a－b－1) D．8xy≤4x2＋8y2 13．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________． 14．已知a>0，试比较a与的大小． 15．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$