章末综合测评1 集合与常用逻辑用语-【名师导航】2024-2025学年高中数学必修第一册同步讲义(人教A版)

综合测评卷详解答案 章末综合测评(一) 1．B　[由x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，则B＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}， 则A∩B＝{2}．故选B．] 2．A　[由题意，当x＝0时，y＝x2＝0，此时A＝{0，0}，不满足集合中元素互异性； 当y＝0时，x＝x2且x≠0，则x＝1，此时A＝B＝{0，1}满足条件．故x－y＝1．故选A．] 3．D　[因为M＝{x∈N|0x<2}＝{0，1}， 所以集合M的子集的个数为22＝4．故选D．] 4．A　[对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题． 对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题． 对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题． 对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题． 故选A．] 5．B　[∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，6}，∴∁UA＝{2，4，5，6}，则B∩(∁UA)＝{4，6}， ∴题图中阴影部分表示的集合为{4，6}．故选B．] 6．B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．] 7．A　[法一(列举法)：因为M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数， 即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A． 法二(描述法)：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A．] 8．D　[设参加足球队的学生组成集合A，参加排球队的学生组成集合B，参加游泳队的学生组成集合C，则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24， card(A∩B)＝12，card(A∩C)＝9，card(B∩C)＝8， 设三项都参加的人数为x，则card(A∩B∩C)＝x， 因为card(A∪B∪C)＝47，所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)， 得47＝25＋22＋24－12－9－8＋x，解得x＝5， 即三项都参加的人数为5．故选D．] 9．ACD　[∵A＝{0，2}，∴∅⊆A，－2∉A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y<3}．故选ACD．] 10．ACD　[A，命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋13x”，A错误； B，命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋10”，B正确； C，a，b，c∈R，ab2>cb2能推出a>c，但a>c推不出ab2>cb2，C错误； D，命题“∃x∈R，x2＋4x＋m＝0”为假命题，即“∀x∈R，x2＋4x＋m≠0”，即没有实根， Δ＝42－4m<0，即m>4，D错误． 故选ACD．] 11．AC　[由题意可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*， 则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，x1＋x2∈A， 所以加法满足条件，A正确； x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)， 当n1＝n2时，x1－x2∉A， 所以减法不满足条件，B错误； x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，x1x2∈A， 所以乘法满足条件，C正确； ＝， 当＝＝λ(λ>0)时，∉A， 所以除法不满足条件，D错误．故选AC．] 12．a4　[由题意知，所以a4．] 13．±2　[∵∁UA＝{4}，A＝{1，a}，∴a2＝4，a＝±2，经检验满足题意．] 14．必要不充分条件　[不积跬步，无以至千里，等价于“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必须“积跬步”， 所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．] 15．解：若a＝0，此时A＝∅，符合题意； 若a≠0，要使集合至多有一个元素，则Δ＝a2－4a0，由二次函数y＝a2－4a的图象(图略)知，0<a4，综上，0a4． 16．解：(1)当a＝2时，A＝{x|－1x<4}， B＝{x|x<2}， 所以A∩B＝{x|－1x<2}． (2)因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以a4，所以a的取值范围为{a|a4}． 17．解：由α是β的充分不必要条件， 则{x|2x4}真包含于{x|3m－1x－m}， 得且等号不同时成立，解得m－4， 即实数m的取值范围为{m|m－4}． 18．证明：必要性：若ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，则x＝2满足方程，即4a＋2b＋c＝0； 充分性：若4a＋2b＋c＝0，则a×22＋b×2＋c＝0， 即x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0， 则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2． 综上命题得证． 19．解：(1)根据题意，由A＝{－1，1}， 则A＋＝{－2，0，2}，A－＝{0，2}． (2)证明：由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}， x1<x2<x3<x4，且A－＝A， 所以A－中也只包含四个元素， 即A－＝{0，x2－x1，x3－x1，x4－x1}， 剩下的x3－x2＝x4－x3＝x2－x1， 所以x1＋x4＝x2＋x3． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　) A．∅ B．{2} C．{0} D．{－2} 2．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则x－y＝(　　) A．1 B．0 C．－1 D．1或－1 3．集合M＝{x∈N|0≤x<2}的子集的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 4．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　) A．菱形的四条边都相等 B．∃x∈N，使2x为偶数 C．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 D．π是无理数 5．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3}，集合B＝{3，4，6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中涂色部分所表示的集合用列举法表示为(　　) A．{1，2，5} B．{4，6} C．{3，4，6} D．{2，5} 6．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 7．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 8．某校高一(4)班共有学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} 10．下列说法中错误的是(　　) A．命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x” B．命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0” C．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” D．若命题“∃x∈R，x2＋4x＋m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是m≤4 11．设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1⊕x2∈A，则运算⊕可能是(　　) A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合A＝{x|0<x<4}，集合B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 13．已知集合U＝{1，a，a2}，A＝{1，a}，∁UA＝{4}，则a＝________． 14．“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的________．(填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等．) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)如果集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}至多有一个元素，求实数a的取值范围． 16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1≤x<4}，B＝{x|x－a<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 17．(本小题满分15分)已知命题α：2≤x≤4，命题β：3m－1≤x≤－m，且α是β的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18．(本小题满分17分)求证：“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2”的充要条件是“4a＋2b＋c＝0”． 19．(本小题满分17分)已知集合A为非空数集，定义A＋＝{x|x＝a＋b，a，b∈A}，A－＝{x|x＝|a－b|，a，b∈A}． (1)若集合A＝{－1，1}，直接写出集合A＋及A－； (2)若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1<x2<x3<x4，且A－＝A，求证：x1＋x4＝x2＋x3． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$